高考数学二轮复习课时跟踪检测(四)解三角形(大题练)理

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》复习试卷及答案解析一、选择题1．sin215°－cos215°等于()A.－12B.12C．－32D.32答案C解析sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)＝－cos30°＝－32.故选C.2．若sinα＝45，则－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425答案A解析－22 cosα＝sinαcos π4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.3．已知sinα＝－45α是第四象限角，则sin()A.52 10B.325C.7210D.425答案C解析由同角三角函数基本关系可得cosα＝1－sin2α＝＝35，结合两角差的正弦公式可得sin π4cosα－cosπ4sinα＝7210.故选C. 4．函数f(x)＝sin x的最大值为()A.3B．2C．23D．4答案A解析函数f(x)＝sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos xx ＋12cos＝3sin ≤3.故f (x )的最大值为3.故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－＞0，|φ|y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x －π8，φ的取值范围是()A.－π12，0－π8，－π24C.－π12，D.0，π12答案B解析由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x －π8，时，32x ＋φ－3π16＋φ，3π8＋因为f (x )＞0，即＋＞12，φ≥－π3＋2k π，≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象()AB C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案A解析因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝x＋π6，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α－π2<β边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sinα2·α2－sin ＋12的值为()A ．－513 B.1213C ．－1213D.513答案B解析由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β.由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3，即α＝π3＋β.则sinα2－sin ＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为()A.3B.2C ．1D ．0答案C解析由图象得3T 4＝2π3－－π12∴T ＝π，ω＝2πT＝2，由2sin π6×2＋φ＝2sin π3＋φ＝2，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f π3＝2sin 2×π3＋π6＋2k π1，故选C.9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f π3－x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是()A.k π，k π＋π2(k ∈Z )B.k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )C.k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )D.k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )答案A解析∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2，由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点，∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)，又f (x )＝f π3－x ∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈0，π2∴θ＝π6，∴f (x )＝x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin 2＋π6＝cos 2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos 2x 的单调递减区间是k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A.10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤|，则φ的最小正值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案B解析由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝＋3f (x )＝sin 2φ＋3sin(2x ＋φ)＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝x ＋φ∴g (x )＝x ＋φ又g (x )≤|，∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于()A ．27B ．4C ．23D ．33答案C 解析∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6＝2，＝4＝4，＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是()，112∪14，23，16∪13，23C.14，23 D.13，23答案B解析易知函数y ＝sin x 的单调区间为k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z .由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f(x )＝ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以π，2π，k ∈Z ，解得k ＋13ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω，16∪13，23.故选B.二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________.答案－35解析由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35.14．(2019·山师大附中模拟)已知＝14，则x ________.答案78解析根据三角函数诱导公式，得＝14，x x 2cos 1＝78.15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________．答案2＋1解析令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x＝2sin t ∈[－2，2]，则t 2＝1＋2sinx cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1－54，对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．答案③④解析f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin 2x 1＝－12sin 2x 2，由f (x )图象(图略)可知，①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π，②错误；由f (x )的图象可知，③正确；＝12sin 3π2＝－12④正确．故填③④.三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ>0，|φ的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值．解(1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又×π4＋sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4.所以f (x )＝x (2)因为x ∈0，7π8，所以2x －π4∈－π4，3π2，当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝ 1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x a ·b ＝－54，求cos 2x 的值．解(1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x＝32sin 2x －cos 2x ＋12＝x －12，∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵a ·b ＝x －12＝－54，∴x ＝－34.∵x∴2x －π6∈，∴x ＝－74，∴cos 2x ＝x ＋π6＝x cos π6－x sinπ6＝－74×32－×12＝3－218.。

课时跟踪检测七三角恒等变换与解三角形A卷一、选择题1．co错误!＝－错误!，那么in错误!的值为A．错误!B．错误!C．±错误!D．±错误!解析：选C因为coπ－错误!－2＝co2＋错误!＝错误!，所以有in2＋错误!＝错误! 1－co2＋错误!＝错误!×1－错误!＝错误!，从而求得in＋错误!的值为±错误!，应选C．2．2021·广东省广州市高三测试在△ABC中，假设2co B·in A＝in C，那么△ABC的形状是A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：选C∵2co B in A＝in C，∴2×错误!·错误!＝错误!，那么a＝b，所以△ABC为等腰三角形，应选C．3．2021·湖南四校联考△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且错误!＋错误!＝1，那么C＝A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B由正弦定理及错误!＋错误!＝1，得错误!＋错误!＝1，整理可得a2＋b2－c2＝C＝错误!，所以co C＝错误!又C∈0，π，所以C＝错误!，应选B．4．in错误!＝错误!，co 2α＝错误!，那么in α＝A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!解析：选C由in错误!＝错误!得in α－co α＝错误!，①由co 2α＝错误!得co2α－in2α＝错误!，所以co α－in α·co α＋in α＝错误!，②由①②可得co α＋in α＝－错误!，③由①③可得in α＝错误!5．2021·湖北局部重点中学高三测试△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且错误!＝错误!，假设a＋b＝4，那么c的取值范围为A．0,4 B．[2,4C．[1,4 D．2,4]解析：选B在△ABC中，由三角函数的定义知a co B＋b co A＝c，结合正弦定理和，得错误!＝错误!，即a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理，得co C＝错误!＝错误!又C∈0，π，那么C＝60°，所以c2＝a2＋b2－ab＝a＋b2－3ab≥a＋b2－3×错误!2＝错误!＝4，所以c≥错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 0，∴2α∈错误!，∴in 2α＝错误!＝错误!，∴co错误!＝错误!co 2α－错误!in 2α＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!答案：错误!三、解答题10．2021·惠州模拟△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2co Ca co C＋c co A＋b＝01求角C的大小；2假设b＝2，c＝2错误!