18高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时跟踪检测(三十三)一元二次不等式及其解法练习文

第六章第二讲A组基础巩固一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝导学号30071672(D)A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)[解析]集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．2．(2017·山东省济南一中期中数学试题)在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab＋2a＋b，则满足x ⊗(x－2)＜0的实数x的取值范围为导学号30071673(B)A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)[解析]根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．解：∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0，∴化简得x2＋x－2＜0即(x－1)(x＋2)＜0，得到x－1＜0且x＋2＞0①或x－1＞0且x＋2＜0②，解出①得－2＜x＜1；解出②得x ＞1且x＜－2无解．∴－2＜x＜1.故选B．3．(2016·浙江模拟)设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a 的值是导学号30071674(D)A．－2 B．－1C．0 D．1[解析]∵关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，∴对应一元二次方程(ax－1)(x＋1)＝0的两个实数根为－1和1，∴x＝1a＝1，或x＝－1，∴a＝1，即a的值是1，故选D．4．(2016·天津模拟)已知2a＋1<0，关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是导学号30071675(C)A．{x|x>5a或x<－a} B．{x|－a<x<5a}C ．{x |x <5a 或x >－a }D ．{x |5a <x <－a }[解析] 不等式x 2－4ax －5a 2>0可化为(x －5a )(x ＋a )>0．∵方程(x －5a )(x ＋a )＝0的两根为x 1＝5a ，x 2＝－a ，且2a ＋1<0，a <－12，∴5a <－a ，∴在不等式的解集为{x |x <5a ，或x >－a }，故选C ．5．(2016·湖北模拟)关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是导学号 30071676( B )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析] 由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)可得ba ＝1，且a <0，(ax ＋b )(x－3)>0可变为(x －3)(x ＋ba)<0，即得(x －3)(x ＋1)<0，所以－1<x <3，所以不等式的解集是(－1,3)，故选B ．6．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为导学号 30071677( A )A ．{x |－1<x <12}B ．{x |x <－1或x >12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}[解析] 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎨⎧－1＋2＝－ba .(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0． 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A ．7．(2016·皖南八校第二次联考) 若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为导学号 30071678( A )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5][解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.故选A ．[解法总结] (1)解决恒成立问题一定要分清主元与参数，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．8．(2016·黄山模拟)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0，且使不等式①②成立的x 也满足③，则实数a 的取值范围是导学号 30071679( C )A ．a ≥94B ．a ≤10C ．a ≤9D ．a ≥－4[解析] 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0即⎩⎨⎧1<x <32<x <4，解得2<x <3，∴2<x <3也满足③2x 2－9x ＋a <0，∴③的解集非空且(2,3)是③解集的子集． 由f (x )＝2x 2－9x ＋a <0，得f (2)＝8－18＋a ≤0， 且f (3)＝18－27＋a ≤0，解得a ≤9，故选C ．另解：或a <－2x 2＋9x ＝－2(x －94)2＋818，x ∈(2,3)恒成立．记g (x )＝－2x 2＋9x ，x ∈(2,3) 由g (x )>9可知a ≤9，故选C ． 二、填空题9．(2016·潍坊模拟)若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是(－3,0].导学号 30071680[解析] 根据题意，得：当k ＝0时，不等式化为－38≥0，解集为空集，满足题意；当k ≠0，应满足⎩⎨⎧k <0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k 2－4·2k ·(－38)<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k <0－3<k <0，∴－3<k <0．综上，k 的取值范围是(－3,0]．10．(2016·西安模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝12，则实数a 的值等于－3.导学号 30071681[解析] 因为关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，所以x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－3a 2，又x 2－x 1＝12，(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1·x 2，所以144＝4a 2＋12a 2＝16a 2，解得a ＝±3，因为a <0，所以a ＝－3．11．(2017·上海市长宁区延安中学高三上学期期中数学试题)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是[－2，＋∞).导学号 30071682[解析] 根据题意，分x ＝0与x ≠0两种情况讨论，①x ＝0时，易得原不等式恒成立，②x ≠0时，原式可变形为a ≥－(|x |＋1|x |)，由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论；①x ＝0时，原式为1≥0，恒成立，则a ∈R ；②x ≠0时，原式可化为a |x |≥－(x 2＋1)，即a ≥－(|x |＋1|x |)；又由|x |＋1|x |≥2，则－(|x |＋1|x |)≤－2；要使不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，需有a ≥－2即可； 综上可得，a 的取值范围是[－2，＋∞)； 故答案为：[－2，＋∞)．[点拨] 本题考查了函数的恒成立问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .导学号 30071683 (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． [答案] (1)[0,1] (2)(－12，32)[解析] (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， 解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为 x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为(－12，32)．13．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n ).导学号 30071684(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．[答案] (1)a >0时{x |x ＜－1或x >2}，a <0时{x |－1<x <2} (2)f (x )<m [解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0． 那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0． ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m ．B 组能力提升1．(2016·莆田模拟)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的零点为2和3，那么不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为导学号 30071685( A )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－3<x <－2}C ．{x |13<x <12}D ．{x |－12<x <－13}[解析] ∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的零点为2和3，∴对应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为2和3，又∵a >0，∴不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |2<x <3}，故选A ．2．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为导学号 30071686( B )[解析] 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象为B ．3．(2016·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.导学号 30071687[解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24．∵f (x )的值域为[0，＋∞)．∴b －a 24＝0. 即b ＝a 24．∴f (x )＝(x ＋a2)2．又∵f (x )<c .∴(x ＋a2)2<c ．即－a 2－c <x <－a2＋c ．∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m .①－a2＋c ＝m ＋6.②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9．4．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为12<k <23.导学号 30071688[解析] 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0解得12<k <23．5．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.导学号 30071689(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [答案] (1)－4<m ≤0 (2){m |m <67}[解析] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0． 所以－4＜m ≤0．(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m (x －12)2＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0． 综上所述：m 的取值范围是{m |m ＜67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 所以，m 的取值范围是{m |m ＜67}．[点拨] (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．。

(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对 答案 B解析 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1) 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1k＋答案 D解析 当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋k ＋k k ＋k ＋kk ＋k ＋＝k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项 答案 D解析 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k＝2k项．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k ＋k ＋解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n n ＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________________________________________________________________.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除． 证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时， ·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋6(3k ＋1)·7k＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k.由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．10．用数学归纳法证明不等式：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋， 由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立．所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n＞n ＋1成立．(时间：20分钟)11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝________.答案 －123解析 ①a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12.②求出a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝a 1a 2a 3＝3. 14．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1， 右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．。

理数 第6章 不等式、推理与证明 6-1a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·浙江抽测]已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“a 2＋b ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当b ≥0时，a 2＋b ≥0，反之不一定成立，因此“b ≥0”是“a 2＋b ≥0”的充分不必要条件．2．[2017·烟台模拟]如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.所以ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2<ab 2不一定成立．3．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －b B.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －bD.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证．解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1.∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<b a <1.由指数函数性质知，D 成立．4．设a ＝log 12 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 A解析 因为a ＝log 12 3<log 122＝－1,0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c .5．[2017·重庆一中调研]设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a >b 2B.1a >1bC.1a <1b D ．a 2>2b 答案 A解析 对于A ，∵－1<b <1，∴0≤b 2<1，又∵a >1，∴a >b 2，故A正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a >1>b >－1，但1a <1b ，故B错误；对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a >1>b >－1，但1a >1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a >1>b >－1，但a 2<2b ，故D 错误．6．已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 解析 由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0，故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0. 7．[2017·西安模拟]已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，有b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，有b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，无解． 综上可得b <－1.8．[2017·遵义模拟]已知下列结论：①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b ；③若a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a .其中正确的是________(只填序号即可)．答案 ①③④解析 对于①，因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a <0，－1<b <0，ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，所以ab 2>a ，即④正确．9．[2017·大连段考]若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>e b －d 2. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴(a －c )2>(b －d )2>0，∴0<1 a －c 2<1 b －d 2. 又∵e <0，∴e a －c 2>e b －d 2. 10．[2017·昆明模拟]设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .12．[2017·广西模拟]若a ，b 为实数，则1a <1b 成立的一个充分而不必要的条件是( )A ．b <a <0B ．a <bC ．b (a －b )>0D ．a >b答案 A解析 由a >b ⇒1a <1b 成立的条件是ab >0，即a ，b 同号时，若a >b ，则1a <1b ；a ，b 异号时，若a >b ，则1a >1b .13．[2017·汕头模拟]若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．14．已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y 的取值范围．解 由1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5，即lg x 2y 的取值范围是[－1,5]．理数 第6章 不等式、推理与证明 6-2a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·潍坊模拟]函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数 f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．2．[2017·青海质检]不等式x 2－4>3|x |的解集是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵|x |2－3|x |－4>0，∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3．[2017·江西模拟]下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 A解析 当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 4．