【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-阶段回扣练9

第1讲 直线与直线方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D. 答案 D2．(2015·南昌质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32D.23解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 B3．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图像可以是( )答案 A4．(2014·郑州模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 D5．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足 ( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析 由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1. 又因为tan α＝－a b ，所以－ab ＝－1. 即a ＝b ，故应选D. 答案 D 二、填空题6．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 47．(2015·烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3， 则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案 －248．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1. ∵A (－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，显然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，由题意得⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2015·长春三校调研)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m ＞1，且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0，且n ＜0D ．m ＜0，且n ＜0解析 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n ＞0，1n ＜0，即m ＞0，n ＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn ＜0. 答案 B12．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案 1213.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为________．解析 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA 和直线l OB 的方程分别为y ＝x ，y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 答案 (3＋3)x －2y －3－3＝014．直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A ，B 两点．(1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程． 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负． 设l ：y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ，0；令x ＝0，可得B (0,4－k )． (1)|P A |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k ≥8(注意k <0)．∴当且仅当1k ＝k 且k <0即k ＝－1时， |P A |·|PB |取最小值．这时l 的方程为x ＋y －5＝0. (2)|OA |＋|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ≥9.∴当且仅当k ＝4k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。

课时规范练45《素养分级练》P323基础巩固组1.(辽宁大连模拟)抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为( )A.18B.14C.1D.2答案:D解析:y=14x2⇒x2=4y⇒p=2,焦点到准线的距离是p=2.2.(全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )A.2B.2√2C.3D.3√2答案:B解析:设点A(x A,y A),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x A+1,又|AF|=|BF|,所以x A+1=2,即x A=1,所以y A2=4.所以|AB|=√(x A-3)2+y A2=2√2.3.(山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=-12B.x=-1C.x=-2D.x=-4答案:B解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F p2,0. 由y2=16p,可得y=±4√p.不妨令P(8,4√p),则S△OFP=12×p2×4√p=p√p=2√2,解得p=2.则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为(2,2√2),焦点为F,则( )A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与F与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0答案:AC解析:由题意知(2√2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与N中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足为M',N',P',易知PP'=MM'+NN'2=MF+NF2=MN2,故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,故C正确;由2-2×2√2+1≠0知点M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.5.已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )A.10B.14C.12D.16答案:C解析:由题意可知,动点C到点F(0,-2)与到直线y=2的距离相等,曲线W 是以点F为焦点的双曲线,方程为x2=-8y.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=p-(y1+y2),又y1+y2=-8,所以|AF|+|BF|=12.