河南省百校联盟2016届高三上学期11月教育教学质量检测(A卷)数学理试题 Word版含答案[www

河南省百校联盟2016届高三11月教育教学质量检测（A 卷）物理试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每题给出的四个选项中，第1题一第8题，每小题只有一个选项符合题目要求；第9题～第12题．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但选不全的得3分，有选错的得0分。

1．如图所示为甲、乙两物体从同一地点开始做直线运动的v 一t 图象，图中1212t t =，则在0一t 2时间内物体的运动，下列说法错误的是A ．在t 1时刻，甲位移是乙位移的2倍B ．加速过程中，甲的加速度大小是乙的加速度大小的2倍C ．在t 1到t 2之间某个时刻，甲与乙相遇D ．在到达t 2时刻之前，甲一直在乙的前面 【答案】C 【解析】试题分析：由图可知，在t 1时刻，乙的速度为021v ，此时甲的位移为1021t v ，乙的位移为1041t v ，A 正确；甲的加速度大小为10t v ，乙的加速度为20t v ，由2121t t =，B 正确；由于在t 2时刻，甲、乙的位移相等，即此时乙刚好追上甲，因此C 错误；D 正确；本题选错误的，故选C 。

考点：v 一t 图象。

2．一长木板静止在倾角为θ的斜面上，长木板上一人用力推长木板上物块，使物块与长木板间的摩擦力刚好为零，已知人、物块、长木板的质量均为m ，人、物块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与斜面间的动摩擦因数为μ2，则下列说法正确的是A ，斜面对长木板的摩擦力为mgsin θB ．斜面对长木板的摩擦力为3μ2mgcos θC ．长木板对人的摩擦力为2μ1mgcos θD ．长木板对人的摩擦力为2mgsin θ 【答案】D 【解析】试题分析：对人、物块、长木板三者整体研究，斜面对它们的摩擦力为静摩擦力，大小为θsin 3mg ，A 、B 错误；对人、物块整体研究，由于物块与长木板间的摩擦刚好为零，因此长木板对人的静摩擦力大小为θsin 2mg ，C 错误； D 正确；故选D 。

河南省百校联盟2016届高三第四次教学质量监测理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x ｜2x －5x ＋4＞0}，集合B ＝{x ｜y ＝lg （x －2）}，则（CR A ）∩B ＝ A ．（2，4] B ．[2，4] C ．[4，＋∞） D ．（2，＋∞）2．复数z ＝－1，z 为z 的共轭复数．则zz＝A ．1B ．－1iC ．12D ．－123．设命题p ：n ∃∈N ﹡，2n≤2n ＋1，则p ⌝是A ．n ∃∈N ﹡，2n ＞2n ＋1B ．n ∀∈N ﹡，2n＞2n ＋1 C ．n ∃∈N ﹡，2n＝2n ＋1 D ．n ∀∈N ﹡，2n≥2n ＋1 4．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则cos2α＝ A ．45 B ．－45 C ．45± D ．35± 5．若双曲线C ：22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切，则双曲线C 的离心率是A ．2BC D6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．24π＋B ．20π＋C ．24π＋D ．20π＋7．已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，点M 为AB 边上任意一点，则CM uuu r ·CA uu r ＋CM uuu r ·CB uu r的取值范围是A ．[0，100]B ．[36，64]C ．（36，100）D ．[6，10]8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 A ．－1008 B ．1008 C ．－2016 D ．20169．将函数f （x ＋cos2x 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，所得的函数y ＝g （x ）的图象关于直线x ＝2π对称，当m 取最小值时，f （x ）－g （x ）的最大值是A ．2B ．C ．3D ．10．已知平面区域Ω＝{（x ，y ）｜0≤x ≤1，0≤y ≤12}，曲线C ：y ＝3132x x ＋＋，点A 为区域Ω内任意一点，则点A 落在曲线C 下方的概率是 A ．ln3－ln2 B ．2ln3－2ln2 C ．2ln2－ln3 D ．4ln2－2ln311．如图所示，点E ，F 分别为棱长为的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，C 1D 1的中点，点P 在EF 上，过点P 作直线l ，使得l ⊥EF ，且l ∥平面ACD 1，直线l 与正方体 的表面相交于M ，N 两点，当点P 由点E 运动到点F 时， 记EP ＝x ，△EMN 的面积为f （x ），则y ＝f （x ）的图象是12．不等式2()aa b e－≥m －2(3)a b －＋对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的最大值是 A ．92BC ．2 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015-2016学年普通高中高三教学质量监测语文（A卷）第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。

“意象符号”说与“语言艺术”说之差异吴晓诗歌意象与普通日常语言有着完全不同的性质。

普通语言符号是人类集体的产物，语言一经产生，对于每个社会成员就有一种约束力，每个社会成员都得强制性地习得和接受这种语言，不如此就无法进行思想的交流与沟通。

而意象符号则是诗人直接感受的产物，具有个性创造物的特点。

它是感性的、直觉的、个别的和不可重复的，是诗人在情感驱动下要求作艺术表现的产物。

科林伍德曾指出普通语言描述与艺术表现的不同：“描述一件事物，就等于把这件事物归到某某类中……而表现却恰恰相反，表现是将这件事物个性化。

”这就是说，普通语言仅仅是一种现成的操作，而作为艺术表现的意象，却是诗人所独创的，具有诗人的情感生命。

意象是“直接”的，因为它是诗人有感而发创造出来的；日常语言则是已经褪色、旧、僵死的东西，也是被诗所淘汰的东西。

总之，创造意象是诗人表现情感的基本手段，诗人将独创性的意象符号提供给读者，使读者产生理解与共鸣，进而被普遍接受与承认，这是普通语言所无法做到的。

在一般语言中，语词所指称的对象是客观存在的外物，物的观念而非物本身，因此带有较强的主观性。

普通语言，词义的指称性明确而单一，非如此则不能起到交流思想的功用；而意象具有丰富性与多义性，竭力避免单一与直接说出，它虽然以词的形式出现在诗中，但却没有词的明晰性、确定性。