，求△ABC的面积．解：1∵2co Ca co C＋c co A＋b＝0，∴由正弦定理可得2co C in A co C＋in C co A＋in B＝0，∴2co C in A＋C＋in B＝0，即2co C in B＋in B＝0，又0°0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝错误!ab in C＝错误!，∴△ABC的面积为错误!11．2021·重庆模拟在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且in 错误!－co 错误!＝错误!1求co B的值；2假设b2－a2＝错误!ac，求错误!的值．解：1将in 错误!－co 错误!＝错误!两边同时平方得，1－in B＝错误!，得in B＝错误!，故co B＝±错误!，又in 错误!－co 错误!＝错误!>0，所以in 错误!>co 错误!，所以错误!∈错误!，所以B∈错误!故co B＝－错误!2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac co B＝a2＋错误!ac，所以错误!a＝c－2a co B＝c＋错误!a，所以c＝错误!a由正弦定理可得错误!＝错误!＝错误!12．2021·广东六校第一次联考在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2＋c2－a2＝ac co C＋c2co A1求角A的大小；2假设△ABC的面积S△ABC＝错误!，且a＝5，求in B＋in C．解：1∵b2＋c2－a2＝ac co C＋c2co A，由余弦定理得2bc co A＝ac co C＋c2co A∵c>0，∴2b co A＝a co C＋c co A，∴由正弦定理得2in B co A＝in A co C＋in C co A，即2in B co A＝in A＋C．∵in A＋C＝inπ－B＝in B，∴2in B co A＝in B，即in B2co A－1＝0，∵0<B<π，∴in B≠0，∴co A＝错误!，∵0<A<π，∴A＝错误!2∵S△ABC＝错误!bc in A＝错误!bc＝错误!，∴bc＝25∵co A＝错误!＝错误!＝错误!，∴b2＋c2＝50，∴b＋c2＝50＋2×25＝100，即b＋c＝10或求出b＝c＝5，∴由正弦定理得in B＋in C＝b·错误!＋c·错误!＝b＋c·错误!＝10×错误!＝错误!B卷1．2021·昆明模拟在△ABC中，AC＝2错误!，BC＝6，∠ACB＝150°1求AB的长；2延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．解：1由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC co ∠ACB，得AB2＝12＋36－2×2错误!×6co 150°＝84，所以AB＝2错误!2因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，在△ACD中，由正弦定理错误!＝错误!，得CD＝错误!，又in 105°＝in60°＋45°＝in 60°·co 45°＋co 60°·in 45°＝错误!，所以CD＝3＋错误!，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝错误!AC·CD·in ∠ACD＝错误!×2错误!×3＋错误!×错误!＝错误!错误!＋1．2．2021·长春市高三第一次质量监测在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝a co C＋错误!c1求角A；2假设错误!·错误!＝3，求a的最小值．解：1由b＝a co C＋错误!c及正弦定理，可得in B＝in A co C＋错误!in C，又in B＝in A＋C＝in A co C＋co A in C，所以co A in C＝错误!in C，又在△ABC中，in C≠0，所以co A＝错误!，又A∈0，π，所以A＝错误!2由1及错误!·错误!＝3得bc＝6，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc co A＝b2＋c2－6≥2bc－6＝6，当且仅当b＝c时取等号，所以a的最小值为错误!3 2021·皖中名校联考如下图，位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距2021海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，2021后又测得该船只位于观测站A北偏东45°＋θ0°<θ<45°的C处，AC＝10错误!海里．在离观测站A 的正南方某处D，tan ∠DAC＝－71求co θ；2求该船的行驶速度v海里/时．解：1∵tan ∠DAC＝－7，∴in ∠DAC＝－7co ∠DAC∵in2∠DAC＋co2∠DAC＝1，∴in ∠DAC＝错误!，co ∠DAC＝－错误!，∴co θ＝co135°－∠DAC＝－错误!co ∠DAC＋错误!in ∠DAC＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!2由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB co θ，∴BC2＝10错误!2＋2021错误!2－2×10错误!×2021错误!×错误!＝360，∴BC＝6错误!海里．∵t＝2021＝错误!小时，∴v＝错误!＝18错误!海里/时．4 2021·洛阳尖子生统考如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠P AC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝41求∠ACP；2假设△APB的面积是错误!，求in ∠BAP解：1在△APC中，∠P AC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·co ∠P AC，所以22＝AP2＋4－AP2－2·AP·4－AP·co 60°，整理得AP2－4AP＋4＝0，解得AP＝2，所以AC＝2，所以△APC是等边三角形，所以∠ACP＝60°2解法一：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝12021因为△APB的面积是错误!，所以错误!·AP·PB·in ∠APB＝错误!，所以PB＝3在△APB中，AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·co ∠APB＝22＋32－2×2×3×co 1202119，所以AB＝错误!在△APB中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以in ∠BAP＝错误!＝错误!解法二：作AD⊥BC，垂足为D，如图．因为△APC是边长为2的等边三角形，所以PD＝1，AD＝错误!，∠P AD＝30°因为△APB的面积是错误!，所以错误!·AD·PB＝错误!，所以PB＝3，所以BD＝4在Rt△ADB中，AB＝错误!＝错误!，所以in ∠BAD＝错误!＝错误!，co ∠BAD＝错误!＝错误!所以in ∠BAP＝in∠BAD－30°＝in ∠BAD co 30°－co ∠BAD in 30°＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

专题7解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A，由（1）得2250b c ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B．(1)若23C ，求B ；(2)求222a b c 的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos 2A B A B 化成 cos sin A B B ，再结合π02B ，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B ，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ，即 1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC ，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0BC ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B ，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB ．当且仅当22cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．3．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ．(1)求sin A 的值；(2)若11b ，求ABC 的面积．【答案】(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab以及4a 可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C 求出面积．(1)由于3cos 5C ，0πC ，则4sin 5C．因为4a ，由正弦定理知4sin A C，则sin 45A C ．(2)因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a ，即26550a a ，解得5a ，而4sin 5C ，11b ，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C．(1)求C ；(2)若6b ，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6 (2)6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.(1)解：因为 0,C ，则sin 0C2sin cos C C C ，可得cos 2C ，因此，6C .(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a，解得a .由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C ，c所以，ABC 的周长为6a b c .5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a S S，则222123S S S a b c 即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则22cos 3B ，1cos 4ac B ，则12sin 28ABC S ac B ；(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C，则229sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C ，则3sin 2b B ，31sin 22b B .6．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B ，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a cb bc a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB m ，15AD m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20 ，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD ，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值.(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD 则AE EH ，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE在直角HED △中，tan 2015tan 20EH DH90250HDF ADE在直角FHD △中，tan 5015tan 50HF ADsin 20sin 5015tan 20tan 5015cos 20cos50EF EH HFsin 2050sin 20cos50cos 20sin 501515cos 20cos50cos 20cos50sin 70151523.3cos 20cos50cos50(2)设ADE ,902HDF ，则15tan AE ，15tan 902FH 115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFD S EF DHV 11515tan 22ADE S AD AE V 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADE DEF S S S22512253tan 4tan 42当且当13tan tan ，即tan 时取得等号，此时15tan 158.73AE即当tan 3 时，梯形AEFD 的面积取得最小值2则此时梯形FEBC 的面积有最大值1530255.142所以当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.148．