因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.6.若三个点M(3,2√6),N(2,2√3),Q(3,-2√6)中恰有两个点在抛物线y2=2px上,则该抛物线的方程为.答案:y2=8(3,2√6)在抛物线上,则Q(3,-2√6)一定也在y2=2px上,∴点M,点Q在抛物线上,点N(2,2√3)不在抛物线上,∴6p=24,4p≠12,解得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.7.(河北沧州二模)已知抛物线C:y 2=4F,NF.若|MF|=√3|NF|,则直线AB 的斜率为 . 答案:√3解析:如图,由题意得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,所以∠AMF=∠AFM=∠MFO,∠BNF=∠BFN=∠NFO.因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π,所以∠MFO+∠NFO=π2,所以MF ⊥NF.又|MF|=√3|NF|,所以∠NMF=π6,所以∠MFO=∠AFM=π3,故∠AFx=π3,所以直线AB 的斜率为tan π3=√3.8.(新高考Ⅰ,14)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案:x=-32解析:∵PF ⊥x 轴,∴x P =x F =p2,将x P =p2代入y 2=2px,得y=±p.不妨设点P 在x 轴的上方,则P (p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO ∽△QFP, ∴|OF ||PF |=|PF ||QF |,即p 2p=p6,解得p=3.故C 的准线方程为x=-32.综合提升组9.(新高考Ⅱ,10)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y 2=2p(p,0),若|AF|=|AM|,则( ) A.直线AB 的斜率为2√6 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 答案:ACD解析:选项A,由题意知,点A 为FM 的中点,则x A =p2+p 2=34p,所以y A 2=2px A =2p·34p=32p 2(y A >0).所以y A =√62p,故k AB =√62p 34p -p2=2√6,故选项A 正确;选项B,由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x=2√6y+p2,联立抛物线方程得y 2-√6py-p 2=0,设B(x B ,y B ),则√62p+y B =√66p,则y B =-√6p3,代入抛物线方程得(-√6p3)2=2p·x B ,解得x B =p3.所以|OB|=x B2+y B 2=p 29+2p 23=7p 29≠p 24,故选项B 错误;选项C,|AB|=34p+p 3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C 正确; 选项D,由选项A,B 知,A34p,√62p ,Bp 3,-√63p ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34p,√62p ·p 3,-√63p =p 24-p 2=-34p 2<0,所以∠AOB 为钝角.又MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-p 4,√62p ·-2p3,-√63p =p 26-p 2=-56p 2<0,所以∠AMB 为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°. 故选项D 正确.故选ACD.10.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点,A(t,1)是抛物线第一象限上的点,|AF|=5,直线AF 与抛物线的另一个交点为B,则S △AOB= .答案:40解析:∵|AF|=1+p2=5,则p=8,∴抛物线方程为x 2=16y.把A(t,1)代入抛物线方程得t 2=16且t>0,则t=4. ∵A(4,1),F(0,4),则直线AF 的斜率k=1-44-0=-34,∴直线AF 的方程为y=-34x+4,即3x+4y-16=0.联立{3x +4y -16=0,x 2=16y ,解得{x =4,y =1或{x =-16,y =16,即B(-16,16).则|AB|=√(-16-4)2+(16-1)2=25,点O 到直线AF:3x+4y-16=0的距离d=|-16|√32+42=165,∴S △AOB =12|AB|×d=40.11.已知抛物线y=14x 2的焦点为F,P 为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P 的坐标为 . 答案:1,14解析:如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过点P 作PH ⊥l 于点H,过点Q 作QN ⊥l 于点N,则|PF|=|PH|,F(0,1),|FQ|=1,|PF|+|PQ|=|PQ|+|PH|,易知当Q,P,H 三点共线时,|PQ|+|PH|最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF 周长的最小值为3,此时P 1,14.创新应用组12.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,过CD 作平行于PA 的平面α,交母线PB 于点E,则平面α与圆锥侧面的交线为抛物线,其焦点到准线的距离为( )A.12B.√2C.√22D.1答案:B解析:由题意OB=OP=OC=2,E 是母线PB 的中点,所以OE=√2.在平面CDE 内建立平面直角坐标系,如图所示,可得C(-√2,2).设抛物线的方程为y 2=mx,将C 点坐标代入可得4=-√2m,所以m=-2√2,所以抛物线的方程为y 2=-2√2x.所以焦点坐标为-√22,0,准线方程为x=√22, 所以焦点到其准线的距离为√2.。

课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(山东青岛模拟)设集合A={(x,y)|y=2x-3},B={(x,y)|4x-2y+5=0},则A∩B=( )A.⌀B.{(118,1 4 )}C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)}答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A∩B=⌀.2.(江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a,b),则{a2-b+42+1=0,b-4 a =-1,解得{a=3,b=1.3.(多选)(山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4+2)+5=0(m ∈R),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)+5=0(m ∈R)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)2=1,故D 正确.