可以说，意象是超语义的，不可解释穷尽。

意象比语言层次更高，更具独立性。

在审美经验中，有许多难以用语言说出的东西，在那些已理解又未理解的无可名状的审美愉悦中，无论何种语言要描述，它都是显得力不胜任的。

审美意象能引人想到许多东西，却又不可能由任何明确的思想或概念把它充分表达出来，因此也没有语言能完全适合它，把它变成可以理解的。

所以意象的功能大大强似普通语词，其作用是一般语言所不可比拟的．艺术所建构的意象符号系统，既是传递情感的手段，又是目的，而在日常交际语言中，语言只是交际信号的工具，意义一经传达，信号系统就不起作用，因此它是一维性的。

2015-2016学年普通高中高三教学质量监测英语（A卷）第Ⅰ卷第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅渎一遍。

1. What is the probable relationship between the two speakers?A. Teacher and student.B.Workmates.C.Classmates.2. How willthey go to the theatre?A. By subway.B.On foot.C.By taxi.3. What does the manthink of the soup?A. Terrible.B.Good.C.Just so-so.4. How many factors contribute to putting on weight?A. TwoB.Three.C.Four.5. Why is the man exciled?A. His aunt is coming to visit him.B. He is going to visit his auntC. His uncle will come for a visit.笫二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题。

每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料．回答第6、7题。

河南百校联盟2015—2016学年普通高中高三教学质量监测理 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．本试卷满分150分，测试时间120分钟． 5．考试范围：必修1，2，4，5，选修2—2．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1ii －2（i 为虚数单位）的共轭复数为 A ．5i －2＋ B ．5i －2－ C ．5i 2－ D ．5i2＋2．已知集合A ＝{y ｜y ＝2log x ,0＜x ＜1}，B ＝{y ｜y ＝1()2x，x ＞1}，则（C R A ）∩B ＝A ．（0，12）B ．（0，1）C ．（12，1） D ．3．（1＋tan12°）（1－tan147°）＝A ． 1B ．2C ． 3D ． 44．已知斜四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD ＝60°，∠BAD ＝90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为A ．4 B ．4C ．13 D ．35．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝ A ．－20 B ． 4 C ．12 D ．206．在四边形ABCD 中，M 为BD 上靠近D 的三等分点，且满足AM uuu r ＝x AB uu u r ＋y AD u u u r，则实数x ，y 的值分别为 A ．13，23 B ．23，13 C ．12，12 D ．14 ，347．设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，记命题甲：4a 2－a 4＝0，命题乙：S 4＝5S 2，则命题甲 成立是命题乙成立的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为 A ．B ．200πC ．2003π D．3π 9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB uu u r ·BC uu u r＝A ．414 B ．—414C ．94D ．—9410．已知实数x ，y 满足(0),1y xx y a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≤＞≥22223y xy x x －＋的最大值为6，则实数a 的值为 A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 11．如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b （2≤a ≤10），剪去部分的面积为8，则11b ＋＋99a ＋ 的最大值为 A ． 1 B ．1110C ．65D ．2 12．已知定义域为R 的函数g （x ），当x ∈（－1，1]时，g （x ）＝2111132,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－,－＜≤0＋－＋＜≤1，且g （x ＋2）＝g （x ）对x ∀∈R 恒成立，若函数f （x ）＝g （x ）－m （x ＋1）在区间[－1，5]内有6个零点，则实数m 的取值范围是A ．（25，23） B ．（－∞，25]∪（23，＋∞） C ．[25，23） D ．[25，23]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题。