[2017·郑州模拟]已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2答案 D解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 5．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，且a <0.由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1 ×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0，可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.6．[2017·甘肃模拟]不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4 a －2 2＋16 a －2 <0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．7．[2017·上海模拟]不等式x ＋1x ≤3的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥12解析 x ＋1x ≤3，即x ＋1－3x x≤0， 1－2x x ≤0⇔⎩⎨⎧ x 1－2x ≤0，x ≠0⇔⎩⎨⎧ x 2x －1 ≥0，x ≠0.解得x ≥12或x <0.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥12. 8．[2017·西安质检]在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.9．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66. 10．[2017·池州模拟]已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12.∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. [B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·重庆模拟]关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A. 12．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 答案 C解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)·[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．13．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，0]解析 因为4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0，所以a 的取值范围为(－∞，0]．14．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a ，所以a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.理数 第6章 不等式、推理与证明 6-3a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2016·北京高考]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 C解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝4.故选C.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 答案 C解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.14 答案D解析 画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目标函数z ＝2x ＋y 过点(m ，m )时有最小值，z min ＝3m ；过点(1,1)时有最大值，z max ＝3，因为z 的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝14.4．[2017·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50 答案B解析 设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点(30,20)时，z 取得最大值．故选B.5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1} 答案 B解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.6．[2014·安徽高考]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.7．[2017·厦门模拟]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，所以z min ＝1＋2×1＝3.8．[2017·辽宁模拟]设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y的最大值为________．答案55解析 不等式组表示的区域如图所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，因此截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15，故点A 的坐标为(5,15)，代入z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.9．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值． 解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3.∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3， 则z 的最大值为－k 3＋3⎝⎛⎭⎪⎫－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解 由约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，所以2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝ －3－5 2＋ 2－2 2＝8.所以16≤z ≤64.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x ≥2，y ≥3，A 、B 错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x －y ＋1≥0，D 错误；设z ＝x ＋2y ，y ＝－12x ＋12z ，由图象可知当其经过点(2,3)时，z 取得最小值8.12．[2017·太原模拟]设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．[3,5]B ．[－1,1]C ．[－1,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案D解析 画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－43x －y ≤3，所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1,1)的直线，当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点B (1,0)时斜率最小，为－12，故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，选D.13．[2017·山西质检]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2,2]解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．14．[2016·天津高考]某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．理数 第6章 不等式、推理与证明 6-4a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知x ，y ∈R ＋，则“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若xy ＝1，由基本不等式，知x ＋y ≥2xy ＝2；反之，取x ＝3，y ＝1，则满足x ＋y ≥2，但xy ＝3≠1，所以“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的充分不必要条件．故选A.2．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C 解析 由ab ≥22ab ，得ab ≥22，当且仅当1a ＝2b 时取“＝”，选C.3．已知a >0，b >0,2a ＋b ＝1，则2a ＋1b 的最小值是( ) A ．4 B.92 C ．8 D ．9 答案 D解析 ∵2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ×2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D. 4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号．5．[2017·浙江考试院抽测]若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23B.223C.33D.233 答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．6．[2017·广州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y的最大值为________．答案 2解析 因为x 2＋y 2－xy ＝1， 所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立， 所以x ＋y 的最大值为2.7．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________．答案 22＋2解析 因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋22 x －1 1x －1＝22＋2.当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2.8．函数f (x )＝ x ＋1 1－2x ( －1<x <12 )的最大值为________．