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北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。
本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并会运用这些性质解决一些简单问题。
教材通过引入正多边形和圆的关系，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形的性质，对正多边形的对称性、边角关系等有了一定的了解。
但学生对圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。
2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。
3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质。
2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和合作学习法。
通过提出问题，引导学生观察、思考和讨论，从而得出结论。
同时，通过案例分析和合作学习，让学生在实践中掌握圆内接正多边形的性质。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的圆内接正多边形图片，如足球、奖杯等，引导学生关注这些现象，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们与圆有什么关系？”2.呈现（10分钟）呈现圆内接正多边形的定义，并通过动画展示圆内接正多边形的形成过程。
同时，引导学生观察和总结圆内接正多边形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接正多边形，观察并记录其性质。
然后，各组汇报讨论结果，师生共同总结圆内接正多边形的性质。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接正多边形的性质解决问题。
教师及时给予解答和指导，确保学生掌握所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如设计一个圆内接正多边形的图案，让学生思考如何应用圆内接正多边形的性质解决问题。
北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教案2一. 教材分析北师大版九年级数学下册第3.8节《圆内接正多边形》是圆内接正多边形的相关知识，主要介绍圆内接正多边形的性质及判定方法。
通过学习，使学生了解圆内接正多边形与圆的关系，能运用其性质解决一些简单问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了多边形的内角与外角的知识，对正多边形的性质也有了一定的了解。
但学生对圆内接正多边形的概念及性质可能较难理解，需要通过实例和图形来帮助学生直观地感受和理解。
三. 教学目标1.理解圆内接正多边形的概念，掌握其性质。
2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及性质。
2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、图形演示法、合作交流法等，引导学生观察、思考、推理，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.准备相关多媒体教学课件和教学素材。
2.准备圆内接正多边形的图形示例。
3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习多边形的内角与外角的知识，引导学生回顾正多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）（1）展示圆内接正多边形的图形示例，引导学生观察并思考：圆内接正多边形有什么特点？（2）引导学生总结圆内接正多边形的性质，并用文字和符号表示。
3.操练（10分钟）（1）让学生根据圆内接正多边形的性质，解决一些简单问题。
如：已知一个圆内接正六边形，求其内角度数。
（2）引导学生运用圆内接正多边形的性质，证明一个结论。
如：圆内接正多边形的对角线互相垂直。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，检验对圆内接正多边形知识的掌握程度。
同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一个多边形是否为圆内接正多边形？让学生通过合作交流，探讨判断方法。
8 圆内接正多边形【知识与技能】1.掌握圆内接正多边形、外接圆、中心角、边心距的概念.2.正多边形的画法.【过程与方法】通过作图的过程，提高学生的几何语言表达能力和合情推理能力.【情感态度】在学生动手操作的过程中，增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生主动探索的精神，培养学生合作交流和创新意识.【教学重点】圆内接正多边形、外接圆、中心角、边心距的概念.【教学难点】圆内接正多边形、外接圆、中心角、边心距的概念.一、情景导入，初步认知请同学们回答下面两个问题：1.什么叫正多边形？2.从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形是否具有对称轴、是不是中心对称图形？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？【教学说明】复习旧知识，为本节课的学习作准备.二、思考探究，获取新知1.画出圆的内接正五边形.我们前面已经学习了，圆的基本性质，知道点O是圆的圆心，OA、OB是圆的半径，角AOB 是圆的圆心角.这个图形中还包含哪些知识呢？顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.圆心O是这个正五边形的中心；∠AOB是这个正五边形的中心角；OH是这个正五边形的边心距.【教学说明】学生观察圆的内接正五边形，从而得出相关概念.2.怎样画特殊的正多边形？【归纳结论】利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，作相等的圆心角就可以等分圆，从而作出相应的正多边形.三、运用新知，深化理解1.见教材P 97例题.2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为 ( )A. 3 : 2 : 1B. 4 : 3 : 2 B. 4 : 2 : 1 D. 6 : 4 : 3解析：设正三角形的边长为a ，则高为32a ，外接圆半径为33a ，边心距为36a ，所以它们之比为3 :2: 1.答案：A 3.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切 圆半径的大小分别为（ ）A. 6，32B. 32，3C. 6，3D. 62，32 解析：∵正方形的边长为6，∴AB =3，又∵∠AOB =45°，∴OB=3，∴AO=223332+=答案：B.4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A.（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；（2）在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O ⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明 DE 所对圆心角等于360°÷12 =30°.解：（1）作法：①作直径AC ；②作直径BD 丄AC ；③依次连结A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形；④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于 E 、H 、F 、G ；⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形（2）证明：连结OE 、DE.∵∠AOD=3604︒=90°∠AOE=3606︒=60° .∴∠DOE=∠AOD =∠AOE=30° .∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.【教学说明】教师出示问题，学生可独立完成，也可小组合作完成.四、师生互动，课堂小结谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活.1.布置作业：教材“习题3.10”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注.。
