河南省百校联盟2016届高三(上)质检数学试卷(理科)(a卷)(解析版)

2015-2016学年河南省郑州一中教育集团高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x＞1}，B={ x|x＜1}，则A∩B （）A．{ x|0＜x＜1} B．{ x|x＞ 0} C．{ x|x＞1} D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即A={x|x＞0}，∵B={x|x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5i B．2+5i C．﹣2﹣5i D．﹣2+5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（2﹣5i）=29，得=2+5i．∴．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假，再根据命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，因为log23＞1，所以（log23）≥1成立，故命题p为真命题，则￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”故选：C【点评】本题考查了命题的真假和命题的否定，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．6πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2．的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π，上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=．故几何体的体积为V=V1+V2==．故选C．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．设等差数列{a n}前n项和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由条件可得=9a5，故有a5=8，故a2+a4+a9=3a1+12d=3a5．【解答】解：∵等差数列{a n}前n项和为S n，S9=72==9a5，∴a5=8．故a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．6．已知点P（x，y）是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】当C、P、F三点共线时，|PQ|+d取最小值，即（|PQ|+d）min=|FC|﹣r，由此能求出结果．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1的圆心C（﹣2，4），半径r=1，由抛物线定义知：点P到直线l：x=﹣1距离d=|PF|，点P到y轴的距离为x=d﹣1，∴当C、P、F三点共线时，|PQ|+d取最小值，∴（|PQ|+x）min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3故选：C．【点评】本题考查两条线段和的最上值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．7．若在的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为（）A．B．﹣135 C．D．135【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过二项展开式的通项公式，令x的次数为0即可求得正整数n取得最小值时常数项．【解答】解：∵=，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：；故选C．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键在于应用二项展开式的通项公式，注重分析与计算能力的考查，属于中档题．8．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9．已知偶函数y=f（x），x∈R满足：f（x）=x2﹣3x（x≥0），若函数g（x）=，则y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．1 B．3 C．2 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】y=f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y=f（x）与函数g（x）=的交点的个数，作图求解．【解答】解：y=f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y=f（x）与函数g（x）=的交点的个数，作函数y=f（x）与函数g（x）=的图象如下，有3个交点，故选B．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．10．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则+的最小值为（）A． B．C． D．【考点】利用导数研究函数的极值；基本不等式．【专题】导数的综合应用．【分析】由m≥0，n≥0，且m+n=1，可得n=1﹣m，（0≤m≤1）．代入+，再利用导数研究其单调性极值即可．【解答】解：∵m≥0，n≥0，且m+n=1，∴n=1﹣m，（0≤m≤1）．∴f（m）=+==．则f′（m）=，令f′（m）=0，0≤m≤1，解得m=．当时，f′（m）＜0；当时，f′（m）＞0．∴当m=时，f（m）取得极小值即最小值，==．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．11．如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．12．已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，则数列{a n}的个数为（）A．729 B．491 C．490 D．243【考点】数列的应用．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】令b i=，则对每个符合条件的数列{a n}，满足====1，且b i∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．由此能求出结果．【解答】解：令b i=（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a n}，满足====1，且b i∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．记符合条件的数列{b n}的个数为N，由题意知b i（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．共有1+C82C62+C84C44=491个，故选：B．【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．执行如图的框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】本题主要考查的是条件函数f（x）=，根据函数表达式进行计算即可得到结论．【解答】解：若执行y=x﹣1，由x﹣1=，即，∴不成立，若执行y=log2x，由log2x=，得，成立故答案为：【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到函数f（x）的表达式是解决本题的关键，比较基础．14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=0.8413．