学高中数学推理与证明章末综合测评含解析北师大版选修

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种 2．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9103．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D5．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()2f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --6．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确7．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于138．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了9．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电 10．“因为e 2.71828=是无限不循环小数，所以e 是无理数”，以上推理的大前提是（ ）A ．实数分为有理数和无理数B ．e 不是有理数C ．无限不循环小数都是无理数D ．无理数都是无限不循环小数11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+= 1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+=1234596111111⨯+= …A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,n n n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______. 15．现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险16．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个） 17．现有这么一列数，2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.18．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100n n n n a x a x a x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．19．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．20．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈.（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.22．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.23．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nbnn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.24．数列{}n a 满足2()n n S n a n =-∈*N .（Ⅰ）计算1a ，2a ，3a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想. 25．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2．（Ⅰ）试计算312123,,S S S T T T 的值，并猜想n nS T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之．26．已知数列()1111,,,,,1223341n n ⨯⨯⨯+，（1）先计算前几项和123,,,S S S 并猜想前n 项和n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明n S 的表达式。

一、选择题1．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于22．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）A ．当n=7时该命题不成立B ．当n=7时该命题成立C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立3．某电影院共有(3000)n n ≤个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、 下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有( ) A ．12个 B ．11个C ．10个D ．前三个答案都不对4．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确6．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确7．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球8．下列推理属于演绎推理的是（）A．由圆的性质可推出球的有关性质B．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电9．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（）A．丁B．乙C．丙D．甲10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙B．甲C．丁D．丙11．用数学归纳法证明“1112n n++++…111()24n Nn n+≥∈+”时，由n k=到1n k=+时，不等试左边应添加的项是( )A．12(1)k+B．112122k k+++C．11121221k k k+-+++D．1111212212k k k k+--++++12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为__________．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,,A B C三个城市时，甲说:我没去过C城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过B城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．15．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．16．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个）17．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．18．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．19．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中的三角垛倒数第二层茭草总束数为______．20．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可测，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表222+++中，“…”即代表无数次重复，但该表达式却是个定值，它可以通过2x x +=，求得2x =，类比上述过程，则3333=__________．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈. （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()*2n n S n na n N +=∈.（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：()*23n a n n N =-∈.23．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 24．求证：()()2333*1212L n L n n N +++=+++∈.25．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2．（Ⅰ）试计算312123,,S S S T T T 的值，并猜想n nS T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之． 26．设等差数列的公差，且，记（1）用分别表示，并猜想；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.2．A解析：A 【解析】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P （n ）对n=8不成立，P （n ）对n=7也不成立， 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A ．点睛：当P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立．3．A解析：A 【解析】分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则2007n ≥，依次验证即可得到答案. 详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影， 则9851010201920072n ++≥=，当2007n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上； 当2008n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；当2018=n 时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上； 当2019n =时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上； 所以当n 有2007,2008,2009,,2018取法，即有12个取值，故选A.点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.4．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．5．C解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.6．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7．D解析：D 【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球 故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.8．D解析：D 【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180，归纳出所有三角形的内角和都是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理; 选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理; 故选D.9．D解析：D【分析】利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案. 【详解】假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话， 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.10．A解析：A 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.11．C解析：C 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项． 【详解】 由n=k 时，左边为11112k k k k+++++，当n=k+1时，左边为11111231(1)(1) k k k k k k k k +++++++++++++所以增加项为两式作差得：11121221k k k+-+++，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．12．D解析：D【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确综上所述，故选【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．