大庆师范学院数学与应用数学初等数论试题2参考答案及评分细则

自考初等数论试题及答案初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?]=[1768,391] ------------(4分) = 173911768?=104?391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论习题与答案、及测试卷1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。

∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证：)12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数）b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax ba +∴故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b q a bs a t q s 2 ,2-=-==，则有22220b t b q b q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 2 1,21+-=-=+=，则有21212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 01,21++=-=+-=则同样有 2b t ≤综上存在性得证下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b 为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+?=+=?2,2,222211b t b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=n14131211+++++，取M=p k 75321-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。

习题参考答案第一章习题一1. (ⅰ) 由a∣b知b = aq，于是b = (-a)(-q)，-b = a(-q)及-b = (-a)q，即-a∣b，a∣-b及-a∣-b。

反之，由-a∣b，a∣-b及-a∣-b也可得a∣b；(ⅱ) 由a∣b，b∣c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a∣c；(ⅲ) 由b∣a i知a i= bq i，于是a1x1+a2x2+ +a k x k = b(q1x1+q2x2+ +q k x k)，即b∣a1x1+a2x2+ +a k x k；(ⅳ) 由b∣a知a = bq，于是ac = bcq，即bc∣ac；(ⅴ) 由b∣a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a ≠ 0得|q| ≥ 1，从而|a| ≥ |b|，后半结论由前半结论可得。

2. 由恒等式mq+np = (mn+pq) - (m-p)(n-q)及条件m-p∣mn+pq可知m-p∣mq+np。

3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a+ 1, , a+ 9, a+ 19的数字和为s, s+ 1, , s+ 9, s+ 10，其中必有一个能被11整除。

4. 设不然，n1 = n2n3，n2≥p，n3≥p，于是n = pn2n3≥p3，即p≤3n，矛盾。

5. 存在无穷多个正整数k，使得2k+ 1是合数，对于这样的k，(k+ 1)2不能表示为a2+p的形式，事实上，若(k+ 1)2 = a2+p，则(k+ 1 -a)( k+ 1 +a) = p，得k+ 1 -a = 1，k+ 1 +a = p，即p = 2k+ 1，此与p 为素数矛盾。

第一章习题二1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。

2.写a = 3q1+r1，b = 3q2+r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3∣a2+b2 = 3Q+r12+r22知r1 = r2 = 0，即3∣a且3∣b。

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。

考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。

四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数．又且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 分别解出两个解即可。

第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。

本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。

第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b 整除，记为b|/a。

显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。

被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。

定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。

证明留作习题。

定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。

以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。

定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。

证明若a是素数，则定理是显然的。

若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。

不妨设d 1是其中最小的。

若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。

这与d 1的最小性矛盾。

所以d 1是素数。

证毕。

推论 任何大于1的合数a 必有一个不超过a 的素约数。

证明 使用定理2中的记号，有a = d 1d 2，其中d 1 > 1是最小的素约数，所以d 12 ≤ a 。

数学师范考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的面积公式为A = πr^2B. 圆的面积公式为A = 2πrC. 圆的周长公式为C = 2πrD. 圆的周长公式为C = πr^2答案：A2. 函数 y = 2x + 3 的斜率是多少？A. 2B. 3C. -2D. -3答案：A3. 以下哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333...D. 2/3答案：B4. 一个等差数列的首项是5，公差是2，那么第10项是多少？A. 25B. 27C. 29D. 31答案：C5. 一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式是 b^2 - 4ac，那么当判别式小于0时，方程的解的情况是？A. 有两个实数解B. 有两个复数解C. 没有实数解D. 有一个实数解答案：C6. 集合 {1, 2, 3} 和 {3, 2, 1} 是否相等？A. 是B. 否答案：A7. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x + 1D. f(x) = -x答案：B8. 以下哪个选项是正确的？A. 正弦函数是周期函数B. 正弦函数是偶函数C. 正弦函数是奇函数D. 正弦函数是单调函数答案：A9. 以下哪个数列是等比数列？A. 1, 2, 4, 8B. 2, 4, 6, 8C. 3, 6, 9, 12D. 5, 10, 15, 20答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. 函数 y = x^2 在定义域内是增函数B. 函数 y = x^2 在定义域内是减函数C. 函数 y = x^2 在定义域内先减后增D. 函数 y = x^2 在定义域内先增后减答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个圆的半径是3厘米，那么它的面积是______平方厘米。