（2022·全国·模拟预测）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且 sin sin sin 6b a b c A B C S .(1)求角B 的大小；(2)若1a b ，2c b ，求cos A ，cos C 的值.【答案】(1)3(2)17，1114【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由in 12s S ab C ，又 sin sin sin 3sin b a b c A B C ab C ，由0b ，则 sin sin sin 3sin a b c A B C a C .由正弦定理得 3a b c a b c ac ，所以222a c b ac .由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac ，因为0B ，所以3B .(2)因为222a c b ac ，1a b ，2c b ，所以 2221212b b b b b ，解得7b ，所以8a ，5c .所以2222227581cos 2707b c a A bc ，22222287511cos 211214a b c C ab .9．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan S a B ab A B．(1)求角B 的大小；(2)若322AB BC ，，点D 在边AC 上，______，求BD 的长．请在①AD DC ；②DBC DBA ；③BD AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3B (2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得2cos cos cos c B a B b A ，利用正弦定理以及和角关系可得1cos 2B ，进而可求.（2）根据余弦定理可求出AC ，然后在ABD △和在DBC △中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为24cos cos tan S a B ab A B ，所以214sin 2cos cos sin cos ac B a B ab A B B，所以22cos cos cos ac B a B ab A ，即2cos cos cos c B a B b A ．由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A ，所以 2sin cos sin sin C B A B C ．因为 0,πC ，所以sin 0C ，所以1cos 2B．又 0,πB ，所以π3B．(2)若选①．法一：在ABC 中，由余弦定理，得2222233π132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B ，所以ACAD DC 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB ，即2134cos 16BD BD ADB ．在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB ，即2913cos 416BD CDB ．又πADB CDB ，所以cos cos 0ADB CDB ．所以29134248BD ，所以374BD ．法二：因为AD DC ，所以D 为AC 的中点，所以 12BD BA BC ，所以222124BD BA BC BA BC 19337422cos6044216．所以BD BD 若选②．在ABC 中，ABC ABD CBD S S S ，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ，即1311131222222222BD BD ，解得BD 若选③．在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B2233π13222cos 2234 ，所以AC ．因为1sin 2ABC S BA BC B △12ABC S BD AC △，BD 10．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C A B C ，a b ．(1)求角B ；(2)若3a ，7b ，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．【答案】(1)23B (2)1538【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得5c ，再根据BCD △的面积为ABC 面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由cos 2cos tan sin C A B C，有tan sin cos 2cos B C C A ，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B ，故 cos 2cos cos B C A B ，即cos 2cos cos A A B ．因为a b ，所以A 为锐角，cos 0A ，所以1cos 2B ．又因为 0,B ，所以23B ．(2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac ，即2949162c c ，故23400c c ，解得5c 或8c 舍）．故11235sin 223BCD ABC S S △△11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C ．(1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A 【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cos C 用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得1()2AM AB AC ，两边平方化简后可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设BM MC m ，再分别在ABM ，ACM △和ABC 中用余弦定理，结合cos cos 0AMB AMC 可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为22cos c b a C ，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C ，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C ，因为sin 0C ，所以12cos 1,cos 2A A，为0πA ，所以π3A ．解法二：因为22cos c b a C ，由余弦定理得：222222a b c c b a ab，整理得222bc b c a ，即222a b c bc ，又由余弦定理得2222cos a b c bc A所以12cos 1,cos 2A A，因为0πA ，所以π3A ．(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC ，所以222124AM AB AB AC AC ，即22132cos 43c b bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc 即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立所以ABC 的面积为113sin 4222ABC S bc A △即ABC 解法二：设BM MC m ，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB ，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC ，②因为πAMB AMC ，所以cos cos 0AMB AMC 所以①+②式得22262b c m ．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A ，而π3A ，所以2224m b c bc ，④联立③④得：22222212b c b c bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc ，即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A △ABC 12．（2022·北京市第十二中学三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a B A .(1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积.条件①：3a ；条件②：b ；条件③：2cos 3C ；条件④：2c .【答案】(1)6B(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断ABC 不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断ABC 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断ABC 的面积；选①④，直接判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；选②④，利用余弦定理可判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.(1)解：由cos sin a B A 及正弦定理可得sin cos sin A B A B ，A ∵、 0,B ，则sin 0A ，cos 0 B B ，tanB 6B .(2)解：若选①②，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，即210c ，解得 c ，此时，ABC 不唯一；若选①③，已知3a ，6B，21cos 32C ，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A C B C C由正弦定理sin sin b a B A 可得 92sin sin 11a B b A，所以， 9211sin 32211ABC S ab C △；若选①④，已知3a ，6B，2c ，此时ABC 唯一，1322sin ABC S ac B；若选②③，已知b 6B ，21cos 32C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A CBC C 由正弦定理sin sin b c B C 可得sin 410sin 3b C c B ，所以，120385sin 29ABC S bc A △；若选②④，已知b 6B，2c ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，可得240a ，0a ∵，解得a ABC 唯一，1sin2ABC S ac B △若选③④，已知6B ，2c ，231cos 322C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，5sin 3C， 152sin sin sin cos cos sin 666A CBC C ，由正弦定理sin sin b c B C 可得sin sin 5c B b C ，1sin 210ABC S bc A △.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos (cos )sin .232B BC C (1)当π3B，求sin sin C A 的值(2)求B 的最大值.【答案】(1)sin C +sin A =1(2)2π3【解析】【分析】（1）代入π3B ，解得313sin cos 223C C ，对sin sin C A 变形得到1sin sin sin cos 12C A C C ，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以2cos2B ，变形得到sin sin sin C A B ，利用正弦定理得到a c ，利用余弦定理和基本不等式求出B 的最大值.