高斯小学奥数六年级下册含答案第06讲_变速行程问题

走停与变速问题六年级奥数行程走停、变速问题算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．学会画线段图解决行程中的走停问题能够运用等式或比例解决较难的行程题能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

一、走停问题【例 1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城。

汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。

如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达．但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【例 2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多少千米？一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地．又知大轿车是上午10时从甲地出发．求小轿车追上大轿车的时间．【例 3】甲、乙两人分别从相距 35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行 4 千米，但每行 30 分钟就休息 5 分钟；乙每小时行 12 千米，则经过________小时________分的时候两人相遇．甲乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进。

学习改变命运，思考成就(chéngjiù)未来！姓名(xìngmíng) _______________行程问题是我们在小学应用题中经常会遇到的，其中还包括水流问题以及一些特殊的行程问题我们在解决(jiějué)行程问题前，要牢记以下公式行程问题是研究(yánjiū)物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间路程一定，时间(shíjiān)和速度成反比速度一定，路程和时间成正比时间一定，路程和速度成正比关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间= 速度和追及问题：追及时间＝路程差÷速度差速度差＝路程差÷追及时间追及时间×速度差＝路程差追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度=船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷21、甲乙两车同时从AB两地相对开出。

甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。

求AB两地相距多少千米 ?2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。

货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。

甲乙两地相距多少千米？3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。

现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。

求乙绕城一周所需要的时间？4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米？5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对(xiāngduì)开出,相向而行。

小学六年级奥数行程问题Revised on November 25, 2020行程问题（一) 【知识点讲解】基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间关键：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)主要方法：画线段图法基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量，求第三个量。

相遇问题：例1、甲乙两车同时从AB 两地相对开出，第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回，第二次相遇时离B 地的距离是AB 全程的51。

已知甲车在第一次相遇时行了120千米。

AB 两地相距多少千米例2、甲、乙两车分别从A 、B 两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点35千米，已知甲车比乙车每小时多行10千米。

问A 、B 两城相距多少千米例3、甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，甲步行每小时走5千米，乙骑自行车每小时行15千米，丙也骑自行车每小时20千米，已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求东、西城相距多少千米例4、 甲乙两站相距470千米，一列火车于中午1时从甲站出发，每小时行52千米，另一列火车下午2时30分从乙站开出，下午6时两车相遇，求乙站开出的那辆火车的速度是多少例5、小李从A 城到B 城，速度是50千米/小时，小兰从B 城到A 城，速度是40千米/小时。

两人同时出发，结果在距A 、B 两城中点10千米处相遇。

求A 、B 两城间的距离。

例6、绕湖的一周是24千米,小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以每小时4千米的速度每走1小时休息5分钟,小张以每小时6千米的速度每走5分休息10分钟.两人出发后多长时间第一次相遇家庭作业1、一列客车和一列货车同时从两地相向开出,经过18小时两车在某处相遇,已知两地相距1488千米,货车每小时比客车少行8千米,货车每行驶3小时要停驶1小时,客车每小时行多少千米2、一个600米长的环形跑道上，兄弟两人如果同时从同一起点按顺时针反方向跑步，每隔12分钟相遇一次；如果两人同从同一起点反方向跑步，每隔4分中相遇一次。

变速问题教学目标1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的A处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90米，则两人仍在A处相遇。

变速问题【例题1】小红上学，每分钟行60米，需要30分钟，如果速度提高，可以提前几分钟？【思路一】可以从如下方面进行来分析：1.先算出路程。

60×30＝1800米。

2.再算后来的速度。

60×＋60＝72米/分。

3.接着算后来需要的时间。

1800÷72＝25分。

4.最后算提前的时间。

30－25＝5分钟。

【思路二】利用工程问题思想分析：设原来每分钟行1份的路程，后来每分钟行1＋＝1.2份的路程，原来30分钟就行30份，提高速度后只需要30÷（1＋）＝25分。

则提前30－25＝5分钟。

【练习1】小明乘车去公园，每小时行45千米，需要3.6小时，如果速度提高，可以提前多少小时到达？【解答】3.6－3.6÷（1＋）＝0.9小时【例题2】甲从A地去B地，每小时行15千米。

返回时速度提高，结果少用3小时。

请问A、B两地的距离是多少千米？【思路一】盈亏问题思想返回每小时多行15×＝3千米，返回每小时行15＋3＝18千米，如果继续行3小时，可以多行3×18＝54千米，说明去的时间是54÷3＝18小时。