故选ACD.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.3√3B.6C.2√10D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q(a,b),则{b a-2=1,a+22+b 2=4,解得{a =4,b =2,即Q(4,2).又P 关于y 轴的对称点为T(-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线xcos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k -3+k+2|√k 2+1=|-4k -5+k+2|√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310. 同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD,且AC,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(河北大名高三检测)已知点P(-2,2),直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x -y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M(2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B(5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2.又因为△ABC 的顶点B(5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A(3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0.若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A(4,3).设点C(x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C(-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G,垂心为H,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC:y=x+4,A(2,0),所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H(0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x,即x-y+2=0.。

第1节直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.②倾斜角的范围是[0，π).(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α，倾斜角是90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2.直线方程的五种形式[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B. 答案 B3.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距 －CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 答案 C4.(教材习题改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 解析 由题意得3m －61＋m＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝05.(教材习题改编)过点P (2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(一题多解)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3. 即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围.解 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞，当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，即由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由－∞增大到0.2.斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率.(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.【训练1】 (2018·惠州一调)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，故选B. 答案 B考点二 直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4). 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1， 又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. (1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】 (一题多解)已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解 法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23， 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ） ＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.直线x ＝π4的倾斜角等于( ) A.0B.π4C.π2D.π解析 由直线x ＝π4，知倾斜角为π2. 答案 C2.如图中的直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D3.(2018·景德镇模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1±2. 答案 A4.过点(2，1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2B.y ＝1C.x ＝1D.y ＝2解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x ＝2.答案 A5.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B6.(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.－13C.－32D.23 解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 B7.(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合.