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.8413【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查根据对称性求区间上的概率，本题是一个基础题．15．已知四面体P﹣ABC，其中△ABC是边长为6的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=4，则四面体P﹣ABC外接球的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC 为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出四面体P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴2r=，∴r=2，∵PA⊥平面ABC，PA=4，∴四面体P﹣ABC外接球的半径为=4∴四面体P﹣ABC外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．16．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得取x定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．给出下列函数①f（x）=（x﹣1）2，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=cosx，其中所有准奇函数的序号是②④．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数．【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，对于①f（x）=（x﹣1）2，函数无对称中心，对于②f（x）=，函数f（x）的图象关于（1，0）对称，对于③f（x）=x3，函数f（x）关于（0，0）对称，对于④f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（kπ+，0）对称，故答案为：②④．【点评】本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数是关键，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（2015•贵州二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知，利用正弦定理求得BD、AB 的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为，故有（a+b）（sinA+sinB）﹣c（sinA﹣sinC）=0，由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知，因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，从而，由可知，所以当，即时，a+2c的最大值为，此时，所以S=ac•sinB=．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=0.015；…s12＞s22．…（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…所以．…（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．所以X的分布列为…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD；（2）根据三棱锥的体积公式，确定体积最大时的条件，建立空间坐标系，利用向量法即可得到结论．【解答】（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，…1分，因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC …2分，因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD …3分因为CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因为DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD …5分（2）因为DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，当且仅当AC=BC=2时等号成立…8分如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），则=（﹣2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分，设面DAE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，0，2），设面ABE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，1，0），…12分，则cos＜＞==，结合图象可以判断二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣，…13分【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．20．已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．【解答】解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，可先求出，再解出函数的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出再由0＜a＜b得出，代入即可证明出不等式．【解答】解：（Ⅰ）当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分当m＞0时，由则，则f（x）在上单调递增，在上单调递减． (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；当m＞0时，只需m﹣lnm﹣1≤0即….6分令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g （x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分（Ⅲ）由0＜a＜b得，由（Ⅱ）得：，则，则原不等式成立．…12分【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，研究函数的最值，及不等式的证明，考查了转化的思想及推理判断的能力，综合性较强，解题的关键是准确理解题意，对问题进行正确转化，熟练掌握导数运算性质是解题的重点，正确转化问题是解题的难点．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠DCB，进而∠ADF=∠AFD，由BE为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠ADF的度数；（2）由（1）的结论，易得△ACE∽△BCA，根据三角形相似的性质可得，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．【解答】（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠EAC因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD=∠DCB所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE=90°．所以．