下载文档原格式
行程问题的解题技巧和方法
行程问题指的是计算一个人或物体在一段时间内的移动距离问题。
这类问题中，我们通常会遇到很多不同的变量，包括起点和终点位置、速度、时间等等。
因此，解决这类问题需要一些特定的技巧和方法。
以下是一些解决行程问题的技巧和方法：
1. 确定问题所需的变量
在解决行程问题之前，我们需要先确定问题所涉及的所有变量。
例如，起点和终点位置、速度、时间等。
通过确定这些变量，我们可以更好地规划解题过程，避免出现遗漏或错误。
2. 使用单位转换
在行程问题中，我们通常需要涉及到不同的单位，例如英里、千米、小时、分钟等等。
为了更好地计算问题，我们需要将所有的单位转换成相同的单位。
例如，将小时转换成分钟、将英里转换成千米等等。
3. 利用公式计算
在行程问题中，有很多公式可以用来计算距离、速度和时间等。
例如，速度等于距离除以时间（v=d/t），距离等于速度乘以时间（d=v*t）等等。
通过利用这些公式，我们可以更快速地计算出所需的答案。
4. 注意时间和速度的关系
在行程问题中，时间和速度是密切相关的。
当速度增加时，时间会减少，距离也会相应地减少。
因此，在解决行程问题时，我们需要注意时间和速度的关系，并确保计算过程中这两个变量的一致性。
总之，解决行程问题需要一些具体的技巧和方法，包括确定变量、使用单位转换、利用公式计算、注意时间和速度的关系等等。
只有通过不断练习和实践，我们才能更好地掌握这些技巧和方法，并在实际问题中得到更好的应用。
第十九讲火车行程进阶上一讲中我们已经学习了火车行程中的火车过桥、火车过人、火车过车这三种基本类型．解决火车行程问题，最重要的是要学会画图，将火车行程过程转化为最后对齐的两个位置的相遇或追及过程．接下来，我们来介绍较复杂的火车行程问题．我们已经学过了火车与火车的相遇与追及，追及问题一般是指两列火车从开始追上到完全超过所经历的过程．接下来看两类特殊的火车与火车的追及问题，齐头行进或齐尾行进．始末乙车乙车始甲车甲车①齐头并进始末乙车乙车甲车甲车始②齐尾并进与之前分析过程一样，首先找到最后对齐的部位，并找到其初始位置，将火车行程过程转化为甲车尾与乙车头的追及过程，可以总结如下：齐头并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为快车车长．齐尾并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为慢车车长．例题1（1）现有D字头动车和T字头特快同时同向齐头行进，动车每秒行60米，特快每秒行40米，经过8秒后动车超过特快．请问：D字头动车车长多少米？（2）现有D字头动车和T字头特快车尾对齐，同时同向行进，动车每秒行60米，特快每秒行40米，经过10秒后动车超过特快．请问：T字头特快车车长多少米？「分析」题（1）中，火车从齐头开始出发，到超过为止，快车车长（D字头动车车长）即为路程差，所以求路程差即可．练习1（1）现有两列火车，如果这两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行9米，行10秒后快车超过慢车．请问：快车车长多少米？（2）现有两列火车，快车每秒行20米，慢车每秒行9米，如果这两列火车车尾对齐，同时同向行进，则15秒后快车超过慢车．请问：慢车车长是多少米？．在现实生活中，有很多行程问题都会涉及到运动对象本身的长度，比如队列、队伍等等．下面我们看一下另外一类比较特殊的火车行程——队列行程问题．这类问题主要包含两种基本类型（队伍是匀速前进的）：“人从队头走到队尾”与“人从队尾走到队头”① 人从队头走到队尾：始始行人队伍末从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的相遇过程，队列与行人的路程和即为队列长度．② 人从队尾跑到队头：行人始末末队伍从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的追及过程，只不过，这里的行人要比“火车”还要快，行人与队列的路程差即为队列长度．例题 2某解放军队伍长 450 米，以每秒 2 米的速度行进．一名战士以每秒 3 米的速度从排尾跑到排头需要多长时间？然后从排头返回排尾，又需要多少时间？「分析」从排尾到排头，即为战士与队伍的追及过程，要计算时间，就需要找到路程差与速 度差．练习 2某学校组织学生去春游，队伍长 540 米，并以每秒 2 米的速度前进，一名学生以每秒 4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用多少分钟？在之前学习的盈亏、和差倍等应用题中，我们用到了比较的方法．在行程问题中，往往也会应用到比较的思想．例题3一列火车完全通过460米长的隧道用30秒，以同样的速度完全通过410米的隧道用28秒．请问：这列火车的速度是每秒多少米？「分析」本题包含两个“火车通过桥”的过程，一一分析，可以计算出什么吗？不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度．练习3一列客车完全通过530米长的桥用了50秒，以同样速度完全通过380米长的山洞用了40秒．请问：这列客车的速度是每秒多少米？火车行驶的过程中，火车行驶的距离只需要看火车上的某一个点即可，可以是火车头或者火车尾，当然，也可以是火车的某一个窗户．对于坐在火车某个窗户旁边的人来说，他的速度其实就是火车前进的速度．接下来，我们分析一下火车中的人观察其他火车经过的过程：③相遇始乙车始甲车乙车甲车末④追及乙车始末乙车甲车甲车始从图中可以看出，这类型的行程过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇或追及过程，对应的路程和或路程差其实都是另外一辆火车的车长，与人所乘坐的火车长度没有关系．例题4甲、乙两列火车同向而行，甲车在前，乙车在后．甲车长320米，每秒行20米；乙车长480米．坐在甲车上的小王老师从乙车车头经过她的车窗时开始计时，到车尾经过她的车窗为止共用96秒．那么乙车的速度是多少？「分析」题目所叙述的过程，其实是乙车与王老师的追及过程，请画图分析一下，路程差是什么呢？跟甲车车长、乙车车长有什么关系呢？练习4动车和直达列车相向而行．动车长600米，每秒行60米；直达列车长900米，每秒行30米．坐在动车上的小王老师记录了从直达列车车头经过她车窗，到车尾经过她车窗所用的时间．那么这个时间是多少？例题5一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．请问：火车车长多少？「分析」本题涉及到两个过程：一个是火车通过桥，一个是火车完全在桥上．一一分析，两个过程都无法计算．不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度与车长．从前面的分析中，我们已经知道，火车中的人与另外一辆火车的相遇与追及过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇与追及，和人所乘坐的车长是没有关系的．而解决这类题目，关键的一步就是要找到人的速度．如果人在车上静止，那么人的速度就是车的速度．如果人在车上行走呢？我们看一个简单例子：一列火车以每秒20米的速度行驶，乘务员以每秒1米的速度在车厢内沿着火车前进的方向向前走，那么在地面上静止的人来看，乘务员的前进速度是多少呢？如果乘务员以每秒1米的速度在车厢内沿着火车前进的反方向向前走，那么对于地面上静止的人，乘务员的前进速度又是多少呢？我们可以这么想：火车1秒钟前进了20米，如果乘务员行走方向跟火车一样，那么在火车带着他前进了20米的基础上他又往前走了1米，所以对于地面来说，乘务员其实是走了21米，所以他的速度就是每秒钟21米，即车与人的速度和；同样的道理，如果乘务员的行走方向与火车相反，那么他对于地面的速度就是车与人的速度差．例题6货车和客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小高在客车内沿着客车前进的方向向前走，发现货车用140秒就超过了他．