20195.4_探索三角形全等的条件(2)教育生物
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两个全等三角形的条件
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在数学中,我们可以通过不同的条件来判断两个三角形是否全等。
下面我将介绍两个常见的全等三角形的条件。
一、SSS(边边边)全等条件
SSS全等条件是指当两个三角形的三条边分别相等时,可以判断这两个三角形是全等的。
具体来说,如果两个三角形的边长分别相等,那么这两个三角形就是全等的。
例如,我们有两个三角形,三边的边长分别是AB=BC=CA,而另一个三角形的三边的边长也分别是AB=BC=CA,那么我们就可以判断这两个三角形是全等的。
二、SAS(边角边)全等条件
SAS全等条件是指当两个三角形的一个边和两个夹角分别相等时,可以判断这两个三角形是全等的。
具体来说,如果两个三角形的一边长和两个夹角分别相等,那么这两个三角形就是全等的。
例如,我们有两个三角形,其中一个三角形的一边的边长为AB,两个夹角分别是∠BAC和∠ABC,而另一个三角形的一边的边长也是AB,两个夹角也分别是∠BAC和∠ABC,那么我们就可以判断这两个三角形是全等的。
总结:
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
判断两个三角形是否全等,可以使用SSS全等条件或SAS全等条件。
SSS全等条件是指当两个三角形的三条边分别相等时,可以判断这两个三角形是全等的。
SAS全等条件是指当两个三角形的一个边和两个夹角分别相等时,可以判断这两个三角形是全等的。
通过使用这两个全等三角形的条件,我们可以在解决一些几何问题时判断两个三角形是否全等,从而得到准确的结论。
全等三角形的性质在几何学中有着广泛的应用,对于我们理解和研究空间形状具有重要的意义。
三角形全等的条件·要点全析1.探索三角形全等的条件三角形有三条边,三个内角共六个基本元素,全等三角形的六个元素都分别对应相等.反过来,如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等.那么它们必定可以重合,根据定义,它们一定全等.但是,判定两个三角形全等真的需要六个条件吗?探索发现:两个三角形满足一个条件(一条边或一个内角相等)或两个条件都不能确定它们是否全等,而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等.2.三角形全等的条件一:“SSS ”或“边边边”(1)SSS :三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS ”.(2)书写格式:如图13-2-1.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,①⎪⎩⎪⎨⎧'''''',=,=,=C B BC C A AC B A AB ②∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS ).③(3)书写格式的步骤分三步:第一步:指出在哪两个三角形中.如上边的①,在△ABC 和△A ′B ′C ′中. 第二步:按条件中的边角顺序列出三个条件.如上边的②.第三步;写出结论,如上边的③,△ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS ).【说明】①第一步中,两个三角形之间的“和”不能写成“≌”,也不能取消.②第二步中,大括号内的三个条件的书写是有顺序的,必须与判定条件一致,并且注意边、角字母的对应.一般前一个三角形的边、角写在等号的左边,另一个三角形的对应边、角写在右边.③写结论时,注意对应顶点写在对应位置上,并在后面的括号内注明判定条件的简写,如“SSS ”或“边边边”.例如:如图13-2-2.已知AB =AC ,D 为BC 中点.试说明∠B =∠C 是否成立,为什么?解:∠B =∠C 成立.∵ D 为BC 中点,∴ BD =CD .在△ABD 和△ACD 中,∴ △ABD ≌△ACD (SSS ).∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).【说明】①在本例中使用了证明的格式.②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号,前一个“∴”,是由前面大括号内的三个条件得出的.后一个“∴”,是将前一个“∴”当成了“∵”,然后推出后一个“∴”,这里省略了一步:∵△ABD ≌△ACD .因此,今后在书写中要注意.3.三角形全等的条件二:“边角边”或“SAS ”(1)SAS :有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“SAS ”.(2)表达格式为在△ABC 和△DEF 中(图13-2-3)∴ △ABC ≌△DEF (SAS ).例如:如图13-2-4中,AD 、BC 相交于点O .OA =OD ,OB =OC ,那么AB =DC是否成立.解:∵ AD 、BC 相交于点O ,∴ ∠AOB =∠DOC (对顶角相等).在△AOB 和△DOC 中,∴ △AOB ≌△DOC (SAS ).∴ AB =DC【说明】本题中,书写三条件时,应该按边、角、边的顺序,将两边的夹角放在中间,用括号括起来;或者写成一行,也按边、角、边的顺序,将两边的夹角放在中间,再推出两个三角形全等.4.三角形全等的条件三:“角边角”或“ASA ”(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA ”.(2)表达格式:如图13-2-5,在△ABC 和△DEF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠,=,=,=DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF (AAS ).5.三角形全等的条件四:“角角边”或“AAS ”(1)有两角和一边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS ”.(2)表达格式,如图13-2-5,在△ABC 和△DEF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠,=,=,=EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF (AAS ).例如:如图13-2-6中,AB ∥CD ,AE ∥DF ,AB =CD .求证:AE =DF . 证明:∵ AB ∥CD ,∴ ∠ABC =∠DCB .∵ AE ∥DF ,∴ ∠AEB =∠DFC .在△ABE 和△DCF 中,∴ △ABE ≌△DCF (AAS ).∴ AE =DF .6.