答案 B8.(2018·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l的方程为y ＝3x ＋2，故选A.答案 A二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝010.已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y ).则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2，4)，B (3，2)，设直线l 的斜率为k .又k OA ＝2，k OB ＝23.如图所示，可知23≤k ≤2. ∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 11.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.解析 若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.设直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________.解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2).答案 (2，－2)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A.4x －3y －3＝0B.3x －4y －3＝0C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案 D14.(2018·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1，0] C.[0，1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 答案 A15.(2018·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为________.解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.答案 416.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________.解析 直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1，1)，∴H (1，0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB的方程为y－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，即3x＋y－3－1＝0.答案3x＋y－3－1＝0。

课时规范练42《素养分级练》P375基础巩固组1.(江西上饶六校联考)若经过点P(-1,-2)的直线与圆x 2+y 2=5相切,则该直线在y 轴上的截距为( ) A.52B.5C.-52D.-5答案:C解析:∵(-1)2+(-2)2=5,∴点P 在圆上.设圆心为O,则k OP =-2-1=2,则过点P 的切线的斜率k=-12,∴切线方程为y+2=-12(x+1),令x=0,得y=-52.2.点G 在圆(x+2)2+y 2=2上运动,直线NG 面积的最大值是( ) A.10 B.232C.92D.212答案:D解析:易知点M(3,0),N(0,-3),则|MN|=√32+32=3√2.圆(x+2)2+y 2=2的圆心坐标为(-2,0),半径为√2,圆心到直线x-y-3=0的距离为|-2-0-3|√2=5√22,所以,点G 到直线x-y-3=0的距离的最大值为5√22+√2=7√22,所以,△MNG面积的最大值是12×3√2×7√22=212.3.(多选)已知直线l:x+y-√2=0与圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,则( )A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个答案:BD解析:由圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,圆心(1,-1)到直线l:x+y-√2=0的距离d=√2|√12+12=1,故B,D正确,A,C错误.故选BD.4.(河北石家庄模拟)已知圆C:x2+y2+2ay=0(a>0)截直线√3x-y=0所得的弦长为2√3,则圆C与圆C':(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切答案:C解析:圆C的圆心为(0,-a),半径为a,其圆心到直线√3x-y=0的距离为|a|√3+1=a2,则2√a2-(a2)2=√3a=2√3,解得a=2.所以C:x2+(y+2)2=4,C的圆心为(0,-2),半径为2.又C'的圆心为(1,-1),半径为1,|CC'|=√(0-1)2+(-2+1)2=√2,故可得2-1<|CC'|<2+1,所以两圆的位置关系是相交.5.已知圆O:x 2+y 2=1,点A(0,-2),B(a,2),从点A 观察点B,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.-∞,-4√33∪4√33,+∞C.-∞,2√33∪2√33,+∞D.-4√33,4√33答案:B解析:易知点B(a,2)在直线y=2上.过点A(0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,由d=|0-0-2|√1+k 2=1,得k=±√3,则切线方程为y=±√3x-2.切线和直线y=2的交点坐标分别为-4√33,2,4√33,2.故从点A 观察点B,要使视线不被圆O 挡住,则实数a 的取值范围是-∞,-4√33∪4√33,+∞.6.(山东聊城二模)已知点P 在圆O:x 2+y 2=4上,点A(-3,0),B(0,4),满足AP ⊥BP 的点P 的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案:B解析:设点P(x,y), 则x 2+y 2=4,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y),BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4). 由AP ⊥BP,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =x(x+3)+y(y-4)=x 2+y 2+3x-4y=0,即x+322+(y-2)2=254,故点P 的轨迹为一个圆心为-32,2,半径为52的圆.则两圆的圆心距为52,半径和为52+2=92,半径差为52-2=12,有12<52<92,所以两圆相交,满足AP ⊥BP 的点P 有2个.7.(山东胜利一中模拟)已知圆C:(1,1)的直线截圆所得的弦长的最小值为 . 答案:2√2解析:圆C 的标准方程为(|=√(2-1)2+(0-1)2=√2,与CM 垂直的弦的弦长为l=2√r 2-|CM |2=2√4-2=2√2,即为所求弦长的最小值.8.过P(-2,-3)作圆(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点为A,B,则过A,B 两点的直线方程为 . 