（2）因为∠B=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，在△ABC中，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，【点评】本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，其中（1）中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得到∠ADF=∠AFD，（2）的关键是根据三角形相似的性质得到=tanB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）把直线的参数方程参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，根据|AB|=|x1﹣x2|，运算求得结果．（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1，由t的几何意义可得点P到M的距离，运算求得结果．【解答】解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，消去y整理得：2x2+12x+11=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣6，x1•x2=．…所以|AB|=|x1﹣x2|=2=2．…（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1．…所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…【点评】本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用，相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用，，，，相加证明即可．【解答】证明：（Ⅰ），相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），，，，相加得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查综合法证明不等式的方法的应用，考查逻辑推理能力．。

河南省百校联盟2016届高三11月教育教学质量检测（A 卷）物理试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每题给出的四个选项中，第1题一第8题，每小题只有一个选项符合题目要求；第9题～第12题．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但选不全的得3分，有选错的得0分。

1．如图所示为甲、乙两物体从同一地点开始做直线运动的v 一t 图象，图中1212t t =，则在0一t 2时间内物体的运动，下列说法错误的是A ．在t 1时刻，甲位移是乙位移的2倍B ．加速过程中，甲的加速度大小是乙的加速度大小的2倍C ．在t 1到t 2之间某个时刻，甲与乙相遇D ．在到达t 2时刻之前，甲一直在乙的前面 【答案】C 【解析】试题分析：由图可知，在t 1时刻，乙的速度为021v ，此时甲的位移为1021t v ，乙的位移为1041t v ，A 正确；甲的加速度大小为10t v ，乙的加速度为20t v ，由2121t t =，B 正确；由于在t 2时刻，甲、乙的位移相等，即此时乙刚好追上甲，因此C 错误；D 正确；本题选错误的，故选C 。

考点：v 一t 图象。

2．一长木板静止在倾角为θ的斜面上，长木板上一人用力推长木板上物块，使物块与长木板间的摩擦力刚好为零，已知人、物块、长木板的质量均为m ，人、物块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与斜面间的动摩擦因数为μ2，则下列说法正确的是A ，斜面对长木板的摩擦力为mgsin θB ．斜面对长木板的摩擦力为3μ2mgcos θC ．长木板对人的摩擦力为2μ1mgcos θD ．长木板对人的摩擦力为2mgsin θ 【答案】D 【解析】试题分析：对人、物块、长木板三者整体研究，斜面对它们的摩擦力为静摩擦力，大小为θsin 3mg ，A 、B 错误；对人、物块整体研究，由于物块与长木板间的摩擦刚好为零，因此长木板对人的静摩擦力大小为θsin 2mg ，C 错误； D 正确；故选D 。

河南省百校联盟2016届高三第四次教学质量监测理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x ｜2x －5x ＋4＞0}，集合B ＝{x ｜y ＝lg （x －2）}，则（CR A ）∩B ＝ A ．（2，4] B ．[2，4] C ．[4，＋∞） D ．（2，＋∞）2．复数z ＝－1，z 为z 的共轭复数．则zz＝A ．1B ．－1iC ．12D ．－123．设命题p ：n ∃∈N ﹡，2n≤2n ＋1，则p ⌝是A ．n ∃∈N ﹡，2n ＞2n ＋1B ．n ∀∈N ﹡，2n＞2n ＋1 C ．n ∃∈N ﹡，2n＝2n ＋1 D ．n ∀∈N ﹡，2n≥2n ＋1 4．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则cos2α＝ A ．45 B ．－45 C ．45± D ．35± 5．若双曲线C ：22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切，则双曲线C 的离心率是A ．2BC D6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．24π＋B ．20π＋C ．24π＋D ．20π＋7．已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，点M 为AB 边上任意一点，则CM uuu r ·CA uu r ＋CM uuu r ·CB uu r的取值范围是A ．[0，100]B ．[36，64]C ．（36，100）D ．[6，10]8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 A ．－1008 B ．1008 C ．－2016 D ．20169．将函数f （x ＋cos2x 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，所得的函数y ＝g （x ）的图象关于直线x ＝2π对称，当m 取最小值时，f （x ）－g （x ）的最大值是A ．2B ．C ．3D ．10．已知平面区域Ω＝{（x ，y ）｜0≤x ≤1，0≤y ≤12}，曲线C ：y ＝3132x x ＋＋，点A 为区域Ω内任意一点，则点A 落在曲线C 下方的概率是 A ．ln3－ln2 B ．2ln3－2ln2 C ．2ln2－ln3 D ．4ln2－2ln311．如图所示，点E ，F 分别为棱长为的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，C 1D 1的中点，点P 在EF 上，过点P 作直线l ，使得l ⊥EF ，且l ∥平面ACD 1，直线l 与正方体 的表面相交于M ，N 两点，当点P 由点E 运动到点F 时， 记EP ＝x ，△EMN 的面积为f （x ），则y ＝f （x ）的图象是12．不等式2()aa b e－≥m －2(3)a b －＋对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的最大值是 A ．92BC ．2 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|21,,|0x A y y x R B x x x ==-∈=->，则AB =（ ）A ．()1,-+∞B ．()1,1-C ．()1,0-D ．()0,12.若复数z 的共轭复数为z ，且满足121zi i=-+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（ ）A ．1B ．3C ．43.下列满足“()(),0x R f x f x ∀∈+-=且()0f x '≤”的函数是（ ） A ．()xf x xe =- B ．()sin f x x x =+ C ．