答案324解析 f (x )＝ x ＋1 1－2x ＝12 2x ＋2 1－2x ， 因为－1<x <12，所以2x ＋2>0,1－2x >0，且(2x ＋2)＋(1－2x )＝3. 由基本不等式可得(2x ＋2)＋(1－2x )≥2 2x ＋2 1－2x ( 当且仅当2x ＋2＝1－2x ，即x ＝－14时等号成立 )，即 2x ＋2 1－2x ≤32. 所以f (x )＝12 2x ＋2 1－2x ≤12×32＝324.9．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.10．[2016·郑州模拟]若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ， 所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 因为a 3＋b 3≥2 ab 3≥223＝42， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号， 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·安庆模拟]设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n ＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1 答案 C解析 因为1m ＋1n ＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )( 1m ＋1n )＝5＋4m n ＋n m ，又m >0，n <0，所以－4m n －nm ≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋n m ≤5－4＝1，当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号，故选C.12．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 答案 A解析 由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，∴2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a＋b －1)＝2＋2 b －1 a ＋ab －1＋1≥3＋22，当且仅当2 b －1 a ＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号成立，故选A. 13．已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．答案 16解析 因为a >b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．所以a 2＋16b a －b≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．所以当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b 取得最小值16.14．已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解 由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.理数 第6章 不等式、推理与证明 6-5a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．下列说法正确的有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 只有②是错误的，因为演绎推理的结论的正误受大前提、小前提和推理形式正确与否的影响．2．[2017·上海模拟]某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 C解析∵大前提的形式：“鹅吃白菜” 不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．3．[2016·浙江模拟]观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192B．202C．212D．222答案 C解析因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.4．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是()答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A.5．[2017·湖北八校二联]有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：6．[2017·广东三校联考]已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．答案 f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) 解析 由题意f (2)＝32可化为f (21)＝1＋22，f (4)>2可化为f (22)>2＋22，f (8)>52可化为f (23)>3＋22，f (16)>3可化为f (24)>4＋22，…，由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)． 7．[2017·重庆模拟]在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：______________________.答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”8．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是 .答案 n n ＋1 2解析 由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .∴总个数为n n ＋1 2. 9．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .证明 ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·重庆模拟]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55答案 D解析因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.12．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则() A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.故选B.13．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17；记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，f k＋1(n)＝f(f k(n))，k∈N*，则f2015(9)＝________.答案11解析92＋1＝82，f1(9)＝10；102＋1＝101，f2(9)＝f(f1(9))＝f(10)＝2；22＋1＝5，f3(9)＝f(f2(9))＝f(2)＝5；52＋1＝26，f4(9)＝f(f3(9))＝f(5)＝8；82＋1＝65，f5(9)＝f(f4(9))＝f(8)＝11；112＋1＝122，f6(9)＝f(f5(9))＝f(11)＝5，所以{f n(9)}从第3项开始是以3为周期的循环数列，因为2015＝2＋671×3，所以f2015(9)＝f5(9)＝11.14．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1 AB2＋1AC2，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝DC·BC，故1AB2＋1AC2＝1BD·BC＋1DC·BC＝DC＋BDBD·DC·BC＝1BD·DC＝1AD2.在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.则1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE. ∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，1 AH2＝1AB2＋1AE2①又易证CD⊥AE，故在Rt△ACD中，1AE2＝1AC2＋1AD2②把②式代入①式，得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.理数第6章不等式、推理与证明6-6a[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s答案 D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.3．[2017·东城模拟]在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC 一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定答案 C解析 由sin A sin C ＜cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π2，故△ABC 必是钝角三角形．4．[2017·郑州模拟]设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.5．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋( z x ＋z y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C.6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋a b ≥2成立．7．[2016·兰州调研]已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．答案 x ＜y解析 ∵a ＋b 2>ab (a ≠b )⇒a ＋b >2ab ⇒2(a ＋b )>a ＋b ＋2ab⇒a ＋b > a ＋b 22⇒a ＋b >a ＋b 2， 即x <y .8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案 c n ＋1＜c n解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n . 9．[2017·唐山模拟]已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 证明 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， 则d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a＋b |.12．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m， b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b . 13．