答案:6x+5y-25=0解析:圆(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C(4,2),半径为3,以线段PC为直径的圆的方程为(x-1)2+y+122=614,将两圆的方程相减得公共弦AB的方程为6x+5y-25=0.综合提升组9.(浙江杭州学军中学高三月考)已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3 km,则城市A受台风影响的时间为( )A.5 hB.5√3 hC.52√3 h D.4 h答案:B解析:如图,AP=300km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=APsin30°=300×12=150(km).又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100√3km,则台风中心在以城市A 为圆心,半径为100√3km的圆内时,城市A受台风影响.以城市A 为圆心,半径为100√3km 的圆截直线PB 所得弦长为2√(100√3)2-1502=100√3(km),则城市A 受台风影响的时间为100√320=5√3(h).10.(河南安阳模拟)已知圆C:(为直线l:作圆C 的两条切线,切点分别为A,B,则当四边形CAMB 周长取最小值时,四边形CAMB 的外接圆的方程为( )A.(x-7)2+(y-1)2=4B.(x-1)2+(y-7)2=4C.(x-7)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y-7)2=2 答案:D解析:圆C:(x-2)2+(y-6)2=4的圆心C(2,6),半径r=2, 点C 到直线l 的距离d=|2-6+8|√12+(-1)=2√2.依题意,CA ⊥AM,四边形CAMB 的周长为2|CA|+2|AM|=4+2√|CM |2-|CA |2≥4+2√d 2-4=4+2√(2√2)2-4=8,当且仅当CM ⊥l 时,等号成立,此时直线CM:x+y-8=0. 由{x -y +8=0,x +y -8=0,得点M(0,8).四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 的中点(1,7),半径为√2,方程为(x-1)2+(y-7)2=2.11.(山东烟台三模)已知动点P 到点A(1,0)的距离是到点B(1,3)的距离的2倍,记点P 的轨迹为C,直线y=kN 的面积为2,则实数k 的值为 . 答案:-7或1解析:设P(x,y),则有√(x -1)2+y 2=2√(x -1)2+(y -3)2,整理得(x-1)2+(y-4)2=4,即点P 的轨迹C 为以(1,4)为圆心,以2为半径的圆. 点Q(1,4)到直线y=kx+1的距离为|k+1-4|√1+k 2=|k -3|√1+k 2,直线y=kN|=2√4-(|k -3|√1+k2) 2 ,则△QMN 的面积S=12×2√4-(|k -3|√1+k2) 2 ×|k -3|√1+k 2=2,解得k=-7或k=1.创新应用组12.(新高考Ⅰ,14)写出与圆x 2+y 2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: . 答案:x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐标系中,画出圆x 2+y 2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O 1(3,4),由图得两圆外切,则☉O 与☉O 1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l 的方程为x=-1. 由图可知,内公切线l 1与另一条外公切线l 2的斜率均存在.∵l 1与直线OO 1垂直,直线OO 1的斜率k OO 1=43,∴直线l 1的斜率k l 1=-34,直线OO 1的方程为y=43x.可设直线l 1的方程为y=-34x+b(b>0).又圆心O 到直线l 1的距离d 1=|b |√(-4)2+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l 1的方程为y=-34x+54.由{y =43x ,x =-1,得直线l 与直线OO 1的交点为A (-1,-43).则可设直线l 2的方程为y+43=k(x+1).又圆心O 到直线l 2的距离d 2=|k -43|√k 2+1=1,解得k=724,故直线l 2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x 2+y 2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.。

(建议用时：80分钟)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O为原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0， ①∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1 、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.②由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2， 得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③ 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④∴1a 2＋1b 2＝2.(2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数 由e ＝ca ⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a ＞0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围是[5，6]．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，证明：MA →·MB→为定值．(1)解 化圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，则圆心为(－1,0)，半径r ＝1，所以椭圆的半焦距c ＝1.又椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1，所以a －c ＝2－1，即a ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1. 可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22.此时，MA →·MB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，－22＝－716. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋k 2＋2516 ＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－716.所以，综上得MA →·MB→为定值，且定值为－716.3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 4.