2016-2017学年河南省百校联盟高三（上）11月质检数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．C．D．23．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣64．如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形5．已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n ﹣12+a n +12（n ≥2），b n =，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 33的值是（ ）A ．B ．C ．D ．36．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知实数x ，y 满足，记z=ax ﹣y （其中a ＞0）的最小值为f（a ）．若，则实数a 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．曲线f （x ）=、直线x=2、x=3以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．ln2B ．ln3C ．2ln2D ．10．已知边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，现沿对角线BD 折起，使得AC=3，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π11．已知函数f （x ）满足，当时，f （x ）=lnx ，若在上，方程f （x ）=kx 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣4ln4，﹣ln4]C ．D ．12．已知函数的图象关于直线对称且在区间上单调，则ω可取数值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x 0∈R ，asinx 0+cosx 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．14．已知，则= ．15．已知定义在R 上的单调函数f （x ）满足对任意的x 1，x 2，都有f （x 1+x 2）=f（x 1）+f （x 2）成立．若正实数a ，b 满足f （a ）+f （2b ﹣1）=0，则的最小值为 ．16．已知函数f （x ）=﹣f'（0）e x +2x ，点P 为曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线l 上的一点，点Q 在曲线y=e x 上，则|PQ |的最小值为 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有a n =+2成立．（1）记b n =log 2a n ，求数列{b n }的通项公式；（2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且=1．（1）求角A ；（2）若a=4，求b +c 的取值范围．19．在如图所示的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，A 1B 1的中点． （Ⅰ）求证：DE ⊂平面ACC 1A 1；（Ⅱ）若AB ⊥BC ，AB=BC ，∠ACB 1=60°，求直线BC 与平面AB 1C 所成角的正切值．20．已知函数f（x）=e x﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．22．已知f（x）=sinx﹣cosx．．（Ⅰ）证明：sinx﹣f（x）≥1﹣；（Ⅱ）证明：当a≥1时，f（x）≤e ax﹣2．2016-2017学年河南省百校联盟高三（上）11月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），然后根据集合的基本运算即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}={0，1}，B={﹣1，0，1，2}，全集U=z，由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）={﹣1，2}．故选：A．2．设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后求解向量的模．【解答】解：z=1﹣i（i是虚数单位），复数===1﹣i．向量的模：=．故选：B．3．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．4．如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C ．若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC=BD ，则四边形EFGH 为矩形 D ．若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为矩形 【考点】平面的基本性质及推论．【分析】作出如图的空间四边形，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形． 【解答】解：作出如图的空间四边形， 连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH ， 由中位线的性质知， EH ∥FG ，EF ∥HG故四边形EFGH 是平行四边形， 又AC=BD ，故有HG=AC=BD=EH ， 故四边形EFGH 是菱形． 故选：C ．5．已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n ﹣12+a n +12（n ≥2），b n =，记数列{b n}的前n项和为S n，则S33的值是（）A． B． C． D．3【考点】数列的求和．【分析】由2a n2=a n﹣12+a n+12（n≥2），可得数列为等差数列，进而定点b n==，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵2a n2=a n﹣12+a n+12（n≥2），∴数列为等差数列，首项为1，公差为22﹣1=3．∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2．a n＞0．∴a n=，∴b n===，∴数列{b n}的前n项和为S n=++…+=．则S33==3．故选：D．6．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，进而得到答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，圆柱的底面直径为2，半径r=1，高h=2，故侧面积为：2πrh=4π；圆锥的底面直径为4，半径r=2，高h=1，母线长为：，故表面积为：πr（r+l）=（4+2）π；故组合体的表面积S=（8+2）π；故选：A7．已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f（a）．若，则实数a的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得f（a），再由求得实数a的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，），由z=ax﹣y，得y=ax﹣z，由图可知，当直线y=ax﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为f（a）=a﹣．由，得，∴a≥5，即a的最小值为5，故选：C．8．在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把分别用表示，展开后得答案．【解答】解：如图，，＜＞=60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，∴====．故选：C．9．曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．ln2 B．ln3 C．2ln2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分表示面积，借助于自然对数函数，即可得出结论．【解答】解：曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是：==[ln（x﹣1）﹣ln（x+1）]=（ln2﹣ln4）﹣（ln1﹣ln3）=，故选D．10．已知边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得AC=3，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，取BD的中点F，连接AF，CF，则AF=CF=3，∵AC=3，∴∠AFC=120°，∠AFE=60°，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：C．11．已知函数f（x）满足，当时，f（x）=lnx，若在上，方程f（x）=kx有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A． B．[﹣4ln4，﹣ln4] C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数，求出x在上的解析式，已知在区间上内，函函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点⇒）y=f（x）与y=ax的图象有三个交点，结合图象，求出a的范围．【解答】解：x∈时f（x）=lnx，当x∈[1，4]时，f（x）=﹣4lnx．函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点⇒）y=f（x）与y=ax的图象有三个交点．由图象可知y=kx过点（4．﹣4ln4）时有三个交点，此时k=﹣ln4，当y=kx与y=﹣4lnx （x＞1）相切时，设切点P（a，﹣4lna）．y′=，∴过点P的切线方程为：y+4lna=．过点P的切线过点O（0，0），代入y+4lna=⇒a=e．此时切线的斜率k=﹣，∴要使函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则．故选：D．12．已知函数的图象关于直线对称且在区间上单调，则ω可取数值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意直线是对称轴，在上是同一区间，根据三角函数的性质可求ω取数值的个数为．【解答】解：由题意：函数的图象关于直线对称，在区间上单调，即在上是同一单调区间．∴当x=时，函数f （x ）取得最大值或最小值，即φ=或φ=﹣，…①，sin （+φ）=，即+φ=或+φ=，…②，由①②解得：ω=2，φ=或ω=﹣2，φ=，或ω=﹣6，φ=或ω=﹣10，φ=．∵﹣φ≥且φ≤，经检验：ω可取数值的个数为2． 故选B ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x 0∈R ，asinx 0+cosx 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是 （﹣，） ．【考点】特称命题．【分析】原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：∀x 0∈R ，asinx 0+cosx 0＜2；求出原命题否定的a 取值范围即可． 【解答】解：原命题“∃x 0∈R ，asinx 0+cosx 0≥2”为假命题， 则原命题的否定为真命题，命题否定为：∀x 0∈R ，asinx 0+cosx 0＜2；asinx 0+cosx 0= sin （x 0+θ）＜2；则：＜2⇒﹣＜a ＜；也即：原命题否定为真命题时，a ∈（﹣，）；故原命题为假时，a 的取值范围为∈（﹣，）．