答案：28.262. 函数 y = 3x - 5 的图象与x轴的交点坐标是（______，0）。

《初等数论》本科一、填空题（每空2 分）1.写出 30 以内的所有素数 2， 3， 5， 7，11，13， 17，19，23， 29.2.设 a,b 是任意两个不为零的整数a b1., 则(,)(a,b) ( a, b)3.若 a,b 是非零整数，则 a 与 b 互素的充要条件是存在整数 x, y ，使 ax by 14.写出 180 的标准分解式是 180= 22 32 5 ，其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18 个 .5. a b, 则在 1,2,L , a b整除的整数恰有 [ ] 个.设 与 是正整数 中能被 ab6.设 a,b 是非零整数， c 是整数，方程 axby c 有整数解 ( x, y )的充要条件是 ( a, b) | c7.若整数集合 A 是模 m 的完全剩余系，则 A 中含有 m 个整数 .8. (3)= 2; (4)= 2.9.当 p 素数时， (1) ( p) p 1 ;(2)( p k ) p k p k 1 .10.设 m 是正整数 ,( a, m) 1,则 a ( m) 1 0 (mod m).11.设 p 是素数 , 则对于任意的整数 a,有 a p a 0 (mod p).12.已知 2x 3 5(mod7) ，则 x 1 (mod7) .13.同余方程 x 2 2(mod 7) 的解是± 3(mod7).14.同余方程 3x 210 x 12 0(mod 9) 的解是 X=6+9t( t ∈ Z).p -115.若 (n, p) 1， n 是模 p 的二次剩余的充要条件是n 2 1(mod p). .p-116.若 (n, p) 1， n 是模 p 的二次非剩余的充要条件是n 21(mod p). .( 3)=( 4)= 1.17.5 － 1;518.设 p 是奇素数 ,则 ( 2) p21( 1) 8 . .p1 -1p -1) (-1) 2. .19.设 p 是奇素数 ,则 ( )1; (pp20.( 5)= 1;(2)= － 1.945二、判断题。

第三部分 几何〔与三角〕【考试情况总结】几何与三角共49题 一、平面几何〔18道〕1．面积问题〔9道〕 2．长度问题〔5道〕 3．角度问题〔4道〕 二、空间几何图形〔9道〕 三、三角函数〔5道〕 四、平面解析几何〔17道〕1．平面直线问题〔6道〕 2．平面几何与平面解析几何综合问题〔6道〕 3．二次曲线问题〔5道〕 [内容综述] 一、平面几何图形 1．三角形〔1〕三角形的各元素〔边、角、高、中线、周长、面积〕11sin 222s ah ab C p a b c ====++〔2〕几种特殊三角形〔直角、等腰、等边〕222c a b =+2．四边形〔1〕矩形〔正方形〕；〔2〕平行四边形〔菱形〕；〔3〕梯形1()2s a b h =+注：对角线垂直的四边形面积． 3．圆和扇形〔1〕圆(周长、面积、弦、切线、圆周角、圆心角)22ππl R S R ==〔2〕扇形12s Rll R θ==4．平面图形的相似关系注：正多边形的内角和(2)πn -、椭圆的面积πab 二、空间几何体 1．长方体〔正方体〕2．圆柱体 22ππs Rh V R h ==3．圆锥体 21ππ3s V R h ==注：棱锥。