因此两地之间的距离是15×18＝270千米。

【思路二】工程问题思想去的时间看作单位1，返回的时间是1÷（1＋）＝，3小时就相当于1－＝，则去用的时间是3÷＝18小时。

两地之间的距离是15×18＝270千米。

返回每小时行15×（1＋）＝18千米，往返1千米少用－＝小时，现在少用3小时，需要往返3÷＝270千米。

【练习2】小芳放学回家，每分钟行75米。

原路去上学，每分钟比原来慢，结果多用2分钟。

小芳家到学校有多少米？【解答】上学的速度75×（1－）＝60米/分，小芳家到学校有2÷（－）＝600米。

【例题3】王师傅用3.2小时在家和工厂之间往返了一次，去时每小时25千米，返回时减速，求他家到工厂相距多少千米？【解答】返回的速度是25×（1－）＝15千米/时，往返1千米需要＋＝小时，现在用3.2小时可以往返3.2÷＝30千米。

变速行程问题是行程问题中较难的一类，在解决这类问题是，通常会利用比的相关知识将路程、时间、速度这三者之间的关系进行合理转换。

【例1】甲乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时它们的速度比5:4，它们第一次相遇后，甲的速度降低了20%，乙的速度提高了20%，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有20千米。

那么AB 两地相距多少千米？【举一反三】练1.甲乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比4：3，相遇后，甲的速度增加了10%，乙的速度提高了20%，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有17千米。

那么AB 两地相距多少千米？练2.甲乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比4：5，相遇后，甲的速度降低了25%，乙的速度提高了20%，然后沿原方向前进，当乙到达A 地时，甲离B 地还有30千米。

那么AB 两地相距多少千米？练3.甲乙两人以同样的速度同时从A 、B 两地相向出发，相遇后甲的速度提高了31，用212小时到达B 地。

乙的速度减少了61，乙再用多少小时可以到达A 地？专题：变速行程问题【例2】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可以提前40分钟到达。

那么甲乙相距多少千米？【举一反三】练1.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高19，可以比原定时间提前20分钟到达；如果按原速行驶72千米后，再将速度提高13，则可以提前30分钟到达。

那么甲乙相距多少千米？练2：一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？练3：一名通讯员从甲地到乙地，如果每小时行3千米，则比规定时间迟到23小时；如果每小时行6千米，则比规定时间早到23小时。

要以怎样的速度才能准时到达？【例3】已知甲从A 到B ，乙从B 到A ，甲、乙二人行走速度之比是6：5．如图所示M 是AB 的中点，离M 点26千米处有一点C ，离M 点4千米处有一点D ．谁经过C 点都要减速41，经过D 点都要加速41，现在甲、乙二人同时出发，同时到达．求A 与B 之间的距离是多少千米？【举一反三】练1客车和货车同时从A 、B 两地相对开出。

行程板块之变速问题知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

例题精讲：【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。

若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？解析;因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。

（70×4）÷（90-70）=14 分钟可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 14＋4=18 分钟；两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）【例2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 25秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

解析：因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 25秒，则相遇前两人和跑一圈也用 25秒。

以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 25 秒的路程与以（V +2 ）跑了 25 秒的路程之和等于 400米，25V +25（V +2 ）=400 易得V = 7米/秒【例3】甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点16 千米．甲车原来每小时行多少千米？解析;设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。