已知小高在客车内行走的速度为每秒1米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求：（1）货车的行驶速度；（2）货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．「分析」小高在客车内行走，那么他的实际速度是多少呢？货车与小高的追及过程，路程差是什么呢？画图好好分析一下吧！课堂内外白（黄）色安全线火车站台或者地铁的站台边都会有一条白色或者黄色的安全线，当列车进站的时候，车站的工作人员都会提醒人们注意站在安全线的后面，不过那并不是怕乘客拥挤掉下去，到底是为什么呢？据铁路史志记载，这条安全线来源于近百年前的一场惨案．1905年冬天，在俄国一个名鄂洛多克的小车站上，站长率全站38名员工身着盛装、手持鲜花，列队站在铁路线两旁恭候沙皇尼古拉二世派来视察的钦差大臣．然而，遗憾的是，列车没有缓缓进站，而是狂风般冲进了“人巷”，刹那间“人巷”倒塌了，数十名员工仿佛背后被人猛推了一掌，不由自主向前倒去．结果造成34人丧生，4人终生残疾．由于当时科技水平有限，人们对此无法解释．后来人们才弄明白惨案真相．在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔•伯努利1738年发现的“伯努利定律”．在行驶的汽车或者火车窗外，紧挨着车身的空气由于车身的带动而流速较快，从而产生比正常的大气压更小的气压，并且速度越快，这个气压就会越小，这样周围的空气就会把旁边的物体推向火车．所以，火车高速行驶时，人站立太近的话就有可能被吸过去，那个后果可真得会惨不忍睹啊．而在站台上，即使在列车进站的时候车速减慢了很多，但在完全停稳之前，这个吸力还是会存在．这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了这一定律．飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面．这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了．工程学上会用一个“伯努利公式”来计算，这个力到底有多大．所以，即使运行在站台的列车速度并不是很快，也不要挑战自己，去试那个吸引力有多大．当我们在站台上等候火车或地铁时，一定要站在白色安全线外．作业1.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐头并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了10秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5米，蛇宝宝的速度是每秒4米．那么蛇妈妈的长度多少米？2.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐尾并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了5秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5米，蛇宝宝的速度是每秒4米．那么蛇宝宝的长度多少米？3.麦兜参加学校军训，所在班队伍长20米，以每秒1米的速度前进．麦兜以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？4.一列火车通过220米长的大桥需要20秒，以同样的速度通过300米长的隧道需要24秒．这列火车长多少米？5.一列快车和一列慢车相向行驶，坐在快车上面的小王老师，从慢车经过她的窗口开始计时，到完全经过她的窗口结束，共计10秒钟．已知快车长200米，速度是每秒20米；慢车长380米，那么慢车的速度是每秒多少米？（ ， ” ， ” （ （第十九讲 火车行程进阶1.例题 1答案：160 米；200 米详解： 1）齐头并进，路程差即快车车长，(60 - 40)⨯ 8 = 160 米；（2）齐尾并进，路程差即慢车 车长， (60 - 40 )⨯ 10 = 200 米．2. 例题 2答案：450 秒；90 秒详解：（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是 450 ÷ (3 - 2) = 450 秒；（2）从排 头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是 450 ÷ (3 + 2) = 90 秒．3. 例题 3答案：25 米/秒详解：火车 30 秒的路程是“ 460米 + 车长 ” 28 秒的路程是“ 410米 + 车长 ，时间差为 30 - 28 = 2 秒，路程差为 460 - 410 = 50 米，所以速度为 50 ÷ 2 = 25 米/秒．4. 例题 4答案：25 米/秒详解：乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长 480 米，时间为 96 秒，所以速度差为 480 ÷ 96 = 5 米/秒，小王老师速度即为甲车速度 20 米/秒，所以乙车速度为 20 + 5 = 25 米/秒．5. 例题 5 答案：200 米详解：火车 120 秒的路程为“1000米 + 车长 ” 80 秒的路程为“1000米 - 车长 ，比较可得火车40 秒的路程为“2 个车长”，即 20 秒的路程为“车长”，而 12 秒的路程为“1000米 + 车长 ”，所 以火车 100 秒的路程为 1000 米，速度为 1000 ÷100 = 10 米/秒，车长为 120 ⨯10 - 1000 = 200 米．6. 例题 6答案：23 米/秒；210 秒详解： 1）小高的实际速度为 20 + 1 = 21 米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140 秒，路程差 为货车车长 280，所以速度差为 280 ÷140 = 2 米/秒，所以货车速度为 21+ 2 = 23 米/秒； 2）货车 与 客 车 的 追 及 时 间 ， 路 程 差 为 两 车 车 长 之 和 即 350 + 280 = 630 米 ， 所 以 时 间 为630 ÷ (23 - 20) = 210 秒．7.练习 1答案：110 米；165 米详解：（1）齐头并进，路程差为快车车长， (20 - 9)⨯10 = 110 米；（2）齐尾并进，路程差为慢车， ” ， ”车长， (20 - 9)⨯15 = 165 米．8. 练习 2 答案：6 分钟详解：从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是 540 ÷ (4 - 2) = 270 秒；从队头跑回队 尾，路程和为队伍长度，所以时间是 540 ÷ (4 + 2) = 90 秒，一共用了 270 + 90 = 360 秒即 6 分钟．9. 练习 3答案：15 米/秒简答：50 秒的路程是“ 530米 + 车长 ” 40 秒的路程是“ 380米 + 车长 ，时间差为 50 - 40 = 10 秒，路程差为 530 - 380 = 150 米，所以速度为 150 ÷10 = 15 米/秒．10. 练习 4答案：10 秒简答：直达列车与小王老师的相遇过程，路程和即直达列车车长 900 米，速度和为 60 + 30 = 90 米 /秒，所以时间为 900 ÷ 90 = 10 秒．11. 作业 1答案：10 米简答：齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为 (5 - 4)⨯10 = 10 米．12. 作业 2答案：5 米简答：齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为 (5 - 4)⨯ 5 = 5 米．13. 作业 3答案：10 秒简答：从队尾跑到队头，速度差为队伍长度 20 米，所以时间为 20 ÷ (3 - 1) = 10 秒．14. 作业 4答案：180 米简答：20 秒的路程是“ 220米 + 车长 ” 24 秒的路程是“ 300米 + 车长 ，时间差为 24 - 20 = 4 秒，路程差为 300 - 220 = 80 米，所以速度为 80 ÷ 4 = 20 米/秒，所以火车车长为 20 ⨯ 20 - 220 = 180 米．15. 作业 5答案：18 米/秒简答：慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长 380 米，时间为 10 秒，所以速度和为380 ÷10 = 38 米/秒，小王老师速度即为快车速度 20 米/秒，所以慢车速度为 38 - 20 = 18 米/秒．。