二、填空题13．【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥再根据体积关系求内切球半径详解：设正四面体的内切球半径为各面面积为所以点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到6【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径.详解：设正四面体的内切球半径为r，各面面积为S,所以223()11634334a ahh S r S r-⨯⨯=⨯⨯⨯∴===.点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．14．A【解析】分析：一般利用假设分析法找到甲去过的城市详解：假设甲去过的城市为A则乙去过的城市为AC丙去过A城市假设甲去过的城市为B时则乙说的不正确所以甲去过城市不能为B故答案为A点睛：（1）本题主要考解析：A【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C，丙去过A城市.假设甲去过的城市为B时，则乙说的不正确,所以甲去过城市不能为B.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.15．31【解析】分析：由图形的特点只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒点睛：本题主解析：31【解析】分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在4的基础上增加几个3即可．详解：第1个图形中有4根火柴棒；+=根火柴棒；第2个图形中有437+⨯=根火柴棒；第3个图形中有43210+⨯=根火柴棒．第10个图形中有43931点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在4的基础上增加几个3的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．16．丙【解析】假如甲说的是对的则乙说了假话丙说的是真话与条件不符；假如乙说的是真话则甲说的是假话丙说的也是假话符合条件；假如丙说的是真话则甲乙二人中必有一人说的是真话与条件不符所以乙说的是真话是丙做的好解析：丙.【解析】假如甲说的是对的，则乙说了假话，丙说的是真话，与条件不符；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，丙说的也是假话，符合条件；假如丙说的是真话，则甲乙二人中必有一人说的是真话，与条件不符，所以乙说的是真话，是丙做的好事.故答案为丙.17．且【解析】此类比仅是数量的变化即在空间中四点共面的充要条件是：对于平面内任一点有且只有一对实数满足向量关系式且解析：OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=18．【解析】依题意以此规律可推出故答案为 解析：()2017xx e +【解析】依题意()()11xxxf x e xe x e '=+=+，()()()()2112x x x x f x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦，()()()()3223x x x x f x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦，以此规律，可推出()()20172017x f x x e =+，故答案为()2017x x e +.19．120【解析】试题分析：由题意第n 层茭草束数为1+2+…+n=利用1+3+6+…+=680求出n 即可得出结论解：由题意第n 层茭草束数为1+2+…+n=∴1+3+6+…+=680即为n （n+1）（2n解析：120 【解析】试题分析：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，利用1+3+6+…+=680，求出n ，即可得出结论．解：由题意，第n 层茭草束数为1+2+…+n=，∴1+3+6+…+=680，即为[n （n+1）（2n+1）+n （n+1）]=n （n+1）（n+2）=680， 即有n （n+1）（n+2）=15×16×17， ∴n=15，∴=120．故答案为120 考点：归纳推理．20．9【解析】由易得：故答案为:9解析：9 【解析】由3x x =，易得：x 9=.故答案为:9三、解答题21．（1）11a =，23a =，35a =（2）猜想21n a n =-，证明见解析. 【分析】(1)利用24(1)n n S a =+代入计算，可得结论；(2)猜想21n a n =-，然后利用归纳法进行证明，检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立． 【详解】(1)1n a ≥，且24(1)n n S a =+，∴当1n =时，21(1)1a -=，11a ∴=，当2n =时，()22241(1)a a +=+，23a ∴=，或21(a =-舍)， 当3n =时，()23344(1)a a +=+，35a ∴=，或33(a =-舍)，11a ∴=，23a =，35a =；(2)由(1)猜想21n a n =-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，11a =，显然成立， ②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-， 则当1n k =+时，由24(1)k k S a =+， 有()2211144(1)(1)k k k k k a S S a a +++=-=+-+，()()22111124121210k k k k a a k a k a k ++++∴--+=--+-=， 121k a k +∴=+，或121(k a k +=-+舍)，1n k ∴=+时结论成立，由①②知当*n N ∈，21n a n =-均成立． 【点睛】本题考查了归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：()1验证1n =成立；()2假设n k =成立；()3利用已知条件证明1n k =+也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法，属中档题．22．（1）()111n n n a na +-=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）由2n n S n na +=，可得出()11211n n S n n a ++++=+，两式相减，化简即可得出结果；（2）令1n =代入2n n S n na +=求出1a 的值，再由20S =求出2a 的值，可验证1n =和2n =时均满足23n a n =-，并假设当()2,n k k k N *=≥∈时等式成立，利用数学归纳法结合数列{}n a 的递推公式推导出1n k =+时等式也成立，综合可得出结论. 【详解】（1）对任意的n *∈N ，由2n n S n na +=可得()11211n n S n n a ++++=+， 上述两式相减得()11211n n n a n a na +++=+-，化简得()111n n n a na +-=+；（2）①当1n =时，由2n n S n na +=可得1121a a +=，解得11a =-，满足23n a n =-； ②当2n =时，由于2120S a a =+=，则211a a =-=，满足23n a n =-；③假设当()2,n k k k N *=≥∈时，23n a n =-成立，则有23k a k =-，由于()111k k k a ka +-=+，则()()()()212312111231212131111k k k k k k ka k k a k k k k k k +-+--+-+=====-=+-----. 这说明，当1n k =+时，等式23n a n =-也成立.综合①②③，()*23n a n n N =-∈.【点睛】本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 23．（Ⅰ）111,,357；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）分别将1,23n ，=代入递推公式，即可求得2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）猜想121n a n =-，检验1n =时等式成立，假设当()*n k k N =∈时等式成立，证明当1n k =+时等式也成立.详解：解：（Ⅰ）由题意，1211121213a a a ===++，232113221513a a a ===++， 343115221715a a a ===++ （Ⅱ）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =- 以下用数学归纳法证明：对任何的*n N ∈,1.21n a n =-证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯-所以1n =时成等式.②假设当()*n k k N =∈时，121k a k =-成立， 则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以，当1n k =+时，等式也成立.根据①和②，可知对于任何*n N ∈，1.21n a n =-成立. 点睛：本题考查数列的递推公式，合情推理，运用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k *∈N ，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； 24．见解析. 【解析】试题分析：等式是关于正整数n 的一个式子，所以可以用数学归纳法证明，先检验n=1的情况，再假设当*n k,k 1,k N =≥∈时，等式成立，即()23331+2++k 1+2++k =，继而证明n k 1=+时， ()()()3233331+2++k +k 11+2++k +k 1+=+成立，即可。

一、选择题1．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确2．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（ ） A ．3m =，2n =B ．2m =-，1n =-C ．2m =，1n =D ．2m n ==-3．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得152x +=，类似上述过程，则33++=（ ）A ．1312+ B ．3 C ．6D ．224．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5055．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年6．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．237．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =8．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现9．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=10．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -11．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 14．学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是_______.15．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．16．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .17．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =__________． 18．观察下列数表：1 3 57 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________．19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =____. 20．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．三、解答题21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，()4521S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，()*11n n n b T T n N ++=∈.