(1)由题意得：ππsin coscos )sin 66C C ，1cos 2C C则π31sin sin sin sin sin cos sin cos 1322C A C C C C C C(2)sin cos cos )sin 22B B C C ，两边同乘以2cos 2B 得：22sin cos cos )2sin cos 222B B B C C ，即 sin 1cos cos )sin C B C B ，整理得：sin sin sin C A B ，由正弦定理得：3a cb ，由余弦定理得： 2222222cos 1226ac b ac a c b b B ac ac ac，因为 22143a c acb ，当且仅当ac 时等号成立，此时21cos 162b B ac ，由于 0,πB ，而cos y x 在 0,π上单调递减，故B 的最大值为2π314．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S ，且c △ABC 的周长．【答案】(1)π3(2)6【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos C 的值，进而求得角C 的值；（2）依据题给条件得到关于a b ，的方程组，求得+a b 的值，进而求得△ABC 的周长．(1)因为222ab a b c ，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab ，又0πC ，所以π3C ；(2)因为△ABC 的面积4S ，且c π3C所以有221sin 212S ab C ab a b ，联立22526ab a b ，则6a b ，所以△ABC 的周长为6a b c 15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C ．(1)求角A 的大小；(2)若2B D D C ，2AD ，且AD 平分BAC ，求ABC 的面积．【答案】(1)60A (2)332【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b ，再利用面积公式求解(1)tan tantan tan tan tan 0tan()1tan tan B C B C B C B C B C故tan A 60A ；(2)设BC 边的高为h ，所以11sin 22ABD S AB AD BAD BD h ，11sin 22ABC S AC AD DAC CD h 又AD 是角平分线，所以BAD DAC所以AB BD AC DC，即2c b ，又ABC ABD ACD S S S ，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ，解得b c ，133sin 6022ABC S bc △．16．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a ，2b ，sin A m ．(1)若ABC 唯一确定，求m 的值；(2)设I 是ABC 的内切圆圆心，r 是ABC 内切圆半径，证明：当21c r 时，IC IA IB ．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若01m ，根据sin A m ，b a ，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC 有两种情况，若1m ，则三角形为直角三角形，ABC 有唯一解.（2）由21c r 可推导出ABC 为直角三角形，故可计算出,,IC IA IB 的值，即得证.(1)设AB 边上的高为c h ，则sin 20c h b A m ．当1m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则c A 为钝角，则c ABC 存在两种情况，不能被唯一确定．当1m 时，ABC 为直角三角形，其中A 为直角顶点，c 可以唯一确定，即ABC 唯一确定，故m 的值为1．(2)当21c r 时，由余弦定理，22223cos 23a b c r r C ab ，故由同角三角函数的关系可得sin C所以ABC 的面积1sin 2S ab C另一方面， 132S a b c r r r3r r ，两边平方可得 213r r r r ，解得r ，21c r ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有222112922IC，IC22211322IA 2IA ；22211322IB ，IB 所以有IC IA IB 成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形ABC 中，2a b ，三角形的面积12S ．(1)若4b ，求 tan A B ；(2)若3sin 5C ，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)25sin 5A ，sin B 或6205sin 205A ，sin B 【解析】【分析】（1）根据面积公式及4b ，得到3sin 4C ，分C 为锐角和C 为钝角时，求出cos C ，进而求出tan C ，求出 tan A B ；（2）由面积公式求出b a ，分C 为锐角和C 为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C 而sin tan()tan(π)tan cos CA B C C C分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C∴tan()A B当C 为钝角时，cos 0cos C Ctan()A B (2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ,因为0b ，所以b a分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C由余弦定理，222cos 366c a b ab C c由正弦定理，10sin sin sin sin sin sin 5a b c A A B C A B ，sin 5B当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C ，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C，sin B 18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知cos sin B b C ．(1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c 22a b 的取值范围．【答案】(1)3C(2)(5,6]【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2）22224sin 4sin 3a b A A，再利用三角函数求值域即可.(1)cos sin B b C及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B Ccos sin B C B C ，所以sin sin cos B C B C ，因为B 、(0,)C ，则sin 0Bsin 0C C，则tan C 3C．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c2sin sin sin a b c A B C ，所以2sin a A ，2sin 2sin()2sin 3b B A C A，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A142cos 2222cos 222c 2cos 2222os 23A A A A A2c 42co os 242sin 246s 2cos 2sin 2A A A A A A，由于23A B ，所以022032A A，解得62A ，所以23A ，52666A ，所以푠� 2�∈12,1，所以2sin 2(1,2]6A ，所以2sin 24(5,6]6A．所以22a b 的取值范围是(5,6]．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在① sin sin sin sin A C a b c B C ，② 2222cos 2a b c a c B a，③ sin cos 6a B C B b这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．(1)求B(2)若b ABC 的平分线交AC 于点D ，且5BD，求ABC 的面积．【答案】(1)=3B【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为 ，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S △△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：a c abc b c 可得：222a c b ac 根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac 0,,=3B B 选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2abC a c B b C a根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A可得：1cos 2B 0,,=3B B选择条件③：易知：A B C可得：sin cos()6a A B b根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A A B B可得：1sin cos()sin 62B B B B整理可得：tan B 0,,=3B B(2)根据题意，可得：ABC ABD BCDS S S △△△可得：1143143sin sin sin 23256256ac a 整理可得：54a c ac 根据余弦定理，可得：2222cosb ac ac ABC可得：2213=a c ac ，即2()313a c ac 可得：225()482080ac ac 解得：4ac 或5225ac （舍）故1=sin 23ABC S ac △20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos 2B C B C A ．(1)求角A 的大小；(2)若a 2bc 的最大值．【答案】(1)3A (2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A 的方程，结合1cos 1A 可求得cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 2b c B ，结合正弦型函数的有界性可求得2b c 的最大值.(1)解：由已知可得 cos 25cos cos sin sin cos 25cos A B C B C A B C 2cos 25cos 2cos 5cos 13A A A A ，即22cos 5cos 20A A ，0A ∵，则1cos 1A ，解得1cos 2A ，因此，3A .(2)解：由正弦定理可得2sin sin sin b c aBC A，所以， 24sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin 3b c B C B B A B B 4sin sin 5sin B B B B B B，其中 为锐角，且tan，因为3A ，则203B ，23B ，所以，当2B 时，即当2B 时，2b c 取得最大值。