第8节圆内接正多边形1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用尺规作圆的内接正多边形.学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.【重点】掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.【难点】用尺规作圆内接正多边形.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.2.圆规、直尺.导入一:如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.【问题】它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?[设计意图]利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.导入二:如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【师生活动】学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?[设计意图]在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.[过渡语]前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?课件出示:如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?【学生活动】学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.【教师点评】每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?【活动方式】分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.【师生活动】学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.【教师点评】利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:课件出示:如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.【活动方式】让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.【教师点评】圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.[设计意图]学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;2.正n边形的每个外角都相等,都等于;3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.课件出示:如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG===2.∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[设计意图]此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶[过渡语]前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?课件出示:【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?教师引导学生思考下面的问题:1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?【学生活动】学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.【教师点评】利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.以作圆内接正六边形为例.作法:(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.[设计意图]操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.【学生活动】学生自己独立完成.代表说出作法:作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.[设计意图]通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.1.圆内接正多边形的概念及相关概念.2.圆内接正多边形的性质.3.圆内接正多边形的尺规作法.1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为.解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).8圆内接正多边形1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.正n边形的性质:(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.一、教材作业【必做题】1.教材第98页随堂练习.2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.【选做题】教材第99页习题3.10第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A.6,3B.3,3C.6,3D.6,32.(2014·天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是()A. B.2 C.3 D.23.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为.4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.【能力提升】5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为.7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.8.作已知圆的内接正八边形.9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?【拓展探究】10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是()A.BD2=ODB.BD2=ODC.BD2=ODD.BD2=OD【答案与解析】1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)3.(解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)5.C(解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S=3×=.)△BOC7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.8.作法:(1)画任意一条直径;(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;(4)顺次连接即得正八边形.9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM==≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.随堂练习(教材第98页)解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6cm,OD⊥B C.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6cm,∴OD=3cm,BD=3cm,则BC=6cm.习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK =2,∠HOK ==60°,∵OH =OK ,∴△HOK 是等边三角形,∴OH =HK =2.