圆的性质复习学案

圆的基本性质复习课----垂径定理嘉善四中吴硕业〖教学目标〗◆1、使学生进一步掌握和理解垂径定理及其推论。

运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．◆2、培养学生观察、分析的能力，会运用垂径定理解决与圆相关的问题，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．并通过学习了解中考考点要求。

〖教学重点与难点〗◆教学重点：垂径定理及其推论的运用。

构建直角三角形就解决圆中的计算问题。

◆教学难点：圆当中涉及的垂径定理的中考题较复杂并涉及到一些代数及其他方面的知识，如10年嘉兴中考解答题。

〖教学过程〗一、复习引入：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

引导学生回顾得出圆的垂径定理.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦（教师对垂径定理进行初步小结概括）辨一辨（1）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.二、例题讲解：例1．如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝8，PO＝13，求⊙O的半径。

注意：①关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。

②弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

练一练：(09福建) 已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，∠APD = 45 ，AP = 5，PB = 1。

求：CD的长。

例2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的距离是___________.练一练：(03辽宁) 在半径为1的⊙O中，弦AB，AC分别是和则∠BAC的度数为 .例3．（2011南充市）在圆柱形油槽内装有一些油。

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

第二十四章圆复习课学习目标通过复习,进一步掌握圆的概念和性质,以及有关的计算公式,并能运用所学的知识解决问题.学习过程设计一、整理本章知识结构二、本章知识点概括及应用(一)圆的有关概念1.圆(两种定义)、圆心、半径;2.圆的确定条件:(1)圆心确定圆的,半径确定圆的;(2)不在同一直线上的个点确定一个圆.3.弦、直径;4.圆弧(弧)、半圆、优弧、劣弧;5.等圆、等弧、同心圆;6.圆心角、圆周角;7.圆内接多边形、多边形的外接圆;8.割线、切线、切点、切线长;9.反证法:假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.(二)圆的基本性质1.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,任何一条所在的直线都是它的对称轴.(2)圆是中心对称图形,是对称中心.2.圆的弦、弧、直径的关系(1)垂径定理:垂直于弦的直径这条弦,并且平分弦所对的.(2)平分弦(不是直径)的直径于弦,并且平分弦所对的.[引申]一条直线若具有:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,这五个性质中的任何两条,必具有其余三条性质,即“知二推三”.(注意:具有①和③时,应除去弦为直径的情况)【例1】☉O的半径为10 cm,弦AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则AB,CD间的距离为.3.弧、弦、圆心角的关系(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也.(2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦.(3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的弧.归纳:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量.【例2】 (2011某某某某)如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC 的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.4.圆周角的性质(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角,都等于这条弧所对的圆心角的.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧.(3)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.【例3】(2012某某某某)如图,点B,A,C,D在☉O上,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC=°.(三)点与圆的位置关系设☉O的半径为r,OP=d,则:点P在圆内⇔dr;点P在圆上⇔dr;点P在圆外⇔dr.【例4】有两个同心圆,半径分别为R和r,P是圆环内一点,则OP的取值X围是.