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一. 选择题(每空2分, 共20分)1．设 是真值 的近似值，则有 ________位有效数字. 2.2. 设，则差商（均差）1)(3−+=x x x f =]3,2,1,0[f ________，且_________. =]4,3,2,1,0[f 3. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________.)(,),(),(10x l x l x l n "4. 是以0，1，…，n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则 ________________. =∑=ni ix il 0)(5. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C==∑__________________.6. 设方程组b Ax =,其中,则Jacobi 代法的迭代矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=51112．A 迭__________________,Gauss-Seidel 法的迭代矩阵是__________________. 7. 设是区间[上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族,其中{∞0)(x k ϕ}]1,02)(x x =ρ1)(0=x ϕ,则=∫dx x x )(3102ϕ__________________,=)(1x ϕ__________________. 二. 判断题(每小题2分, 共20分.正确的打√,错误的打×)1. 梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）. ( )2. 若x 为n 维向量,则0>x . ( )3. 幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法． ( )4. 用x +1近似表示x e 产生舍入误差． ( )第 A1 页 共 3 页40194x =* 2.40315x =5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精度为n . ( )6. 321.750有5位有效数字,其误差限31021−×≤. ( )7. 求解微分方程初值问题的二阶龙格—库塔公式的局部截断误差为)(2h o .( )8. 高斯型求积公式的代数精度为12∑∫=≈nk k k b a x f A dx x f 0)()(+n . ( ) 9. 对0的充要条件是A 的某种算子范数lim ,=∈∀∞→×m m n n A R A 1<A .（ ）10. 方程组b Ax =得系数矩阵A 的条件数刻画了解对初始数据的灵敏程度，即A 的条件数越大，方程组的病态程度越严重． ( ) 三. 计算题(每小题10分, 共40分)1. 用矩阵的直接三角分解法（）解方程组LU A =b AX =：。
光机所2010数值分析试题一、(24分)(1) 设x j 为互异节点，试证明()∑=≡n j k j k j x x l x 0，k =0, …, n(2) 证明 ()()()∑==≡-n j j kj n k x l x x0,,1,0 (3) 求一个次数不高于4的多项式()x p 4，使它满足()()00044='=p p ，()()11144='=p p ，()124=p .二、(24分)(1) 什么叫求积公式的m 次代数精度？(2) 确定下述数值积分的参数a ，使其代数精度尽量高，并说明该公式有几次代数精度()()()()h f A f A h f A dx x f h h 101220++-=--⎰(3) 已知411=x ，212=x ，433=x ，推导以这三个点作为求积节点在[0, 1]上的插值型求积函数，并用所求公式计算⎰102dx x 三、(12分) 已知函数1, x, 312-x 在[-1, 1]上两两正交，并求一个三次多项式，使其与这三个函数两两正交。
四、解下列线性方程组（用某种方法解方程组，貌似主要考的是矩阵计算）五、(10分) 已知 ||x || = ||y ||, x ≠y ，证明存在初等反射阵变换H ，使Hx = y ，若x = (1, 1, 0)，y =(此处缺一系数) ||x|| e 1，从计算效果考虑应该取正号还是负号，并计算相应的矩阵H六、(8分) 证明1 – x - sin x = 0在[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的解需迭代二分多少次？七、(12分) 设有迭代格式 ()()g Rx x k k +=-1, k = 1, 2, … 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=05.02/15.005.02/15.00R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5.015.0g 试证该迭代格式收敛。
取初始向量为 (0, 0, 0) ，计算x。
2010年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、D; 2、B ； 3、D ； 4、B ； 5、D 。
二、填空题（4*5=20）1、4； 2、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323203*⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛320323； 3、)]23()0()23([3f f f ++-∏；4、kk k k x x x x 2221--=+；5、9.605。
三、（10分）由两点三次Hermite 插值多项式公式秋得：)2()(23x x x H -=，设所求多项式223)1()()(-+=x Ax x H x P ，。
（4分） 由P(2)=1,得A=1/4,。
（4分） 故22)3(41)(-=x x x P 。
.。
（2分） 四、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1001001*10010021321u u l l l A ，由追赶法公式求得， 15/56,15/4,4/15,4/1,432211=-==-==l u l u l ，。
（4分） 由Ly=d,求得T y )77.0,87.0,25.0(=,（3分） 由Ux=y,求得，T x )5179.0,0714.1,7679.0(=（3分）五、（10分）Jacobi 迭代计算格式：⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=+++3/)221(5/)327(24)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。
（2分） G-S 迭代计算格式： ⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=++++++3/)221(5/)327(24)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。
（2分） 由于016415)(3=-+=-λλλJ B I del ,,11516)(>=J B ρ即Jacobi 迭代发散；。
南华大学 2010 级硕士研究生课程考试试题
考试科目： 数值分析 所属学院 考试时间 考生姓名： 考生学号 任课教师 考试成绩
一、(15分)求一个次数不超过4的多项式)(x p ，满足 ()()()()()211,1101='=-'===-p p p p p 。
二、求多项式()4
362
3
+++=
x x
x
x f 在[]1,1-上的二次最佳一致逼近多项式。
（提示：第一类切比雪夫三次多项式()x
x
x T 343
3-=）
三、求()x
x f πcos =
在[]1,0上的二次最佳平方逼近多项式。
四、用计算积分()⎰=
b
a
dx x f T
的逐次二分的复化梯形公式()∑
-=++
=
1
22
1
2
2
1n k k n n
x f h T T
，其中
n
a b h -=
，
,3,2,1=n
；计算积分⎰
+1
1x
dx ，并用龙贝格公式()n
n
n T T T T
-≈
-223
1进行事后估
计，使积分的误差不超过2
10
-=ε。
五、已知函数()2
11x f +=
的值如下表：
试用三点微分公式求()x f 在2
.1`,1.1,0.1=x 处的导数值并估计误差。
(提示:三点微分公式如下:
()()()()[]()ξf h
x f x f x f h x f '''+
-+-
=
'3
43212
2
100
()()()[]()ξf h
x f x f h x f '''-
+-
=
'6
212
2
01
()()()()[]()ξf h
x f x f x f h
x f '''+
+-=
'3
34212
2
102
)
六、设A 是n 阶非奇异矩阵，n 维非零列向量b x ,满足b
Ax =，当b 有扰动b δ时，相应的x 产
生扰动x δ，并满足()b
b x x
A δδ+=+，又设
∙
是矩阵范数，试证明：
b
b
A
A
x
x
δδ1
-≤。
七、用牛顿法给出解方程组
⎩⎨⎧-+=--++=++1
132422
2
2
2y x y xy x y x y xy x
的迭代格式，并对初值()1,10=x 计算出2
1
,x
x
八、对于初值问题
()⎩⎨
⎧=≤≤-+-='1
01
0,152
y x x y y
问h 取何值时，用向前欧拉格式()y x hf
y y n n ,1+=+是绝对稳定的，请给出对应的数值解格式
并计算到1=x 的解。