复杂行程问题解题技巧
1. 哎呀呀，遇到复杂行程问题不要怕！先找准关键信息呀，就像侦探找线索一样！比如说甲乙两人同时从两地出发相向而行，这不就是关键嘛！搞清楚他们的速度和出发时间等，才能一步步解开谜团呀。
2. 嘿，一定要学会画图呀！把那些路程啊速度啊在图上标一标，瞬间就清楚多啦。
比如说一辆车追另一辆车，画个图不就明白它们之间的距离变化了嘛，是不是很简单！
3. 哇哦，公式可不能忘呀！路程=速度×时间，这可是宝贝哟！当你知道其
中两个量，就能求出第三个呀。
就好比知道了路程和速度，那时间不就手到擒来啦！
4. 哈哈，注意单位要统一哟！要是这个是千米每小时，那个是米每秒，那可就乱套啦！就像不同尺码的鞋子，不能混着穿呀！
5. 哟呵，多想想不同的解法呀！一条路走不通，就换条路嘛。
比如可以从整体考虑呀，或者分段来算呀，总有一种适合你呢！
6. 嘿嘿，多做练习题呀！见得多了，自然就不怕啦。
就跟打怪升级一样，越练越厉害！
7. 记住啦，遇到问题别着急上火！冷静下来慢慢分析，那些复杂行程问题都不是事儿！你看，其实掌握了这些技巧，复杂行程问题也没那么可怕啦！
我的观点结论：只要掌握好这些解题技巧，复杂行程问题就能轻松应对，大家加油呀！。
行程问题的解题技巧1. 哎呀呀，行程问题中遇到相向而行的情况，那简直就像是两个人对着跑呀！比如说，小明和小红在一条路上，一个从这头走，一个从那头走，他们多久能相遇呢？这时候只要把两人的速度加起来，再用总路程除以这个和，不就能算出相遇时间啦！就像搭积木一样简单嘛！2. 嘿，要是同向而行呢，那不就是一个追一个嘛！就好像跑步比赛，跑得快的追跑得慢的。
比如小强每分钟跑 100 米，小亮每分钟跑 80 米，那小强要多久才能追上小亮呀？用他们的速度差乘以时间等于最初的距离差这个道理，一下子就能算出来啦，是不是超有趣呀！3. 碰到那种来回跑的行程问题呀，可别晕！比如说小李在 A、B 两点间跑来跑去。
这就像钟摆一样来来回回呀！这时候得仔细分析他跑的每一段路程和时间，然后加起来或者算差值，搞清楚到底怎么回事儿！这很考验耐心哦，但搞懂后会超有成就感的呀！4. 还有那种在环形跑道上跑的呢，这不就像围着一个大圆圈转嘛！比如小王在环形跑道上跑，和别人相遇几次或者追上几次，就得想想他们相对的速度和跑的圈数啦。
这多有意思呀，就好像在玩一个特别的游戏！5. 你们想想看，行程问题里有时候给的条件可隐晦啦！这就像捉迷藏一样，得仔细找线索呀！比如说告诉你一段路程走了几小时，又告诉你另外一些模糊的信息，就得开动脑筋把有用的找出来，算出行程中的各种数据。
是不是有点像侦探破案呀，刺激吧！6. 有时候行程问题里会有停顿呀什么的，那就像走路走一半歇会儿一样。
比如小张走一段路，中间停了几分钟，这时候得把停顿的时间考虑进去呀，不然可就算错啦，可不能马虎哟！7. 哈哈，行程问题其实就是生活中的各种走呀跑呀的情况。
只要我们把它当成有趣的事儿，像玩游戏一样去对待，就不会觉得难啦！所以呀，不要害怕行程问题，大胆去挑战它们吧！我的观点结论就是：行程问题没那么可怕，只要用心去理解和分析，都能轻松搞定！。
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////---- 1 ----应用题第37讲_行程问题中的分段与比较进阶(学生版)在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；在分段问题中，有的时候需要比较前后的情况．在比较中，最重要的就是找到不同和联系，注意前后的时间和速度的关系也是解决问题的关键．重难点：提速与提前、速度和不变的相遇问题．题模一：提速与提前例1.1.1墨莫走路从家到学校去，平常要用30分钟．但是今天当他走到距离学校1千米处时，搭了路老师的顺风车去学校，结果这天用了22分钟就到了学校．已知车速是墨莫步行速度的5倍，从墨莫家到学校有多少千米？例1.1.2从A 到B 是0.5千米的上坡路，从B 到C 是3千米的平路，从C 到D 是2.5千米的上坡路，下坡路速度都是每小时6千米，平路上速度是每小时4千米，上坡路速度都是每小时3千米．如果小张和小王分别从A 、D 两地同时出发，相向而行，几小时两人相遇？例1.1.3甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，他们计划在距A 地35处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为____________米/秒．例1.1.4两人同时从两地相向而行，恰能在约定时间相遇；如果甲提高自己速度的13，那么只需要约定时间的56即可相遇；如果乙的速度降低14，那么就要推迟75分钟相遇．请问他们约定多少时间相遇？例1.1.5甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C 地．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇地D 距应用题第37讲_行程问题中的分段与比较进阶ADC B////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////应用题第37讲_行程问题中的分段与比较进阶(学生版) C地10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地E距C地5千米，问甲原来的速度是每小时多少千米？例1.1.6甲乙两人分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行．相遇时甲走了400千米，乙走了300千米．相遇后甲将速度每小时降低4千米，而乙将速度增加23．当乙到达A 地时，甲离B地还有12千米．求乙走完全程所花时间．题模二：速度和不变的相遇问题例1.2.1甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点距离B地10千米．如果甲每小时多走4千米，乙每小时少走4千米，相遇点距离B地8千米．那么乙原来每小时走_______千米．例1.2.2如图所示，正方形ABCD是一条环形公路，已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米，从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，如果从PC的中点M同时反向各发一辆汽车，它们将在AB上一点N相遇，问：N到A的距离与到B的距离的比是多少？随练1.1汽车从甲地到乙地，如果速度比预定的每小时慢5千米，则到达所花的时间将比预定的多18；如果速度比预定的增加13，则到达时间比预定的早1小时．甲、乙两地相距多少千米？随练1.2一辆汽车按照计划速度行驶1小时后，剩下的路程将速度降低25，继续行驶，结果到达目的地的时间比计划迟1小时30分钟；如果按照计划速度行驶20千米，其余路程按计划速度的34行驶，则比计划时间迟1个小时．那么全全程是多少千米？----2----应用题第37讲_行程问题中的分段与比较进阶(学生版)//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////随练1.3小明8:00从A地骑车出发，11:00到达B地，小华开车从A地出发，速度是小明的3倍；追上小明后，速度增加为小明的4倍．如果小华9:30到达B地，那么小华是在什么时候出发的？作业1一位职员每天早上以40千米/时的速度驾车，恰好能准时到达公司；某一天他晚离开家7分钟，结果需要把速度提高8千米/时才能准时到达公司，那么他家到公司的距离为多少千米？作业2一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果原速度行驶100千米后，再将车速提高30%，也比原定时间提前1小时，求甲、乙两地的距离．作业3一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果原速行驶100千米后，再将车提速提高30%，也比原定时间提前1小时，求甲、乙两地的距离．作业4甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲比乙早出发15分钟，甲、乙两车的速度比为2:3，相遇时甲比乙少走6千米，已知乙走完全程需1小时30分钟，求甲、乙两车的速度和两地的距离．----3----。