直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”或“HL ”(1)HL :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL ”.(2)表达格式:如图13-2-7,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,AB =AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中,∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL )(3)直角三角形是三角形中的一种特殊情况,因此,它也可以用一般三角形全等的条件.如两条直角边对应相等,可用“SAS ”,一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”.它的特殊条件就是“斜边、直角边”.7.“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中,上面已说过的有:三边的SSS ,两边一角的SAS 和一边两角的ASA ,AAS ,那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢?(1)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等,如图13-2-8,DE ∥BC ,则∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,∠A =∠A ,△ADE 与△ABC 有三角对应相等,但它们没有重合,所以不全等.(2)如图13-2-9,在△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等.也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.8.证明的意义和步骤(1)证明的意义证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程,简单地说,证明就是推理过程.(2)证明的步骤证明一个命题为正确的时候,其步骤如下:①弄清命题的条件和结论,画出图形.②根据条件,结合图形,写出已知.③根据结论,结合图形、写出求证.④写出证明过程.证明一个命题不正确的时候,只需举出一个反例即可.例如:若a 2=b 2,则a =b .这是一个错误命题,证明如下.证明:∵ (-5)2=52=25,而-5≠5.∴ 若a 2=b 2,则a =b ,是一个错误命题.9.证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中,经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题,如何分析条件与结论之间的关系,常用的分析方法有以下三种:(1)综合法就是从题目的已知条件入手,根据已学过的定义、定理、性质、公理等,逐步推出要判断的结论,有时也叫“由因导果法”.例如:如图13-2-10,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE ∥AB ,DF ∥AC ,分别交AC 、AB 于点E 、F .求证:BF =DE .分析:从已知条件到推出结论,其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE =∥=的中心是=∥△BFD ≌△DEC (ASA ) ⇒BF =DE (目标).以上这种由因导果的方法就是综合法.(2)分析法就是从要判断的结论出发,根据已学的定义、定理、公理、性质等,倒过来寻找能使结论成立的条件,这样一步步地递求,一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止,有时也叫“执果索因法”.如上题,用分析法的探索过程如下:BF =DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥=已知中点是=已知∥=AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B(3)分析—综合法在实际的思考过程中,往往需要使用这两种方法,先从结论出发,想一想需要什么条件,层层逆推,当思维遇到障碍时,再从条件出发,顺推几步,看可以得出什么结论,从而两边凑,直至沟通“已知”和“结论”的两个方面.即:例如:如图13-2-11,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,E 是AD 上任一点,连接EB 、EC ,求证:EB =EC .分析:本题比较复杂,可用上述的三个方法均可,现在以分析一综合法为例,说明分析过程.先用综合:由因导果.⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB =为中心==△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠.=,=CDA BDA CAD BAD再用分析:执果索因.EB =EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知==已知=AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD . 证明:∵ D 是BC 的中心,∴ BD =CD .在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧(公共边),=(已证),=(已知),=AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD (SSS ).∴ ∠BAD =∠CAD .在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠(公共边)=(已证),=(已知),=AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE (SAS ).∴ BE =CE (全等三角形的对应边相等).【说明】①本题证明过程中,后一次三角形全等,也可选△BDE ≌△CDE ,方法同上.②本题两次用到全等三角形,在分析中应找准三角形,理清思路.10.判定两个三角形全等方法的选择在学过本节内容之后,经常会遇到判定两条线段相等,两个角相等的问题,而要判断它们相等,就要考虑选择三角形全等.如何选择三角形呢?可考虑以下四个方面:(1)可以从判断的结论(线段或角)出发,寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中,就试着判定两个三角形全等.(2)可以从题目的已知条件出发,看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等.