(四)直线与圆的位置关系设☉O的半径为r,圆心O到l的距离为d,则:直线l与☉O相交⇔dr⇔直线和圆有公共点;直线l与☉O相切⇔dr⇔直线和圆只有公共点;直线l与☉O相离⇔dr⇔直线和圆公共点.圆的切线1.定义:和圆只有公共点的直线是圆的切线.2.判定(1). (2).(3).【例5】 (2012某某某某)已知☉O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l 与☉O的位置关系是()3.性质(1)圆的圆心到切线的距离等于.(2)定理:圆的切线于过切点的半径.(3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长,这一点和圆心的连线两条切线的夹角.【例6】 (2012某某某某)如图,已知点E在直角△ABC的斜边AB上,以AE为直径的☉O 与直角边BC相切于点D.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若BE=2,BD=4,求☉O的半径.4.圆与三角形(1)三角形的外接圆①定义:经过三角形的的圆叫做三角形的外接圆.②距离相等;c.外心的位置:锐角三角形外心在三角形,直角三角形的外心恰好是,钝角三角形外心在.(2)三角形的内切圆①定义:与三角形都相切的圆叫做三角形的内切圆.②.【例7】 (1)选择题:下列命题正确的是()C.等边三角形的内心、外心重合(2)一个三角形,它的周长为30 cm,它的内切圆的半径为 2 cm,则这个三角形的面积为.(五)正多边形和圆1.正多边形的定义,的多边形叫做正多边形,其的圆心叫做这个正多边形的中心.2.正多边形与圆的关系把圆分成n(n≥3)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形,这时圆叫做正n边形的外接圆.3.正多边形的有关计算(11个量)边数n,内角和,每个内角度数,外角和,每个外角度数,中心角αn,边长a n,半径R n,边心).距r n,周长l n,面积S n(S S=12S S S S4.正多边形的画法画正多边形的步骤:首先画出符合要求的;然后用量角器或用尺规;最后顺次连接各等分点.如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形.注意减少累积误差.【例8】 (2010某某省某某市)如图,正六边形螺帽的边长是2 cm,这个扳手的开口a的值应是()√3 cm B.√3 cmcm D.1 cmC.2√33(六)弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式弧长公式:扇形面积公式:圆锥的侧面积和全面积公式:【例9】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2,若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得的几何体的表面积为()√2π√2π(七)有关作图怎样把一个破镜重圆?【例10】如图,AB是☉O的任意一条弦,OC⊥AB,垂足为P,若CP=7 cm,AB=28 cm,你能帮老师求出这面镜子的半径吗?参考答案二、本章知识点概括及应用(一)2.(1)位置大小;(2)三(二)1.(1)直径(2)圆心2.(1)平分两条弧(2)垂直两条弧【例1】 2 cm或14 cm3.(1)相等相等(2)相等相等(3)相等相等相等【例2】 (1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,∴SS⏜.∴BD=CD.⏜=SS(2)解:B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由:由(1)知,∵BD=CD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE, ∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.又∵BD=CD,∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.4.(1)相等一半(2)一定相等(3)直角直径【例3】 25(三)< = >【例4】r<OP<R(四)< 2= 1> 没有1.一个2.(1)定义法(2)点线距离法(3)切线的判定定理【例5】 D3.(1)半径(2)垂直(3)相等平分【例6】 (1)证明:连接OD,∵BC与☉O相切于点D,∴OD⊥BC.又∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴∠ODA=∠DAC.而OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠DAC,即AD平分∠BAC.(2)解:设圆的半径为R,在Rt△BOD中,BO2=BD2+OD2, ∵BE=2,BD=4,∴(BE+OE)2=BD2+OD2,即(2+R)2=42+R2,解得R=3,故☉O的半径为3.4.(1)①三个顶点②斜边的中点外部(2)①三边②【例7】 (1)C(2)30 cm2(五)1.各边相等各角相等外接圆4.圆等分圆周【例8】 A(六)l弧长=SπS180S扇形=SπS2360=12lR S圆锥侧=πrl S圆锥全=πr(r+l)【例9】 D(七)作任意两条弦的垂直平分线,交点即为圆心.确定好圆心后,就可使破镜重圆.【例10】综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径.。