第十九讲 火车行程进阶1. 例题1答案：160米；200米详解：（1）齐头并进，路程差即快车车长，()60408160-⨯=米；（2）齐尾并进，路程差即慢车车长，()604010200-⨯=米．2. 例题2答案：450秒；90秒详解：（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是()45032450÷-=秒；（2）从排头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是()4503290÷+=秒．3. 例题3答案：25米/秒详解：火车30秒的路程是“460米车长+”，28秒的路程是“410米车长+”，时间差为30282-=秒，路程差为46041050-=米，所以速度为50225÷=米/秒．4. 例题4答案：25米/秒详解：乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长480米，时间为96秒，所以速度差为480965÷=米/秒，小王老师速度即为甲车速度20米/秒，所以乙车速度为20525+=米/秒．5. 例题5答案：200米详解：火车120秒的路程为“1000米车长+”，80秒的路程为“1000米车长-”，比较可得火车40秒的路程为“2个车长”，即20秒的路程为“车长”，而12秒的路程为“1000米车长+”，所以火车100秒的路程为1000米，速度为100010010÷=米/秒，车长为120101000200⨯-=米．6. 例题6答案：23米/秒；210秒详解：（1）小高的实际速度为20121+=米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140秒，路程差为货车车长280，所以速度差为2801402÷=米/秒，所以货车速度为21223+=米/秒；（2）货车与客车的追及时间，路程差为两车车长之和即350280630+=米，所以时间为()6302320210÷-=秒．7. 练习1答案：110米；165米详解：（1）齐头并进，路程差为快车车长，()20910110-⨯=米；（2）齐尾并进，路程差为慢车车长，()20915165-⨯=米．8. 练习2答案：6分钟详解：从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是()54042270÷-=秒；从队头跑回队尾，路程和为队伍长度，所以时间是()5404290÷+=秒，一共用了27090360+=秒即6分钟．9. 练习3答案：15米/秒简答：50秒的路程是“530米车长+”，40秒的路程是“380米车长+”，时间差为504010-=秒，路程差为530380150-=米，所以速度为1501015÷=米/秒．10. 练习4答案：10秒简答：直达列车与小王老师的相遇过程，路程和即直达列车车长900米，速度和为603090+=米/秒，所以时间为9009010÷=秒．11. 作业1答案：10米简答：齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为()541010-⨯=米．12. 作业2答案：5米简答：齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为()5455-⨯=米．13. 作业3答案：10秒简答：从队尾跑到队头，速度差为队伍长度20米，所以时间为()203110÷-=秒．14. 作业4答案：180米简答：20秒的路程是“220米车长+”，24秒的路程是“300米车长+”，时间差为24204-=秒，路程差为30022080-=米，所以速度为80420÷=米/秒，所以火车车长为2020220180⨯-=米．15. 作业5答案：18米/秒简答：慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长380米，时间为10秒，所以速度和为3801038÷=米/秒，小王老师速度即为快车速度20米/秒，所以慢车速度为382018-=米/秒．。
第十九讲火车行程进阶上一讲中我们已经学习了火车行程中的火车过桥、火车过人、火车过车这三种基本类型．解决火车行程问题，最重要的是要学会画图，将火车行程过程转化为最后对齐的两个位置的相遇或追及过程．接下来，我们来介绍较复杂的火车行程问题．我们已经学过了火车与火车的相遇与追及，追及问题一般是指两列火车从开始追上到完全超过所经历的过程．接下来看两类特殊的火车与火车的追及问题，齐头行进或齐尾行进．与之前分析过程一样，首先找到最后对齐的部位，并找到其初始位置，将火车行程过程转化为甲车尾与乙车头的追及过程，可以总结如下：齐头并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为快车车长． 齐尾并进：从出发到离开（即超过）时刻，两车路程差为慢车车长．例题1（1）现有D 字头动车和T 字头特快同时同向齐头行进，动车每秒行60米，特快每秒行40米，经过8秒后动车超过特快．请问：D 字头动车车长多少米？（2）现有D 字头动车和T 字头特快车尾对齐，同时同向行进，动车每秒行60米，特快每秒行40米，经过10秒后动车超过特快．请问：T 字头特快车车长多少米？「分析」题（1）中，火车从齐头开始出发，到超过为止，快车车长（D 字头动车车长）即为路程差，所以求路程差即可． 练习1（1） 现有两列火车，如果这两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行9米，行10秒后快车超过慢车．请问：快车车长多少米？（2） 现有两列火车，快车每秒行20米，慢车每秒行9米，如果这两列火车车尾对齐，同时同向行进，则15秒后快车超过慢车．请问：慢车车长是多少米？①齐头并进 始② 齐尾并进在现实生活中，有很多行程问题都会涉及到运动对象本身的长度，比如队列、队伍等等．下面我们看一下另外一类比较特殊的火车行程——队列行程问题．这类问题主要包含两种基本类型（队伍是匀速前进的）：“人从队头走到队尾”与“人从队尾走到队头”．① 人从队头走到队尾：从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的相遇过程，队列与行人的路程和即为队列长度．② 人从队尾跑到队头：从图中可以看出，这类问题其实就是队列与行人的追及过程，只不过，这里的行人要比“火车”还要快，行人与队列的路程差即为队列长度．例题2某解放军队伍长450米，以每秒2米的速度行进．一名战士以每秒3米的速度从排尾跑到排头需要多长时间？然后从排头返回排尾，又需要多少时间？「分析」从排尾到排头，即为战士与队伍的追及过程，要计算时间，就需要找到路程差与速度差． 练习2某学校组织学生去春游，队伍长540米，并以每秒2米的速度前进，一名学生以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用多少分钟？末队伍队伍始行人在之前学习的盈亏、和差倍等应用题中，我们用到了比较的方法．在行程问题中，往往也会应用到比较的思想．例题3一列火车完全通过460米长的隧道用30秒，以同样的速度完全通过410米的隧道用28秒．请问：这列火车的速度是每秒多少米？「分析」本题包含两个“火车通过桥”的过程，一一分析，可以计算出什么吗？