故答案为：（﹣，）．14．已知，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系、诱导公式进行计算．【解答】解：∵，∴sin（﹣θ）=±=±，∴=sin（﹣θ）=±，故答案是：．15．已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则的最小值为9．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．【分析】首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f（a）=f（1﹣2b），再由f （x）单调递增可得a=1﹣2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：令x1=0，x2=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，x1=x，x2=﹣x，有f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）是奇函数由单调奇函数满足对任意实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，可得f（a）=f（1﹣2b），即a+2b=1，∴=（）（a+2b）=5+，∴的最小值为9，故答案为：9．16．已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令x=0，可得切线l的斜率和切点，切线方程l，再求y=e x导数，由过Q的切线与切线l平行时，距离最短．求得切点Q的坐标，运用点到直线的距离公式，即可得到最小值．【解答】解：f（x）=﹣f'（0）e x+2x，可得f′（x）=﹣f'（0）e x+2，即有f′（0）=﹣f'（0）e0+2，解得f′（0）=1，则f（x）=﹣e x+2x，f（0）=﹣e0+0=﹣1，则切线l：y=x﹣1，y=e x的导数为y′=e x，过Q的切线与切线l平行时，距离最短．由e x=1，可得x=0，即切点Q（0，1），则Q到切线l的距离为=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n=+2成立．（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{a n}为等比数列，根据对数的运算性质可得b n=2n+1，（2）根据裂项求和即可得到答案．【解答】解：（1）在中令n=1得a1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得a n﹣a n=a n+1，+1=4a n，所以a n+1又a1≠0，所以数列{a n}为等比数列，所以a n=8•4n﹣1=22n+1，所以b n=log2a n=2n+1，（2）c n===（﹣）所以18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4，求b+c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可得：bc≤48，可得：b+c≤8，结合三角形两边之和大于第三边，即可得解b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵=1．∴由正弦定理可得：=1，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，a=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，∴可得：b+c≤8，又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．19．在如图所示的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：DE⊂平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接DF，EF证明以DF∥AC，推出DF∥平面ACC1A1．证明EF∥AA1，推出EF∥平面ACC1A1，然后证明DE⊂平面ACC1A1．（Ⅱ）证明△AB1C为正三角形，推出BB1=AB．取AB1的中点O，连接BO，CO，说明∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成角，在RtBCO中，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点F，连接DF，EF．…在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1．…在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为B1A1，AB的中点，所以EF∥AA1，EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1．…因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC1A1．…因为DE⊂平面ACC1A1．…（Ⅱ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BC⊥BB1，又AB⊥BC，AB∩BB1=B，所以BC⊥平面ABB1A1．…因为AB=BC，BB1=BB1，所以AB1=CB1，又∠ACB1=60°，所以△AB1C为正三角形，所以AB1==AC=，所以BB1=AB．…取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1⊥BO，AB1⊥CO，所以AB1⊥平面BCD，所以平面AB1C⊥平面BCD，点B在平面AB1C上的射影在CO上，所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成角．…在RtBCO中，BO=，所以tan∠BCO=．…20．已知函数f（x）=e x﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最大值即可；（2）通过讨论x的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出f（a）的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），f'（x）=e x﹣a，令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna），函数f（x）在x=lna处取极小值，…g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，当0＜a＜1时，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减，所以a=1是函数g（a）在（0，+∞）上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max=g（1）=1…（2）当x≤0时，a＞0，e x﹣ax≥0恒成立，…当x＞0时，f（x）≥0，即e x﹣ax≥0，即…令，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0，故h（x）的最小值为h（1）=e，所以a≤e，故实数a的取值范围是（0，e]…f（a）=e a﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=e a﹣2a，由上面可知e a﹣2a≥0恒成立，故f（a）在（0，e]上单调递增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=e e﹣e2，即f（a）的取值范围是（1，e e﹣e2]…21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向地能求出当E为PC中点时，PD⊥平面ABE．（Ⅱ）求出平面PCD的一个法向量和平面PAD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PC=PA=，∴PA⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设PA=2，则B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，2）．，故PD⊥AB，设=，∵AE⊥PD，∴，即=0，即﹣4+λ•8=0，即，即当E为PC中点时，AE⊥PD，则PD⊥平面ABE．所以当E为PC中点时，PD⊥平面ABE．…（Ⅱ）设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），，，则，令x=1，则=（1，），再取平面PAD的一个法向量=（1，0，0）．…则cos＜＞==，故二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．…22．已知f（x）=sinx﹣cosx．．（Ⅰ）证明：sinx﹣f（x）≥1﹣；（Ⅱ）证明：当a≥1时，f（x）≤e ax﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）设g（x）=cosx+﹣1，则g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），再次构造函数h（x）=﹣sinx+x，则h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）时恒成立，可得g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得cosx+﹣1≥0，即可得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，不等式e ax﹣x﹣﹣1≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数M（x）=e x﹣x2﹣x﹣1，令m（x）=e x﹣x﹣1，则m'（x）=e x﹣1，当x∈[0，+∞）时，m'（x）≥0，可得恒成立，从而得证e x﹣x2﹣x﹣1≥0，当a ≥1时，不等式f（x）≤e ax﹣2恒成立．【解答】证明：（Ⅰ）不等式sinx﹣f（x）≥1﹣，即不等式cosx≥1﹣．…设g（x）=cosx+﹣1，则g′（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞）．再次构造函数h（x）=﹣sinx+x，则h′（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）时恒成立，所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=0，所以g′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）=0，所以cosx+﹣1≥0，即sinx﹣f（x）≥1﹣成立．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，当x∈[0，+∞）时，sinx≤x且cosx≥1﹣，所以f（x）=sinx﹣cosx=x﹣（1﹣），当x﹣（1﹣）≤e ax﹣2，对x∈[0，+∞）恒成立时，不等式f（x）≤e ax﹣2恒成立，不等式x﹣（1﹣）≤e ax﹣2，即e ax﹣x﹣﹣1≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数M（x）=e x﹣x2﹣x﹣1，则M'（x）=e x﹣x﹣1，令m（x）=e x﹣x﹣1，则m'（x）=e x﹣1，当x∈[0，+∞）时，m'（x）≥0，故m（x）在[0，+∞）上单调递增，所以m（x）≥m（0）=0，故M'（x）≥0，即M（x）在[0，+∞）上单调递增，所以M（x）≥M（0）=0，故e x﹣x2﹣x﹣1≥0恒成立，…故当a≥1时，e ax﹣x﹣﹣1≥e x﹣x2﹣x﹣1≥0，即当a≥1时，不等式f（x）≤e ax﹣2恒成立．2017年1月17日。