∵OM ⊥HK ,∴∠HOM =30°,OM =OH ·cos 30°=2×=,S △HOK =HK ·OM =×2×=,∴S 正六边形=6S △HOK =6.∴这个正六边形的面积为6.2.解:边长为6cm ,边心距为3cm ,面积为72cm 2.3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.4.解:(1)如图(1)所示,连接OB ,过O 作OD ⊥BC 于D ,则∠OBC =30°,BD =OB ·cos 30°=r ,故a =BC =2BD =r.如图(2)所示,连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC 于E ,则△OBE 是等腰直角三角形,2BE 2=OB 2,即BE =r ,故b =BC =r.如图(3)所示,连接OA ,OB ,过O 作OG ⊥AB ,则△OAB 是等边三角形,AG =OA ·sin 30°=r ,故c =AB =2AG =r.(2)以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形.因为(r )2+r 2=3r 2,(r )2=3r 2,所以(r )2+r 2=(r )2.5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.有一个亭子,它的地基是半径为8m 的正六边形,求地基的周长和面积.〔解析〕连接OB ,OC 求出∠BOC 的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O 作△OBC 的高OG ,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG 的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB ,OC.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC ==60°,∴△OBC 是等边三角形,∴BC =OB =8m ,∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48(m ).过O 作OG ⊥BC 于G ,∵△OBC 是等边三角形,OB =8m ,∴∠OBC =60°,∴OG =OB ·sin∠OBC =8×=4(m ),∴S △OBC =BC ·OG =×8×4=16(m 2),∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16=96(m 2).。
第04讲_圆内接正多边形知识图谱正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三. 正多边形有关的计算1. 正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；3. 设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n d ，周长为n C ，面积为n S ；则：222111422n n n n n n n n n R d a C na S n d a d C =+==⋅⋅=⋅，，三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算．易错点：对正多边形相关的概念混淆不清．正多边形的相关概念例题1、 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【答案】 ②⑤【解析】 ①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．例题2、 若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 B【解析】 由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为360660=，所以正六边形的中心角的度数为360606︒=︒．例题3、 正六边形的边心距与边长之比为（ ）A.3：3B.3：2C.1：2D.2：2【答案】 B【解析】 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案．如图：设六边形的边长是a ， 则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC=12AB=12a ，∴OC=22OA AC -=32a ，a n d nR O CBA∴正六边形的边心距与边长之比为：32a：a=3：2．故选B．例题4、已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=______cm，边心距r=______cm，周长p=______cm，面积S=______cm2．【答案】（1）（2）2，3，12，63【解析】（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵a=2cm，∴半径R=2cm．∵OA=OB=AB=a，∴∠OAB=60°，∴r=OG=OA•sin60°=2×332cm．∵a=2cm，∴周长p=6a=12cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×2×3=63（cm2）．相关计算例题1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=__________________°．【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．例题2、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.23【答案】B【解析】如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×32=3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．例题3、如图1、2、3、…..、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON．（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是____________，图3中MON∠的度数是____________；（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360 n︒【解析】解：分别连接OB、OC，（1）AB AC=ABC ACB∴∠=∠OC OB=，O是外接圆的圆心，CO ACB∴∠平分30OBC OCB∴∠=∠=︒30OBM OCN∴∠=∠=︒BM CN=，OC OB=OMB ONC∴∆∆≌BOM NOC∴∠=∠60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒120MON BOC∴∠=∠=︒（2）同（1）可得MON∠的度数是90︒；图3中MON∠的度数是72︒（3）由（1）可知，360==1203MON︒∠︒；在（2）中，360==904MON︒∠︒；在（3）中360==725MON︒∠︒…..，故当n时，360 MONn︒∠=．随练1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=___________度．【答案】 36【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB =BC =CD =DE =EA =72°，∴∠CAD=12×72°=36°．随练2、 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】 C【解析】 ∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形， ∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°， ∴360606︒÷︒=，∴正多边形的边数为6，随练3、 若等边三角形的边长是12厘米，则其内切圆的面积为 ． 【答案】 12π平方厘米． 【解析】 如图，作OD ⊥AB ， ∵等边三角形的边长为12厘米， ∴AD=6厘米．又∵∠DAO=12∠BAC=12×60°=30°，∴tan30°=6DO DOAD ==33， ∴DO=23厘米，∴其内切圆的面积=π（23）2=12π． 