如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． (1)解 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)证明 设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1， 同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．5．(2015·福建质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2,0)，焦距为2 3. (1)求椭圆Г的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过点C (－1,0)且交椭圆Г于A ，B 两点，试探究椭圆Г上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得a ＝2，c ＝3，因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆Г的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l ：y ＝k (x ＋1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设椭圆Г上存在点P (x 0，y 0)使得四边形OAPB 为平行四边形，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝x 0，y 1＋y 2＝y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2＋2＝2k1＋4k2.于是⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8k 21＋4k 2，y 0＝2k 1＋4k 2，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k21＋4k 2，2k 1＋4k 2.又点P 在椭圆Г上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋4k 22＝1，整理得4k 2＋1＝0，此方程无解．故椭圆Г上不存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形．6．(2014·四川卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4， 解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明 由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ， 直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②解 由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24(m 2＋1)m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·(4＋4)＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).。

第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

第 7讲双曲线基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、选择题x2y21． (2015 ·西安调研 )设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为()1B． y＝±2A ．y＝± x2x2C．y＝± 2x D． y＝±2x分析由于 2b＝2，所以 b＝1，由于 2c＝2 3，所以 c＝3，所以 a＝c2－b2b2＝2，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± x，应选 B.a2答案 Bx2y22． (2014 ·纲领全国卷 )双曲线C：a2－b2＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则 C 的焦距等于()A ．2B． 22C．4D． 42c1223分析由已知，得 e＝a＝ 2，所以 a＝2c，故 b＝ c － a＝2 c，进而双曲线的渐近线方程为b3，得3c＝3，y＝± x＝± 3x，由焦点到渐近线的距离为2 a解得 c＝ 2，故 2c＝ 4，应选 C.答案C2 3．设 F1，F2是双曲线 x2－24y＝1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF 2|，则△ PF 1F 2 的面积等于 ( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48|PF 1 |－|PF 2|＝2， |PF 1|＝8， 分析由可解得3|PF 1 |＝4|PF 2|，|PF 2|＝6.又由 |F 1F 2|＝ 10 可得△PF 1F 2 是直角三角形，答案 C4．(2014 ·山东卷 )已知 a>b>0，椭圆 C 1的方程为x 2 y 2 x 22＋ 2＝1，双曲线 C 2 的方程为 2－a bay 23的渐近线方程为()2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为 2 ，则 C 2bA ．x ± 2y ＝ 0 B. 2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝ 0D ． 2x ±y ＝0椭圆 C 1 的离心率为a 2－ b2a 2＋b 2分析a，双曲线 C 2 的离心率为a，所以a 2－b 2 a 2＋b 2344 3 44 4a· a＝ 2 ，所以 a －b ＝ 4a ，即 a ＝4b ，所以 a ＝ 2b ，所以双1曲线 C 2 的渐近线方程是 y ＝ ± x ，即 x ± 2y ＝0.2答案A225．(2014 ·重庆卷 )设 F 1，F 2 分别为双曲线x2－y 2＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲a b线上存在一点 P 使得 |PF 1 ＋2 ＝3b，1| |PF ·2 9| |PF | |PF |＝4ab ，则该双曲线的离心率为( ) 45A. 3B.39C.4 D ． 3分析由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2 ||＝2a ，又 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 3b ， 所以 (|PF 1 |＋ |PF 2|)2 － (|PF 1| － |PF 2|)2 ＝ 9b 2 － 4a 2 ， 即2 24|PF 1| |PF ·2|＝9b －4a ， 又1·2＝，所以2－2＝ ，即 b 2－ 9b 3b ＋ 1 3b －44|PF | |PF | 9ab 9b4a9ab9 aa －4＝0，则 aa＝0，b 4 b1b 2 5解得 a ＝3 a ＝－ 3舍去 ，则双曲线的离心率 e ＝ 1＋ a ＝ 3.答案B二、填空题．·北京卷 设双曲线2Cy－x 2＝1 拥有同样渐近线，则6 (2014 ) C 经过点 (2,2)，且与 4的方程为 ________；渐近线方程为 ________．