南省百校联盟2017届高三11月教学质量监测理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，{}2=|20,A x x x x Z --<∈，{}B=1,0,1,2-，则图中阴影部分所表示的集合等于（ ）A.{}1,2-B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,2【答案】A考点：集合的基本运算2.设1z i =-（i 为虚数单位），若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的摸是（ ）D. 2 【答案】B 【解析】试题分析：()222211112111z i z i i i i z i=-∴+=+-=++--=--，，则向量OZ 考点：复数的运算，向量的模3.已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m 为常数），则()ln 5f -的值为（ ）A.4B.-4C.6D.-6 【答案】B 【解析】试题分析：由题意()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，即函数()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()000,1f e m m =+=∴=-则当0x ≥时，()1xf x e =-，ln 50>故()()()ln5ln 5ln 514f f e -=-=--=-，选B考点：奇函数的性质，对数的运算4.如图，在空间四边形ABCD （A ，B ，C ，D 不共面）中，一个平面与边AB BC CD DA ，，，分别交于E ，F ，G ，H （不含端点），则下列结论错误的是（ ） A.若::AE BE CF BF =，则AC平面EFGHB.若E ，F ，G ，H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形D. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形【答案】C 【解析】考点：直线与平面的位置关系5.已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a -+=+（2n ≥），11n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ）D.3 【答案】D 【解析】 试题分析：222n n a a -=则)331133S =-=.故选D ．考点：等差数列的定义，通项公式，裂项求和法6.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积为（ ）A.(8π+B.(9π+C.(10π+D.(8π+【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是下部一个底面半径为1 高为2 的圆柱，上部是一个底面半径为2 ，高1为1则该空间几何体的表面积(212228ππππ⨯⨯+⨯+⨯=+，选A考点：三视图，几何体的表面积7.已知x ，y 满足约束条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩记z ax y =-（其中0a >）的最小值为()f a ，若()35f a ≥，则实数a 的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6 【答案】C 【解析】试题分析： 由题画出可行域如图所示，可知目标函数z ax y =-过点221,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时取得最小值min 225z a =-，由题()223555f a a a =-≥∴≥，选C 考点：简单的线性规划8.在边长为1的正ABC ∆中，D ，E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于（ ） A.16 B.29 C.1318 D.13【答案】C考点：平面向量数量积的运算9.曲线()221f x x =-直线2x =，3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A.ln 2 B.ln 3 C.2ln 2 D.3ln 2【答案】D 【解析】试题分析：所求面积()()3333222222111113ln 1n 1lnln ln ln 1111232x dx dx x l x x x x x -⎛⎫=-=--+==-=⎡⎤ ⎪⎣⎦--++⎝⎭⎰⎰，选D 考点：定积分10.已知边长为的菱形ABCD 中，60A ∠=︒,现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.20π B.24π C.28π D.32π 【答案】C 【解析】试题分析： 如图所示，31206032AFC AFE AF AE EF ∠=︒∠=︒==∴==，，，，设OO x '=，则 21O B O F '='=，，∴由勾股定理可得2222234172R x x R =+=++-∴=（）），，∴四面体的外接球的表面积为2428R ππ=，故选C ． 考点：球的表面积11.已知函数()f x 满足()14f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()f x kx =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.44ln 4,e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.[]4ln 4,ln 4-- C.4,ln 4e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D. 4,ln 4e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：函数与方程的思想，根的存在问题12.已知函数()()f x x ωϕ=+（0ω>）的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()f x 在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可取数值的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】3,20282πππωϕωωϕ==--+≥∴->，．且考点：函数()()sin f x a x ωϕ=+的图像和性质【名师点睛】本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力．属中档题.结题书要熟练应用函数()()sin f x a x ωϕ=+的图像和性质第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是 .【答案】(考点：命题的否定14.已知cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【答案】13± 【解析】试题分析：1cos sin cos 6633πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+==± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：同角三角函数基本关系式，诱导公式15.已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的1x ，2x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立，若正实数a ，b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为 . 【答案】9 【解析】试题分析：由题意定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的1x ，2x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立，则令120x x ==，则()00f =；又令1,x x x x ==-则()()()0f f x f x =+-，故()f x 是R 上的奇函数，根据已知，由()()()()21021021021f a f b f a b f a b a b +-=⇒+-=⇒+-=⇒+=，因为a ，b 均为正实数，则()1212122212559b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号 考点：抽象函数的有关性质，基本不等式16.已知函数()()'02xf x f e x =-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线xy e =上，则PQ 的最小值为 .考点：导数的几何意义【名师点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查点到直线的距离公式运用，运算能力，属于中档题．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有324n n a S =+成立. （Ⅰ）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）21n b n =+（Ⅱ）()323n nT n =+试题解析：（Ⅰ）在324n n a S =+中，令1n =得18a =. 因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+， 两式相减得1134n n n a a a ++-=，所以14n n a a +=，又10a ≠，所以{}n a 为等比数列，所以121842n n n a -+=⋅=，所以2!2log 221n n b n +==+. （Ⅱ）()()1111212322123n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 考点：数列的通项公式及其前n 项和18.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，求b c +的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）b c +的取值范围是(.