()()()lg 1,0lg 1,0x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩D ．()2f x x x =4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3618S S +=，则5S =（ ） A ．14 B ．10 C ．9 D ．55.从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．126.已知O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，直线():1l y m x =-与抛物线交于,A B 两点，点A 在第一象限，若3FA FB =，则m 的值为（ ）A ．3B ．3D ．137.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a =（ ）A ．2B ．12C ．-1D ．以上都不正确 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为线段1B C 的中点，若三棱锥1E ADD -的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（ ）A ．2B ．．．49.已知()211cos sin cos 222f x x x x x =-++，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 的一个对称中心为,012π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为⎡⎣ D ．先将函数()f x 的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再向左平移8π个单位后得到函数2cos 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 10.如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．36πC ．60πD ．78π11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,,O F F 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，MO OP =，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且02120MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB12.已知不等式()()ln 122x a x b +-+≤-恒成立，则32b a -+的最小值为（ ） A ．12e - B ．12e - C ．1e - D ．12e- 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.向量()()1,21a b a b a b ==+-=-，则向量a 与b 的夹角为___________． 14.已知()()5x y x y -+的展开式中24x y 的系数为m ，则211m x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰__________．15.若点()2,2Q a b a b +-在不等式组10450210x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域内，则22z a b =+的最大值为__________．16.已知三角形ABC中，6,4,AB BC D ==为BC 的中点，当AD 最小时，三角形ABC 的面积为_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为11,3n S a =，公比11332270,,,2q S a S a S a >+++成等差数列． （1）求n a ； （2）设()12131,log n n n n n nb c b b b a ++==-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取 了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：（2）若从年龄在[)[)55,6565,75，的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

河南省六市2016届高三第一次联考(3月) 数学(理)Word版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2016年河南省六市高三第一次联考试题数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|30},{1,}A x x x B a =-<=，且A B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)(1,3) C ．(0,1) D ．(,1)(3,)-∞+∞2、已知i 为虚数单位，a R ∈，若2i a i-+为纯虚数，则复数22z a i =+的模等于( ) A ．2 B ．11 C ．3 D ．63、若110a b<<，则下列结论不正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+4、向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5、已知正弦数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和{}n S 都是等差数列，且公差相等，则6a =( )A ．114B ．32C ．72D ．1 6、实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，使z a x y =+取得最大值的最优解有两个，则1z ax y =++的最小值为( ) A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-17、一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A ．433B ．533C ．23D ．8338、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤ 9、已知点12,F F 分布是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点，若21::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4C ．3D ．1510、三棱锥P ABC -中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面,2ABC PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π 11、一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1x y x x=>+的图象上，如图，则此矩形绕x 旋转成的几何体的体积的最大值是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．2π 12、已知函数()ln(2)x f x x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,ln 2]3 B ．1(ln 2,ln 6)3-- C ．1(ln 2,ln 6]3-- D ．1(ln 6,ln 2)3- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2016年高三复习前期摸底考试理科数学参考答案及评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】集合{|12,}N x x x R =-<<∈，所以{0,1}M N ⋂=2．