角平分线的判定导学案

九年级先修课题：§1.4.1角平分线（2）教学目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。

2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。

重点：证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理难点：证尺规作图一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？二、讲授新课：自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：。

引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。

对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。

2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC 中，AC=BC, ∠C=900,AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E 。

（1） 已知：CD=4cm,求AC 长（2） 求证：AB=AC+CD三、应用深化四、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在 。

2、△ABC 中，∠C=900, ∠A 的平分线交BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D 到AB 的距离为 .3、如下左图Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm 。

4、如上右图△ABC 中，∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。

5 、Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是 。

课后训练：1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD 是Rt △ABC 的角平分线。

求证：BD=2CD 。

2、已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ，且AC=AD ，求证：BE=BF3、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。

课题：角平分线的性质和判定应用主备人：备课组签字：审核：学习目标：1、掌握角平分线的性质和判定．能够应用性质和判定解决简单实际问题；2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神．一、新知探究活动一：剪一个三角形纸片，折叠出每个角的平分线，观察你发现了什么？三角形的三条角平分线交于。

例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作的平分线上吗？为什么？思考回答！想一想：点P在A三角形的三条角平分线交于。

并且这一点到三边的距离。

二、拓展延伸1、如图：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F到三边AC、BC、CA的距离相等2、已知，如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．3、要在S 区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建立于何处？答：应建立在 ，并且离角顶点 处思考：如果不要求建立在S 区，这个集贸市场还可以建在哪？三、达标检测1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条边上的高的交点B ．三个内角平分线的交点C ．三边上的中线的交点D ．以上结论都不对2．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处五、总结：本节课你学到了什么？掌握了什么内容？还有什么疑问？。

12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。

学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。

学习难点：角平分线性质定理的应用。

学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。

问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。

三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。

探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。

已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。

射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。

4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。

让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。

徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！P N M C B A第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 7 课时 姓名：________课题：《11.3角的平分线的性质》（2）学习目标 我的目标 我实现1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

突破：【重点】角平分线的性质及其应用【难点】灵活应用两个性质解决问题。

导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习 我探索 我快乐1、复习思考（1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）◆八年级数学导学案设计：林朝清设计时间2013年9月3日3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）☆☆导学活动2☆☆合作探究我合作我成功1、比较角平分线的性质与判定2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ D CB A ☆☆导学活动3☆☆学以致用 我尝试 我成功1、课本22页练习题2、能力提高(*)如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°☆☆导学活动4☆☆课堂小结 我交流 我快乐这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流☆☆导学活动5☆☆课后作业 我承担1、已知△ABC 中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为2、下列说法错误的是（ ）A 、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上B 、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角C 、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角D 、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角3、到三角形三条边的距离相等的点是（ ）A 、三条中线的交点B 、三条高线的交点C 、三条边的垂直平分线的交点D 、三条角平分线的交点4、课本23页第6题。

12.3.2角的平分线的判定导学案一、学习目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.二、学习过程：课前自测角平分线的性质定理：文字语言：__________________________________________________.几何符号：________________________________________________________________________合作探究思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）猜想：__________________________________________________.把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：已知:__________________________________________________________.求证:________________________________________________.※角的平分线的判定：文字语言：________________________________________________.几何语言：____________________________________________________________________思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？【针对练习】如图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.典例解析例1.如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.例2.如图，在△AB C 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为()A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°例3.如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线,它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线.【针对练习】如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在直线的距离相等.例4.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证:(1)AM 平分∠DAB ;(2)AD =AB +CD.达标检测1.如图，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，PD =6cm ，当PE =____cm 时，点P 在∠AOB 的平分线上.2.如图,已知P A ⊥ON 于A,PB ⊥OM 于B,且PA =PB,∠MON =50°,∠OPC =30°，则∠PCA=______.3.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC 的周长是10，OC 、OB 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD 上BC 于D ，且OD =1，则△ABC 的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m 、40m 、50m ，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=D C．求证:AD是∠BAC的平分线.。

角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。

2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。

学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。

引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。

对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。

2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。

（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。

2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。

4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。

5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。

6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。

PNMCBA《11.3角的平分线的性质2》导学案学习目标：1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

学习重点：角平分线的性质及其应用学习难点: 灵活应用两个性质解决问题。

【学习过程】一、自主学习 1、复习思考（1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？ （2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）4、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB＝OC ，求证∠1＝∠2二、合作探究※ 比较角平分线的性质与判定三、能力提高(*)1．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ， BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.2.如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．3．如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上． 4．如图24-80，BP 、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线。

求证：P 在∠BAC 的平分线上。

5．如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC.DFCBAEＡＥＣABCDEP。

涟滨实验学校八年级数学学科导学案主编：刘浩浩审核：授课时间：姓名：班级：课题：角平分线的性质课型：新授课时：第2课时总第8课时教师复备栏或学生笔记栏【学习目标】1、掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线；3、能判断一个点是否在一个角的平分线上。

【学习重点】：角平分线判定定理的运用【学习难点】：角平分线判定定理的运用阅读教材P23~P25的内容，思考下列问题1、P24的“动脑筋”解题过程中的理论依据是________________________________________________________。

2、P25的例2中，BE+PF=BE+_____，所以只需要比较BE+_____与PB的大小即可。

3、根据P25的“动脑筋”的方法，请你在下面的三角形中找到满足到三边距离相等的P点。

（不需要写作法，保留作图痕迹）AB C如图，已知AD=CD，OD平分∠ADC，OA⊥AB，OC⊥BC求证：点O在∠ABC的平分线上。

AD O BCB D MC N E A G探究1：现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？如果正确，那么哪一种方法更好呢？已知：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOB证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB∴∠A=∠B=90º 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OC OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC∴OC 平分∠AOB （角平分线判定定理）探究2：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点，OM ⊥BC ， ON ⊥AC ，OG ⊥AB 。

求证：O 在∠C 的平分线上课堂小结：当堂检测：课后反思A OB C。

1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。

【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。

几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。

【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。

用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。

2、角平分线的判定定理是 。

【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。

2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。

A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。

【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。

角平分线的性质及判定定理导学案课前准备:1.我们学过哪些与“角的平分线”有关的结论:2.什么是“点到直线的距离”：3.我们学过的证明线段和角相等的方法有哪些: 学习目标：1.通过经历自主证明角平分线的性质和判定定理的过程，理解并掌握定理，会用符号语言描述定理；2.通过例题和针对练习，进一步理解定理，会解决与定理有关的问题，发展推理能力，体会演绎思想；3.掌握角平分线应用中常见辅助线的作法，体会建模思想。

一、交流与发现活动①：搭档合作,自主证明角平分线的性质定理（1分钟）活动②：针对练习1.见PPT.2.如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=15， CD：BD=1：2，AB=20，求S⊿ABD面积。

二、交流与发现活动①：搭档合作,共同证明角平分线的判定定理（1分钟）活动②：针对练习1.见PPT.2.已知，如图，BN、CP是⊿ABC的两条角平分线，交点为点O，求证：。

证明：三、学以致用例、已知，如上图，AM、BN，CP是⊿ABC的三条角平分线。

探究性结论1：探究性结论2：针对练习（思维延伸）：1.已知：如图，⊿ABC两个相邻外角的平分线BD、CE相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上。

探究性结论3：2.加油站位置在哪儿？课堂小结：我学到了①、②、③、④、┅┅拓展提升：一图二问1.如图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，且AC=8， BC=6，AB=10，求CD的长。

（温馨提示：等面积求高）2.如上图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，DE ⊥ AB于点E，而且AC=8，BC=6，AB=10，求⊿ADE的周长。