24．1圆的相关性质24．1.1圆1．认识圆，理解圆的实质属性．2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、齐心圆、等圆、等弧等与圆相关的看法，并认识它们之间的差别和联系．3．利用圆的相关看法进行简单的证明和计算．一、情境导入在我们平时生活中经常能够看到有很多圆形物体，比如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，如何画出一个圆呢？木匠师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？二、合作研究研究点：圆的相关看法【种类一】圆的相关看法的理解有以下五个说法：①半径确立了，圆就确立了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不必定是半圆；⑤随意一条直径都是圆的对称轴．此中错误的说法个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4分析：依据圆、直径、弦、半圆等看法来判断．半径确立了，只好说明圆的大小确立了，可是地点没有确立；直径是弦，但弦不必定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，因此①③⑤的说法是错误的．应选 C.方法总结：对称轴是直线，不可以说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．【种类二】圆中相关线段的证明如下图， OA、OB是⊙ O的半径，点C、 D分别为 OA、OB的中点，求证： AD＝ BC.分析：先发掘隐含的“ 同圆的半径相等” 、“ 公共角” 两个条件，再研究证明△≌△BOC 的第三个条件，进而可证出△≌△，依据全等三角形对应边相等得出AOD AOD BOC结论．1证明：∵ OA、OB是⊙ O的半径，∴ OA＝ OB.∵点 C、D分别为 OA、OB的中点，∴ OC＝2OA，1OD＝2OB，∴ OC＝ OD.又∵∠ O＝∠ O，∴△ AOD≌△ BOC(SAS)，∴ BC＝ AD.方法总结：“同圆的半径相等”、“ 公共角” 、“ 直径是半径的 2 倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充足利用图形的直观性发掘出这些隐含的条件，进而使问题水到渠成．【种类三】圆中相关角的计算如下图， AB 是⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦， AB，CD的延伸线交于点E.已知 AB＝ 2DE，∠E＝ 18°，求∠AOC的度数．分析：要求∠ AOC的度数，由图可知∠AOC＝∠ C＋∠ E，故只要求出∠ C的度数，而由AB＝2DE知 DE与⊙O的半径相等，进而想到连结OD结构等腰△ ODE和等腰△OCD.解：连结 OD，∵ AB是⊙ O的直径， OC，OD是⊙ O的半径， AB＝2DE，∴ OD＝ DE，∴∠ DOE ＝∠ E＝18°，∴∠ ODC＝∠ DOE＋∠ E＝36°.∵ OC＝ OD，∴∠ C＝∠ ODC＝36°，∠ AOC＝∠ C＋∠ E＝36°＋18°＝54°.三、板书设计教课过程中，重申学生自己着手画圆，认识圆形成的过程，同时谈论、沟通各自觉现的圆的相关的性质 .24.1圆的相关性质圆教课目的1、知识与技术：本节课使学生理解圆的定义；2、过程与方法：掌握点和圆的三种地点关系．使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数目关系判断点和圆的地点关系；3、感情态度与价值观：初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．使学生真实体验到数学知识根源于实践，反过来指导实践这一理论教课要点：点和圆的三种地点关系教课难点：用会合的看法定义圆，学生不简单理解为何一定知足两个条件．教课过程：一、新课引入：同学们，在小学我们已经学习了圆的相关知识，小学学习圆不过一种感性认识，知道一个图形是圆，没有严格的定义什么叫做圆．今日我们持续学习圆，就是把感性认识上涨为理性认识，这就要进一步来学习圆的定义．第一点题，给学生一种看法，这样能够激发学生的求知欲，抓住学生的注意力．让学生经过察看章前图，认识到圆从古到现在，在实质生活中，在工农业生产中圆的应用特别宽泛，作用特别大．圆的性质在本章中处于特别重要的地位．同时也调换起学生踊跃主动地参加教课活动中．二、新课解说：同学们请察看幻灯片上的图片．出示线段 OA，演示将线段 OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形是一个什么图形，进而得出圆的定义．定义：在同一平面内，线段OA绕着它的固定端点 O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆．总结概括：圆心、半径的定义．.1．圆上各点到定点 ( 圆心 O)的距离都等于定长 ( 半径 r) ；.2．到定点的距离等于定长的点都在圆上．知足上述A两个条件，我们能够把圆当作是一个会合．圆是到定点的距离等于定长的点的会合．接着为了研究点和圆的地点关系，教师不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上画一个圆．而后发问学生回答这个圆把平面分红几个部分？有的同学说两部分，有的同学说三部分，究竟是几个部分呢？教师指引学生互相谈论，最后经过学生的充足感知，获得正确的结论．在进一步揭露圆内部分、圆外面分也能够当作是一个会合，让学生经过观察、比较，概括出：圆的内部能够看作是到圆心的距离小于半径的点的会合．圆的外面能够看作是到圆心的距离大于半径的点的会合．若设圆 O的半径为 r ，点 O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的地点关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的地点关系能够获得 d 与 r 之间的关系，由 d 与 r 的数目关系也能够判断点和圆的地点关系．这时板书以下关系式：点在圆内d＜ r 点在圆上d＝ r C...BO点在圆外d＞ r. A 这时教师讲清“”符号的组哟用和圆的表示方法.以点 O为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆O”．教师这样做的目的是把点和圆当作是运动变化获得的三种状况，这样便于学生理解．接下来为了稳固定义，师生共同剖析例1．例 1求证矩形四个极点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．关于这个问题不是教师讲怎么做，而是指引学生剖析这个命题的题设和结论，而后启发学生思虑剖析这一问题的证明思路．已知：如图 7-1矩形 ABCD的对角线 AC和 BD订交于点 O．求证： A、B、 C、 D4个点在以O为圆心， OA为半径的圆上．证明：A、 B、C、 D4 个点在以O为圆心， OA为半径的圆上．因为学生第一次运用推出符号“”证明，命题，因此教师：并做好示范作用．稳固练习：教材P80 中 1、 2 指引学生答．三、讲堂小结：本节课要从三方面做小结，从知识内容方面学习了什么内容？从方法上学到了什么方法？学到了什么新定义符号？1．从知识方面主要学习了圆的定义，点和圆的三种地点关系．2．从方法上主要学习了利用点到圆的距离和圆的半径的数目关系判断点和圆的地点关系，会利用圆的定义证明四个点在同一个圆上．3. 用推出“”符号证明命题的方法.这样小结的目的，使学生能够把学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握．四、部署作业：课时作业。