故答案为：12π平方厘米．随练4、 如图，ABCD 是O ⊙的内接正方形，PQRS 是半圆的内接正方形，那么正方形PQRS 与正方形ABCD 的面积之比为____________．【答案】 2:5 【解析】随练5、 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．SOR Q P D CBA【答案】 3【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长，∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==． ∵EF 是外切正六边形的边长，∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，，∴323CE ==， ∴43EF ，∴263436683EOF S S ∆===⎝⎭随练6、 已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（ ） A.32 B.34 C.27 D.28 【答案】 D【解析】 暂无解析弧长与扇形的面积知识精讲一．弧长公式1.圆的周长：2πR C =2.弧长公式：π180nl R =（其中，l 表示弧长，n 表示这段弧所对圆心角度数值；R 表示该弧所在圆的半径）．二．扇形面积公式1.圆的面积公式：2πS R =2.扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：1=22S r l rl ππ=侧（以下公式中的l 均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：221=+=+22S S S r r l r rl ππππ=+全底侧；（3）圆锥的体积：213V r h π=；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：222r h l +=；（5）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图的圆心角为n ︒；则有：360S r n l S ==底侧O BADC2.圆柱（1）圆柱的侧面积：=2S r h π侧（2）圆柱的全面积：2=2πr 2πS S S rh=++侧全底四．不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：=S S S -弓形三角形扇形．三点剖析一．考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算 二．重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积； 三．易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系； 2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的．弧长公式例题1、 一个扇形的半径为8cm ，弧长为163cm π，则扇形的圆心角为__________． 【答案】 120︒【解析】 设扇形圆心角为n ︒，根据弧长公式可得：8161803n ππ=，解得：120n =︒．例题2、 如图，在Rt ∴ABC 中，∴C=90°，∴A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的∴C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（ ）A.πB.πC.πD.π【答案】 A【解析】 连接CD ，如图所示， ∴∴C=90°，∴A=20°， ∴∴B=70°．l2πrrOh 2πrh O r∴CB=CD，∴∴BDC=∴B=70°，∴∴BCD=40°，∴的长为=．故选A．例题3、如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+3）cm，圆O沿地面BC 方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为．【答案】53πcm．【解析】作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，则AE=2+3﹣2=3，又OA=2，∴sin∠AOE=32 AEOA=，∴∠AOE=60°，则AB的长为()6090251803ππ+⨯⨯=，则圆O在地面上滚动的距离为53πcm，故答案为：53πcm．例题4、如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）AE平分∠DAC（2）①3；②43π﹣3【解析】（1）证明：连接OE，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）解：①∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．∴∠EAB=30°，在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，AE=3BE=23，在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，∴DE=12AE=3，∴AD=3DE=3×3=3；②∵OA=OB，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOE﹣S△AOE=S扇形AOE﹣12S△ABE=21202360π﹣12•12•23•2=43π﹣3．例题5、【答案】5π【解析】暂无解析随练1、 如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=3，CE=1．则BD 的长是（ ）A.39π B.239πC.33π D.233π【答案】 B【解析】 连接OC ，∵△ACE 中，AC=2，AE=3，CE=1， ∴AE 2+CE 2=AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ，∵sinA=CE AC =12，∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即1OC =32，解得OC=233，∵AE ⊥CD ， ∴BC =BD ，∴BD =BC =23603180π⨯=239π．随练2、 如图，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上．MNP △沿线段AB 按A B −−→的方向滚动，直至MNP △中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为__________．【答案】43π 【解析】 该题考查的是弧长的计算．点P 经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120︒，根据1=180n Rπ进行计算即可．故点P 经过的路程为：1201421803ππ⨯⨯⨯=．故答案为：43π．A (M )PNB扇形面积公式例题1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm2B.350πcm2C.πcm2D.150πcm2【答案】B【解析】∴AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，∴S贴纸=（﹣）×2=350πcm2，例题2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为3，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是_____．【答案】π﹣33 4【解析】∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=32，∵OC=3，∴OE=32，∴∠OCE=30°，∴∠COD=120°，∴图中阴影部分面积=()21203360π⋅⨯﹣12×3×32=π﹣334，例题3、如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．【答案】（3π﹣）cm2．【解析】作OH∴DK于H，连接OK，∴以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∴∴C=90°，∴∴DA'C=30°，∴∴ODH=30°，∴∴DOH=60°，∴∴DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∴∴ODH=∴OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴∴ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．