不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度． 练习3一列客车完全通过530米长的桥用了50秒，以同样速度完全通过380米长的山洞用了40秒．请问：这列客车的速度是每秒多少米？火车行驶的过程中，火车行驶的距离只需要看火车上的某一个点即可，可以是火车头或者火车尾，当然，也可以是火车的某一个窗户．对于坐在火车某个窗户旁边的人来说，他的速度其实就是火车前进的速度． 接下来，我们分析一下火车中的人观察其他火车经过的过程：从图中可以看出，这类型的行程过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇或追及过程，对应的路程和或路程差其实都是另外一辆火车的车长，与人所乘坐的火车长度没有关系．③ 相遇始④追及末例题4甲、乙两列火车同向而行，甲车在前，乙车在后．甲车长320米，每秒行20米；乙车长480米．坐在甲车上的小王老师从乙车车头经过她的车窗时开始计时，到车尾经过她的车窗为止共用96秒．那么乙车的速度是多少？「分析」题目所叙述的过程，其实是乙车与王老师的追及过程，请画图分析一下，路程差是什么呢？跟甲车车长、乙车车长有什么关系呢？练习4动车和直达列车相向而行．动车长600米，每秒行60米；直达列车长900米，每秒行30米．坐在动车上的小王老师记录了从直达列车车头经过她车窗，到车尾经过她车窗所用的时间．那么这个时间是多少？例题5一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．请问：火车车长多少？「分析」本题涉及到两个过程：一个是火车通过桥，一个是火车完全在桥上．一一分析，两个过程都无法计算．不妨把两次的时间和路程列出来，比较一下，寻找对应的时间和路程，进而计算火车速度与车长．从前面的分析中，我们已经知道，火车中的人与另外一辆火车的相遇与追及过程，其实就是人与另外一辆火车的相遇与追及，和人所乘坐的车长是没有关系的．而解决这类题目，关键的一步就是要找到人的速度．如果人在车上静止，那么人的速度就是车的速度．如果人在车上行走呢？我们看一个简单例子：一列火车以每秒20米的速度行驶，乘务员以每秒1米的速度在车厢内沿着火车前进的方向向前走，那么在地面上静止的人来看，乘务员的前进速度是多少呢？如果乘务员以每秒1米的速度在车厢内沿着火车前进的反方向向前走，那么对于地面上静止的人，乘务员的前进速度又是多少呢？我们可以这么想：火车1秒钟前进了20米，如果乘务员行走方向跟火车一样，那么在火车带着他前进了20米的基础上他又往前走了1米，所以对于地面来说，乘务员其实是走了21米，所以他的速度就是每秒钟21米，即车与人的速度和；同样的道理，如果乘务员的行走方向与火车相反，那么他对于地面的速度就是车与人的速度差．例题6货车和客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小高在客车内沿着客车前进的方向向前走，发现货车用140秒就超过了他．已知小高在客车内行走的速度为每秒1米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求：（1）货车的行驶速度；（2）货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．「分析」小高在客车内行走，那么他的实际速度是多少呢？货车与小高的追及过程，路程差是什么呢？画图好好分析一下吧！课堂内外白（黄）色安全线火车站台或者地铁的站台边都会有一条白色或者黄色的安全线，当列车进站的时候，车站的工作人员都会提醒人们注意站在安全线的后面，不过那并不是怕乘客拥挤掉下去，到底是为什么呢？据铁路史志记载，这条安全线来源于近百年前的一场惨案．1905年冬天，在俄国一个名鄂洛多克的小车站上，站长率全站38名员工身着盛装、手持鲜花，列队站在铁路线两旁恭候沙皇尼古拉二世派来视察的钦差大臣．然而，遗憾的是，列车没有缓缓进站，而是狂风般冲进了“人巷”，刹那间“人巷”倒塌了，数十名员工仿佛背后被人猛推了一掌，不由自主向前倒去．结果造成34人丧生，4人终生残疾．由于当时科技水平有限，人们对此无法解释．后来人们才弄明白惨案真相．在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔•伯努利1738年发现的“伯努利定律”．在行驶的汽车或者火车窗外，紧挨着车身的空气由于车身的带动而流速较快，从而产生比正常的大气压更小的气压，并且速度越快，这个气压就会越小，这样周围的空气就会把旁边的物体推向火车．所以，火车高速行驶时，人站立太近的话就有可能被吸过去，那个后果可真得会惨不忍睹啊．而在站台上，即使在列车进站的时候车速减慢了很多，但在完全停稳之前，这个吸力还是会存在．这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了这一定律．飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面．这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了．工程学上会用一个“伯努利公式”来计算，这个力到底有多大．所以，即使运行在站台的列车速度并不是很快，也不要挑战自己，去试那个吸引力有多大．当我们在站台上等候火车或地铁时，一定要站在白色安全线外．作业1.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐头并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了10秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5米，蛇宝宝的速度是每秒4米．那么蛇妈妈的长度多少米？2.蛇妈妈和蛇宝宝比赛跑步，齐尾并进，从出发到最后蛇妈妈恰好完全超过蛇宝宝用了5秒钟的时间．已知蛇妈妈的速度是每秒5米，蛇宝宝的速度是每秒4米．那么蛇宝宝的长度多少米？3.麦兜参加学校军训，所在班队伍长20米，以每秒1米的速度前进．麦兜以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间？4.一列火车通过220米长的大桥需要20秒，以同样的速度通过300米长的隧道需要24秒．这列火车长多少米？5.一列快车和一列慢车相向行驶，坐在快车上面的小王老师，从慢车经过她的窗口开始计时，到完全经过她的窗口结束，共计10秒钟．已知快车长200米，速度是每秒20米；慢车长380米，那么慢车的速度是每秒多少米？第十九讲火车行程进阶1.例题1答案：160米；200米详解：（1）齐头并进，路程差即快车车长，()-⨯=米；（2）齐尾并进，路程差即慢车60408160车长，()604010200-⨯=米．2.例题2答案：450秒；90秒详解：（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是()÷-=秒；（2）从排45032450头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是()÷+=秒．45032903.例题3答案：25米/秒详解：火车30秒的路程是“460米车长-=+”，时间差为30282+”，28秒的路程是“410米车长秒，路程差为46041050÷=米/秒．-=米，所以速度为502254.例题4答案：25米/秒详解：乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长480米，时间为96秒，所以速度差为+=米/秒．480965÷=米/秒，小王老师速度即为甲车速度20米/秒，所以乙车速度为205255.例题5答案：200米详解：火车120秒的路程为“1000米车长-”，比较可得火车+”，80秒的路程为“1000米车长40秒的路程为“2个车长”，即20秒的路程为“车长”，而12秒的路程为“1000米车长+”，所以火车100秒的路程为1000米，速度为100010010⨯-=米．÷=米/秒，车长为1201010002006.