圆复习教学案教案教学目标:1.了解圆的概念和性质。

2.掌握圆的常见形式及其转换关系。

3.能够判断圆的位置关系和相交关系。

4.能够应用圆的相关知识解决实际问题。

教学重点:1.理解圆的概念和性质。

2.掌握圆的常见形式及其转换关系。

3.判断圆的位置关系和相交关系。

4.应用圆的相关知识解决实际问题。

教学难点:1.掌握圆的相关性质和定理。

2.能够灵活应用圆的性质解决复杂问题。

教学准备:1.教学课件和教学工具。

2.习题和教学素材。

3.模型和实物。

教学过程:一、导入（5分钟）1.引入圆的概念，通过展示一些圆的实物或图片，让学生观察并回答：这些物体或图片中有什么是相同的？2.通过提问引入圆的性质：圆上的任意两点，可以确定唯一一条弧；圆心到弧上任意一点的线段，称为半径；圆心到圆上任意一点的线段的长度，称为半径。

二、知识讲授（25分钟）1.讲解圆的相关定义和性质。

2.讲解圆的常见形式及其转换关系：标准方程、一般方程、参数方程等。

3.讲解圆的位置关系和相交关系：相离、相切、相交等。

4.讲解圆的相关定理：直径定理、弦心定理、切线性质等。

三、示范练习（20分钟）1.通过一些基础的练习题，带领学生巩固所学的知识。

2.将复杂问题分解为多个小问题，逐步引导学生解决问题。

四、合作探究（20分钟）1.小组合作完成一些综合性的问题，让学生在合作中发现问题和解决问题的方法。

2.激发学生的思考，引导他们运用所学的知识解决实际问题。

五、归纳总结（10分钟）1.总结圆的定义、性质和定理。

2.总结圆的常见形式及其转换关系。

3.总结圆的位置关系和相交关系。

六、拓展延伸（10分钟）1.运用所学知识解决一些拓展性的问题，提高学生的综合运用能力。

2.介绍一些拓展性的知识，如圆的切线、切点等。

七、作业布置（5分钟）1.布置一些课后作业，要求学生运用所学的知识解决问题。

2.鼓励学生通过网络、图书馆等自主学习和探究，扩展知识面。

教学反思:本节课通过讲解和练习相结合的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。

第四章图形的性质第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．■知识点二：垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．■知识点三：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．■知识点四：圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．■考点1.圆的有关概念◇典例：（2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ 为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________■考点2.垂径定理及其推论◇典例：（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理，勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．◆变式训练1.（2018年山东省烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．2.（2018年浙江省绍兴市）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）■考点3. 圆心角、弧、弦的关系◇典例（2017•牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD ≌△COE，由此可得出结论．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA■考点4. 圆周角定理及其推论◇典例：1.（2018 年广西梧州市）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=__________度．【考点】圆周角定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．解：∵OA=2，OB=2，AB=2，∴OA 2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．◆变式训练1.（2018年四川省南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°2.（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°一、选择题1.（2018年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°2.（2018年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A．B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°3.（2018年浙江省衢州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°4.（2018年湖北省襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C． D．25.（2018年四川省甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD二、填空题6.（2018年广东省）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.（2018年青海省）如图，A．B、C是错误!未找到引用源。

圆的认识学案【学习目标】1．认识圆，掌握圆的特征，了解圆的各部分名称，会用字母表示各部分名称。

2．掌握用圆规画圆的方法，会用圆规画圆。

3．培养自己的观察、分析、综合、概括及动手操作能力。

【学习重点】通过动手操作，理解直径与半径的关系，认识圆的特征。

会用圆规画圆。

【学习难点】认识圆的特征。

【学具准备】圆形纸片、圆形物体、直尺、圆规、线、剪刀等。

【学习流程】一、温故知新。

1．回忆：我们以前学过的平面图形有（）、（）、（）、（）、（）等，它们都是由（）围成的。

2．想一想：圆这种平面图形，它是由（）围成的。

3．举例说明：生活中哪些地方或哪些物体上有圆形？请写下来。

二、学海探秘。

任务（一）：认识圆各部分名称及圆的特征。

按课本例2操作圆形纸片，自学本页最后一段，完成下列题目。

1．想办法在纸上画一个圆。

想一想：圆这种平面图形，它是由（）围成的。

2．把在纸上画好的圆剪下来，按照例题操作圆形纸片，结合发现把下面的内容补充完整。

这些折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做（），一般用字母（）表示；连接（）和（）的线段叫做（），一般用字母（）表示；通过（）并且（）的线段叫做（），一般用字母（）表示。