2024届新高考数学复习：专项（解三角形的综合运用大题）历年好题练习1．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.(1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高．2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．3.[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.4．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A 1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值．5.[2023ꞏ全国乙卷(理)]在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1. (1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD ＝90°，求△ADC 的面积．6．[2023ꞏ河北石家庄模拟]在①cos C ＝217 ，②a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3 ，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2 a ＋b ＝2c ，求sin C ．8．[2022ꞏ全国乙卷(理)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A ).(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；(2)若a ＝5，cos A ＝2531 ，求△ABC 的周长．参考答案1．答案解析：方法一 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －π4 )＝sin (3π4 －A )，展开并整理得2 (sin A －cos A )＝22 (cos A ＋sin A )， 得sin A ＝3cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，且sin A >0，所以sin A ＝31010 .(2)由正弦定理BCsin A ＝AB sin C ，得BC ＝AB sin C ×sin A ＝522×31010 ＝35 ，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC cos C ，得52＝AC 2＋(35 )2－2AC ꞏ35 cos π4 ， 整理得AC 2－310 AC ＋20＝0， 解得AC ＝10 或AC ＝210 ，由(1)得，tan A ＝3>3 ，所以π3 <A <π2 ，又A ＋B ＝3π4 ，所以B >π4 ，即C <B ，所以AB <AC ，所以AC ＝210 ，设AB 边上的高为h ，则12 ×AB ×h ＝12 ×AC ×BC sin C ，即5h ＝210 ×35 ×22 ，解得h ＝6，所以AB 边上的高为6.方法二 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －C )＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以2sin A cos C －2cos A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝3cos A sin C ， 易得cos A cos C ≠0，所以tan A ＝3tan C ＝3tan π4 ＝3，又sin A >0，所以sin A ＝332＋12 ＝31010 . (2)由(1)知sin A ＝31010 ，tan A ＝3>0，所以A 为锐角，所以cos A ＝10，所以sin B ＝sin (3π4 －A )＝22 (cos A ＋sin A )＝22 ×(1010 ＋31010 )＝255 ，由正弦定理AC sin B ＝ABsin C ，得AC ＝AB ꞏsin Bsin C ＝5×25522＝210 ，故AB 边上的高为AC ×sin A ＝210 ×31010 ＝6.2．答案解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ꞏAB .① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ꞏAB cos A ．②由①②得cos A ＝－12 .因为0<A <π，所以A ＝2π3 .(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23 ，从而AC ＝23 sin B ，AB ＝23 sin (π－A －B )＝3cos B －3 sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3 sin B ＋3cos B ＝3＋23 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 . 又0<B <π3 ，所以当B ＝π6 时，△ABC 周长取得最大值3＋23 . 3．答案解析：(1)因为D 为BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12 ×AD ×DC sin ∠ADC ＝2×12 ×1×DC ×32 ＝3 ， 解得DC ＝2，所以BD ＝DC ＝2，a ＝4.因为∠ADC ＝π3 ，所以∠ADB ＝2π3 .在△ABD 中，由余弦定理，得c 2＝AD 2＋BD 2－2AD ꞏBD cos ∠ADB ＝1＋4＋2＝7，所以c ＝7 .在△ADC 中，由余弦定理，得b 2＝AD 2＋DC 2－2AD ꞏDC ꞏcos ∠ADC ＝1＋4－2＝3，所以b ＝3 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝7＋16－32×4×7＝5714 ，所以sin B ＝1－cos 2B ＝2114 .(2)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC .因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得AD 2＋BD 2－c 22AD ꞏBD ＝－AD 2＋DC 2－b 22AD ꞏDC ， 得1＋BD 2－c 2＝－(1＋BD 2－b 2)，所以2BD 2＝b 2＋c 2－2＝6，所以BD ＝3 ，所以a ＝23 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8－122bc ＝－2bc ，所以S △ABC ＝12 bc sin ∠BAC ＝12 bc 1－cos 2∠BAC＝12 bc 1－⎝⎛⎭⎫－2bc 2＝12 b 2c 2－4 ＝3 ，解得bc ＝4.则由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝4b 2＋c 2＝8 ，解得b ＝c ＝2. 4．答案解析：(1)由已知条件，得sin 2B ＋sin A sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B .所以sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B －sin A sin 2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos 2B ≠0，则B ≠π2 ，所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12 .又0＜B ＜π3 ，所以B ＝π6 .(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2 ，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2 )＝－cos 2C .由正弦定理，得a 2＋b 2c 2 ＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C ＝cos 22C ＋cos 2Csin 2C ＝（1－2sin 2C ）2＋（1－sin 2C ）sin 2C ＝2＋4sin 4C －5sin 2C sin 2C＝2sin 2C ＋4sin 2C －5≥22sin 2C ꞏ4sin 2C －5＝42 －5，当且仅当sin 2C ＝22 时，等号成立，所以a 2＋b 2c 2 的最小值为42 －5. 5．答案解析：(1)如图，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ꞏAC ꞏcos ∠BAC ＝22＋12＋2×2×1×12 ＝7，得BC ＝7 .方法一 由正弦定理ACsin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，得sin ∠ABC ＝1×327＝2114 .方法二 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ꞏBC ＝4＋7－12×2×7 ＝5714 ， 所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝21 .(2)方法一 由sin ∠ABC ＝2114 ，得tan ∠ABC ＝35 ，又tan ∠ABC ＝DA AB ＝DA 2 ，所以DA ＝235 ，故△ADC 的面积为12 DA ꞏAC ꞏsin (120°－90°)＝12 ×235 ×1×12 ＝3 .方法二 △ABC 的面积为12 AC ꞏAB ꞏsin ∠BAC ＝12 ×1×2×32 ＝32 ，S △ADC S △BAD＝12AC ꞏAD ꞏsin ∠CAD12AB ꞏAD ꞏsin ∠BAD ＝sin 30°2×sin 90° ＝14 ，故△ADC 的面积为15 S △ABC ＝15 ×3 ＝3.6．答案解析：设AB ＝x ，在△ABD 中由余弦定理可得：49＝x 2＋25－2ꞏx ꞏ5ꞏcos π3 ＝x 2＋25－5x ， 即x 2－5x －24＝0，解得x ＝8. 方案一 选条件①.由cos C ＝217 得sin C ＝277 ， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin (B ＋C )＝32 ×217 ＋12 ×277 ＝5714 ，在△ABC 中由正弦定理可得：BC 5714 ＝8277，解得：BC ＝10，∴CD ＝BD ＝5. 方案二 选条件②.由正弦定理可得：a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，代入条件a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 得：sin A sin C ＝sin C ꞏ⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝32 cos A sin C ＋12 sin A sin C ，∴12 sin A sin C ＝3cos A sin C ，因为A 为三角形内角，所以tan A ＝3 ，故A ＝π3 ， 所以△ABC 为等边三角形，所以BC ＝8，∴CD ＝3，所以CD <BD .7．答案解析：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12 . 因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2 sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62 ＋3 cos C ＋12 sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－2.由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22 ，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60°＝6＋2 .8．答案解析：(1)证明：∵sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A )，∴sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ， ∴sin C sin A cos B ＝2sin B sin C cos A －sin B cos C sin A . 由正弦定理，得ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C .由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22 ＝b 2＋c 2－a 2－a 2＋b 2－c 22. 整理，得2a 2＝b 2＋c 2.(2)由(1)知2a 2＝b 2＋c 2.又∵a ＝5，∴b 2＋c 2＝2a 2＝50.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即25＝50－5031 bc ，∴bc ＝312 .∴b ＋c ＝b 2＋c 2＋2bc ＝50＋31 ＝9， ∴a ＋b ＋c ＝14.故△ABC 的周长为14.。

