八年级下册数学第一章证明二章节复习

第一章证明二知识点归纳知识点睛： 1、全等三角形（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的 、 相等。

（3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。

三边 ：边边边（SSS ） 两边: 边角边（SAS ）一边 边角边（ASA ） 角角边（AAS ）※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 ※※证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）2、等腰三角形（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的 相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。

（3）判定：①定义②“ ” 3、等边三角形（1） 定义： 的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角 是等边三角形。

4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 （3）“斜边、直角边”或“HL ”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等 5、线段的垂直平分线和角平分线1、 线段的垂直平分线。

三人行教育知识点 1 全等三角形的判断及性质判断定理简称判断定理的内容SSS三角形分别相等的两个三角形全等SAS两边及其夹角分别相等的两个三角形全等ASA两角及其夹边分别相等的两个三角形全等AAS两角分别相等且此中一组等角的对边相等的两个三角形全等知识点 2 等腰三角形的性质定理及推论性质全等三角形对应边相等、对应角相等内容几何语言条件与结论等腰三角形的两底角在△ABC中，若条件：边相等，即AB=AC等腰三角形相等。

简述为：等边AB=AC，则∠ B=∠ C结论：角相等，即∠B=∠ C 的性质定理平等角等腰三角形顶角的平在△ ABC，AB=AC，AD条件：等腰三角形中向来极点分线、底边上的中线⊥ BC，则 AD是 BC边的均分线，底边上的中线、底推论及底边上的高线相互上的中线，且 AD 平边上的高线之一垂直，简述为：三线分∠ BAC结论：该线也死其余两线合一等腰三角形中的相等线段：1 等腰三角形两底角的均分线相等2 等腰三角形两腰上的高相等3 两腰上的中线相等4 底边的中点到两腰的距离相等知识点 3等边三角形的性质定理内容性质定理等边三角形的三个内角都相等，而且每个角都等于60度【重点提示】 1）等边三角形是特别的等腰三角形。

它拥有等腰三角形的全部性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的均分线“三线合一”解读【易错点】全部的等边三角形都是等腰三角形，但不是全部的等腰三角形都是等边三角形知识点 4等腰三角形的判断定理内容几何语言条件与结论等腰三角有两个角相等的三角形是条件：角相等，即∠ B=∠ C在△ ABC 中，若∠ B=结论：边相等，即 AB=AC 形的判断等腰三角形，简述为：等校∠C 则 AC=BC定理平等边解读【注意】对“等角平等边”的理解仍旧要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展判断一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（ 2）利用等腰三角形的判断定理，即“等角平等边”1知识点 5 反证法反证法观点在证明时，先假定命题的结论不建立，而后推导出与定义、基本领实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，进而证明命题的结论必定建立，这类证明方法称为反证法证明的一般步骤（1）假定命题的结论不建立（2）从这个假定出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本领实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判断假定不正确，进而必定原命题正确解读知识点 6判断定理 1判断定理 2解读拓展妙策乐背【重点提示】（ 1）关于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不可以证明时，常常采纳间接证法，反证法就是此中一种，当一个命题波及“必定” “起码”“至多”“无穷”“独一”等状况时，因为结论的反面简单明确，经常用反证法来证明（2）“推理”一定顺着假定的思路进行，即把假定看作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本领实、已有定理或已知条件相矛盾的结果内容三个角都相等的三角形是等边三角形有一角是 60度的等腰三角形是等边三角形【重点提示】应用判断定理 2时，证三角形是等腰三角形，且三角形中有一角为 60°判断一个三角形是等边三角形的方法有三个（1）三边都相等的三角形是等边三角形（ 2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角邓妤60°的等腰三角形是等边三角形 . 在判准时，要更具条件、特点灵巧选择判断方法三种方法证等边，定义与两个判断，判断2可先证等腰，再找60°角2。

第一章 证明（二）专题1：等腰三角形的性质例1：等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ） （A ）35° （B ）20° （C ）35 °或 20°（D ）无法确定例1：如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数。

例2：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为 。

例3：如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管_________根挑战自我，勇攀高分1.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= 度。

2.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是_________。

3.如图甲，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F 。

(1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 是等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)。

ABCD E O E GF HM A B4.如图，等边△ABC 中，AB=2，点P 是AB 边上的任意一点(点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合)，过点P 作PE ⊥BC 于E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，过点F 作FQ ⊥AB 于Q ，设BP= x ，AQ ＝y 。

(1)用x 的代数式表示y ；(2)当PB 的长等于多少时，点P 与点Q 重合?专题2：等腰三角形的判定例1：如图，AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OA=OB ，求证：OC=OD 。

1等腰三角形知识点1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简述为等边对等角）．用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．定理的证明：取BC 的中点D ，连接AD ．∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ACD (SSS ）．∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等）．定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．拓展 等腰三角形还具有其他性质．（1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b ＜a ． （4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ，则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．知识点2 等腰三角形的性质定理的推论推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”）．（1）用符号语言表示为：如图1－3所示，①在△ABC 中,∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；②在△ABC 中,∵AB ＝AC ,AD ⊥BC ,∴∠1＝∠2,BD ＝DC ;③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠1＝∠2,AD ⊥BC ．（2)推论1的证明．①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)．∴BD ＝DC ,∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴AD ⊥BC ．②在△ABC 中,∵AD ⊥BC ,∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）．∴∠1＝∠2，BD＝CD．③在△ABC中，∵AB＝AC,AD＝AD,BD＝CD，∴△ABD≌△ACD（SSS)∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC。

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八年级数学下册第一章《三角形的证明》知识点归纳 八年级数学下册第一《三角形的证明》知识点归纳（北师大版） 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2。

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边)． 3。

推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1。

勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。