随练1、如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB 为半径作弧BE，且D、C、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（）A.12π B.12π+1 C.π D.π+1【答案】A【解析】∵AB=2，∴BD=22，S阴影=S扇形BDE﹣12S扇形ACD=()24522360π﹣12×904360π⨯=π﹣12π=12π，故选A．随练2、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】根据图示知，∴1+∴2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∴ABC+∴ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∴1﹣∴2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．圆锥例题1、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm2【答案】C【解析】∴h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，=×2×6π×10=60π，圆锥侧面展开图的面积为：S侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．h=23cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为____cm2．A.43πB.8πC.12πD.（43+4）π【答案】C【解析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为23cm，∵圆锥的母线长为4cm，∵侧面面积=12×4π×4=8π； 底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm 2． 故选：C ．例题3、 将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为__________．【答案】22．【解析】 过O 点作OC AB ⊥，垂足为D ，交O 于点C ，由折叠的性质可知，1122OD OC OA ==，由此可得，在Rt AOD ∆中，30A ∠=︒，同理可得30B ∠=︒，在AOB ∆中，由内角和定理，得180120AOB A B ∠=︒-∠-∠=︒AB ∴的长为12032180ππ⨯=设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=1r cm ∴=∴圆锥的高为223122-=随练1、 圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为（ ） A.12πcm 2 B.20πcm 2 C.26πcm 2 D.36πcm 2【答案】 D【解析】 底面周长是2×4π＝8πcm ，底面积是：42π＝16πcm 2． 母线长是：22345+=，则圆锥的侧面积是：218π520πcm 2⨯⨯=，则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm 2．随练2、 已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是______． 【答案】163π【解析】 ∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π， ∴l=120R 81803⨯=ππ， 解得：R=4，则扇形面积为12Rl=163π随练3、 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠C=120°，以点C 为圆心的与AB ，AD 分别相切于点G ，H ，与BC ，CD 分别相交于点E ，F ．若用扇形CEF 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是__________．【答案】 2【解析】 如图：连接CG ， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°，∵AB 与相切，∴CG ⊥AB ，在直角△CBG 中，CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3， 设圆锥底面的半径为r ，则：2πr=，∴r=1．则圆锥的高是：=2．不规则图形面积的巧算例题1、 如图，AB 是∴O 的直径，弦CD ∴AB ，∴CDB=30°，CD=2，则S 阴影=（ ）A.πB.2πC.D.π【答案】 D【解析】 如图，CD ∴AB ，交AB 于点E ， ∴AB 是直径，∴CE=DE=CD=， 又∴∴CDB=30° ∴∴COE=60°， ∴OE=1，OC=2， ∴BE=1，∴S ∴BED =S ∴OEC ， ∴S 阴影=S 扇形BOC ==．故选：D ．例题2、如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∴AB，∴COD=90°，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】∴弦CD∴AB，∴S∴ACD=S∴OCD，∴S阴影=S扇形COD=•π•=×π×=．例题3、如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【答案】（1）DE为⊙O的切线（2）（24﹣4π）cm2【解析】（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=12（4+8）×4﹣2904360π••=（24﹣4π）cm2．随练1、 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是____________．【答案】23π﹣3 【解析】 如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD =260213602π⨯-×2×3=23π﹣3．随练2、 如图，在∴BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的∴O 与CE 相切于点D ，AD ∴OC ，点F为OC 与∴O 的交点，连接AF ． （1）求证：CB 是∴O 的切线；（2）若∴ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）π．【解析】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∴CE与∴O相切于点D，∴OD∴CE，∴∴CDO=90°，∴AD∴OC，∴∴ADO=∴1，∴DAO=∴2，∴OA=OD，∴∴ADO=∴DAO，∴∴1=∴2，在∴CDO和∴CBO中，，∴∴CDO∴∴CBO，∴∴CBO=∴CDO=90°，∴CB是∴O的切线．（2）由（1）可知∴3=∴BCO，∴1=∴2，∴∴ECB=60°，∴∴3=∴ECB=30°，∴∴1=∴2=60°，∴∴4=60°，∴OA=OD，∴∴OAD是等边三角形，∴AD=OD=OF，∴∴1=∴ADO，在∴ADG和∴FOG中，，∴∴ADG∴∴FOG，∴S∴ADG=S∴FOG，∴AB=6，∴∴O的半径r=3，∴S阴=S扇形ODF==π．随练3、如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是．【答案】 ．【解析】 如图，∴AB=AB ′=8，∴BAB ′=60° ∴图中阴影部分的面积是： S=S 扇形B ′AB +S 半圆O ′﹣S 半圆O =+π×52﹣π×52 =π．拓展1、 若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（ ） A.9π B.10π C.12π D.15π【答案】 C【解析】 连接OD 、OE ，作OM ⊥DE 于M ， ∵六边形ABCDEF 是边长为4的正六边形， ∴△ODE 是等边三角形， ∴OD ＝DE ＝4，∴3sin 604232OM OD =•︒=⨯=，∴它的内切圆面积2(23)12=π⨯=π．2、 边长为4的正六边形的边心距________，中心角等于________度，边长为________． 