例题6答案：23米/秒；210秒详解：（1）小高的实际速度为20121+=米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140秒，路程差为货车车长280，所以速度差为2801402+=米/秒；（2）货车÷=米/秒，所以货车速度为21223与客车的追及时间，路程差为两车车长之和即350280630+=米，所以时间为()6302320210÷-=秒．7.练习1答案：110米；165米详解：（1）齐头并进，路程差为快车车长，()-⨯=米；（2）齐尾并进，路程差为慢车20910110车长，()20915165-⨯=米． 8.练习2 答案：6分钟详解：从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是()54042270÷-=秒；从队头跑回队尾，路程和为队伍长度，所以时间是()5404290÷+=秒，一共用了27090360+=秒即6分钟． 9.练习3 答案：15米/秒简答：50秒的路程是“530米车长+”，40秒的路程是“380米车长+”，时间差为504010-=秒，路程差为530380150-=米，所以速度为1501015÷=米/秒． 10. 练习4答案：10秒简答：直达列车与小王老师的相遇过程，路程和即直达列车车长900米，速度和为603090+=米/秒，所以时间为9009010÷=秒． 11. 作业1答案：10米简答：齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为()541010-⨯=米． 12. 作业2答案：5米简答：齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为()5455-⨯=米． 13. 作业3答案：10秒简答：从队尾跑到队头，速度差为队伍长度20米，所以时间为()203110÷-=秒． 14. 作业4答案：180米简答：20秒的路程是“220米车长+”，24秒的路程是“300米车长+”，时间差为24204-=秒，路程差为30022080-=米，所以速度为80420÷=米/秒，所以火车车长为2020220180⨯-=米．15. 作业5答案：18米/秒简答：慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长380米，时间为10秒，所以速度和为3801038÷=米/秒，小王老师速度即为快车速度20米/秒，所以慢车速度为382018-=米/秒．。
行程问题进阶1.甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的13加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是多少？2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？3.甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B 两地间的距离？4.地铁有A，B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500米.问：两站相距多远？5.如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.6.甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．7.甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？8.甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地。
行程问题知识互联网题型一：流水行船一、流水行船关键点——“水速”在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：①顺水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速．（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。
二、流水行船问题中的相遇与追及1、两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速．2、同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关．甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速．也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速．说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系．三、扶梯问题说明扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。
从而在扶梯问题中“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”． 四、扶梯问题解题关键1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。
有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数 2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数．【例1】 甲、乙两船分别在一条河的A 、B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B 地，乙到达A 地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米．如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为多少？【解析】 第一次相遇时两船航程相等，所以两船速度相等，即V V V V +=-乙甲水水，得2V V V =+乙甲水；第一次相遇后两船继续前行，速度仍然相等，所以会同时到达A 、B 两地，且所用时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，所行的路程也相等；从两船开始返航到第二次相遇，甲、乙两船又共行驶了A 、B 单程，由于两船的速度和不变，所以所用的时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，故与从第一次相遇到各自到达A 、B 两地所用的时间也相同，所用的时间为：42233÷=(小时)①；返回时两船速度差为：4V V V V V +=-=乙甲水水水②，故2413V ⨯=水，得38V =水(千米/时)火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；3、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，⑴火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； ⑵火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间； ⑶火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；思路导航例题赏析题型二：火车过桥4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，⑴错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； ⑵超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；【例2】 某日，学而思老师集体出游，大家在火车上玩起抢幸运数的游戏．到国宇老师出题时，国宇老师在纸上任性写下“火车长度即谜底”的纸条递给了主持人猩猩老师．猩猩老师嘀咕到，“我怎么知道这火车长度呢”，此时宗辉老师支招到，“我刚刚看过标识牌又测了一下咱们火车完全通过一条340米的隧道用了35秒，又完全通过一座长646米的大桥用了53秒，你知道了吧？”“原来如此。