[2017·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 答案 ③解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.14．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，只需证b 2a 2＋4a 2b 2≥4，根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b2＝4成立．当且仅当2a 2＝b 2时等号成立，所以原不等式成立．(2)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b 2＝2m －1，由(1)知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b 2＝2m －1＞0，所以m ≥72.理数 第6章 不等式、推理与证明 6-7a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对答案 B解析 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋1 3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．[2017·陕西模拟]用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.12 2k ＋1答案 D解析 当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋1 k ＋2 ·…·2k k ＋2 k ＋3 ·…·2k 2k ＋1 2k ＋2＝ k ＋1 2k ＋1 2k ＋2 ＝12 2k ＋1，选D. 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项答案 D解析 运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．6．[2017·郑州模拟]用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1 2k ＋1 2k ＋2解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1 2k ＋1 2k ＋2 ，故填1 2k ＋1 2k ＋2. 7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n 3n ＋1 2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______________________ __________________________________________________.答案 n n ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；。

第六章 第三讲A 组基础巩固一、选择题1．(2016·辽宁沈阳四校联考)下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是导学号 30071709( C )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)[解析] 点(1,2)使x ＋y －1>0，点(－1,3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C ．[解法总结] 作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，测试点常选取原点．2．(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤03x －y ＋1≥0x －y －1≤0则z ＝2x ＋y 的最大值为导学号 30071710( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ＋y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0,1)，(1,0)，(－1，－2)， 验证知在点(1,0)时取得最大值2当直线z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，z 最大是2， 故选B ．3．(2017·石家庄高三年级摸底考试)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －4y ≤0，x －y ＋3≥0则下列目标函数中，在点(4,1)处取得最大值的是导学号 30071711( D )A ．z ＝15x －yB ．z ＝－3x ＋yC ．z ＝15x ＋yD ．z ＝3x －y[解析] 画⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5x －4y ≤0x －y ＋3≥0的线性区域求得A ，B ，C 三点坐标为(4,1)、(1,4)、(－4，－1)由于只在(4,1)处取得最大值否定A 、B 、C ，故选D ．4．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 的直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝导学号 30071712( C )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．5．(2016·四川成都模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1 h 和2 h ，加工1件乙产品所需工时分别为2 h 和1 h ，设备A 每天使用时间不超过4 h ，设备B 每天使用时间不超过5 h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是导学号 30071713( D )A ．18万元B ．12万元C ．10万元D ．8万元[解析] 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 件，y 件，企业获得的利润为z 万元， 则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，2x ＋y ≤5，x ，y ∈N ，且z ＝3x ＋2y ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，2x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0表示的可行域，如图所示．由x ∈N ，y ∈N 可知最优解为(2,1)，即生产A 产品2件，B 产品1件，可使企业获得最大利润，最大利润为8万元．故选D ．6．(2017·湖南省示范性高中高三上学期百校联考数学试题)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤4ax ＋by ＋c ≤0且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则a ＋b ＋ca＝导学号 30071714( D )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[解析] 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ＋y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z ＝2x ＋y 在点B 取得最大值为7， 在点A 处取得最小值为1， ∴A (1，－1)，B (3,1)，∴直线AB 的方程是：x －y －2＝0， ∴则a ＋b ＋c a＝－2.故选D ．7．(2016·广东惠州模拟)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为导学号 30071715( D )A ．256B ．83C ．113D ．4[解析] 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，∴4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6．∴3a ＋2b ＝(3a ＋2b )·2a ＋3b 6＝16(12＋9b a ＋4a b)≥4， 当且仅当9b a ＝4a b ，即a ＝32，b ＝1时，等号成立．∴3a ＋2b 的最小值为4，故选D ．8．(2016·湖北鄂州模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则s ＝y ＋1x ＋1的取值范围是导学号 30071716( D )A ．[1，32]B ．[12，1]C ．[1,2]D ．[12，2][解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0表示的可行域如图所示．s ＝y ＋1x ＋1可以看作是可行域中的一点(x ，y )与点(－1，－1)连结的斜率． 由图可知，当x ＝1，y ＝0时，斜率最小，即s ＝y ＋1x ＋1取最小值12．当x ＝0，y ＝1时，斜率最大，即s ＝y ＋1x ＋1取最大值2．故s ＝y ＋1x ＋1的取值范围是[12，2]，故选D ．二、填空题9．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为－10.导学号 30071717[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是[45，13].导学号 30071718[解析] 不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2,3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是[45，13]．11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是(1，＋∞).导学号 30071719[解析] 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞9－7a ，3－a ＞1－3a .所以a ＞1．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.导学号 30071720(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值；(2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值； (4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．[分析] 利用函数性质及几何意义解决目标函数最值的答题模板． 画区域——在平面区域内作出可行域 转化——把所求目标函数转化为关于基本量的函数 得结论——利用函数的性质及几何意义，求得关于目标函数的结论 [解析] (1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线l ：2x －y ＝0，并平行移动使它过可行域内的B 点，此时z 有最大值；过可行域内的C 点，此时z 有最小值，解⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5,3)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝30，得C (1，275)．