甲增加速度后，两车在 E 处相遇。

由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。

于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。

高斯小学奥数六年级下册含答案第06讲_变速行程问题第六讲变速行程问题本讲知识点汇总：普通变速问题的求解1．分段比较在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程．2．假设法比较假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较．3．方程设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程．带有往返的变速问题对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇; 3．对次数比较多的迎面相遇或追上，先计算周期，再看在一个周期内，两人会相遇几次．环形路线中的变速问题，和前面类似，重点依然是估算和周期．例1．骑自行车从公主坟校区到望京校区，以每小时10千米的速度行进，下午 1 时到；以每小时 15 千米的速度行进，上午 11 时到．（1）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？（ 2）如果希望中午 12 时到，应以怎样的速度行进？1．甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点：1) 甲乙异侧出发：当路程和为当路程差为1、3、5、 1、3、 5、 2) 甲乙同侧出发：当路程和为2、4、 6、当路程差为2、4、 6、3) 注意“相遇”和“迎面相遇” 的区别，相遇”包括迎面相遇和背后追上．当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上． 2．熟记…个全长时，两人迎面相遇;…个全长时，两人追上;…个全长时，两人迎面相遇; …个全长时，两人追上;4)「分析」（1）可以利用行程中的正反比例解题；（3）确定出发时间很重要．练习1、小红帽去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比是3:2:1．已知小红帽在三种路段上走的速度比为3:4:5 ，且在平路上行走的时间是10 分钟．那么小红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？例2．八戒和沙僧兄弟俩去巡山．八戒先走5 分钟，沙僧出发25 分钟后追上了八戒．如果沙僧每分钟多走500 米，那么出发20 分钟后就可以追上八戒．八戒每分钟走多少米？「分析」本题可以利用行程中的正反比例解题．练习2、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25 分钟到达；若以原速行驶半小时，再将车速提高30 千米/小时，可提前30 分钟到达，甲乙两地的距离是多少千米？例3.某人开汽车从A城到相距200千米的B城?开始时，他以56千米/时的速度行驶，但途中因汽车故障停车修理用去半小时．为了按原定计划准时到达，他必须在后面的路程中将速度增加14千米/时?他修车的地方距A城多少千米？「分析」本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题.练习3、叔叔开车回家，原计划按照40千米/时的速度行驶?行驶到路程的一半时发现之前的速度只有30 千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准时到家？例4．喜羊羊乘飞船从地球村到火星村．如果将速度提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720 万千米，再将速度提高三分之一，也可以比预定时间提前半小时到．请问地球村与火星村之间的路程是多少万千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题．练习4、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1 个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前20 分钟赶到；如果先按原速度行驶72 千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30 分钟赶到．问：这支解放军部队一共需要行多少千米？例5.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中C 点相遇?如果甲的速度增加10%，乙每小时多走300米，也在C点相遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C点相遇?那么两人相遇时距B多少千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题，途中每次相遇均在C 点这个条件很重要.例6.甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍.乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的六分之一?排除故障后，乙提高车速60%，结果甲乙同时到达B 地?那么A、B两地之间的距离是多少千米？「分析」这道题目可以采用列方程的办法解题.课堂内外--------------------------------------------------数学家欧几里得亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：E UK入？，约公元前330年一前275年）,古希腊数学家，被称为“几何之父”?他活跃于托勒密一世（公元前323年—前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书. 欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人.最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基?在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性.大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明. 因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋?欧几里德通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势?他下定决心，要在有生之年完成这一工作?为了完成这一重任，欧几里德不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠一亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷.在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解?经过欧几里德忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书?这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域一一欧几里得几何学，简称欧氏几何.作业1 .哼哼去奶奶家，途中要经过泥路、土路和水泥路各一段，路程比是3:6:15 .已知哼哼在三种路段上的行走的速度比为2:3:5,且在土路上行走的时间是 20分钟.那么哼哼去奶奶家路上一共花了多少分钟？ 2. (1)丽丽从家走到学校，如果速度提高五分之一，会早多长时间到？ ( 2)丽丽从学校走到家，如果速度减少五分之一，会晚多长时间到？ 3. (1)墨莫从金源走到海文，如果速度增加5米/秒，时间减少六分之一，原来的速度是多少？( 2)墨莫从金源走到海文，如果速度减少6 米/秒，时间增加六分之一，原来的速度是多少？ 4. 路三三开车回家，原计划按照 10千米/时的速度行驶.行驶到路程的一半时发现之前的速度只有 5.5 千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米 /时才能准时到家？5. 喜羊羊乘飞船从地球村到火星村，如果将车速提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶 720 万千米，再将车速提高三分之一，也可比预定时间提前半小时到.那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？5 分钟到，按原来的速度需要6 分钟到，按原来的速度需要第六讲变速行程问题例7．答案：（1）60（2）12．解答：（1）速度之比是10:15，即2:3，所以时间之比是3:2，所以 1 份时间是 2 小时，即以速度是10 千米每小时会6小时到，即距离是60千米，且出发时间是上午7点;（2）60除以5即可，所以，速度是12 千米/时．例8．答案：10000．解答：第一种情况下时间之比是30:25，即6:5，所以速度之比是5:6 ;第二种情况下时间之比是25:20，即5:4，所以速度之比是4:5 ．八戒的速度没有改变，所以有20:24 和20:25，一份即500 米，所以八戒每分钟走10000．例9．答案：60．解答：故障前后的速度比是56:70，即4:5，时间比是5:4，时间相差半小时，即按原速的时间走完剩下的路程需要2.5 小时，所以路程是140 千米，那么修车的地方距离 A 城60 千米．例10．答案：13806、94365．解答：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9 的整除特性，所以最小是13806;最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9 的整除特性，所以最大是94365．例11 ．答案：648．例12 ．答案：83．解答：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数，即3n 1 125k , 可知k取2时符合要求，此时n 为83.练习：练习1、答案：30.简答：路程除以速度等于时间，所以时间之比是2:3:1，平路是3份时间花了15分钟，所以一共要30分钟.练习2、答案：225.简答：第一种情况下速度之比是5:6 ,时间之比是6:5,提前25分钟到，即原来所用的时间是2.5小时；第二种情况下时间比是2:1.5，即时间比是4:3，速度比是3:4,此时车速提高了30千米每小时，所以原来的速度是90千米每小时?则路程是225千米.练习3、答案：60.简答：根据：平均速度=总路程，结合设数法可得：设全程为240千米，后半程速度要达到总时间240 120120 =60千米/时.40 30练习4、答案：216.简答：本题解法类似例4.作业1.答案：65 分钟.简答：时间之比是3:4:6，所以时间是65 分钟.简答：（1）速度比是5:6，所以时间比是6:5，时间是30 分钟；2）速度比是5:4 ，所以时间比是4:5，时间是24 分钟.2.答案：30分钟；24分钟.简答：（1）时间比是6:5，所以速度比是5:6，时间是25 米/秒；2）速度比是6:7 ，所以时间比是7:6，时间是42 米/秒.3.答案：25米/秒；42米/秒.4.答案：55 千米/小时.简答：设路程为1，则一半路程就是二分之一，列方程可得答案是55.5.答案：2160 万千米.简答：车速比是5:6，时间比是6:5，所以预定时间是3 小时；车速提高三分之一时，速度比是3:4，时间比是4:3 ，所以按原速除了720千米的路程需要2小时，所以速度是720万千米每小时，所以地球村和火星村之间的路程是2160 万千米.。