【答案】 23；60；4【解析】 六边形每个中心角度数为360÷6＝60°，根据每个中心角都分六边形为等边三角形，∵正六边形的边长为4， 则每个等边三角形的高即圆心距为：sin 6023CO BO =⋅︒=．3、正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为________．【答案】 2:3 【解析】 暂无解析4、 如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10=________________．【答案】 75°【解析】 设该正十二边形的圆心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O ，由题意知，∧3110A A A =512⊙O 的周长，∴∠A3OA10=536012⨯=150°，∴∠A 3A 7A 10=75°，5、 （1）已知：如图1，ABC ∆是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+ （2）如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证:2PA PC PB =+（3）如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA PB PC 、、三者之间有何数量关系，并给予证明.【答案】 见解析【解析】 （1）证明：延长BP 至E ,使PE PC =,连结CE .OCABPPODAB COPFDCA1260,3460∠=∠=︒∠=∠=︒60,CPE PCE ∴∠=︒∴∆是等边三角形.，,360,CE PC E ∴=∠=∠=︒又EBC PAC ∠=∠， BEC APC ∴∆∆≌ PA BE PB PC ∴==+.（2）证明：过点B 作BE PB ⊥交PA 于E ,122390,13∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠,又45APB ∠=︒，,2,BP BE PE PB ∴=∴=,,AB BC ABE CBP PC AE =∴∆∆∴=≌.2PA AE PE PC PB ∴=+=+（3）答:3PA PC PB =+证明：在AP 上截取AQ PC =,连结BQ ,,BAP BCP AB BC ∠=∠=,,ABQ CBP ∴∆≅∆BQ BP ∴=.又30,APB ∠=︒3PQ PB ∴=，3PA PQ AQ PB PC ∴=+=+6、 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC ．（1）若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【答案】 （1）78°（2）见解析【解析】 （1）∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；（2）∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠BDC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2．7、 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（ ）321E C B ADO PO Q AB C D E F PA.2πB.πC.22D.2 【答案】 B 【解析】 取AB 的中点O 、AE 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图， ∵在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2， ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO=90°，∴点M 在以OC 为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF=OC=2， ∴M 点的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•2π•1=π．8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为________．【答案】 12π+【解析】 ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴22112AB =+=；根据题意得：2△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示：∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为2的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积22135(2)190111136023602⨯π⨯⨯π⨯=+⨯⨯+=π+．9、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，与BC的延长线交于点E，则图中AE的长为________．【答案】32 2π【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴222CA AB==，∠ACB＝45°，∴∠ACE＝135°，∴AE的长度13522321802π==π．10、如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm【答案】D【解析】过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．11、用一个圆心角为120°，半径为3的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．【答案】1【解析】 暂无解析12、 若扇形的半径为30cm ，圆心角为60°，则此扇形围成圆锥的底面半径为 cm ． 【答案】 5 【解析】 设圆锥的底面半径为r ，根据题意得2π•r=6030180π⨯，解得r=5， 即圆锥的底面半径为5cm ．故答案为5．13、 将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′，使A 、B 、C′在同一直线上，若∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，则图中阴影部分面积为________cm 2．【答案】 4π【解析】 ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，∴BC ＝2，23AC =，∠A′BA ＝120°，∠CBC′＝120°，∴阴影部分面积＝（S △A′BC′＋S 扇形BAA ′）－S 扇形BCC′－S △ABC 222120π(42)4πcm 360=⨯-=． 14、 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是__________．【答案】 5：4【解析】 如图1，连接OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD=222+1=5，∴扇形的面积24555=3608ππ⨯（）； 如图2，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC ，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=22， ∴⊙M 的面积是π×（22）2=12π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是515=824ππ÷（）．15、 如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝4，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心DC 长为半径作14圆DEF ，设∠BDF ＝α（0°＜α＜90°），当α变化时图中阴影部分的面积为________（14圆：∠EDF ＝90°，14圆的面积21π4r =⋅）【答案】 π－2【解析】 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接DC ，如图所示：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM AD =，DN =， ∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN ，∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH ，在△DMG 和△DNH 中，MDG NDH DMG DNH DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积，∵正方形DMCN 的面积2218DM AB ==21428=⨯=， ∴四边形DGCH 的面积218AB =， ∵扇形FDE 的面积22290πππ4π3601616CD AB ⋅⨯===， ∴阴影部分的面积＝扇形面积－四边形DGCH 的面积＝π－2．