∴z max ＝2×5－3＝7，z min ＝2×1－275＝－175．(2)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A (1，53)．解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5,3)． ∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113．(3)一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ＝ax ＋y 平行于直线3x ＋5y ＝30时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC ＝－35，∴－a ＝－35，∴a ＝35．(4)z ＝y ＋5x ＋5＝y －(－5)x －(－5)，可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率．由图可知，k BD ≤z ≤k CD ．∵k BD ＝3－(－5)5－(－5)＝45，k CD ＝275－(－5)1－(－5)＝2615，∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45，2615]．(5)z ＝x 2＋y 2，则z 为(x ，y )与原点(0,0)的距离，结合不等式的区域，易知A 点到原点距离最小为343，最大值为|OB |，|OC |，原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OB |＝34．∴x 2＋y 2的取值范围为[349，34]．13．(教材改编题)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？导学号 30071721[解析] 设A 、B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ， 则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N ，目标函数z＝2x ＋3y ．作出不等式组的可行域，如图所示．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25．所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．B 组能力提升1．(2017·福建省福州外国语学校高三适应性考试三数学试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －a ≤0，x －y ≥0，2x ＋y ≥0，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为2，则实数a 的值为导学号 30071722( A )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[解析] 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≥0的图象如图，因为目标函数z ＝x ＋y 的最大值为2，所以x ＋y ＝2与可行域交于如图A 点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0，得A (1,1)，由A (1,1)在直线3x －y －a＝0上，所以有3－1－a ＝0，a ＝2，故选A ．2．(改编题)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6，则z ＝2x4y 的取值范围为导学号 30071723( A )A ．[132，4]B ．[116，8]C ．[4,32]D ．[8,16][分析] 作出不等式组所表示的平面区域→对所求目标函数进行转化，确定最大、最小值点→列出方程组求得相应的坐标，代入所求即可求得结论[解析] 如图所示，作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6确定的可行域，因为z ＝2x 4y ＝2x －2y ，设t＝x －2y ，则当直线x －2y －t ＝0过点C 时，取得最小值，当直线x －2y －t ＝0过点B 时，取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0，4x －y ＋6＝0，解得C (－1,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，4x －y ＋6＝0，解得B (－2，－2)． 所以t 的最小值为－1－2×2＝－5，最大值为－2－2×(－2)＝2.故t ∈[－5,2]． 所以z ＝2x 4y ＝2x －2y 的取值范围为[132，4]．3．(2016·衡水模拟)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0x －2y ＋2≥0x ＋y －2≥0表示的区域为D ，B ，C 为区域D 内的任意两点，设OB →，OC →的夹角为θ，则tan θ的最大值是导学号 30071724( C )A ．43B ．35C ．34D ．45[解析] 当B ，C 处于如图所示位置时， OB →，OC →的夹角为θ最大， 得到B (23，43)，C (43，23)，则cos θ＝OB →·OC→|OB →||OC →|＝23×43＋43×23(23)2＋(43)2(43)2＋(23)2＝45． 所以0<θ<π2，且sin θ＝35， 因为tan θ在(0，π2)是增函数， 所以tan θ的最大值为sin θcos θ＝34，故选C ． 4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216_000 元.导学号 30071725[解析] 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150x ＋0.3y ≤905x ＋3y ≤600x ≥0y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216000(元)． 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率.导学号 30071726(1)求a ＋b ＋c ；(2)求b a的取值范围．[解析] (1)因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝－1．(2)因为c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根大于零小于1，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋3<0， 作出可行域如图所示．而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，所以k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－12)．。

（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 一元二次不等式及其解法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 一元二次不等式及其解法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时达标第32讲一元二次不等式及其解法［解密考纲］考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．不等式错误!<1的解集是（A）A．(－∞,－1)∪（1,＋∞）B．(1,＋∞)C．(－∞，－1）D．（－1，1)解析∵错误!＜1，∴错误!－1＜0，即错误!＜0，该不等式可化为(x＋1)（x－1）＞0，∴x＜－1或x＞1.故选A．2．（2018·湖南株洲期中）在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( B)A．（0，2）B．（－2，1）C．（－∞，－2）∪（1,＋∞）D．(－1,2）解析根据条件由x⊙(x－2)<0，得(x＋2）（x－1)<0,解得－2<x〈1。

故选B．3．函数y＝ln错误!＋错误!的定义域为( C）A．{x｜－1<x<2} B．｛x|0〈x〈1｝C．{x｜0〈x≤1}D．｛x|－1<x≤2｝解析由题意知错误!解得错误!所以函数y＝ln错误!＋错误!的定义域为｛x｜0＜x≤1}．故选C．4．(2018·辽宁庄河联考）不等式ax2＋bx＋2〉0的解集为{x|－1〈x<2｝，则不等式2x2＋bx＋a〉0的解集为( A)A．错误!x错误!B．错误!x错误!C．｛x|－2〈x<1} D．{x｜x〈－2或x〉1}解析∵不等式ax2＋bx＋2〉0的解集为｛x|－1〈x<2｝，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2,且a<0，即－1＋2＝－错误!，(－1)×2＝错误!，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1>0,解得x<－1或x>错误!。

课时达标 第32讲[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a ，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a <b <1，则( D ) A ．1b >1aB ．⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12 bC ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫12b ；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( C )A ．a 2<b 2B ．ab 2>a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞ab ，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D ) A ．⎝⎛⎭⎫0，5π6 B ．⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D ．⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .解析：a b 2＋ba 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. 因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，所以a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝⎛⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0， ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确． 三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg xy ＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y .∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca 的取值范围．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎨⎧2ca＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即ca 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，－12.。