分析设 C 的方程为y 2－ x2＝λλ≠ 0)，把点 (2,2)代入上式得 λ＝－ ，所以 C 的4 ( 3x 2y 2方程为 3 －12＝ 1，其渐近线方程为 y ＝±2x.答案x 2－ y 2 ＝ 1y ＝±2x312222 24，则 n．已知双曲线 x－ y＝ 1 的一个焦点是 (0,2)，椭圆 y－x＝ 1 的焦距等于 7m 3mnm＝________.分析由于双曲线的焦点 (0,2)，所以焦点在 y 轴上，所以双曲线的方程为y2－ 3m2－ x ＝ 1，即 a 2＝－ 3m ，b 2＝－ m ，所以 c 2＝－ 3m － m ＝－ 4m ＝4，解得 m ＝－my22 2－1.所以椭圆方程为 n ＋ x ＝1，且 n ＞ 0，椭圆的焦距为 4，所以 c ＝ n － 1＝ 4或 1－n ＝4，解得 n ＝5 或－ 3(舍去 )．答案 522．已知 F 为双曲线C ： x－ y＝1 的左焦点， P ，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于89 16 虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△ PQF 的周长为 ________．x 2 y 2分析 由9 －16＝1，得 a ＝ 3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ|＝4b ＝ 16>2a.又∵A(5,0)在线段 PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，|PF|－|PA|＝2a ＝6，由双曲线定义知 ∴|PF|＋ |QF|＝28.|QF|－|QA|＝ 2a ＝6，∴△PQF 的周长是 |PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋ 16＝44.答案44三、解答题229．已知椭圆 D ： 50x＋25y＝1 与圆 M ：x 2＋ (y －5)2＝9，双曲线 G 与椭圆 D 有同样焦点，它的两条渐近线恰巧与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程．解 椭圆 D 的两个焦点为 F 1(－ 5,0)，F 2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c ＝ 5.x 2 y 2设双曲线 G 的方程为 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，22∴渐近线方程为 bx ±ay ＝ 0 且 a ＋ b ＝25，|5a|∴b 2＋ a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，x 2 y 2∴双曲线 G 的方程为 9 －16＝ 1.y 2 x 210．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋ y ＝ 0，且极点到2 5渐近线的距离为 5 .(1)求此双曲线的方程；(2)设 P 为双曲线上一点， A ， B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、→ →二象限，若 AP ＝PB ，求△ AOB 的面积．a＝2，a ＝2，解 (1)依题意得b解得|2×0＋a|2 5 b ＝1，5＝5 ，y 2故双曲线的方程为 4 － x 2＝1.(2)由 (1)知双曲线的渐近线方程为→ →n ＞ 0，由 AP ＝PB 得点 P 的坐标为y ＝ ±2x ，设 A(m,2m)，B(－ n,2n)，此中 m ＞0，m － n2， m ＋ n .2将点 P 的坐标代入y4－ x 2＝1，整理得 mn ＝1.π设∠ AOB ＝2θ，∵ tan 2－θ＝ 2，1 4则 tan θ＝2，进而 sin 2θ＝ 5.又|OA|＝ 5m ，|OB|＝ 5n ，1∴S △AOB ＝2|OA||OB|sin 2θ＝2mn ＝ 2.能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )x 2 y 211．过双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的右极点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线订交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A ，O 两点 (O 为坐标原点 )，则 双曲线 C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2 A. 4 －12＝1B. 7 －9 ＝1x 2 y 2 x 2 y 2C.8 － 8 ＝ 1D. 12－ 4＝1b分析 由双曲线方程知右极点为(a,0)，不如设此中一条渐近线方程为 y ＝ a x ，所以可设点 A 的坐标为 (a ，b)．设右焦点为 F(c,0)，由已知可知 c ＝4，且 |AF|＝ 4，即 (c －a)2＋b 2＝ 16，所以有2 22 2 2 2c222 2(c －a) ＋b ＝c ，又 c ＝a＋b ，则 c ＝2a ，即 a ＝2＝ 2，所以 b ＝c － a ＝4 2 x 2 y 2 －2 ＝12.故双曲线的方程为4 －12＝ 1，应选 A.答案 Ax2y212．(2015 ·石家庄模拟 )已知点 F 是双曲线 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右极点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()A ．(1，＋∞ )B ． (1,2)C ．(1,1＋ 2)D ． (2,1＋ 2)分析由题意易知点 F 的坐标为 (－c,0)， A(－c ，b 2，－ ，－ b 2，，a )B( ca )E(a,0)→ →→ →b 2由于△ABE 是锐角三角形，所以 EA ·EB>0，即EA ·EB ＝(－ c － a ， a ) ·(－c －a ，－ b 2 2 4 3a )>0，整理得 3e ＋2e>e ，∴e(e － 3e －3＋1)<0，∴e(e ＋1)2(e －2)<0，解得 e ∈(0,2)，又 e>1，∴e ∈(1,2)，应选 B.答案B13．(2014 ·惠州模拟 )已知 F 1，F 2x 2 y 2分别是双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左、右焦点，过点 F 2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点 M 在以线段 F 1F 2 为直径的圆外， 则双曲线离心率的取值范围是 ________．分析如下图，过点 F 2且与渐近线 bb(c,0)y ＝ a x 平行的直线为 y ＝ a (x － c)，与b另一条渐近线 y ＝－ a x ，b cy＝a x－c ，x＝2，c bc 联立得b解得bc即点 M 2，－2a.y＝－a x，y＝－2a，c 2bc 2c b 2∴|OM|＝ 2 ＋－2a＝21＋a .∵点M 在以线段 F1F2为直径的圆外，∴ |OM|＞ c，c b 2b2即21＋a＞c，得 1＋a＞2.c b 2∴双曲线率心率 e＝a＝1＋a＞ 2.故双曲线离心率的取值范围是 (2，＋∞ )．答案(2，＋∞ )14.