4．球 2344ππ3s RV R ==三、三角函数1．定义〔符号，特殊角的三角函数值〕sin ,cos ,sin cos tan ,cot ,sec cos sin cos sin y x ααααααααααα====2．常用的三角函数恒等式同角恒等式：222222sin cos 11tan sec 1cot csc αααααα⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩两角和公式：2222sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin sin 22sin cos cos2cos sin 12sin 2cos 1αβαβαβαβαβαβββββββββ+=+⎧⎪+=-⎪⎨=⎪⎪=-=-=-⎩诱导公式：ππsin()cos ,cos()sin ,sin(π)sin 22ββββββ+=+=-+=-注：解斜三角形〔正弦定理、余弦定理〕．sin sin sin A B C a b c==；2222cos a b c bc A =+- 3．反三角函数ππarcsin ,[,]22y x =-；arccos ,[0,π]y x =；ππarctan ,(,)22y x =-；arccot ,(0,π)y x =四、平面直线1．直线方程〔倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式〕()0000,y y k y y k x x x x -==+--；;1x yy kx b a b=++=；0ax by c ++=2．两条直线的位置关系〔相交，平行，垂直〕:0l ax by c ++=；1111:0l a x b y c ++=；平行但不重合：111a b c a b c =≠；重合：111a b ca b c ==；垂直：111a a b b ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭3．点到直线的距离0ax by c ++= ，00(,)x y ，d =注：直线与圆的位置关系；两个圆的位置关系；关于直线的对称问题． 五、圆锥曲线 1．圆〔1〕定义：到一定点距离为一常数的点的集合． 〔2〕方程：22200()()x x y y R -+-=2．椭圆〔1〕定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合．〔2〕方程:22222221,,(,0)(,0)x y c a b c c a b+==--〔3〕图像；〔4〕离心率；1ce a=<〔5〕准线 2a x c=±3．双曲线〔1〕定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合．〔2〕方程:22222221,,(,0)(,0)x y c a b c c a b-==+-〔3〕图像；〔4〕离心率；1ce a=>〔5〕准线 2a x c =±〔6〕渐近线；by x a=±4．抛物线〔1〕定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合．〔2〕方程；22y px =， 焦点(,0)2p〔3〕图像；〔4〕离心率 1e =；〔5〕准线2px =-注：如何判断二次方程的图像？220ax by cx dy e ++++=当0a b =≠时，一般为圆； 当0,ab a b >≠时，一般为椭圆； 当0ab <时，一般为双曲线； 当220,0ab ab =+≠时，为抛物线．[典型例题] 一、平面几何例1．半径为R 的圆的内接正三角形面积是〔 〕．A ．214RB ．234R C．24R D．24R 答：D ．分析：此题考查了圆的半径与其内接正三角形的中线的关系，及正三角形中线与边长的关系．由于半径为R 的圆的内接正三角形的中线〔高〕长为32R ，所以该正三角形的边长为，面积为213224R R ⨯⨯=．故正确选项为D ． 例2．假设某人匀速地路过一盏路灯，则其头顶影子的移动速度〔 〕．A ．先逐渐变慢，后逐渐变快B ．先逐渐变快，后逐渐变慢C ．是一常数D ．无法确定 答：C ．分析：此题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质及运动速度的概念．如图，l 是路灯的高度、h 是行人的身高．设行人的速度为v ，行人从O 点走到A 点需要的时间是t ，则OAvt =．根据相似三角形对应边成比例得AB OB vt h OB OB l-==，所以lOB vt l h=-，即行人的影子点B 的速度是常数．故正确选项为C ．例3．如图，P 是正方形ABCD 外的一点，10PB =，APB ∆的面积是80，CPB ∆的面积是90，则正方形ABCD 的面积是〔 〕．A ．580B ．600C ．640D ．720lhOAB答：A ．解1：如图，PE 是三角形CBP 的高，PF 是三角形ABP 的高,由于22210PE PF +=，且1802AB PF =，1902CB PE =，所以98PE PF =，解得80PF =，AB =从而24145580S AB ==⨯=．解2：如设角ABP 的大小为α，则角CBP 的大小等于π2π()2α-+．由于三角形ABP 的面积为1sin 802AB BP α⋅=， 三角形CBP 的面积为11sin[2()]cos 90222AB BP AB BP ππαα⋅-+=-⋅=， 两式相比得 8tan 9α=-，所以sin α=．由于DCAB PDCABPEF1sin 802AB BP α⋅=，且10BP =，所以AB =正方形ABCD的面积是22580AB ==．故正确选项为A ．二、空间几何体例1．如图，斜截圆柱体的最大高度为8，最小高度为4，下底面半径为〕． A ．72π, B ．104π,C ．72π,16πD ．104π,16π 答：A ．分析：根据题意及割补的思想可知该柱体的平均高度为4862+=，所以它的体积为2π672π⨯=．至此可将选项B,D 排除．上底椭圆面的一个半轴长就是下底面的半径轴长利用勾股定理得到142=，所以上底椭圆面的面积为．综上可知正确选项为A ．例2．假设某圆锥的底面积为P ，轴截面面积为Q ，则其体积为〔 〕．A ．3QB ．3PC ．2QD答：A ．分析：设该圆锥的底面半径为R 、高为h ．由2πR P =得R =122R h Q ⨯⨯=得Rh Q =，所以该圆锥的体积为211π33R h ==．故正确选项为A ． 例3．平面中的四个点1234,,,P P P P 在某个球面上，122334413PP P P P P P P ====，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是〔 〕．A． B． C．答：C ．分析：由于点1234,,,P P P P 122334413PP P P P P P P ====是圆的内接正方形，该圆的半径为1322⨯=．设球体的半径为R ，则图中直角三角形的两条直角边分别为12R ，斜边为R ．根据勾股定理得 22924R R =+，即R =34π3R =．三、三角函数例1．假设函数()f x 满足arcsin ()f x x =，则π()3f =〔 〕． A ．3π B ．12C．2 D．2 答：C ． 分析：此题考查了反函数的概念及特殊角的正弦值．因为arcsin ()f x x =，所以()f x 与arcsin x 互为反函数，即()sin f x x =，所以ππ()sin 332f ==．故正确选项为C ． 例2．如果αβ+与π4β-均是锐角，且2π1sin(),sin()544αββ+=-=，那么 πsin()4α+=〔 〕． A．20- B．20+ C．20-+ D．20-- 答：A ．分析：此题主要考查了同角关系式、两角和的正弦公式及三角函数的符号问题．因为2π1sin(),sin()544αββ+=-=，且αβ+与π4β-均是锐角，所以πcos(),cos()544αββ+=-=，从而 πππsin()sin[]sin()cos()cos(444ααββαββα+=+--=+--+（）（）21545420-=⨯-⨯=。