课时作业41 直接证明与间接证明一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．答案：B2．若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D.ab<a＋1 b＋1解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B3．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b ∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是( ) A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设正确．答案：D4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0 ⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0. 答案：C5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P <QD ．由a 取值决定解析：假设P <Q ，要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证2a ＋7＋2a a ＋<2a ＋7＋2a ＋a ＋，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12， ∵0<12成立，∴P <Q 成立． 答案：C6．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③D ．③④⑤解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1.但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2.则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案：C 二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．答案：a ，b ，c ，d 全是负数9．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：令⎩⎪⎨⎪⎧f－＝－2p 2＋p ＋1≤0，f ＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32三、解答题10．若a >b >c >d >0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a <b ＋c .证明：要证d ＋a <b ＋c ，只需证(d ＋a )2<(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad <b ＋c ＋2bc ，因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad <bc ，即ad <bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )<0，故ad <bc 成立，从而d ＋a <b ＋c 成立．11．已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1. (1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB . 又AB ∩AD ＝A ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立． ∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .1．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0,1]，证明：(Ⅰ)f (x )≥1－x ＋x 2； (Ⅱ)34<f (x )≤32.证明：(Ⅰ)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－－x 41－－x＝1－x 41＋x， 由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2. (Ⅱ)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝x －x ＋x ＋＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(Ⅰ)得f (x )≥1－x ＋x 2＝(x －12)2＋34≥34，又因为f (12)＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c .证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又∵x 1x 2＝c a，∴x 2＝1a (1a≠c )．∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0.知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c .又∵1a≠c ，∴1a>c .课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25.答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ． 1 C.12i D ．i解析：∵11＋i＝1－i －＋＝12－12i ，11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i＝2＋1－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos 60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－＋－＝2i2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。

课时作业37 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：方法1：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法2：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．答案：A2．(2017·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1) 解析：∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.答案：A3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2. 所以a ＋b ＝－3，故选A. 答案：A4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．答案：D5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16. 所以每件销售价应为12元到16元之间． 答案：C6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.答案：B 二、填空题7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a，∴a <x <1a.答案：{x |a <x <1a}8．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围是________．解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0，∴－1<a <23. 答案：(－1，23)9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴－2<m <2. 综合①②，得m ∈(－2,2]． 答案：(－2,2]10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )．又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)．则x 1＝－2a ，x 2＝4a .由x 2－x 1＝6a ＝15得a ＝52.答案：52三、解答题11．(2017·池州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立，当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1 ＝ax ＋2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a . 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12. ∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 12．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k}，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解：(1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.1．当x >0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－1D ．－32解析：法1：当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立，当Δ＝a 2－4>0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4>0，－a2<0，解得a >2.综上得a ≥－2.所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立的实数a 的最小值是－2，故选A.法2：因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (x >0)恒成立，又x >0时，－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，所以只需a ≥－2，所以实数a 的最小值是－2.故选A. 答案：A2．(2017·河南郑州第一次质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8解析：作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b22，若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当2<x <4时，－8<f (x )<0，所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8，故选D.答案：D3．(2017·宿州模拟)若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． 解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1.所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