3．在圆形纸片上描出圆心、半径、直径并用字母表示出来。

4．量一量，比一比，做一做：（利用圆形纸片学习）。

①在同一个圆内，有多少条半径，这些半径有什么特点？直径呢？②在同一个圆内，直径和半径的长度有什么关系？5．我会填。

①r=3.2cm ②d=2.5m ③r=1.9dm ④d=9cmd= r= d= r=6．我是小裁判。

①在同一个圆内只可以画100条直径。

（）②所有的圆的直径都相等。

（）③两端都在圆上的线段叫做直径。

（）④等圆的半径都相等。

（）任务（二）：用圆规画圆。

1．自学教材，用圆规画两个大小不同的圆（画在下面的空白处），然后组内交流画法。

第一步：确定（），张开圆规两脚，定好两脚间的距离作为（）；第二步：再点个点确定（），把有（）的一只脚固定在这一点上；第三步：让装有（）的一只脚旋转一周，就画出一个圆；第四步：用字母标示出（）、（）和（）。

初三数学内需学案33—圆的性质习题课（5.1---5.3）（ ）班姓名一、选择题：1.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，AB 为直径，AC=BC ， 则∠A 的度数为（ ）A.30°B.40°C.45°D.60°2．下列说法中，正确的是 ( )A. 相等的圆心角所对的弧相等 B ．90°的角所对的弦是直径C. 等弧所对的弦相等 D ．圆的切线垂直于半径3．下列四边形的各边中点一定能够在同一个圆上的是 ( )A. 任意四边形 B ．等腰梯形 C. 矩形 D ．菱形4、（2010甘肃兰州） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒6．如图，AB 是⊙O 的弦， OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，若⊙O 的半径为10，CD ＝4，那么AB 的长为 （ ）A ．8B ．12C ．16D ．207．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20º，则∠B 的度数是（ ）A ．40ºB ．60ºC ．70ºD ．80º8、如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的上，若OA =1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为 （ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 32π 二、填空：9、如图，∠BOD 的度数为 __________°10、（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P 在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）． 11、如图，∠ACB= __________° （点B 处为30°点A 处为84°）第6题 第7题 第8题E F O B C 21三、解答题：12．如图，在☉O 中，2AB CD =，试比较弦AB 与2CD 的数量关系，并说明你的理由．13．已知⊙O 的半径为30 cm ，弦AB ＝40 cm ．(1)求圆心O 到弦AB 的距离；(2)如果弦AB 的两个端点在圆周上滑动，那么弦AB中点形成什么样的图形?14．如图，∠C=900，OC 与AB 相交于点D ，AC=9，CB=12．求AD 的长．15．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2 cm ，EB=10 cm ，∠DEB=60o ，求CD 的长．16．已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．17．如图，☉O是 ABC的外接圆，CD是AB边上的高．求证：∠ACO=∠BCD。