初等数论习题集答案初等数论习题集答案数论作为数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。

初等数论是数论中的一个重要分支，它主要研究整数的基本性质和简单的数学关系。

在学习初等数论的过程中，习题集是一个非常好的辅助工具，通过解答习题可以加深对数论知识的理解和掌握。

本文将为大家提供一些初等数论习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 证明：若a和b是整数，且a|b，则|a|≤|b|。

证明：根据整除的定义，如果a|b，那么存在一个整数k，使得b=ak。

由此可得：|b|=|ak|=|a||k|。

由于k是一个整数，所以|k|≥1，因此有|b|≥|a|。

2. 证明：若a、b和c是整数，且a|b，b|c，则a|c。

证明：根据整除的定义，如果a|b，那么存在一个整数k1，使得b=ak1。

同理，如果b|c，那么存在一个整数k2，使得c=bk2。

将b的表达式代入c的表达式中，得到c=(ak1)k2=ak1k2。

由此可见，c也是a的倍数，即a|c。

3. 证明：如果一个整数能被2和3整除，那么它一定能被6整除。

证明：假设一个整数能被2和3整除，那么可以分别表示为2m和3n，其中m和n是整数。

将2m和3n相加得到2m+3n=6(m/2+n/3)，由此可见，这个整数可以被6整除。

4. 证明：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数本身就是偶数。

证明：假设一个整数的平方是偶数，那么可以表示为n^2=2m，其中n和m是整数。

如果n是奇数，那么可以表示为n=2k+1，其中k是整数。

将n代入n^2=2m中，得到(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1，由此可见，这个整数的平方是奇数，与题设矛盾。

因此，假设不成立，这个整数本身一定是偶数。

5. 证明：对于任意的正整数n，n^2+n+1一定不能被2整除。

证明：假设n^2+n+1能被2整除，那么可以表示为n^2+n+1=2m，其中n和m是整数。

将n^2+n+1拆开得到n(n+1)+1=2m，由此可见，左边是一个奇数加上1，得到一个偶数。