【答案】C 【解析】2sin 2415sin(636018075)sin 75+=⨯++=-=-3．【答案】D 【解析】01,012≠+=-a a 得1=a ，i i i ai i a -=++=++11120152015 4．【答案】 C【解析】p ⌝:2,1x x R x e ∀∈+<，故选C ．5．【答案】 B【解析】频率0.00025000.00035000.25=⨯+⨯=，所以人数为0.25100002500⨯=6．【答案】A【解析】0]cos )32[cos()sin()1)((320320=---=-=+⎰⎰ϕϕπϕππdx x dx x f 得3πϕ= ,()sin()13f x x π=--的零点56π 7．【答案】D 【解析】当111,11110=⨯==S i , 当221,22121=⨯==S i , 当242,33132=⨯==S i 8．【答案】B【解析】 2212()3333CM CB BM CB BA CB CA CB CB CA =+=+=+-=+． 212121()33333CM CB CB CA CB CB CA CB ∴=+=+= 9．【答案】A【解析】由三视图知道，这个四面体的两个面都是两直角边分别为公共斜边为2的直角三角形，所以外接球的一条直径是这条公共斜边，所以半径1R =，表面积4S π=．10．【答案】B【解析】直线l 为圆C 的切线，所以，因为||PC 的最小值是点C 到y 轴的距离为5，所以||PM 的最小值是3．11．【答案】B 【解析】55215135577576266C x C C x C C x x ---=-. 12．【答案】A【解析】记()()x x g x e f x e =⋅-，则'()()'()(()'()1)0x x x xg x e f x e f x e e f x f x =⋅+⋅-=+->，所以()g x 是R 上的增函数，不等式可以化为：()(0)g x g >，所以0x >．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．【答案】1【解析】函数()f x 为R 上奇函数、增函数，(1)()0f a f b -+=得(1)()()f a f b f b -=-=-， 1,1a b a b -=-+=.14．【答案】2241x y +=【解析】抛物线的准线方程是2x =-，那么椭圆的半焦距2c =，2a b =，结合222a b c =+，解得2211,4a b ==，所以方程是2241x y +=． 15．【答案】3 【解析】试题分析：如下图所示，不等式组1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为阴影部分：z ＝OM →·ON →,∴3z x y =-易知，当直线30x y z --=经过点(1,0)A 时，z 取得最大值，max 3z =，16．【答案】420【解析】由给出排列规律可知，第1列的每个数为该数所在行数的平方，第1行的每个数满足（列数-1）2+1，则上起第20行左起第21列的数为（21-1）2+1+（20-1）=420.三、解答题：满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）当1m n ==时，1122(111)1a a =+-⇒=，………………………1分 当1m =时，12(11)21n n a a n a n +=+-⇒=-，………………………………3分 ∴{}n a 是等差数列，其前n 项和21212n n S n n +-=⨯=；…………………………5分 （2）(21)2n n b n =-⋅，∴23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，…………………………………7分从而23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减得：2311122(222)(21)2226(21)2n n n n n T n n +++-=++++--⋅=⨯---⋅，∴1(23)26n n T n +=-⋅+．……………………………………………………………10分18．解：（1）依题意，得()f x 1cos 2sin 222x x -=+1sin(2)62x π=-+ …………2分 ∴()f x 的最小正周期为π， …………………………………………………3分 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈即()f x 的递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈．……………………………6分 （2）由3(),2f A =得sin(2)16A π-=， 0A π<<， ∴262A ππ-=， ∴3A π=，……………………………………………………………………………8分根据余弦定理得，2222242cos ()393b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+-=-,∴53bc =， ……………………………………………………………………10分∴1155sin 322312ABC S bc A ∆==⨯⨯=1235.…………………………………12分 19．解：（1）由表格计算得： 6.5,80x y ==，所以804 6.5106a a =-⨯+⇒=，…2分 所以估计日销售利润2( 3.5)(4106)4120371z x x x x =--+=-+-， 当15x =元时，估计日销售利润最大，即定价15元；…………………………………6分（2）散点图中，有两个样本点在回归直线下方，所以X 可能取值有0,1,2，…………7分34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===，1242361(2)5C C P X C ===，……………10分 所以X 的分布列是：0121555EX =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………12分 20．解：（1）存在，且2BF =.…………………………………………………………1分 证明： O 是AB 的中点，AC BC =，∴CO AB ⊥，又平面ABDE ⊥平面ABC ，所以CO ⊥平面ABDE ，CO AF ∴⊥，…………3分 又tan 60AE EOA EOA AO∠==∠=︒，tan 30BF FAB FAB BA ∠==⇒∠=︒， 90EOA FAB AF EO ∴∠+∠=︒⇒⊥，AF ∴⊥平面EOC ；……………………………………………………………………6分(2)如图，分别以,OC OB ，过点O 且平行AE 的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．……………………………………………………………………………………7分则(0,A，B ，(3,0,0)C ，(0,E，F ，平面EOC的法向量AF =，………………………………………………9分 设平面EBC 的法向量(,,)n x y z =，由(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅-=⇒=，由(,,)(0,3)03n EB x y z z y ⊥⇒⋅-=⇒=， 令1x =，得(1,3,2)n =，……………………………………………………………11分cos ,8AF n <>==，∴所求二面角的余弦值是812分 21．解：（1）a =C过点，∴221313b +=，解得1b =， ∴椭圆C 的方程为：2213x y +=.…………………………………………………4分 （2）直线l 过点B 时，AB //QR ，直线l ⊥x 轴时，(1,(1,)33P Q -，13:1(2)12PB y x --=--，∴(3,23R -， A∴(1,1),(2,2)AB QR ==，//AB QR ，猜测，无论l 转动到何位置，都有//AB QR .