(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后判定它们全等.(4)如果以上方法都行不通,可考虑添加辅助线的办法,构造三角形全等. 例如:如图13-2-12,已知AB =AC ,BD =CD ,试判断∠B 与∠C 的关系,并说明理由.分析:要判断∠B 与∠C 的关系,先看∠B 与∠C 是否在两个全等三角形中,而此题没有两个全等三角形,只有一个四边形,目前由已知条件四边形ABDC ,要创造三角形,可以连接AD 或BC ,那么连接谁更合适呢?若连接AD ,则∠B 、∠C 分在左、右两个三角形中,若全等,则∠B =∠C ,事实上,∠B =∠C ,若连接BC ,则∠B 、∠C 分在上、下两个三角形中,根据目前所学知识还不能确定∠B =∠C 因此,连接AD 较为合适.解:∠B =∠C连接AD ,在△ABD 和△ACD 中,AB =AC ,BD =CD ,AD =AD (公共边),∴ △ABD ≌△ACD (SSS ).∴ ∠B =∠C12.探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时,有时题目所给条件不足或不明显,还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件,还有的需加上一些辅助线,为解题铺路搭桥,起到很好的辅助作用,这些辅助线常见的有以下几种:(1)连接图形中的已知点,构造全等形.例如:如图13-2-13,已知AC 、BD 相交于O 点,且AB =CD ,AC =BD ,判断∠A 与∠D 的关系,并说明理由.解:∠A =∠D .连接BC ,在△ABC 与△DCB 中,AB =DC ,AC =DB ,BC =CB ,则△ABC ≌△DCB (SSS ).因此∠A =∠D .(2)取线段中点构造全等三角形.例如:如图13-2-14,已知在梯形ABCD 中,AB =DC ,∠A =∠D ,试判断∠ABC 与∠DCB 的关系,并说明理由.解:∠ABC =∠DCB .取AD 的中点N ,取月C 的中点M .连接MN 、BN 、CN ,则AN =DN ,BM =CM ,在△ABN 和△DCN 中,⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ===△ABN ≌△DCN , 则∠ABN =∠DCN ,NB =NC (全等三角形的对应角、对应边相等). 在△BMN 和△CMN 中,⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CMBM CNBN ===△BMN ≌△CMN ,则∠MBN =∠MCN (全等三角形的对应角相等).那么∠ABN +∠MBN =∠DCN +∠MCN .即∠ABC =∠DCB .【说明】在本题中,辅助线起到了很好的桥梁作用,为解题创造了条件.(3)有角平分线时,常在角两边截相等的线段,创造全等三角形.如图13-2-15,OC 平分∠AOB ,在OC 上任取一点P ,在OA 、OB 上截取OM =ON ,连接PM 、PN ,那么,PM =PN .事实上,在△MOP 和△NOP 中,OM =ON ,∠MOP =∠NOP ,OP =OP ,则△MOP ≌△NOP (SSS ).因此有PM =PN .(4)三角形中有中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形.如图13-2-16,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,若延长AD 至E ,使AD =DE ,连接B E ,在△ACD 和△EBD 中,BD =CD ,∠1=∠2,AD =ED ,则△ACD ≌△EBD ,因此BE =AC13.利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途,在用它解决实际问题时可分以下几个步骤:(1)先明确实际问题与哪些知识有关,确定用哪些知识来解决.(2)根据实际问题画出图形.(3)结合图形写出已知和结论.(4)分析已知,找出解决问题的途径.(5)写出解决问题的过程(或探索过程).例如:如图13-2-17,要测河两岸相对的两点A 、B 的距离,可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D 使CD =BC ,再定出BF 的垂线DE ,使E 、C 、A 三点在一条直线上,这时测得DE 的长就是AB 的长.你能用数学原理说明吗?分析:这是一个实际应用题,应先把其转化为数学问题,然后再解答. 解:已知:AB ⊥BF ,DE ⊥BF ,A 、C 、E 三点在一条直线上,BC =DC . 判断AB 与DE 是否相等?在△ABC 和△DEC 中,由于AB ⊥BF ,DE ⊥BF ,则∠ABC =∠EDC =90°,又A 、C 、E 三点在一条直线上,则∠ACB =∠ECD (对顶角).又BC =CD ,则ABC ≌△EDC (ASA ),因此AB =DE .。
12.2.三角形全等的条件
一、三角形全等的条件
三边对应相等的两三角形全等(SSS)
二三角形全等的条件(二)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
1.三角形全等的
如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,
∠AOB=∠COD,
BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB =∠COD,OB=OD,所以点B
与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
(此外,还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数,也将与△ABD重合.图1( 2)中的△ABC绕着点A旋转,使AB与AE重合,再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°.两个三角形也可重合) 由此,我们得到启发:判定两个三角形全等,不需要三条边
对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们
猜想:如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两
个三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
三三角形全等条件(三)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
四三角形全等条件
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
四三角形的全等条件(四)
在直角三角形中三角形的一天直角边和一条斜边相等记为HL(仅用在直角三角形中)。