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记nn na c T =，*n N ∈，证明：()122214n c c c n n +++<+. 22．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈23．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求；（2）猜想的表达式并证明.24．设f （x ）=3ax 2+2bx+c ，若a+b+c=0，f （0）＞0，f （1）＞0，求证：a ＞0且﹣2＜＜﹣1．25．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<； （2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.26．已知数列{}n a 中，11a =，()122nn na a n N a ++=∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； (2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列时的大前提、小前提和结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.2．D解析：D 【解析】分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得到结论.详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确， 可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-， 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则乙、丙判断不正确符合题意； 若判断正确，甲、丙判断不正确，可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则甲、丙判断不正确，符合题意； 若丙判断正确，甲、乙判断不正确， 可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.2m n ==-，则甲乙丙判断均错.故选D.点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.3．A解析：A 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即23m m +=，解得m m ==舍去，故选A. 4．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.5．C解析：C 【解析】2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．6．C解析：C【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-2 高二数学（选修1－2）推理与证明测试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.测试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 2.下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ）A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“nn a a b +=+n （b ）”3.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A.29B. 254C. 602D. 2004 4. 设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2010()f x ＝（ ）A.cos x B ．－cos x C ．sin x D －sin x5.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 6.下面几种推理是类比推理的是（ ）A .两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A +∠B =1800 B .由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质C .某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D .一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除.7.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.A.21B.22C.20D.238.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）（A ）假设,,a b c 不都是偶数 （B ）假设,,a b c 都不是偶数 （C ）假设,,a b c 至多有一个是偶数 （D ）假设,,a b c 至多有两个是偶数9．如果=++==+)5()6()3()4()1()2(,2)1()()()(f f f f f f f b f a f b a f 则且( )． A ．512 B ．537 C ．6 D ．82()3110:344,()(cos sin )(),24x x y x y y x y αα≥⎧•=•=-•+-⎨<⎩、定义运算例如则的最大值为( )A .4B .3C .2D .111.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a+≥+•+.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个 12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为( ) A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为． 14.下列表述正确的是．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

一、选择题1．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 2．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++3．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确4．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确5．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．46．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（）A．4 B．2 C．3 D．17．高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则A．乙班女老师不多于丙班女老师B．乙班男老师不多于丙班男老师C．乙班男老师与丙班女老师一样多D．乙班女老师与丙班男老师一样多8．下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数。

一、选择题1．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28B ．76C ．123D ．1992．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于23．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立5．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 6．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( )A ．50B ．42C ．-50D ．-427．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---8．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项9．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯10．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电11．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．16．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．17．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 18．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________．19．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ； （2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，()4521S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，()*11n n n b T T n N ++=∈.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记n c =，*n N ∈，证明：()12214n c c c n +++<+. 24．已知数列{}n a 中，12a a =．()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．25．已知函数()()211xx f x a a x -=+>+. （1）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明； （2）用适当的方法证明方程()0f x =没有负根.26．证明：223333(1)1234n n n ++++⋯+=，其中*n N ∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.2．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.3．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩 D ．甲、丁可以知道自己的成绩2．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．93．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -4．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（ ） A ．3m =，2n =B ．2m =-，1n =-C ．2m =，1n =D ．2m n ==-5．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了7．用反证法证明命题：“若x，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( ) A ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有两个小于12 B ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有一个小于12C ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不小于12D ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于128．根据给出的数塔猜测12345697⨯+=（ ）19211⨯+= 1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 9．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数10．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变11．用数学归纳法证明“1112n n ++++ (111)()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．15．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.16．