…………………………………………6分 证明：直线l ⊥x 轴时，由上述知道//AB QR ，直线l 不垂直x 轴时，设l 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 将l 的方程代入椭圆方程得：2222(13)6330k x k x k +-+-=， 得：22121222633,1313k k x x x x k k-+==++.………………………………………………8分 又PB 的方程为：1111(2)2y y x x --=--，令3x =得：11112R y y x -=+-， ∴12211(3,1)2y QR x y x -=-+--. ∴11222211111(1)(3)1222y y y x x y x x --⨯+---⨯=+---- 11212211(1)12()4(1)(2)2k x x x x x k x x x --+-++---=- 22221212111233(1)[3](1)[2()3]1313022k k k k x x x x k k x x -----+--++===-- ∴//AB QR .……………………………………………………………………12分22．解：（1） 2()ln 32()f x a x x x a R =+-+∈,∴)(x f 的定义域为),0(+∞, ∴223'()23a x x a f x x x x-+=+-=. 由20'()0230x f x x x a >⎧≥⇔⎨-+≥⎩，判别式. （一）980a -≤即98a ≥时，'()00f x x ≥⇔>，∴递增区间是(0,)+∞；………2分（二）980a ->即98a <时，1x =2x =①0a ≤时，10x <，2'()0f x x x ≥⇔≥，递增区间是)+∞； ②908a <<时，120x x <<，12'()00f x x x x x ≥⇔<≤≥或.∴递增区间是0（，)+∞．…………………………………5分（2） (1)0f =，1314x =<，23114x a ==⇔=. （一）98a ≥时，()f x 是区间(0,)+∞的增函数，对任意的1x >，()(1)0f x f >=恒成立； ………………………………………………………………………………………………7分（二）891 a ≤时，21x ≤，()f x 是区间[1,)+∞上的增函数，对任意的1x >，()(1)0f x f >=恒成立；………………………………………………………………9分（三）1a <时，21x >，∴()f x 是区间2[1,)x 上的减函数，存在02(1,)x x ∈，使得0()(1)0f x f <=．综上：实数a 的取值范围是[1,)+∞．………………………………………………………12分。

2015-2016学年高中三年级第二次统一考试数学（理）试卷一、选择题：1. 设复数z 满足(1)(1)2z i -+= （i 为虚数单位），则|z|＝ A.1 B.5 C. 5 D.132. 若命题21:(0,),log ()1p x x x∀∈+∞+≥ ，命题2000:,10q x R x x ∃∈-+≤，则下列命题为真命题的是A.p q ∨B. p q ∧C. ()p q ⌝∨D. ()()p q ⌝∧⌝3. 若()x x f x ae e -=- 为奇函数，则1(1)f x e e-<-的解集为A.(,0)-∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (0,)+∞ 4. 执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为 A.4 B.5 C.6 D. 555. 已知()s i n()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>< 满足1()(),(0)22f x f x f π=-+=，则()2c o s ()g x x ωϕ=+在区间[0,]2π上的最大值为A.4B. 3C.1D. －26. 在矩形ABCD 中，AB=3,BC=3,2BE EC =，点F 在边CD 上，若3AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值为A.4B.833 C.0 D. －47. 设D 为不等式组00230x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，圆C:22(5)1x y -+= 上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A.[ 522－1, 34+1) B.[17－1,34+1] C.[17,34] D.[17－1,34－1]8. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A.57+24π B. 57+15π C. 48+15π D. 48+24π9. 已知双曲线C ：2218y x -=的左右焦点分别是1,2F F ，过2F 的直线l 与C 的左右两支分别交于A,B 两点，且11AF BF =，则AB =A. B.3 C.4D. 110. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前项之积为n T ，并且满足条件：2015120152016201611,1,01a a a a a ->><-．给出下列结论：（1）01q <<；（2）2015201710;a a ->（3）2016T 的值是n T 中最大的（4）使1n T >成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为A.（1）,（3）B.（2）,（3）C. （1）,（4）D. （2）,（4） 11. 已知正四面体S ABC -的外接球O，过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 A. 4π B. 6π C. 163π D. 43π12. 若函数()()2x f x e x ax b =++有极值点()1212,x x x x <，且11()f x x =，则关于x的方程()()()220f x a f x a b ++++=的不同实根个数为A.0B.3C.4D.5 二、填空题1. 611x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____________. 2. 已知F 为抛物线24y x =的焦点，(),P x y 是该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与x 轴的交点，当PF PA最小时，点P 的坐标为_____________.3. 如图所示，若在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________________.4. 对于数列{}n a ，若()*,m n N m n ∀∈≠，都有()n ma a t t n m-≥-为常数成立，则称数列{}n a 具有性质()P t ．若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质()10P ，则实数a 的取值范围是_______________. 三、解答题（本小题满分12分） 1. 在ABC∆中，角CB A ,,所对的边分别为cb a ,,，,0)cos()sin (sin cos =+-+B A B a C Bc = （1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin ⋅的最大值.（本小题满分12分）2. 如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿EF 将矩形ADFE 折起使得二面角A EF C --的大小为90︒（如图2），点G 是CD 的中点．（1）若M 为棱AD 上一点，且4AD MD =，求证：DE ⊥平面MFC ； （2）求二面角E FG B --的余弦值 （本小题满分12分）3. 已知某水库近50年来年入流量X （单位：亿立方米）的频数分布如下表：120 120>X 5立.现计划在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数Y 受当年年入流量X 的限制，并有如下关系：（（2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元．