【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知，整理可得：222b c a bc +-=，由余弦定理可得1cos 2A =，结合范围0A π∈（，），即可得解A 的值．（2）由正弦定理可得8sin b B =，8sin c C =，又23B C π+=，则2138sin 8sin 8sin sin 8sin 3226b c B B B B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得6B π+的范围即可得解b c +的取值范围 试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理可得1b c a c a b+=++，即()()()()b a b c a c a b a c +++=++， 即222b c a bc +-=， 根据余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=.考点：正弦定理，余弦定理19.在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是BC ，11A B 的中点.（Ⅰ）求证：DE 平面11ACC A ；（Ⅱ）若AB BC ⊥,AB BC =,160ACB ∠=︒,求直线BC 与平面1AB C 所成角的正切值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）tan BO BCO BC ∠==试题解析：（Ⅰ）取AB 中点F ，连接DF ，EF .在ABC ∆中，因为D ，F 分别为BC ，AB 的中点，所以DF AC ,DF ⊄平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，所以DF 平面11ACC A .在矩形11ABB A 中，因为E ,F 分别为11A B ,AB 的中点，所以1EF AA ，EF ⊄平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ,所以EF 平面11ACC A . 因为DF EF F =，所以平面DEF 平面11ACC A .因为DE ⊂平面DEF ，故 DE 平面11ACC A ；（Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BC BB ⊥,又AB BC ⊥，1AB BB B =，所以BC ⊥平面11ABB A .因为AB BC =，11BB BB =，所以11AB CB =，又160ACB ∠=︒，所以1AB C ∆为正三角形，所以1AB AC ===，所以1BB AB =.取1AB 的中点O ，连接BO ，CO ，所以1AB BO ⊥,1AB CO ⊥,所以1AB ⊥平面BCO ，所以平面1AB C ⊥平面BCO ，点B 在平面1AB C 上的射影在CO 上，所以BCO ∠即为直线BC 与平面1AB C 所成角.在Rt BCO ∆中，BO AB ==，所以tan BO BCO BC ∠==考点：直线与平面平行的证明，直线与平面所成的角的求法20.已知函数()xf x e ax =-，0a >. （Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦.试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'xf x e a =-. ()'0f x >，得ln x a >，所以()f x 的单调区间是()ln ,a +∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值， ()()()ln ln ln ln ag a f x f a e a a a a ===-=-极小值.()()'11ln ln g a a a =-+=-，当01a <<时，()'0g a >，()g a 在()0,1上单调递增；当1a >时，()'0g a <，()g a 在()1,+∞上单调递减.所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==. （Ⅱ）当0x ≤时，0a >，0x e ax -≥恒成立.当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x ≤. 令()x e h x x =，()0,x ∈+∞，()()221'x x x e x e x e h x x x--==，当01x <<时， ()'0h x <，当()'0h x >，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e .()2a f a e a =-，(]0,a e ∈，()'2a f a e a =-，由上面可知20a e a -≥恒成立,故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()201e f f e e e =<=-， 即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦.考点：利用导数研究函数的性质21.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，AB AD ⊥,AC CD ⊥,PA AC =,PA ⊥平面ABCD .（Ⅰ）点E 在棱PC 上，试确定点E 的位置，使得PD ⊥平面ABE ;（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（Ⅰ）当E 为PC 中点时PD ABE ⊥平面.（Ⅱ）二面角A PD C --. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AE AP PC λ=+,若AE PD ⊥，则0AE PD ⋅=，即0AP PD PC PD λ⋅+⋅=，在空间直角坐标系中求出相应向量坐标，可求出λ，由此确定点E 的位置（Ⅱ）在空间直角坐标系中求出平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，再求出平面PAD 的一个法向量()1,0,0m =，利用夹角公式即可求得二面角A PD C --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）∵PC =∴PA AC ⊥；又∵PAC ABCD PAC ABCD AC⊥⎧⎨=⎩平面平面平面平面，∴PA ABCD ⊥平面，可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设2PA =，则()2,0,0B，()C，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2P.（Ⅱ）设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，()2PC =-，2PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,则0n PC ⋅=且0n PD ⋅=，即20x z +-=20y z -=，令y =2z =，1x =，则()2n =，再取平面PAD 的一个法向量()1,0,0m =.则cos ,n m n m n m ⋅==⋅，故二面角A PD C --. 考点：利用空间向量解决立体几何问题22.已知()sin cos f x x x ax =--.（Ⅰ）证明：()2sin 12x x f x -≥-； （Ⅱ）证明：当1a ≥时，()2axf x e ≤-. 【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）见解析证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭. 当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立. 构造函数()212xx M x e x =---，讨论()M x 的单调性，即可得证.试题解析：（Ⅰ）不等式()2sin 12x x f x -≥-，即不等式2cos 12x x ≥-. 设()2cos 12x g x x =+-，则()'sin g x x x =-+，[)0,x ∈+∞.再次构造函数()sin h x x x =-+，则()'cos 10h x x =-+≥在[)0,x ∈+∞时恒成立，所以函数()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以()'0g x ≥在[)0,+∞上恒成立，所以函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以2cos 102x x +-≥，即()2sin 12x x f x -≥-成立. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，当[)0,x ∈+∞时，sin x x ≤且2cos 12x x ≥-， 所以()2sin cos 12x f x x x x ⎛⎫=-≤-- ⎪⎝⎭. 当2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭对[)0,x ∈+∞恒成立时，不等式()2ax f x e ≤-恒成立. 不等式2122ax x x e ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭，即不等式2102ax x e x ---≥对[)0,x ∈+∞恒成立. 构造函数()212xx M x e x =---，则()'1x M x e x =--，令()1x m x e x =--， 则()'1xm x e =-，当[)0,x ∈+∞时，()'0m x ≥，故()m x 在[)0,+∞上单调递增， 所以()()00m x m ≥=，故()'0M x ≥，即()M x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00M x M ≥=， 故2102xx e x ---≥恒成立. 故当1a ≥时，2211022axx x x e x e x ---≥---≥， 即当1a ≥时，不等式()2axf x e ≤-恒成立. 考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，属中档题．解题时根据题目的自身特点构造新函数是解题的关键。