三角函数、解三角形[课时跟踪检测]1．(2018·某某高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.2．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b a ＝2cos B1－2cos A .(1)若b a ＝233，求角A 的大小；(2)若a ＝1，tan A ＝22，求△ABC 的面积．解：(1)由b a ＝2cos B 1－2cos A及正弦定理得sin B (1－2cos A )＝2sin A cos B ，即sin B ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，即b ＝2c .又由b a ＝233及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⇒A ＝π3.(2)∵tan A ＝22，∴cos A ＝13，sin A ＝223.由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得13＝4c 2＋c 2－14c2， 解得c 2＝311，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝c 2sin A ＝311×223＝2211.3．已知函数f (x )＝m cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)若f (α)＝33，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，求sin α的值．解：(1)由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3，即3m 2＋32＝3，解得m ＝1. 所以f (x )＝cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝32cos x ＋32sin x ＝ 3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－5π6＋2k π≤x ≤π6＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )． (2)由f (α)＝33，得3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13<32， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝13×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×32＝1＋266. 4．(2019·某某适应性考试)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－12，图象与x 轴两个相邻交点的距离为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－35，求sin θ的值．解：(1)由已知得最小正周期T ＝2π， 则ω＝1，所以f (x )＝cos(x ＋φ)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝－12，又0＜φ＜π，所以π6＜π6＋φ＜7π6.所以π6＋φ＝2π3，即φ＝π2，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝±45. 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝45时， sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin π3＝3－4310；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－45时， sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin π3＝3＋4310.所以sin θ＝3－4310或3＋4310.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.6.如图，已知D 是△ABC 的边BC 上一点． (1)若cos ∠ADC ＝－210，∠B ＝π4，且AB ＝DC ＝7，求AC 的长； (2)若∠B ＝π6，AC ＝25，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为cos ∠ADC ＝－210， 所以cos ∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos ∠ADC ＝210，所以sin ∠ADB ＝7210. 在△ABD 中，由正弦定理，得AD ＝AB ·sin∠Bsin ∠ADB ＝7×227210＝5，所以在△ACD 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC＝52＋72－2×5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝74＋7 2. (2)在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝20＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠B ＝AB 2＋BC 2－3AB ·BC ≥(2－3)AB ·BC ，所以AB ·BC ≤202－3＝40＋203， 所以S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠B ≤10＋53，所以△ABC 面积的最大值为10＋5 3.7．(2019·某某适应性测试)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象重合． (1)求ω和φ的值；(2)若函数h (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，求h (x )的单调递增区间及图象的对称轴方程．解：(1)由题意得ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵|φ|＜π2，∴φ＝π3.(2)h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴h (x )图象的对称轴为x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 8．(2019·蒲江中学、富阳中学、新昌中学联考)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m ＞0)的最大值为2.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝22a sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由题意得 m 2＋2＝2，则m ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝22a sin B ，得sin A ＋sin B ＝2a sin B ，由正弦定理得a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝9， 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②式，得2(ab )2－3ab －9＝0， 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

2019-2020年高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测八三角恒等变换与解三角形理1．(xx·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15.2．(xx 届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．(xx·宝鸡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A.23B.14C.34D.16解析：选B ∵asin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C，又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝13，∴sin A ＝14.4．(xx·惠州模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34B ．1C.32D ．2解析：选C y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32.5．(xx·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75C.15D ．－15解析：选B 因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－cos α－sin α2＝－1－sin 2α＝－75.6．(xx·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D ．23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3.7．(xx·福州模拟)已知m ＝tan α＋β＋γtan α－β＋γ，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ， 因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B＝2.8．(xx·云南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sinC ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理， 得b 2＝2ac .① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6， 所以S ＝12×6×6＝3.9．(xx 届高三·合肥摸底)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4.若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 22解析：选D f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝14cos 4x ＋34.因为4x ∈[－π，π]，所以函数f (x )是偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递减，由f (x 1)＜f (x 2)，可得f (|x 1|)＜f (|x 2|)， 所以|x 1|＞|x 2|，即x 21＞x 22.10．(xx 届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sinC ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．11．(xx·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B.235C.45D ．－45解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435， 即32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.12．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2.13．(xx·南京模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13. 答案：1314．(xx·长沙模拟)化简：2sin π－α＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α121＋cos α＝4sin α1＋cos α1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α15．(xx 届高三·湖北七校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37，∴tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：3216.(xx 届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°) ＝252(3－1)．在△BCD 中，∠DCB ＝90°＋θ， 所以25sin 45°＝2523－1sin 90°＋θ，即25sin 45°＝2523－1cos θ，解得cos θ＝3－1. 答案：3－1[B 级——中档小题强化练]1．