六年级下册奥数第3讲~变速行程问题知识点二：设数法解变速行程举例：下图是一个正六边形，已知一个蚂蚁在每边上的爬行速度，求绕一圈的平均速度。

例2、一只虫子沿正方形ABCD的四条边爬行，已知其在AB上的速度是每分钟90厘米，BC上的速度是每分钟120厘米，CD上的速度是每分钟60厘米，DA上的速度是每分钟80厘米。

蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？练2、一只虫子沿正方形ABCD爬行，已知其在AB上的速度是每分钟90厘米，BC上的速度是每分钟120厘米，CD上的速度是每分钟60厘米，DA上的速度是每分钟80厘米。

蚂蚁由A点开始，逆时针爬行2周半，平均速度是多少？知识点三：设分段法解变速行程当题目中没有告诉我们路程时，我们只要通过设数的形式进行解题就可以了，当然设数法求平均速度的问题还有另外一种类型，1、张老师开车回家，此时距离家有120千米，前半程用速30千米/时速度行驶，临时家里有事需要尽快到达，要想3小时到达，那么后半段的速度是__________。

2、有甲乙两艘船在海上相向行驶，甲船单独行驶完全程需要6小时，乙船单独行驶完全程需要4小时，甲乙同时出发_______小时相遇。

例3、胖胖开车去外婆家，原计划按照60千米/时的速度行驶，行驶到路程的一半时发现之前的速度只有50千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到外婆家？练3、李老师开车去图书馆，前一半路程车速为每小时40千米，平均速度是每小时48千米，那么他后一半路程的车速是多少？知识点四：与正反比相关的变速行程举例：小红帽去外婆家，小红帽有天按照往常的速度去2000米处的外婆家，结果在最后500米处发现了大灰狼，小红帽加快速度跑步，结果比平时提前了3分钟到达外婆家，请问，如果小红帽一开始就以跑步的速度，那么可以提前几分钟到达外婆家。

板书总结：与正反比相关的变速行程1、路程相同，速度与时间成反比；2、去相同，比不同3、找不变量，路程和相同，速度和相同，时间也相同3、乐乐和静静、赛跑，这天他们选定了跑道进行比赛，已知乐乐和静静、的速度比为5:4，乐乐比静静、早2秒到终点，乐乐跑完全程需要多久？4、客货两车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客货两车所行的路程比是5:4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走27千米，客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。

应用题板块-行程问题之变速行驶（小学奥数六年级）变速行驶是行程问题中的综合题，常常需要混合使用多个解题手法，复杂度也直线上升。

本文对常见的题型和解题思路进行梳理分析，答题也就游刃有余了。

【一、题型要领】变速问题常见的有两类一是单人从A到B，以初始速度行驶，在路途中间加速或减速，最终提前或推迟到达目的地。

二是甲乙两人在AB异地同时出发，甲的速度始终不变，乙在行驶一段距离后速度发生改变，最终影响两人到达目的地的时间答题方法主要有分段法，图示法，比例法，方程法。

1. 分段法【基本概念】在非匀速即分段变速的行程问题中，公式（路程 = 速度 * 时间）不能直接套用。

这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。

2. 图示法【基本概念】在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具，示意图包括线段图和折线图。

图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。

另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。

3. 比例法【基本概念】行程问题中有很多比例关系，在只知道和差，比例时，用比例法可求得具体数值。

更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程，速度，时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例法解题4.方程法【基本概念】在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