2015-2016学年普通高中高三教学质量监测 化学（A卷） 考试范围：必修1、必修2、选修4中化学平衡相关知识。

可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 0-16 Na-23 Al-27 Cu-64 第I卷 一、选择题：本题包括16小题，每小题3分，共48分。

每小题只有一项是符合题目要求的。

1．化学与生活密切相关，下列相关说法及主要原因均正确的是 2．成语“饮鸩止渴”中的“鸩”是指放了砒霜(As2O3)的酒，下列有关砷及其化合物说法错误的是 A.砒霜不是碱性氧化物 B．Na3AsO4是可溶性的正盐 C．砒霜有剧毒，具有还原性 D．AsH3是氢化物，稳定性较强 3．下列关于有机物的说法正确的是 A.乙烷、乙烯与氯化氢在一定条件下均能制取氯乙烷 B．苯能使溴水褪色但不能使酸性KMn04溶液褪色 C．三氯甲烷只有一种结构，证明甲烷为正四面体构型 D．通过煤干馏可分离出煤中含有的苯、甲苯、焦炭等物质 4．某溶液中可能含有Na+、Mg2+、Fe2+、H+、OH-、Cl-、NO3-、I-中的若干种，向该溶液中加入铝粉后，溶液中有Al3+生成，则原溶液中能大量共存的离子最多有 A.4种 B．5种 C．6种 D．7种 5．已知X、Y、Z、W为原子序数依次增大的短周期主族元素，Z+与X3一具有相同的电子层结构，Y、W原子的价电子数目之和为13。