6.2 一元二次不等式及其解法[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.答案：B3．(2018届昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A 4．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.答案：A5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅， 等价于ax 2－ax ＋1<0无解．当a ＝0时，原不等式可化为1<0，满足条件； 当a ≠0时，由ax2－ax ＋1<0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4， 综上可知，0≤a ≤4. 答案：D6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则( )A ．a <2B ．a >－12C ．－22<a <0D ．－12<a <0解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a >0，a <0，－2＋a <0，12＋a >0.解得－12<a <0.故选D. 答案：D7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.所以a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－a 2<12，f －a2⇒－1<a <0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f 12⇒－52≤a ≤－1.(如图3)综上①②③，a ≥－52.故选C.答案：C8．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧g，g－⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B.答案：B9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )， 又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)， 则x 1＝－2a ，x 2＝4a ， 由x 2－x 1＝6a ＝15，得a ＝52.答案：5211．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围；(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的取值范围． 解：(1)解法一：令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． 当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥2，所以a ≤53，与a >4矛盾，所以a 不存在．当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥2， －22－2≤a ≤22－2， 所以－4≤a ≤22－2.当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥2，所以a ≥－5，所以－5≤a <－4. 综上所述－5≤a ≤22－2.解法二：在x ∈[－2,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立⇔a (x －1)≥－x 2－1恒成立，当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤2时，a ≥－x 2－1x －1；当－2≤x <1时，a ≤－x 2－1x －1.接下来通过恒成立问题的等价转化，变成最值问题即可求解．(2)原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1>0，设g (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则g (a )在[－2,2]上恒大于0，故有⎩⎪⎨⎪⎧g －，g，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－1.所以x <－1或x >3.[能 力 提 升]1．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0成立的x 的范围．解：因为a·b ＝x 2＋x －x 2＝x ，所以m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1<0. ①当m ＝0时，不等式等价于x >1；②当m ≠0时，不等式等价于m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)<0.a ．m <0时，不等式等价于x >1或x <1m； b ．0<m <1时，不等式等价于1<x <1m；c ．m ＝1时，不等式等价于x ∈∅；d ．m >1时，不等式等价于1m<x <1.综上所述，原不等式成立的x 的范围为2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。

课时作业37 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：方法1：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法2：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．答案：A2．(2017·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1) 解析：∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.答案：A3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}． 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2. 所以a ＋b ＝－3，故选A. 答案：A4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．答案：D5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16. 所以每件销售价应为12元到16元之间． 答案：C6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.答案：B 二、填空题7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a，∴a <x <1a.答案：{x |a <x <1a}8．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围是________．解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0，∴－1<a <23. 答案：(－1，23)9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴－2<m <2. 综合①②，得m ∈(－2,2]． 答案：(－2,2]10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )．又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)．则x 1＝－2a ，x 2＝4a .由x 2－x 1＝6a ＝15得a ＝52.答案：52三、解答题11．(2017·池州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立，当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1 ＝ax ＋2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a . 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12. ∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 12．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k}，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解：(1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.1．当x >0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－1D ．－32解析：法1：当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立，当Δ＝a 2－4>0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4>0，－a2<0，解得a >2.综上得a ≥－2.所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立的实数a 的最小值是－2，故选A.法2：因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (x >0)恒成立，又x >0时，－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，所以只需a ≥－2，所以实数a 的最小值是－2.故选A. 答案：A2．(2017·河南郑州第一次质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8解析：作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b22，若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当2<x <4时，－8<f (x )<0，所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8，故选D.答案：D3．(2017·宿州模拟)若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． 解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1.所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。