最新人教版高中数学必修4第一章《正弦函数的图象与性质》课后训练(第2课时)

课后训练1．函数y＝cos x与y＝－cos x的图象( )A．只关于x轴对称B．只关于原点对称C．关于原点、x轴对称D．关于原点、坐标轴对称2．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是( ) 3．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根4．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝32交点的个数是( )A．0B．1C．2D．35．函数y＝sin|x|的图象是( )6．函数y＝sin x的图象和y＝cos x的图象在[0,2π]内的交点坐标为__________．7．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．8．用“五点法”画函数y＝－2＋sin x(x∈[0,2π])的简图．9．求函数y10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x＞0；②sin x＜0．(2)直线y＝12与y＝－sin x的图象有几个交点？参考答案1答案：C2答案：B 解析：由五点法作图可知选B ．3答案：C 解析：在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根． 4答案：C 解析：画出y ＝32与y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象可得有2个交点．5答案：B 解析：y ＝sin|x |＝sin ,0,sin(),0.x x x x ≥⎧⎨-<⎩作出y ＝sin|x |的简图知选B ．6答案：π4⎛ ⎝⎭和5π,4⎛ ⎝⎭解析：在同一坐标系内画出图象即可．7答案：1＜k ＜3 解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝3sin ,[0,π],sin ,[π,2π].x x x x ∈⎧⎨-∈⎩如图，则k 的取值范围是1＜k ＜3．8答案：9答案：解：由1sin 0,2cos 0,x x ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩ 得1sin ,2ππ2π2π,.22x k x k k Z ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤≤+∈⎪⎩∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝的定义域为ππ2π,2π62k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )．答案：解：利用五点法作图．(1)根据图象可知图象在x 轴上方的部分sin x ＞0，在x 轴下方的部分sin x ＜0． 所以①当x ∈(－π，0)时，sin x ＞0； ②当x ∈(0，π)时，sin x ＜0． (2)画出直线y ＝12，得知有两个交点．。

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。

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1。

4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）一、A组1.函数y=|sin x｜的一个单调增区间是（）A.B。

C。

D.解析：画出y=|sin x｜的图象即可求解。

故选C。

答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos（-π≤x≤π)的值域为（)A. B.［-1，1]C. D.解析：因为-π≤x≤π,所以—.所以—≤cos≤1，y=cos(-π≤x≤π）的值域为。

答案：C3。

函数f（x）=3sin在下列区间内递减的是(）A。

B.［—π,0]C。

D.解析：令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z,∴函数f（x)的递减区间为，k∈Z。

从而可判断，∴在x∈时,f（x)单调递减.答案:D4。

函数f（x）=2sin（ω〉0）的最小正周期为4π,当f（x)取得最小值时，x的取值集合为(）A.B.C.D。

解析:∵T==4π，∴ω=。

∴f（x)=2sin。

由x-=2kπ-（k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f（x）=sin，x∈R,下列结论错误的是（)A.函数f（x)的最小正周期为2πB.函数f（x)在区间上是增函数C。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π) D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54； 当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。