如图， O 为坐标原点，双曲线 C1x2y2y2 x2： 2－ 2＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2： 2＋ 2＝a1b1a2 b22＞b2＞0)均过点P 23，1 ，且以 C1的两个极点和 C2的两个焦点为极点的1(a3四边形是面积为 2 的正方形．(1)求 C 1， C 2 的方程；→(2)能否存在直线 l ，使得 l 与 C 1 交于 A ，B 两点，与 C 2 只有一个公共点， 且 |OA→ →＋OB|＝|AB|？证明你的结论．解 (1)设 C 2 的焦距为 2c 2，由题意知， 2c 2＝2,2a 1＝2，进而 a 1＝1，c 2＝ 1.由于点 P 2 32y 22 3 2 － 1222 3，1 在双曲线 x －＝ 1 上，所以3 ＝1.故 b 1＝3.b 1b 1 由椭圆的定义知2a 2＝2 32＋1－12＋2 3 2＋ 1＋1 2＝2 3.33于是 a 2＝3，b 22＝ a 22－ c 22＝2，故 C 1，C 2 的方程分别为 x 2－y222 ＝1，y＋ x＝1.3 3 2(2)不存在切合题设条件的直线．①若直线 l 垂直于 x 轴，由于 l 与 C 2 只有一个公共点，所以直线l 的方程为 x＝ 2或 x ＝－ 2.当 x ＝ 2时，易知 A( 2， 3)，B( 2，－ 3)，所以 →→， → ＝＋OB ＝23.|OA| 2 |AB| 2 → → →此时， |OA ＋OB ≠|AB|.|当 x ＝－→→→2时，同理可知， |OA ＋ OB ≠|AB|.|②若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 y ＝kx ＋m.y ＝ kx ＋m ，由x 2－y2＝1，3得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当 l 与 C 1 订交于 A ， B 两点时，设 A(x 1，y 1 ， B(x 2， y 2 )，则 1，x 2 是上述方程) x 2km m 2＋ 3的两个实根，进而 x 1＋x 2＝3－k 2， x 1x 2＝ k 2－3 .222 23k－3m于是 y 1y 2＝k x 1x 2＋km(x 1＋ x 2)＋m ＝k 2－ 3.y ＝ kx ＋m ，得(2k 2＋3)x 2＋ 4kmx ＋2m 2－6＝0. 由 y 2 x 23 ＋2＝1，由于直线 l 与 C 2 只有一个公共点，所以上述方程的鉴别式＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2 2→ →m 2＋3 3k 2－3m 2 － k 2－32k ＝ m － 3，所以 OA · ＝ x 1 2＋y 1 2＝2＋2＝2≠0，OBxyk －3k －3k －3→ 2→ 2 →→→2 → 2→ → ，于是 OA＋OB ＋2OA ·≠OA ＋OB －2OA ·OBOB →→ 2 →→ 2→→→即|OA ＋OB≠|OA －OB，故|OA ＋OB ≠|AB|.| ||综合①，②可知，不存在切合题设条件的直线．。

第9讲实际问题的函数建模基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.答案 A3．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2 B.(p＋1)(q＋1)－12C.pqD.(p＋1)(q＋1)－1解析设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x＞0，因此x＝(1＋p)(1＋q)－1，故选D. 答案 D4．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21 解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2 x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号，所以选A.答案 A5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A二、填空题6. (2014·江西六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是，B 的速度是 ，经过________小时，AB 间的距离最短．解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案 2587．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案 168. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.答案 20三、解答题9. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20＜P ≤26)， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20＜P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．10．(2014·郑州模拟)已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)，由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( )A.12B.14 C ．2 D.18 解析 由题目可知加密密钥y ＝kx 3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，解得x ＝12.答案 A12. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为 ( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.答案 A13．(2014·岳阳模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N ＋)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋) 16 14. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝ 6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围．解 (1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h ≥1，设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4，将A (2,3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.∴当h ＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y ＝－(x －3)2＋4.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4得ah 2＝－1，所以a ＝－1h 2.由题意，得方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h 2[x －(2＋h )]2＋4，则f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，且f (6)＝－1h 2(4－h )2＋4≤0.解得1≤h ≤43.达到压水花的训练要求时h 的取值范围为[1，43].。