【二、重点例题】例题1【题目】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶40千米，返回时每小时行驶50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟。

求甲乙两地之间的路程？【分析】汽车从甲地开往乙地又从乙地开往甲地，来回所走距离相同。

有去时速度 * 去时时间 = 返回速度 * 返回时间已知去时速度 = 40千米/小时，返回速度 = 50千米/小时，因此去时时间：返回时间 = 5：4又知返回时间 - 去时时间 = 48分钟，可得返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟），最后可求出甲乙两地的距离【解】去时时间：返回时间 = 返回速度：去时速度 = 5：4返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟）甲乙两地之间的路程 = 50 ÷ 60 * 192 = 160（千米）【答】甲乙两地之间的路程是160千米例题2【题目】甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有28千米。

六年级下小升初典型奥数之行程问题在小学六年级的数学学习中，行程问题是一个重要且具有一定难度的知识点，也是小升初奥数考试中经常出现的典型题型。

对于同学们来说，掌握行程问题不仅能够提高数学思维能力，还能为今后的学习打下坚实的基础。

行程问题主要涉及速度、时间和路程这三个量之间的关系。

简单来说，路程＝速度 ×时间。

但在实际的题目中，情况往往会更加复杂多样。

我们先来看看相遇问题。

例如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度是每小时 5 千米，乙的速度是每小时 3 千米，经过 4 小时两人相遇。

那么 A、B 两地的距离是多少呢？这道题中，甲、乙两人的速度已知，时间也已知。

我们先算出甲 4 小时走的路程：5×4 ＝ 20（千米）；再算出乙 4 小时走的路程：3×4＝ 12（千米）。

然后把两人走的路程相加，20 ＋ 12 ＝ 32（千米），这就是 A、B 两地的距离。

还有追及问题。

比如，甲在乙前面 10 千米处，甲的速度是每小时 4 千米，乙的速度是每小时 6 千米，那么乙多久能追上甲呢？我们先算出乙每小时比甲多走的路程：6 4 ＝ 2（千米）。

因为乙要追上甲，就要比甲多走 10 千米，所以用 10÷2 ＝ 5（小时），乙 5 小时能追上甲。

再来说说环形跑道问题。

假设在一个周长为 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发，甲的速度是每秒 6 米，乙的速度是每秒 4 米。

那么甲第一次追上乙需要多长时间呢？因为是环形跑道，甲要追上乙，就要比乙多跑一圈，也就是400 米。

甲每秒比乙多跑 6 4 ＝ 2（米），所以 400÷2 ＝ 200（秒），甲 200 秒能追上乙。

除了上面这些常见的类型，还有一些变形的行程问题。

比如，一辆汽车从甲地开往乙地，如果速度提高 20%，那么所用的时间就会减少百分之几？我们设原来的速度为“1”，原来的时间为“1”，路程就是 1×1 ＝ 1。

六年级下册奥数第3讲~变速行程问题知识点二：设数法解变速行程举例：下图是一个正六边形，已知一个蚂蚁在每边上的爬行速度，求绕一圈的平均速度。

例2、一只虫子沿正方形ABCD的四条边爬行，已知其在AB上的速度是每分钟90厘米，BC上的速度是每分钟120厘米，CD上的速度是每分钟60厘米，DA上的速度是每分钟80厘米。

蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？练2、一只虫子沿正方形ABCD爬行，已知其在AB上的速度是每分钟90厘米，BC上的速度是每分钟120厘米，CD上的速度是每分钟60厘米，DA上的速度是每分钟80厘米。

蚂蚁由A点开始，逆时针爬行2周半，平均速度是多少？知识点三：设分段法解变速行程当题目中没有告诉我们路程时，我们只要通过设数的形式进行解题就可以了，当然设数法求平均速度的问题还有另外一种类型，1、张老师开车回家，此时距离家有120千米，前半程用速30千米/时速度行驶，临时家里有事需要尽快到达，要想3小时到达，那么后半段的速度是__________。

2、有甲乙两艘船在海上相向行驶，甲船单独行驶完全程需要6小时，乙船单独行驶完全程需要4小时，甲乙同时出发_______小时相遇。

例3、胖胖开车去外婆家，原计划按照60千米/时的速度行驶，行驶到路程的一半时发现之前的速度只有50千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到外婆家？练3、李老师开车去图书馆，前一半路程车速为每小时40千米，平均速度是每小时48千米，那么他后一半路程的车速是多少？知识点四：与正反比相关的变速行程举例：小红帽去外婆家，小红帽有天按照往常的速度去2000米处的外婆家，结果在最后500米处发现了大灰狼，小红帽加快速度跑步，结果比平时提前了3分钟到达外婆家，请问，如果小红帽一开始就以跑步的速度，那么可以提前几分钟到达外婆家。