课后训练1．函数y＝3sin x－1的最大值和最小值分别是( ) A．1，－1B．2，－4C．2，－2D．4，－42．下列函数中，周期为π，且在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是( )A．y＝πsin22x⎛⎫+⎪⎝⎭B．y＝πcos22x⎛⎫+⎪⎝⎭C．y＝πsin2x⎛⎫+⎪⎝⎭D．y＝πcos2x⎛⎫+⎪⎝⎭3．函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是( )A．－2,2B．－2，5 2 -C．12-，2D．52-，24．函数y＝πsin23x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象( )A．关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称B．关于直线π4x=对称C．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称D．关于直线π3x=对称5．函数y＝π2sin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A．3πππ,π44k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)B．3ππ2π,2π44k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)C．3πππ,π88k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)D．3ππ2π,2π88k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)6．比较cos0，1cos2，cos30°，cos1，cosπ的大小为______________________________．7．若函数f(x)＝sinωx(0＜ω＜2)在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω等于__________．8．已知直线π4x=和5π4x=是函数f(x)＝πsin412xω⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭图象的两条相邻的对称轴，求f(x)的递减区间．9．已知函数f(x)＝π2cos34x⎛⎫+⎪⎝⎭．(1)求f(x)的单调递增区间．(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．10．已知函数f(x)＝π2sin26a x⎛⎫+⎪⎝⎭＋a＋b的定义域是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域是[－5,1]，求a，b的值．参考答案1答案：B 解析：∵－1≤sin x ≤1，∴－3≤3sin x ≤3，∴－4≤3sin x －1≤2，故选B ．2答案：A 解析：对于选项A ，注意到y ＝sin π22x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos2x 的周期为π，且在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． 3答案：D 解析：f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －2＝2152cos 22x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12-时，f (x )min ＝52-， 当cos x ＝1时，f (x )ma x ＝2．故选D ． 4答案：A 解析：令ππ2π32x k +=+，k ∈Z ，则ππ122k x =+，k ∈Z ，则对称轴为ππ122k x =+，k ∈Z ，排除B ，D ； 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝ππ62k -+，k ∈Z ． 当k ＝1时，对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ． 5答案：C 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2． ∴y ＝2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由π2-＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ． 6答案：cos0＞1cos 2＞cos30°＞cos1＞cos π 解析：∵0＜12＜π6＜1＜π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∴cos0＞1cos 2＞cos30°＞cos1＞cos π． 7答案：32 解析：根据题意知f (x )在π3x =处取得最大值1， ∴πsin 3ω＝1， ∴π3ω＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即ω＝6k ＋32，k ∈Z ． 又0＜ω＜2，∴32ω=符合条件． 8答案：解：由已知得f (x )的周期为2π，∴2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝πsin 412x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．令t ＝πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，y ＝12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又y ＝12t⎛⎫ ⎪⎝⎭在定义域上为减函数， ∴当f (x )＝πsin 412x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭递减时， t ＝πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． ∴f (x )的递减区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 9答案：解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2π5π2ππ312312k k x -≤≤-(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为 2π5π2ππ,312312k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2． 即2π5π312k x =-(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2． 10答案：解：∵0≤x ≤π2， ∴ππ7π2666x ≤+≤， ∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭． ∴a ＞0时，5,31,b a b =-⎧⎨+=⎩解得2,5.a b =⎧⎨=-⎩a ＜0时，1,35,b a b =⎧⎨+=-⎩解得2,1.a b =-⎧⎨=⎩因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1．。

精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π−x)都是减函数，则x的集合是A.B.C.D.2．函数的单调递增区间是A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z) 3．(2013·山东省实验中学检测)函数f(x)=sin2x-cos x的值域是A.[-1,1]B.[1,]C.[0,2]D.[-1,]精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧4．已知函数，的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是____.5．如果函数是定义在，上的奇函数，当时，函数的图像如图所示，那么不等式的解集是______．6．函数的值域是 .7．求函数的值域.8．已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)当时，求函数f(x)的最大值及最小值.能力提升1．函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 2．已知a＞0，函数，当时，−5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间.精心制作仅供参考唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二) 详细答案 【基础过关】1．A【解析】∵y ＝sin(π+x)＝−sinx ，∴其单调减区间为2,222k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ππππ，k ∈Z . ∵y ＝cos(2π−x)＝cosx ，∴其单调减区间为[2k π，2k π+π]，k ∈Z .∴y ＝sin(π+x)与y ＝cos(2π−x)都是减函数时的x 的集合为|222x k x k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭πππ+,k Z . 2．D3．D【解析】∵f (x )=y=sin 2x-cos x=1-cos 2x-cos x=-(cos x+ )2+ ,且cos x ∈[-1,1],∴y max =,y min =-1,故函数f (x )的值域为[-1,]. 4．,36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦πππ-π，k ∈Z 【解析】()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，由题意知f(x)的周期为T ＝π，∴ω＝2.由222262k x k ≤+≤ππππ-π+，得36k x k ≤≤+πππ-π，k ∈Z . 5．， ， ，【解析】本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式.由图像可知：时， ；当 时， ．再由 是奇函数，知：当 时， ；当 时， ． 又∵当 ，或 时， ； 当时， ．∴当， ， ， 时，精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧6． 【解析】本题考查三角函数的值域问题.且 ，∴， . 7．解： ，令t=cosx ，则−1≤t≤1.故()224521y t t t =-+=-+，当t=−1时，函数取最大值，为10，当t=1时，函数取最小值，为2.所以函数的值域为[2，10].8．解：(1)()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2,ω=∴最小正周期2T ππω==. 由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得()388k x kx k Z πππ-≤≤+∈， 故函数()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 有最大值2， 当244x ππ+=-，即4π=-时，()f x 有最小值−1. 【能力提升】1．令y=f(x),t=sin x,t ∈[-1,1],则y=-t 2+t+a=-(t- )2+a+ ,当t= 时,y 有最大值a+ ,当t=-1时,y 有最小值a-2.故函数的值域为[a-2,a+ ],从而 ,解得3≤a≤4. 2．解：∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， . ∴ｆ(x)∈[b,3a +b]，又∵−5≤f(x)≤1，∴可得b=−5，3a +b=l ，∴a =2，b=−5.精心制作仅供参考唐玲出品(2)由(1)知a =2，b=−5，∴()4sin 216f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ∴7421421266()g x f x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又由lgg(x)＞0得g(x)＞l ，∴42116sin x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭， ∴1262sin x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴5222666k x k πππππ+<+<+，k ∈Z . 由()222662k x k k Z πππππ+<+≤+∈，得g(x)的单调增区间为(),6k k k Z πππ+∈； 由5222266k x k πππππ+≤+<+，得g(x)的单调减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。