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分．17．已知数列{}1214218421:,,,,,,,,,1121241248n a 其中第一项是0022，接下来的两项是10122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则9899a a ⨯=__________． 18．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .19．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．20．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中的三角垛倒数第二层茭草总束数为______．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈23．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+. （1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 24．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.26．已知数列{}11,2n a a =，133nn n a a a +=+.（1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.2．B解析：B 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．4．D解析：D 【解析】分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得到结论.详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确， 可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-， 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则乙、丙判断不正确符合题意； 若判断正确，甲、丙判断不正确，可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则甲、丙判断不正确，符合题意； 若丙判断正确，甲、乙判断不正确， 可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.2m n ==-，则甲乙丙判断均错. 故选D.点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.5．D解析：D 【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.6．C【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，由于反证法证明命题:“若2()f x x px q =++，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12，故选D.考点：反证法. 8．B解析：B 【解析】 由1×9+2=11； 12×9+3=111； 123×9+4=1111； 1234×9+5=11111； …归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， ∴123456×9+7=1111111， 本题选择B 选项.9．D解析：D 【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c 中至少有两个偶数 ”选D.10．B解析：B【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．11．C解析：C 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项． 【详解】 由n=k 时，左边为11112k k k k+++++， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++ 所以增加项为两式作差得：11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．12．D解析：D 【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案 【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误 对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误 对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确 综上所述，故选 【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点： 第1个等式开头为1，第2个等式开头为2， 第3个等式开头为3，第4个等式开头为4， 则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数， 第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数， 则第n 个等式左侧有2n -1个数， 据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9， 第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49， 则第n 个等式右侧为()221n -， 据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．【解析】分析：令可求得由得两式相减得可依次求出观察前四项找出规律从而可得结果详解：中令可求得由得两式相减得即可得…归纳可得故答案为点睛：归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已解析：212n n -【解析】分析：令1n =，可求得112a =，由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥， 两式相减，得()1122n n a a n -+=≥，可依次求出234,,a a a ，观察前四项，找出规律，从而可得结果.详解：n n S n a =- 中令1n ，=可求得1a =1112122-= 由()n n S n a n N*=-∈，得()1112n n Sn a n --=--≥，两式相减，得11n n n a a a -=-+， 即()1122n n a a n -+=≥， 可得222321;42a -==333721;82a -==4341521;182a -==… 归纳可得212n n n a -=，故答案为212n n-. 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得. 【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2. 点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.16．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即 解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

一、选择题1．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a +（ ） A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于22．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1 B ．21k + C ．2k D ．21k - 3．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确 4．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定 6．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯ 7．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.125 8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩9．根据给出的数塔猜测12345697⨯+=（ ）19211⨯+=1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+=1234596111111⨯+=…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+=1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．1111113 12．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ）A ．至少有一个不小于1B ．至少有一个不大于1C ．都不大于1D ．都不小于1二、填空题13．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>-14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-), 以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=，33456725S =++++=，44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n S n =+ ， n *∈N . 算出数列的前4项的值后，猜想该数列的通项公式是__________.20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.（1）求1234,,,a a a a ;（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算 11=， 1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立．23．（1）已知数列{}n a 通项公式为()12n n n a +=，写出数列前5项. （2）记数列3333331,2,3,4,5,,,n 的前n 项和为n S ，写出n S 的前5项并归纳出nS 的计算公式.（3）选择适当的方法对（2）中归纳出的公式进行证明. 24．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝214n nb a -(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上25．已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =- (1).求函数()f x 的解析式；(2).当n *∈N 时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.26．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212n n p a p a （p 是常数）． (1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a +++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.2．C解析：C【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