板书总结：与正反比相关的变速行程1、路程相同，速度与时间成反比；2、去相同，比不同3、找不变量，路程和相同，速度和相同，时间也相同3、乐乐和静静、赛跑，这天他们选定了跑道进行比赛，已知乐乐和静静、的速度比为5:4，乐乐比静静、早2秒到终点，乐乐跑完全程需要多久？4、客货两车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客货两车所行的路程比是5:4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走27千米，客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。

第10讲 行程问题六内容概述灵话应用比例分析的行程问题，需考虑路程、时间、速度三个量之间的各种正反比关系；综合性较强，运动路线或路况复杂的行程问题；需零进行优化设计的行程问题．典型问题兴趣篇1．姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆，姐姐算了一下：如果从公园到博物馆距离超过2千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆的距离不足2千米，那么直接走过去省时间．已知骑车与步行的速度比为4:1，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？2．有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从某地出发同向而行．乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙．请问：甲出发多少分钟后才能追上乙？3．客车、货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车都在6:00出发，那么会在11:00相遇，如果客车和货车分别于7:00和8:00出发，那么会在12:40相遇．现在客车和货车分别于10:00和8:00出发，它们将在什么时候相遇？4．两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行．甲、乙同时出发10分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发100分钟后，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？5．A 、B 、C 、D 四个小镇之间的道路分布如图10-1所示，其中A 、D 两镇相距20千米，B 、D 两镇相距30千米．某天甲、乙两人同时从B 镇出发，甲到达D 镇后再向A 镇走，到达A 镇后又立刻返回，而乙到达D 镇后直接向C 行进．丙从C 镇与甲、乙两人同时出发，在距离D 镇15千米处与乙相遇．当丙到达D 镇后又向A 镇前行，在与D 镇相距6千米的地方与甲相遇，已知甲、乙的速度比为8:9，求O 、C 两镇之间的距离．6．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米／时，乙车速度为48千米／时．它们分别到达B 地和A 地后，甲车速度提高四分之一，乙车速度减少六分之一．如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？7．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍．甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰．求从山脚到山顶的距离．8．从甲市到乙市有一条公路，它分成三段：在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米，己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍．现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段公路上从甲到乙方向的31处相遇，请问：甲、乙两市相距多少千米？9．一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部，每辆摩托车装满油最多能行150千米，且途中没有加油站．由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派两辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另一辆则在中途供给油料后安全返回驻地．请问：指挥部距小分队驻地最远可能是多少千米？10．甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，都为5千米／时，汽车的速度为35千米／时．请问：汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？拓展篇1．一辆轿车和一辆巴士都从A 地到B 地，巴士速度是轿车速度的54．巴士要在两地的中点停10分钟，轿车中途不停车，轿车比巴士在A 地晚出发11分钟，早7分钟到达B 地．如果巴士是10点出发的，那么轿车超过巴士时是10点多少分？2．客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，已知客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时．两车在中途相遇后，货车又行了90千米，这时客车行完了全程的80%，求甲、乙两地的距离．3．甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时乙比甲多行了100米，如果甲出发后在距离AB 中点220米处把速度提高到原来的3倍，则相遇时甲比乙多行了100米，求A 、B 两地的距离，4．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山．他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍．甲与乙在离山顶400米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求山脚到山顶的距离． 5．某天早上8点甲从B 地出发，同时乙从A 地出发追甲，结果在距离B 地9千米的地方追上．如果乙把速度提高一倍，而甲的速度不变，那么将在距离艿地2千米处追上．请问：A 、B 两地相距多少千米？6．如图10-2，A 、B 两地相距54千米，D 是AB 的中点．甲、乙、丙三人骑车分别同时从A 、B 、C 三地出发，甲骑车去B 地，乙骑车去A 地，丙总是经过D 之后往甲、乙两人将要相遇的地方骑，结果三人在距离D 点5400米的E 点相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么丙必须提前52分钟出发三人才能相遇，否则甲、乙相遇的时候，丙还差6600米才到D ．请问：甲的速度是每小时多少千米？7、甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车。

小学数学六年级知识点：行程问题发车问题（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

流水行船问题中的相遇与追及①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.例1：某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？分析：这个题可以简单的找规律求解时间车辆4分钟9辆6分钟10辆8分钟9辆12分钟9辆16分钟8辆18分钟9辆20分钟8辆24分钟8辆由此可以看出：每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了12*9=108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。

走停与变速问题知识框架变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．重难点学会画线段图解决行程中的走停问题能够运用等式或比例解决较难的行程题能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