下列有关说法中正确的是 A.四种元素的原子半径：Z<Y<Xv(2～3)>0 B．容器中发生的反应可表示为：3A(g)+B(g)=2C(g) C．若X表示温度，则生成C的反应是放热反应 D．若其他条件不变，仅减小起始时B的浓度，开始反应后 C物质的浓度一定减小 10.按如下方案可从样品粉末中提取具有抗肿瘤活性的天然产物A: 下列每步实验所用装置、操作都正确的是 11.中学常见无机物A、B、C、D、E、X均由短周期元素组成，且存在如下图转化关系（部分反应物、生成物和反应条件略去）。

高三数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数tan y x =的值域可以表示为（）A.{tan }xy x =∣ B.{tan }yy x =∣C.{(,)tan }x y y x =∣D.{tan }y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣.故选：B.2.若“sin 2θ=-”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A .第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角【答案】B 【解析】【分析】根据角θ的正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，sin 02θ=-<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，20x <B.(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C.(0,)x ∃∈+∞，132x x< D.π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =【答案】C 【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令14x =即可判断;对于选项D:令4sin cos 2sin 2y x x x ==，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为0,+∞，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误；对于选项B:因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈-，故选项B 错误；对于选项C:令14x =,则311464⎛⎫= ⎪⎝⎭，121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2y x x x ==，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2y x =∈，2>，故不存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得4sin cos x x =,故选项D 错误.故选：C.4.函数24()f x x x =-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数24y x x =-是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ，故选：C .5.已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e -的夹角为（）A.45︒B.60︒C.120︒D.135︒【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅-=-⋅=，12e e -==，121e e == 所以()1121121122cos ,2e e e e e e e e e ⋅--===-故向量1e 与12e e -的夹角为45︒故选:A 6.已知5πtan 210α+=，则4π5tan 5α-=（）A.125 B.125-C.43D.43-【答案】C 【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，5π4π52π105αα+-⨯+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++⎛⎫⨯===- ⎪+-⎝⎭-所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα-++⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C7.已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令()364a b =+代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立；故选：A8.若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-，易知要使0x ∀>时，()21(ln 1)0xax ax ---≥，则需要两函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-同号，所以我们需要去找他们零点，0x >时零点相同，然后求解参数a 即可.【详解】由题易知0a >，当ex a=时，()ln 10ax -=；由对数函数的性质可知，当e 0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax -<；当e ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax ->；显然函数21y x ax =--有两个根12,x x ，不妨令12x x <，则120x x <<由二次函数的图像可知，()20,x x ∈时，210x ax --<；()2,x x ∞∈+时，210x ax -->故要使()()()21ln 10x ax ax ---≥恒成立，则2ex a=所以有2e e 10aa a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得a =故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数sin()()2x f x -=，则（）A.()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()f x 为奇函数C.()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的最小正周期为2π【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A:利用换元()sin t x =-，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C :结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D :借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由sin()()2x f x -=，令()sin t x =-，则2t y =，[]1,1t ∈-，因为2t y =在[]1,1t ∈-上单调递增，所以12,22ty ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选项A 正确；对于选项B:由sin()()2x f x -=可知(),x ∞∞∈-+，对任意的(),x ∞∞-∈-+，因为sin ()2x f x -=，而sin ()2x f x -=，易验证()(),f x f x -≠-故()f x 不是奇函数，故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而2t y =在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得sin()()2x f x -=在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故选项C 错误；对于选项D :因为()sin t x =-的最小正周期为2πT =，所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x ---==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当0200x <<时，应进甲商场购物B.当200300x ≤<时，应进乙商场购物C.当400500x ≤<时，应进乙商场购物D.当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC 【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场，所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x -，400.840.1640x x x --=-，因为200250x ≤<，所以80.16400x -≤-<，400.84x x -<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x ->应进甲商场，所以选项B 错误；当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x -800.840.1680x x x --=-，因为400500x ≤<，所以160.16800x -≤-<故800.84x x -<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504⨯=，在乙商场的费用为600120480-=，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A.(0)0f = B.()()()f x y f x f y +=⋅C.()f x 在R 上是减函数 D.[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】取2,0x y =-=可求(0)f ，判断A ，取12,2x y =-=-证明()011f <<，取1x =可得()[(1)]y f y f =，由此可得()[(1)]x f x f =，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC ，选项D 的条件可转化为当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =，(2)1f ->取2,0x y =-=可得01(0)[(2)]f f =-=，A 错误；取12,2x y =-=-可得12(1)[(2)]f f -=-，又(2)1f ->，所以()011f <<，取1x =可得，()[(1)]y f y f =，所以()[(1)]x f x f =，其中()011f <<，所以()()()()()()111x yx yf x y f f f f x f y ++===，B 正确，由指数函数性质可得()[(1)]x f x f =，其中()011f <<在R 上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，C 正确；不等式()2(3)1f x kx f x -⋅-≥可化为()()()23111xkxx f f f --≥，所以230x kx x -+-≤，由已知对于[1,3]x ∀∈，230x kx x -+-≤恒成立，所以当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，故max31x k x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，其中[1,3]x ∈，因为函数1y x =+，3y x=-在[]1,3上都单调递增，所以31x x+-在[1,3]上的最大值为3，所以3k ≥，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为______．【答案】0x y +=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，()12f x x =-+'，()11f -=，所以切线斜率()11k f =-=-'，故切线方程为()110y x x y -=-+⇒+=.故答案为：0x y +=13.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得2k ω=，Z k ∈，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当∈0,π时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522w <£，所以2ω=.故答案为：214.若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得sin α，进而求得a ，也即是BC .【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos ,sin 2525BAC BAC ⎛⎫⎛⎫∠=∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=，ππ11cos cos cos sin 22225BAC BAC BAC θ-∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=∠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，θ为锐角，则sin 5θ==.由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=-，所以ABP BCP ，所以AB AP BPBC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PCθαθααθα===----，所以()sin sin BP PC θαα-=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα-==，即()sin sin c a θαα-=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠-==-∠，即2525554tan 55α=-，解得4tan 7α=，则α为锐角，由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩解得sin αα==，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+-=-⨯=，所以225,42b a b ==，在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBAC BAC ααα==∠--∠-，所以22445a=，解得a BC ==.【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭及正弦定理得：312sin sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦得：sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，又sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,66A -=解得π3A =.【小问2详解】因为O 为ABC V 的外心,且由上问知π3A =，所以2π23BOC A ∠=∠=,设OB OC R ==（R 为ABC V 的外接圆半径），因为D 为边BC 的中点，且1OD =，所以在OBC △中易得：1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，所以2221112πcos 4423OD OB OC OB OC =++ ，即22211121cos 4423πR R R =++，解得：2R =，在OBC △中由余弦定理可得：2222π2cos123BC OB OC OB OC =+-=，解得BC a ==在ABC V 中由余弦定理可得：()2222π2cos3123a b c bc b c bc =+-=+-=，由基本不等式22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得：()223122b c b c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以()21124b c +≤，即b c +≤.所以ABC V 周长ABC C a b c =++≤+=V当且仅当b c ==时等号成立.故ABC V 周长的最大值为16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =．（1）求a ；（2）如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．【答案】（15（2）136【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求()tan B C +，即求角A ，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解sin BCD ∠，以及两角和的三角函数求sin D ，再根据正弦定理求BD ，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，tan tan 1tan tan +=-B C B C ，所以()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==-，所以45B C += ，即135A = ，所以2cos 2A =-，则22222cos 1221252a b c bc A ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以5a =；【小问2详解】15225cos 5215ACB ∠==⨯⨯，()25sin sin 90cos 5BCD ACB ACB ∠=-∠=∠=，5cos 5BCD ∠=，()()sin sin 45sin cos 225510D BCD BCD BCD ⎛=∠+=∠+∠=⨯+= ⎝⎭ ,BCD △中，sin sin BC BD D BCD =∠，即sin sin 3BC BCD BD D ⋅∠==，所以15sin 4523BCD S BC BD =⨯⨯= ，11sin13522ABC S AC AB =⋅⋅= ，所以四边形ABDC 的面积为5113326+=.17.已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=；（2）π[,π]3【解析】【分析】（1）由2m n =得2=，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得()2sin()f x x ωϕ=+，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a ，b ，ω的值；（2）由题意中点的变换求得π()sin(6g x x =+，利用正弦函数的图象特点即可求得()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，由2m n =2=，由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=，因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，结合图象，由①可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入②式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=-+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<，由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由320b a a ⎧=⎪=⎪>⎩解得，1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故a =1b =，2ω=；【小问2详解】不妨记12,2x x y y ''==，则,22x x y y ''==，因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ''=+，即πsin(6y x ''=+，又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+.由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤.()g x 在[0,π]上的单调递减区间为π[,π]3.18.已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．（1）当24m n =时，求()f x 的最小值；（2）当2m =-时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式2e ln 1xx x >+等价转化为3e ln 1x x x x +>，设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >成立，分别求m m ax in (),()h x g x 即可得证.【小问1详解】当24m n =时，22()()e 4x m f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m m x x '=+++=++++，由()0f x '>，可得22m x <--或2mx >-，由()0f x '<，可得222m m x --<<-，即()f x 在(,2)2m -∞--和(,)2m -+∞上单调递增；在(2,)22m m---上单调递减，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =-时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f -=.【小问2详解】当2m =-时，()2()2e xf x x x n =-+，函数的定义域为R ，()2(e 2)xx f x n =+-'，当2n ≥时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x '=，可得x =，故当x <x >时，()0f x '>；即()f x 在(,∞-和)∞+上单调递增；当x <<()0f x '<，即()f x 在(上单调递减.综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x在(,∞-和)∞+上单调递增,在(上单调递减.【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >.因e ()=x g x x ，2(1)e ()xx g x x-'=，由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增,则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =；因3ln 1()x h x x+=，423ln ()x h x x --'=，由()0h x '=，可得23x e -=，由()0h x '<，可得23x e->，由()0h x '>，可得230x e -<<，故()h x 在23(0,e)-上单调递增，在23(e ,)-+∞上单调递减，则()h x 在23x e -=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e1e (e )h ---==+.因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证.即0x ∀>，()ln 1f x x >+．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如()()f x g x >的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造()()()F x f x g x =-，证明min ()0F x >；（2）比较最值法：即证明min max ()()f x g x >即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；（3）如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定,a b 的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把,AG BC的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ====（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈），则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ-=-=+，cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即c Rr a b ==⨯，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+.故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(,),22a b == ，则111,1222((0,2)2c a b ⨯+=== ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==，根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ==- ※，所以1()()()()222n q p m AG A AD E λλ--=+= ，而(,)BC AC AB p m q n =-=--，所以1[()()()()]02AG BC p m n q q n p m λλ⋅=--+--= ，故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+，())3ππ13cos ,sin 3,,,33222222u u v AC AB u v λ⎛⎫⎛++⎛⎫==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭※※，所以333(3)33333(3,0)(,)(,)222222u u v u v OC OA AC ++--++=+=-+-+=，所以OC ===.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ==≤<，则OC == ，当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，max 5OC = .【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.。