”猩猩老师得意一笑，请问： ⑴你知道这列火车的长度是多少米吗？⑵如果这列火车通过一根笔直的电线杆需要多少秒？ 【解析】 ⑴速度：()()646340533517-÷-=（米/秒）长度：1735340255⨯-=（米）⑵25517=15÷（秒）【例3】 ⑴一列长110米的列车，以每小时30千米的速度向北驶去，14点10分火车追上一个向北走的工人，15秒后离开工人，14点16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开学生．问工人、学生何时相遇？⑵米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00货车追上了米老鼠，又过了30秒，货车超过了它；另有一列客车迎面驶来，9：30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它．如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍．请问：客车和货车什么时间相遇？两车错车需要多长时间？【解析】 ⑴火车速度：30千米/小时=253（米/秒）； 工人速度：25151101513⎛⎫⨯-÷= ⎪⎝⎭（米/秒）；学生速度：255110121236⎛⎫-⨯÷= ⎪⎝⎭（米/秒）；从14点16分算起，工人、学生相遇所需时间，25522111616243636⎛⎫⎛⎫-⨯÷+=⨯÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（分）． 所以工人、学生在14时40分相遇．答：工人、学生14时40分相遇．⑵设米老鼠速度是a ，货车速度是b ，则客车速度是3b ，货车车长c ，则客车车长2c()12c b a =-⨯例题赏析()1235c b a =-⨯得，2a b =，2a c =， 9：30时，货车距离米老鼠90×（b ﹣c ），即270c ， 此时客车与货车距离等于货车与米老鼠距离，即270c ， 可得270c =（3b ﹣b ）×t ，得t =33.75 客车和货车在10：03又45秒相遇． 3c =t ×（3b ﹣b ），得t =0.375 两车错车需要22.5秒时间．答：客车和货车在10：03又45秒相遇，两车错车需要225秒．【例4】 梁邦文老师家在两路口，如果骑车到学而思工贸教学点，每隔3分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果步行到工贸教学点，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且梁邦文老师骑车速度是梁邦文老师步行速度的3倍，那么如果梁邦文老师乘332路汽车到工贸教学点的话，每隔几分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．【解析】 可设梁邦文老师步行的速度为V 步，公交的速度为V 车，则梁邦文老师骑车的速度=3V 步，由此可得：()()334V V V V ⨯+=⨯+车车步步，解得：5V V =车步 ．()()2433555 2.410V V V V V V +÷+==步步步步步步（分钟）．答：梁邦文老师坐332路汽车到人大附中的话，每隔2.4分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面开来．【例5】 国涛老师上午八时多开始做早餐时，钟表上的时针和分针正好重合在一起．九时多做完早餐时时针和分 针恰好又重合在一起．国涛老师花了多长时间做完早餐的？【解析】()74015604311÷-÷=（分）， 8点多时针与分针正好重合在一起的时间是：784311+=8时74311分， ()14515604911÷-÷=（分）， 9点多时针与分针正好重合在一起的时间是：194911+=9时14911分． 答：国涛老师花了1小时5511分做完早餐．题型三：多个对象间的行程问题多人相遇追及的解题关键 去掉多余人，分析路程差 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N -1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米．2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………； 第N 次相遇，共走2N 个全程．【例6】 从A 城到B 城有一段公路，分成三段，在第一段上，汽车速度是每小时40千米．在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米．已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现在有两辆汽车分别从A 、B 两城同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段的处相遇，那么A 、B 两城相距多少千米？【解析】 根据题意可知第一段速度慢，那么相遇时是在离A 城近的地方相遇．设第三段公路长x 千米，那么第一段公路长2x 千米，由题意得：1小时20分=43小时 42411134035033x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭：： 42412340350x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：：4242340350x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭84310350x x -=- 503x =例题赏析思路导航45011240909031353332⎛⎫-⨯÷⨯÷=⨯⨯= ⎪⎝⎭5013531853+⨯=（千米） 答：那么A 、B 两城相距185千米．【例7】 A ，B 两地相距l 25千米，甲、乙二人骑自行车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行．丙骑摩托车每小时行63千米，与甲同时从A 出发，在甲、乙二人间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲车速每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处），甲、乙二人相距45千米，问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？【解析】 如图设乙的速度为甲的K 倍，丙与乙相遇时甲行S 千米，则这时丙行7S 千米，乙行KS 千米，于是7125S KS +=……①这时甲丙相距6S 千米，丙第一次回到甲处时，甲又向前行()36714S S ÷+=（千米），丙行374S ⨯（千米），乙行34S K ⨯（千米），所以甲、乙相距：()33377444S S K S K ⨯-⨯=-……②将①代入②消去S ，3712547K K -⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭（千米）……③在丙第二次回到甲处时，甲、乙相距：37371254747K K K K --⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭（千米）……④根据已知条件：3737125454747K K K K --⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭……⑤即：2716725k k -⎛⎫=⎪+⎝⎭……⑥ 于是（只取正值） 7475K K -=+……⑦ 从而79K =即乙的速度是每小时：7979⨯=（千米）当丙第三次回到甲处时，甲、乙相距373434545452747455K K -⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪+⎝⎭（千米）． 