例题精讲一、走停问题【例 1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城。

汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。

如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？【巩固】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750 米，预计50 分钟到达．但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【例 2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多少千米？比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地．又知大轿车是上午10时从甲地出发．求小轿车追上大轿车的时间．【例 3】甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行．甲每小时行4 千米，但每行30 分钟就休息5 分钟；乙每小时行12 千米，则经过________小时________分的时候两人相遇．【巩固】甲乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进。

第六讲 变速行程问题本讲知识点汇总：普通变速问题的求解1． 分段比较 在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程．2． 假设法比较 假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较．3． 方程 设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程．带有往返的变速问题对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇; 3． 对次数比较多的迎面相遇或追上，先计算周期，再看在一个周期内，两人会相遇 几次． 环形路线中的变速问题，和前面类似，重点依然是估算和周期． 例1．骑自行车从公主坟校区到望京校区，以每小时10千米的速度行进，下午 1 时到；以 每小时 15 千米的速度行进，上午 11 时到．（1）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？（ 2）如果希望中午 12 时到，应以怎样的速度行进？1．甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点： 1) 甲乙异侧出发： 当路程和为当路程差为1、3、5、 1、3、 5、 2) 甲乙同侧出发： 当路程和为2、4、 6、当路程差为2、4、 6、3) 注意“相遇”和 “迎面相遇” 的区别，相遇”包括迎面相遇和背后追上．当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上． 2．熟记 …个全长时，两人迎面相遇;…个全长时，两人追上;…个全长时，两人迎面相遇; …个全长时，两人追上;4)「分析」（1）可以利用行程中的正反比例解题；（3）确定出发时间很重要．练习1、小红帽去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比是3:2:1．已知小红帽在三种路段上走的速度比为3:4:5 ，且在平路上行走的时间是10 分钟．那么小红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？例2．八戒和沙僧兄弟俩去巡山．八戒先走 5 分钟，沙僧出发25 分钟后追上了八戒．如果沙僧每分钟多走500 米，那么出发20 分钟后就可以追上八戒．八戒每分钟走多少米？「分析」本题可以利用行程中的正反比例解题．练习2、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25 分钟到达；若以原速行驶半小时，再将车速提高30 千米/小时，可提前30 分钟到达，甲乙两地的距离是多少千米？例3.某人开汽车从A城到相距200千米的B城•开始时，他以56千米/时的速度行驶，但途中因汽车故障停车修理用去半小时．为了按原定计划准时到达，他必须在后面的路程中将速度增加14千米/时•他修车的地方距A城多少千米？「分析」本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题.练习3、叔叔开车回家，原计划按照40千米/时的速度行驶•行驶到路程的一半时发现之前的速度只有30 千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准时到家？例4．喜羊羊乘飞船从地球村到火星村．如果将速度提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720 万千米，再将速度提高三分之一，也可以比预定时间提前半小时到．请问地球村与火星村之间的路程是多少万千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题．练习4、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶 1 个小时后，将车速提高五分之一，就可比预定时间提前20 分钟赶到；如果先按原速度行驶72 千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30 分钟赶到．问：这支解放军部队一共需要行多少千米？例5.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中C点相遇•如果甲的速度增加10%，乙每小时多走300米，也在C点相遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C点相遇•那么两人相遇时距B多少千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题，途中每次相遇均在C点这个条件很重要.例6.甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的 1.2倍.乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的六分之一•排除故障后，乙提高车速60%，结果甲乙同时到达B地•那么A、B两地之间的距离是多少千米？「分析」这道题目可以采用列方程的办法解题.课堂内外--------------------------------------------------数学家欧几里得亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：E UK入？，约公元前330年一前275年）,古希腊数学家，被称为“几何之父”•他活跃于托勒密一世（公元前323年—前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书. 欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人.最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基•在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性.