一、选择题1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20482．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（ ） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -4．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -5．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立6．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++7．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于18．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---9．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．210．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯11．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++，则m =__________.14．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．15．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．16．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．17．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________． 18．观察下列数表：1 3 5 7 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________． 19．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．对任意正整数n ，设n a 表示n 的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，n S 表示数列{}n a 的前n 项和.（1）求1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）是否存在常数s ，t ，使得()()212246mmm s t S-+⋅+=对一切m 1≥且*m N ∈恒成立？若存在，求出s ，t 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()*2n n S n na n N +=∈.（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：()*23n a n n N =-∈.23．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+.（1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 24．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 25．求证：()()2333*1212L n L n n N +++=+++∈.26．已知n *∈N ，(1)(2)(),n S n n n n =+++213(21)n n T n =⨯⨯⨯⨯-.(Ⅰ)求 123123,,,,,S S S T T T ；(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072，故选A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．2．A解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论． 【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0， 故选A ． 【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．3．C解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．4．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案 详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

学年高中数学推理与证明章末综合测评含解析北师大版选修The following text is amended on 12 November 2020.(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是( )A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为( )A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是( )，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( )A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )A.(5k－2k)＋4·5k－2k(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.( )＋1＋2＋2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.(2016·昌平模拟)已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )…a9＝29＋a2＋a3＋…＋a9＝29…a9＝2×9＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】B9.在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有( ) n·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝( )图1018×2 014 018×2 013010×2 012 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个.∴a n－5＝，∴a2 016－5＝＝2 013×1 011.【答案】D11.在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2＝( )017图2006 007008 009【解析】依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.【答案】C12.记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝，将M中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋【解析】因为＋＋＋＝(a1×103＋a2×102＋a3×101＋a4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a1＝7，a2＝9，a3＝8，a4＝4.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.【答案】经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝114.观察下列等式：13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，……照此规律，第n个等式可为__________.【解析】依题意，注意到13＝，13＋23＝＝9，13＋23＋33＝＝36，……，照此规律，第n个等式可为13＋23＋33＋…＋n3＝.【答案】13＋23＋33＋…＋n3＝15.(2016·东莞高二检测)当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是__________.【解析】根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.【答案】12三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg ≥；(2)＋>2＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有≥，∴lg≥lg，∴lg ≥lg ab＝.(2)要证＋>2＋2，只要证(＋)2>(2＋2)2，即2>2，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin2α＋＋sin α＝sin2α＋cos2α－sin αcos α＋sin2α＋sin α·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.19.(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABBA＝S2BCCB＋S2ACCA－2S BCCB S ACCA cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角.证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于S BCCB＝PN·CC1，S ACCA＝MN·CC1，S ABBA＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2 ABBA＝S2 BCCB＋S2 ACCA－2S BCCB·S ACCA·cos α.20.(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.21.(本小题满分12分)在数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且a n＋1＝(n≥2).(1)求a3，a4，猜想a n的表达式，并加以证明；(2)设b n＝，求证：对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<. 【解】(1)容易求得：a3＝，a4＝.故可以猜想a n＝，n∈N＋.下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n＝1，2，3，4时，结论成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，结论也成立，即a k＝.那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：a k＋1＝＝＝＝＝＝.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，a n＝成立.(2)证明：b n＝＝＝＝(－)，所以b1＋b2＋…＋b n＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－1)，所以只需要证明(－1)<<＋13n＋1<3n＋2＋10<2(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<.22.(本小题满分12分)(2016·江苏高考)记U＝{1，2，…，100}，对数列{a n}(n∈N＋)和U的子集T，若T＝，定义S T＝0；若T＝{t1，t2，…，t k}，定义S T ＝at1＋at2＋…＋at k.例如：T＝{1，3，66}时，S T＝a1＋a3＋a66.现设{a n}(n∈N＋)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，S T＝30.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T{1，2，…，k}，求证：S T<a k＋1；(3)设CU，DU，S C≥S D，求证：S C＋S C∩D≥2S D.【解】(1)由已知得a n＝a1·3n－1，n∈N＋.于是当T＝{2，4}时，S T＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.又S T＝30，故30a1＝30，即a1＝1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1，n∈N＋.(2)证明：因为T{1，2，…，k}，a n＝3n－1>0，n∈N＋，所以S T≤a1＋a2＋…＋a k＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k.因此，S T<a k＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D是C的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S D≥S D＋S D＝2S D.②若C是D的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S C＝2S C≥2S D.③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令E＝C∩U D，F＝D∩U C，则E≠，F≠，E∩F＝.于是S C＝S E＋S C∩D，S D＝S F＋S C∩D，进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.由(2)知，S E<a k＋1.于是3l－1＝a l≤S F≤S E<a k＋1＝3k，所以l－1<k，即l≤k.又k≠l，故l≤k－1.从而S F≤a1＋a2＋…＋a l＝1＋3＋…＋3l－1＝≤＝≤，故S E≥2S F＋1，所以S C－S C∩D≥2(S D－S C∩D)＋1，即S C＋S C∩D≥2S D＋1.综合①②③得，S C＋S C∩D≥2S D.。