丙第四次回到甲处时，甲、乙相距381272055⨯=< （千米）．因此，甲、乙相距20千米发生在丙第四次回到甲处之前，即他们都应从丙第四次回到甲处这事往回倒退．由于81192055-=， 而甲、乙速度之比是9：7．所以甲应退199597⨯+ 丙的速度是甲的7倍，所以丙应退甲的7倍， 从而在甲、乙相距20米时，甲丙相距()1991171759710⨯⨯+=+（千米） 答：甲与丙相距11710千米．【练习1】 A 、B 两个码头间的水路为90千米，其中A 码头在上游，B 码头在下游，第一天，水速为每小时3千米，甲、乙两船分别从A 、B 两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲船，已知甲船的静水速度为每小时18千米，乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水速变为每小时5千米，甲、乙两船分别从A 、B 两码头同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？【解析】 速度差为90÷3=30千米，甲逆速就是每小时18﹣3﹣3=12千米， 乙逆速每小时为30﹣12=18千米， 乙静水速度就为18+2=20千米． 相遇时间为：90÷[（18+5）+18] =90÷[23+18] =90÷41=9041（小时） 答：乙船的静水速度是每小时20千米，出发9041小时后相遇． 【练习2】 一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．你知道火车有多长吗？它的速度是多少？【解析】 火车行驶桥长1000米需要的时间为：（80+120）÷2， =200÷2， =100（秒）．所以火车速度为：1000÷100=10（米/秒）． 火车长度为：120×10﹣1000， =1200﹣1000， =200（米）；答：火车的长度是200米；火车的速度是10米/秒．【练习3】 铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人早上同时从A 城出发向南前进，行人速度为每小时7.2千米，骑车人速度为每小时18千米．途中，有一列火车从他们背后开过来，9点10分恰好追上行人，而且从行人身边通过用了20秒钟；9点18分恰好追上骑车人，从骑车人身边通过用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米？行人与骑车人早上何时从A 城出发？他们出发时，火车头离A 城还有多少千米？【解析】 ⑴7.2千米/小时=2米/秒，18千米/小时=5米/秒；设这列火车的速度为x 米/秒，可得方程： （x ﹣2）×20=（x ﹣5）×26 20x ﹣40=26x ﹣130 6x =90 x =15；所以火车的车身总长是：复习巩固（15﹣5）×26=10×26=260（米）；答：列车的长度是260米．⑵从9点10分到9点18分经过了8分钟，即480秒，（15×480﹣2×480）÷（5﹣2）=6240÷3=2080（秒），2080秒=34分40秒，9点18分﹣34分40秒=8点43分20秒，答：行人与骑车人早上8点43分20秒从A城出发．⑶（15﹣5）×2080=20800（米）20800米=20.8千米答：他们出发时，火车头离A城还有20.8千米．【练习4】A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米．请问：⑴如果小明从A地坐电车去B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？⑵如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他？【解析】⑴25×1260÷（25×2）×60=5÷50×60=6（分钟）答：他每隔6分钟会看见一辆电车迎面开来．⑵25×1260÷（25+5）×60=5÷30×60 =10（分钟）25×1260÷（25﹣5）×60=5÷20×60=15（分钟）答：他每隔10分钟会看见一辆电车迎面开来，每隔15分钟会有一辆电车从后面超过他．【练习5】爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次．如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时针再次指示8点时，实际上是几点几分？时针与分针两次重合的时间间隔为：15601651211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭（分），老式时钟每重合一次就比标准时间慢：5666651111-=（分），我们观察从12点开始的24时．分针转24圈，时针转2圈，分针比时针多转22圈，即22次追上时针，也就是说24时共慢的时间是：6221211⨯=（分），所以所求的时刻是：8点12分；答：如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时针再次指示8点时，实际上是8点12分．【练习6】甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，请计算A、B两地之间的距离．【解析】甲、乙速度之比是15：35=3：7，因此我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份．则第三次相遇甲总共走了3×5=15份，第四次相遇甲总共走了3×7=21份；第三次相遇地点与第四次相遇地点相差（15﹣10）﹣（21﹣10×2）=4份，所以总长为（100÷4）×10=250（千米）．答：A、B两地之间的距离等于250千米．故答案为：250．【练习7】在一条南北走向的公路上有A、B两镇，A镇在B镇北面4.8千米处．甲、乙两人分别同时从A镇、B镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米，甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距B镇多少千米？【解析】小时9千米=每分钟0.15千米，每小时6千米=每分钟0.1千米，第一个周期5分钟甲乙相距的距离：4.8﹣0.15×5﹣0.1×（3﹣2）=4.8﹣0.75﹣0.1=3.95（千米）以后每2+3+2=7分钟一个周期，每个周期甲追及乙的距离是：0.15×7﹣0.1×（4﹣3）=1.05﹣0.1=0.95（千米）四个周期共追及的距离是：0.95×4=3.8（千米）4个周期后甲乙还相距离：3.95﹣3.8=0.15（千米）0.15千米的距离甲需要：0.15÷（0.15﹣0.1）=0.15÷0.5=3（分钟）所以甲乙相遇共用时：5+7×4+3=36（分钟）相遇地离B镇的距离是：0.15×36﹣4.8=0.6（千米）答：两人相遇的地点距B镇0.6千米．【练习8】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间．【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：11 第一级（下）·行程问题·短期班·学生版因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经距B 地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B 地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B 地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）同理先追及甲需要时间为120分钟答：丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用90分钟5分钟。