大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明. 因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋•欧几里德通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势•他下定决心，要在有生之年完成这一工作•为了完成这一重任，欧几里德不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠一亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷.在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解•经过欧几里德忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书•这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域一一欧几里得几何学，简称欧氏几何.作业1 .哼哼去奶奶家，途中要经过泥路、土路和水泥路各一段，路程比是3:6:15 .已知哼哼在 三种路段上的行走的速度比为2:3:5,且在土路上行走的时间是 20分钟.那么哼哼去奶奶家路上一共花了多少分钟？ 2. (1)丽丽从家走到学校，如果速度提高五分之一，会早多长时间到？ ( 2)丽丽从学校走到家，如果速度减少五分之一，会晚 多长时间到？ 3. (1)墨莫从金源走到海文，如果速度增加5米/秒，时间减少六分之一，原来的速度是 多少？( 2)墨莫从金源走到海文，如果速度减少6 米/秒，时间增加六分之一，原来的速度是多少？ 4. 路三三开车回家，原计划按照 10千米/时的速度行驶.行驶到路程的一半时发现之前的速度只有 5.5 千米/时，那么在后一半路程中， 速度必须达到多少千米 /时才能准时到家？5. 喜羊羊乘飞船从地球村到火星村， 如果将车速提高五分之一， 就可比预定时间提前半小 时赶到； 如果先按原速度行驶 720 万千米， 再将车速提高三分之一， 也可比预定时间提 前半小时到.那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？5 分钟到，按原来的速度需要6 分钟到，按原来的速度需要第六讲变速行程问题例7．答案：（1）60（2）12．解答：（1）速度之比是10:15，即2:3，所以时间之比是3:2，所以 1 份时间是 2 小时，即以速度是10 千米每小时会6小时到，即距离是60千米，且出发时间是上午7点;（2）60除以5即可，所以，速度是12 千米/时．例8．答案：10000．解答：第一种情况下时间之比是30:25，即6:5，所以速度之比是5:6 ;第二种情况下时间之比是25:20，即5:4，所以速度之比是4:5 ．八戒的速度没有改变，所以有20:24 和20:25，一份即500 米，所以八戒每分钟走10000．例9．答案：60．解答：故障前后的速度比是56:70，即4:5，时间比是5:4，时间相差半小时，即按原速的时间走完剩下的路程需要 2.5 小时，所以路程是140 千米，那么修车的地方距离 A 城60 千米．例10．答案：13806、94365．解答：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9 的整除特性，所以最小是13806;最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9 的整除特性，所以最大是94365．例11 ．答案：648．例12 ．答案：83．解答：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数，即3n 1 125k , 可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：30.简答：路程除以速度等于时间，所以时间之比是2:3:1，平路是3份时间花了15分钟，所以一共要30分钟.练习2、答案：225.简答：第一种情况下速度之比是5:6 ,时间之比是6:5,提前25分钟到，即原来所用的时间是2.5小时；第二种情况下时间比是2:1.5，即时间比是4:3，速度比是3:4,此时车速提高了30千米每小时，所以原来的速度是90千米每小时•则路程是225千米.练习3、答案：60.简答：根据：平均速度=总路程，结合设数法可得：设全程为240千米，后半程速度要达到总时间240 120120 =60千米/时.40 30练习4、答案：216.简答：本题解法类似例4.作业1.答案：65 分钟.简答：时间之比是3:4:6，所以时间是65 分钟.简答：（1）速度比是5:6，所以时间比是6:5，时间是30 分钟；2）速度比是5:4 ，所以时间比是4:5，时间是24 分钟.2.答案：30分钟；24分钟.简答：（1）时间比是6:5，所以速度比是5:6，时间是25 米/秒；2）速度比是6:7 ，所以时间比是7:6，时间是42 米/秒.3.答案：25米/秒；42米/秒.4.答案：55 千米/小时.简答：设路程为1，则一半路程就是二分之一，列方程可得答案是55.5.答案：2160 万千米.简答：车速比是5:6，时间比是6:5，所以预定时间是3 小时；车速提高三分之一时，速度比是3:4，时间比是4:3 ，所以按原速除了720千米的路程需要2小时，所以速度是720万千米每小时，所以地球村和火星村之间的路程是2160 万千米.。

(奥数典型题)行程问题-2023-2024学年六年级下册小升初数学思维拓展第8讲行程问题【知识点归纳】1.、速度：指单位时间内所行的路程。

因为速度＝路程÷时间，所以速度的单位名称是路程单位/时间单位，即千米/时，米/分，米/秒，千米/分……2、路程、时间与速度的关系：（1）已知路程和时间，求速度：速度＝路程÷时间；（2）已知路程和速度，求时间：时间＝路程÷速度；（3）已知速度和时间，求路程：路程＝速度×时间。

在路程、时间和速度三个量中，知道其中的任何两个量，都能求出第三个量。

【方法总结】1、路程、时间和速度之间的关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间1．客车和货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3h相遇，相遇后客车又行驶2h到达乙地，已知货车每时行驶50km，问甲、乙两地相距多少千米？2．甲乙两列火车分别从南、北两地同时相对开出，6小时后相遇。

甲车的速度是120千米/时，乙车的速度是130千米/时。

求南、北两地的路程。

（先画图整理条件和问题，再解答。

）3．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。

求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!）4．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

5．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。

甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。

则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？6．甲乙两地相距1200千米。

一辆大客车和一辆小客车分别从两地同时出发，相向而行，6小时相遇。