【学习目标】1、“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象；2、会用图象变换法由y=sinx 得y=Asin(ωx+φ)的图象. 【温故知新】回顾正弦函数y=sinx 的图像，定义域、值域、周期。

1、“五点法”作图【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。

（板书课题：函数的图象）【新知梳理】在正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 中， 叫振幅， 叫周期， 叫频率，叫相位， 叫初相。

【课堂探究】 建构数学 自主探究：自主探究：用“五点法”在同一直角坐标系画出x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

【设计意图】观察函数x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像得出参数 的作用 一、A 的作用：研究x A y sin =与x y sin =图像的关系 例1、用“五点法”在同一直角坐标系画出x y sin 2=，x y sin 21=与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

【跟踪训练】1、 函数x y sin 4=怎样由x y sin =变换得到？2、求函数y=8sinx 的最大值、最小值和最小正周期。

【设计意图】通过练习熟练掌握A 在正弦型函数中所起到作用。

二、ω的作用：研究x y ωsin =与x y sin =图像的关系 例2、用“五点法”在同一直角坐标系画出x y 2sin =，x y 21sin =与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

【设计意图】观察函数x y 2sin =，x y 21sin =与x y sin =的图像得出参数ω的作用 【跟踪训练】1、 函数x y 4sin =怎样由x y sin =变换得到？2、求函数4sinxy =的最大值、最小值和最小正周期。

【设计意图】通过练习熟练掌握ω在正弦型函数中所起到作用。

三、ϕ的作用：研究)sin(ϕ+=x y 与x y sin =图像的关系 例3、用“五点法”在同一直角坐标系画出)3sin(π+=x y ，)4sin(π-=x y 与x y sin =的图像，并观察它们图像之间的关系。

1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin2x |.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为()A.π2B.πC .2πD .4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是()A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是() A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理(1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x )非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理sin x 周期2k π (k ∈Z 且k ≠0)2π知识点三思考1正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立． 梳理奇原点题型探究例1解(1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1解(1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2解(1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3解因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4解∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3 ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练40当堂训练1．D2.D3.B4.±π5.22。

数学·必修4(人教A 版)1．4 三角函数的图象与性质1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础提升1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x ，x ∈与y ＝sin x ，x ∈的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同 答案：B2．在同一坐标系中，函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于原点、x 轴对称D ．关于原点、坐标轴对称 答案：D3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2，x ∈的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个答案：C0，2π的简图是()4．函数y＝sin(－x)，x∈[]解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，x∈．答案：B5．画出下列函数的图象．(1)y＝sin |x|，x∈；(2)y＝|sin x|，x∈．分析：将函数式中的绝对值符号去掉，进行等价变形，然后作图．解析：(1)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，－2π≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤2π.(2)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，－2π≤x ≤－π或0≤x ≤π，－sin x ，－π＜x ＜0或π＜x ≤2π.所以y ＝sin|x |及y ＝|sin x |的图象如下图所示．巩固提高6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________． 答案：37．如果函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：由图可知，图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积可以等积地转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π，∴S 矩形＝2×2π＝4π. 答案：D8．函数y ＝cos x |tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是下图中的( )答案：C9．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题正确的是( )A ．该函数的值域是B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<0解析：画出此函数的图象，由图象容易看出：该函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1；当且仅当x ＝2k π＋π2或x ＝2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π4或x ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，函数取得最小值－22；当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2，k ∈Z时，f (x )<0知A 、B 、C 不正确，故选D.答案：D10．作出下列函数的简图： (1)y ＝2＋cos x ，x ∈； (2)y ＝－2sin x ，x ∈．解析：(1)按五个关键点列表：描点，并将它们用光滑的曲线连结起来，图象如图所示：(2)按五个关键点列表：描点，并将它们用光滑的曲线连结起来，图象如图所示：。

1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。