(xx·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2θ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选C 法一：由tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可得sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos 2θ＝15，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.法二：因为tan θ＝2，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. 2．在△ABC 中，若tan A tan B ＝a2b 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定解析：选B 由已知并结合正弦定理得，sin A cos A ·cos B sin B ＝sin 2A sin 2B ，即cos B cos A ＝sin Asin B，∴sinA cos A ＝sinB cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤π6，2π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4C.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sinB ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π6.4．(xx·云南统一检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.5．(xx 届高三·皖南八校联考)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15166．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ， 且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ， 即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos∠ADC ， 且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos∠ADB ， ∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8， ∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3AC －222＋42，当AC ＝22时，AD 取最小值2， 此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528，∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin∠ACB ＝7.答案：7[C 级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1B.12 C ．3D.32解析：选A 根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，又a 2＝b2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，A ＝120°.因为△ABC 外接圆半径为12，所以由正弦定理得b ＋c ＝sin B ·2R ＋sin C ·2R ＝sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°)，故当B ＝30°时，b ＋c 取得最大值1.2．(xx 届高三·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C 由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， ∴tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan Atan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝t ＋22t＝t ＋4t＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．3．(xx·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ，即32＝12×2×6×sin∠BCA ， 所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC ＞∠BDC ＝π4，所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA＝2＋6－2×2×6×32＝2， 所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠ABC ，即622＝CD12，解得CD ＝ 3. 答案： 3。

冲刺高考二轮 三角函数与解三角形大题备考强化练（原卷+答案）1．在△ABC 中，sin 2C ＝3 sin C ． (1)求∠C ；(2)若b ＝6，且△ABC 的面积为63 ，求△ABC 的周长．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a ＝5 c ，cos C ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若b ＝11，求△ABC 的面积．3.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32 ，sin B ＝13.(1)求△ABC 的面积．(2)若sin A sin C ＝23，求b .4．记△ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .5．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋π4 )(A >0，0<ω<1)，f (π4 )＝f (π2 )，且f (x )在(0，3π4)上的最大值为2 .(1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若g (α2 )＝12 ，求sin 2α的值．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边AC 上，BM 平分∠ABC ，△ABM 的面积是△BCM 面积的2倍．(1)求sin C sin A；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积．7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝2，c sinB ＋C2＝a sin C (1)求角A 的大小；(2)请在①sin B ＝217②a ＋c ＝7两个条件任选一个，求△ABC 的面积．注：如果分别选择多个条件进行解答，按第一个解答过程计分．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋C2＝a sin B ．求：(1)角A ； (2)a －c b 的取值范围．参考答案1．解析：（1）由sin2C ＝3 sin C ，得2sin C cos C ＝3 sin C . 因为∠C ∈（0，π），所以sin C ≠0， 所以cos C ＝32 ，所以∠C ＝π6. （2）因为∠C ＝π6，b ＝6，所以△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 a ×6×sin π6 ＝63 ，所以a ＝43 .在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝（43 ）2＋62－2×43 ×6×32＝12，解得c ＝23 .所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝43 ＋6＋23 ＝6＋63 . 2．解析：（1）依题意，在△ABC 中， ∵cos C ＝35，∴sin C ＝1－cos 2C ＝45.由4a ＝5 c ，结合正弦定理可得4sin A ＝5 sin C ，∴sin A ＝54 sin C ＝54 ×45 ＝55. （2）由（1）可知，sin C ＝45 >0，cos C ＝35 >0，a ＝54 c ，∴A <C <π2 ，cos A ＝1－sin 2A＝255.在△ABC 中，sin B ＝sin （A ＋C ）＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴b ＝35 a ＋255 c ＝11.结合4a ＝5 c ，可求得a ＝5.∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×5×11×45 ＝22.3．解析：（1）∵边长为a 的正三角形的面积为34a 2， ∴S 1－S 2＋S 3＝34 （a 2－b 2＋c 2）＝32. 结合余弦定理，得ac cos B ＝1，即cos B ＝1ac .由sin B ＝13 ，得cos B ＝223 ，∴ac ＝324 ，故S △ABC ＝12 ac sin B ＝12 ×324 ×13 ＝28.（2）由正弦定理，得b 2sin 2B ＝a sin A ·c sin C ＝ac sin A sin C ＝32423 ＝94 ，故b ＝32 sin B ＝12 .4．解析：（1）由题设，BD ＝a sin C sin ∠ABC ，由正弦定理知：c sin C ＝b sin ∠ABC ，即sin Csin ∠ABC＝cb，∴BD ＝acb ，又b 2＝ac ，∴BD ＝b ，得证．（2）由题意知：BD ＝b ，AD ＝2b 3 ，DC ＝b3，∴cos ∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3 ＝13b 29－c 24b 23 ，同理cos ∠CDB ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3 ＝10b 29－a22b 23， ∵∠ADB ＝π－∠CDB ，∴13b 29－c 24b 23 ＝a 2－10b 292b 23 ，整理得2a 2＋c 2＝11b 23 ，又b 2＝ac ，∴2a 2＋b 4a 2 ＝11b 23 ，整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0，解得a 2b 2 ＝13 或a 2b 2 ＝32， 由余弦定理知：cos ∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43 －a 22b2 ，当a 2b 2 ＝13 时，cos ∠ABC ＝76 >1不合题意；当a 2b 2 ＝32 时，cos ∠ABC ＝712 ； 综上，cos ∠ABC ＝712.5．解析：（1）因为0<ω<1，所以周期T ＝2πω >2π，又f （x ）在（0，3π4 ）上的最大值为2 ，且f （π4 ）＝f （π2），所以当x ＝12 （π4 ＋π2 ）＝3π8 时，f （x ）取得最大值2 ，所以A ＝2 ，且f （3π8 ）＝2 ，即2 sin （3π8 ω＋π4）＝2 ，∵0<ω<1，∴π4 <3π8 ω＋π4 <5π8 ，故3π8 ω＋π4 ＝π2 ，解得ω＝23 ，故f （x ）＝2 sin （23x ＋π4）； （2）g （x ）＝f （3x ）＝2 sin （2x ＋π4 ），又g （α2 ）＝2 sin （α＋π4 ）＝12 ，则sin （α＋π4 ）＝122，sin 2α＝－cos （2α＋π2 ）＝2sin 2（α＋π4 ）－1＝－34.6．解析：（1）S △ABM ＝12 AB ·BM ·sin ∠ABM ，S △BCM ＝12 BC ·BM ·sin ∠MBC ，因为S △ABM ＝2S △BCM ，∠ABM ＝∠MBC ，所以AB ＝2BC ， 由正弦定理可得sin C sin A ＝ABBC＝2.（2）由（1）知c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又cos B ＝14 ，b ＝2，所以4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，所以a ＝1，c ＝2，因为cos B ＝14 ，且0<B <π，可得sin B ＝1－cos 2B ＝154 ，所以S △ABC ＝12 ac sin B ＝12 ×1×2×154 ＝154 .7．