圆⑴圆的定义及相关基本概念一、基本概念1、圆的定义⑴运动观点：________________________________________________________；图形：其中，固定的端点O 叫做_________，线段OA 叫做________，同一个圆（等圆）的半径__________，圆的记法__________，读作__________，圆心确定圆的________，半径确定圆的________； 设圆O 的半径为r ，则圆的周长C ⊙O =_________，圆的面积S ⊙O =____________；⑵集合观点：________________________________________________________；其中，定点叫做_________，定长叫做__________，圆上的点到圆心的距离等于_________；⑶点的轨迹 定义______________________________________________________；点的轨迹的几种基本类型①到定点距离等于定长的点的轨迹是_____________________________________________________；②到线段两段端点距离相等的点的轨迹是_________________________________________________；③到角两边距离相等的点的轨迹是_______________________________________________________；④到直线l 的距离等于定长d 的点的轨迹是_______________________________________________；⑤到两条平行线距离相等的点的轨迹是___________________________________________________；⑷拓展：平面上点与圆的位置关系点P 和圆心的距离d 与圆的半径r 决定点与圆的位置关系①d =r ⟺___________________； ②d >r ⟺___________________；③d <r ⟺___________________；练习1已知⊙O 的半径r =2cm ，若点P 满足下列条件，试判断点P 与⊙O 的位置关系；①若PO=1cm ，则___________________；②若PO=2cm ，则___________________；③若PO=3cm ，则___________________；练习2已知线段AB=4cm ，画图说明满足下列条件的点的轨迹（集合）；①和点A 的距离等于3cm 的点的轨迹；②和点B 的距离等于3cm 的点的轨迹；③和点A 、B 的距离都等于3cm 的点的轨迹；④和点A 、B 的距离都小于3cm 的点的轨迹；2、圆中的基本元素⑴弦______________________，经过圆心的弦叫做_________，公理⑵弦心距________________，圆心角___________________________；⑶弧_____________________，分类{半圆________________，表示方法_________________；优弧________________，表示方法_________________；劣弧________________，表示方法_________________；⑷等圆___________________，同心圆_________________，等弧______________________⑸弓形________________________，弓形面积的计算方法_____________________________；3、例1 求证：直径是圆中最长的弦； 例2求证：直角三角形三顶点在同一个圆上；课后练习⑴1、 判断下列说法是否正确；①弧长相等的弧是等弧；（ ）②等于半径两倍的线段是直径；（ ）③直径是弦；（ ）④弦是直径；（ ）⑤优弧一定比劣弧长；（ ）⑥面积相等的两圆是等圆；（ ）⑦经过圆内的一定点可以作无数条弦；（ ）⑧经过圆内一定点可以作无数条直径；（ ）2、如图，已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ；①以点A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，则B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？②若以点A 为圆心的⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？3、已知：菱形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四点在以O 为圆心的同一个圆上；4、已知，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E 、F 为垂足，求证：A 、E 、C 、F 在同一个圆上；5、如图，在⊙O 中，①半径有___________________________； ②弦有_____________________________；③优弧有___________________________；④劣弧有___________________________；6、点P 与⊙O 上的各点的连线段中，最长是8cm ，最短是2cm ，则⊙O 的半径为___________；7、点P 是⊙O 内一点，且圆的半径r =5cm ，OP=2cm ，则点P 与圆上的点的连线段中最长的线段长为_________，最短的线段长为_________；8、已知⊙O 的半径r =10cm ，圆心O 到直线l 的距离OM=8cm ，直线l 上有一点P ，且PM=6cm ，则点P 与⊙O 的位置关系为_________________，OP=_________cm ，S ∆OPM =____________，sin∠OPM =___________；9、试求满足下列条件的动点P(x ，y)满足的方程或函数关系式；①动点P(x ，y)到定点A(1，2)，B(−1，3)的距离相等； ②动点P(x ，y)到定点A(1，2)的距离等于定长3；③动点P(x ，y)到定点A(1，2)的距离等于动点P(x ，y)到直线y =−1的距离；AB。

复习课圆中垂直弦问题自主学习单课题圆中垂直弦问题一、学习要求：（1）复习与圆有关的一些性质。

（2）掌握一类教特殊而有规律的几何图形及变式，培养解决问题的能力。

二、学习重点：圆中有关性质及解决几何证明问题的思考方法。

三、学习难点：如何从已知条件中寻找解决问题的方法。

四、学习时间：一课时五、学习过程：问题提出：已知：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E ,BD=6，AC=8，求圆的半径。

探究一：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，探究∠AOC与∠BOD的大小关系探究二：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，讨论AC、CB、BD、DA、半径R之间的大小关系。

探究三：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，AB=a，CD=b，求四边形ACBD的面积。

探究四：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，过E作AC的垂线交AC于T，交DB于S，讨论SE、SD、SB三条线段的大小关系。

（反之，结论成立吗？）探究五：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，讨论OG与CB的大小关系。

应用：一、解决“问题提出”中的问题；二、、已知：△ABC内接于⊙O ，高AD 、BE交与点G ,AD的延长线交⊙O与点F ,求证：DG = DF. 三、如图，⊙O中，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，O F⊥BC，AD=BC,求证：四边形OFEG为菱形。

拓展探究六：基本条件：ΔABC 内接于⊙O ，AD为BC边上的高，AE为⊙O的直径，基本结论：AB•AC =AE•AD（AB•AC =h •2R）课后练习：如图所示，ABC∆为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD AB⊥于D，设AD a=，BD=b．（1）分别用,a b表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．●归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+的大小关系是：____________________．●实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．。