16、 如图，ABCD 是平行四边形，AB 是O 的直径，点D 在O 上1AD OA ==，则图中阴影部分的面积为__________.【答案】 34 【解析】 连接DO EO BE ，，，过点D DF AB F ⊥作于点，1AD OA AD AO DO ==∴==，，AOD ∴∆是等边三角形，ABCD 四边形是平行四边形，//60DC AB CDO DOA ∴∴∠=∠=︒，， ODE ∴∆是等边三角形，同理可得出OBE ∆是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于BCE ∆面积，36012DF ADsin DE EC =︒===，， ∴图中阴影部分的面积为：34．。
北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》说课稿1一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版九年级数学下册第3.8节的内容。
本节主要介绍了圆内接正多边形的性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够了解圆内接正多边形的相关概念，掌握其性质，并能运用其性质解决一些实际问题。
教材中通过引入正多边形的例子，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过多边形的性质，对正多边形有一定的了解。
他们在学习过程中已经具备了一定的观察能力、思考能力和动手能力。
但是，对于圆内接正多边形的性质，他们可能还比较陌生，需要通过实例和探究活动来进一步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够了解圆内接正多边形的相关概念，掌握其性质，并能运用其性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、探究和合作，学生能够培养自己的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习活动，克服困难，勇于探索，体验成功解决问题的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆内接正多边形的性质及其应用。
2.教学难点：圆内接正多边形性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究学习法和合作学习法，引导学生观察、思考和动手实践。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和几何画板等辅助教学，帮助学生直观地理解圆内接正多边形的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际中的圆形物体，如圆桌、圆规等，引导学生关注圆内接正多边形的现象，激发学生的学习兴趣。
2.探究活动：引导学生观察正多边形的性质，引导学生发现正多边形的边长和半径之间的关系，进而引导学生思考圆内接正多边形的性质。
3.性质总结：引导学生通过合作学习，总结出圆内接正多边形的性质，并用数学语言进行表述。
4.性质证明：引导学生运用已学的几何知识，证明圆内接正多边形的性质。
8 圆内接正多边形1．掌握正多边形和圆的关系．2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．4．能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形．重点掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．难点正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．一、复习导入1．什么叫正多边形？2．正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？3．以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？引导学生得出：①正多边形的顶点都在圆上；②圆经过正多边形的所有顶点．二、探究新知1．圆内接正多边形的概念定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．(1)把一个圆n等分(n≥3 )，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．(2)如图，五边形 ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为 M，OM 是这个正五边形的边心距.2．尺规作一个已知圆的内接正多边形(1)用尺规作一个已知圆的内接正六边形．作法：①作⊙O的任意一条直径FC；②分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.(2)用尺规作一个已知圆的内接正四边形． (3)思考：作正多边形有哪些方法？ 三、举例分析例 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为 G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．(1)正六边形的中心角是多少度？(2)正六边形的中心角的一半是多少度？ (3)如何作出正六边形的边心距？(4)你能利用已知条件构造直角三角形吗？ (5)你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？ 解：连接OD.∵六边形ABCDEF 为正六边形． ∴ ∠COD ＝360°6＝60°.∴ △COD 为等边三角形． ∴ CD ＝OC ＝4.在 Rt △COG 中，OC ＝4，CG ＝12BC ＝2，∴OG ＝2 3.∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为 2 3.总结：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．四、练习巩固1．正三角形的边心距、半径和高的比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶ 2 ∶ 3C ．1∶ 2 ∶3D ．1∶2∶ 32．已知正六边形的外接圆半径为3 cm ，那么它的周长为________cm .3．已知：如图，正三角形ABC ，求作：正三角形ABC 的外接圆和内切圆．(要求：保留作图痕迹，不写作法)五、课堂小结1．易错点：(1)求正多边形的中心角、边长和边心距；(2)用尺规作圆内接正多边形．2．归纳小结：(1)正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；(2)顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆；(3)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3．方法规律：(1)把一个圆分成几等分，连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°；边数(2)正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．六、课外作业1．教材第98页“随堂练习”．2．教材第99页习题3.10第1、2、3、4、5题．本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表达有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.23.1 图形的旋转第2课时旋转作图及变换学习目标1．理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．2．通过师生互动、合作交流以及动手操作过程，发现旋转变换所蕴含的美，激发学习数学的兴趣。