解析：（1）由c sin B ＋C 2 ＝a sin C 可得：sin C sin B ＋C2＝sin A sin C ， 即sin C sinπ－A2＝sin A sin C ， 即sin C cos A 2 ＝2sin A 2 cos A2 sin C ，因为0<C <π，0<A <π，所以sin C >0，0<A 2 <π2 ，cos A2 >0，所以sin A 2 ＝12 ， 即A 2 ＝π6 ， A ＝π3 .（2）选① ：sin B ＝217 ，由正弦定理可得a sin A ＝bsin B， 即a 32 ＝2217，解得a ＝7 ， 由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即7＝4＋c 2－2c ，解得c ＝3（负值舍）， 所以S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×3×32 ＝332.选② ：a ＋c ＝7，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即（7－c ）2＝4＋c 2－2c ，解得c ＝154，所以S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×154 ×32 ＝1538 .8．解析：（1）∵b sinB ＋C2＝a sin B ， ∴sin B cos A2 ＝sin A sin B ，∵B ∈（0，π），∴sin B ≠0， ∴cos A 2 ＝2sin A 2 cos A 2，∵A ∈（0，π），∴cos A 2 ≠0，∴sin A 2 ＝12 ，∵0<A 2 <π2 ，∴A 2 ＝π6 ，∴A ＝π3.（2）由正弦定理，a －c b ＝sin A －sin Csin B ＝sin π3－sin （2π3－B ）sin B＝32－32cos B －12sin B sin B ＝32 ·1－cos B sin B －12＝32 ·1－（1－2sin 2B 2）2sin B 2cosB 2 －12 ＝32 tan B 2 －12. 因为0<B <2π3 ，所以0<B 2 <π3 ，所以0<tan B2<3 ，所以－12 <32 tan B 2 －12 <1，所以a －c b 的取值范围是（－12 ，1）.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于()A.35B.45C ．－35D ．－45答案A解析∵点P (－4,3)是角α终边上的一点，∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为()A.3B ．2C ．23D ．4答案C解析由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x＝x ＋12cos 23sin∵－1≤1，∴－23≤23sin23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3.故选C.3．cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°等于()A.12B ．－22C ．－12D.22答案B解析根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos15°＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－22，故选B.4．若角α满足＝35，则sin 2α等于()A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案A解析α2cos 1＝2－1＝－725，又αsin 2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2α等于()A.35B ．－35C ．－35或1D ．1答案D解析sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1，又∵tan α＝2，∴sin 2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin x ()A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案B解析y ＝sin 2x ＝sin2＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B.7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )，整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°.故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案A解析观察图象知，A ＝1，T ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)得×π3＋0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝x 故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()π－14，k πk ∈Zk π－14，2k πk ∈Z－14，k k ∈Zk －14，2k k ∈Z 答案D解析由题意可得函数的周期为2，∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝x 令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，12，则ω的取值范围为()A.23，43 B.0，43C.0，23D ．[0,1]答案A解析函数f (x )＝ω>0)，当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈0，ωπ＋π3，由题意－1≤≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为()A.1036 B.536 C.103D.203答案A解析如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB .在△ABC 中，cos ∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心，∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c ，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin ∠BAC ＝256·1－125＝563，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m x ＝π3对称，在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋mx ＝π3对称，即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝x －12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，－1＋m )>12＋m ，m >0，∴m >52D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos 2θ＝________.答案79解析cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2＝79.14．已知＝－17，αsin ________．答案33＋410解析∵＝－17，α∴tan α＝＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴＝32sin α＋12cos α＝33＋410.15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的面积等于________．答案3154解析∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B ，∴a ＝b .又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154，S △ABC ＝12ab sin C ＝3154.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m2cosn若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____．答案23解析根据题意，有sin 2A 1＋cos 2A2cos A2·1＋cos A 2＝12，整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A－2cos 2A 2＝12，从而求得cosA 2＝12A ∈(0，π)，所以A 2∈，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin ＋3cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解f (x )＝1－2＋3cos 2x －1＝sin 2x ＋3cos 2x ＝x (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间0，2π3上的取值范围．解(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝ωx ＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝x ＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤x1，因此0≤x ＋12≤32，即f (x )的取值范围为0，3219．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解(1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ，因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cosC ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ，cos C ＝22(sin A －cos A )＝210.20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)>0，|φf (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A，求f (A )的取值范围．解(1)∵f (x )，∴f (x ＋π)＝－f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝x ＋π3＋g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝x (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3，∴A (0,1]，即f (A )＝sinA (0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝ωx ＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝x ＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝x ＋32＋b ，∵x ∈0，7π12，∴2x ＋π6∈π6，4π3，∴当2x ＋π6∈π6，π2，即x ∈0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈π2，4π3，即x ∈π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝∴当0<f 0时，函数f (x )有且只有一个零点．即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴满足条件的b 2，3－32∪22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos ∠ACP 的值．解(1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos 120°，整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin 60°＝AP sin ∠ACP，解得sin ∠ACP ＝2×32534＝45.因为2<534，所以AP <AC ，从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos ∠ACP ＝＝35.。