为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？ （本小题满分12分）4. 已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A,B ，右焦点为F ，离心率12e =，点P 是椭圆C 上异于A,B 两点的动点，△APB的面积最大值为 （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AP 与直线2x =交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并作出证明． （本小题满分12分） 5. 设函数bx x x a x f -+=221ln )()0,,(≠∈a R b a ，1=x 为函数)(x f 的极值点． （1）若1=x 为函数)(x f 的极大值点，求)(x f 的单调区间（用a 表示）； （2）若函数)(x f 恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 四、选做题（本小题满分10分） 1. 选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC ＝BC ． （1）求证：△APM ∽△ABP ；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形．2. 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线错误！未找到引用源。

【关键字】试卷2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（5分）已知集合A={x|y=），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，1）C．（1，+∞）D．[0，+∞）2．（5分）已知复数z=2+i，则=（）A．i B．﹣i C．﹣i D．3．（5分）下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A． B． C． D．x2﹣y2=15．（5分）已知等差数列{an}，满足a1+a5=6，a2+a14=26，则{an}的前10项和S10=（）A．40 B．120 C．100 D．806．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递加，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（﹣4）=f（4）7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．56 B．36 C．54 D．648．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=|2x+3y﹣2|的取值范围是（）A．[7，8] B．[0，8] C．[，8] D．[，7]9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+πB．8+πC．8+πD．8+3π10．（5分）已知函数f（x）=，其图象在区间[﹣a，a]（a＞0）上至少存在10对关于y轴对称的点，则a 的值不可能为（）A． B．5 C． D．611．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），直线l：y=x﹣与抛物线C相交于点A，B，过A，B作直线x=4的垂线，垂足分别为C，D，且C，D在直线l的右侧，若梯形ABDC的面积为4，则p=（）A．或2 B． C． D．或212．（5分）已知关于x的不等式lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1≤b恒成立；则ab的最小值为（）A．1+ B．+ C．1+ D．+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）=lg（1﹣）的定义域为（4，+∞），则a=．14．（5分）已知||=2，||=，，的夹角为30°，（+2）∥（2+λ），则（（+λ））•（﹣）=．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=2，其外接球的表面积为24π，则外接球球心到平面ABC的距离为．16．（5分）数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，则Tn=…+=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，且（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（Ⅰ）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）现有6名选手的海选成绩分别为（单位：分）43，45，52，53，58，59，经过复活赛后，有二名选手进入到第二轮比赛，求这2名选手的海选成绩均在（50，60）的概率．19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为6的等边三角形，点A1在底面△ABC内的射影为△ABC的中心O，D，E分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AA1=4，求四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F到直线x=的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，直线OD与y=x+2平行，求△OAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x﹣m（Ⅰ）求函数f（x）的极值（Ⅱ）若函数f（x）＜2x﹣x2﹣（x﹣2）ex在x∈（0，3）上恒成立，求实数m的取值范围．请考生从第22、23、24题中任选一题作答.多答按首题进行评分，不选，按本选考题的首题进行评分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BD⊥AC且DB=AB，连接AD与⊙O交于点E，连接CE与⊙O交于点F．（Ⅰ）求证：D，F，B，C四点共圆；（Ⅱ）若AB=，DF=，求BE2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数）上的两点A，B对应的参数分别为α，α+．（Ⅰ）求AB中点M的轨迹的普通方程；（Ⅱ）求点（1，1）到直线AB距离的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，a＞0．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）对任意实数x都成立，求a的取值范围．2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知集合A={x|y=），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，1）C．（1，+∞）D．[0，+∞）【分析】求解定义域化简集合A，解不等式化简B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：2x﹣1≥0，解得x≥0，即A=[0，+∞），由x2﹣1＞0得到x＞1或x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域，是基础题．2．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知复数z=2+i，则=（）A．i B．﹣i C．﹣i D．【分析】由复数z=2+i，先计算z2﹣2z=﹣1+2i，代入计算即可得出．【解答】解：∵复数z=2+i，∴z2﹣2z=（2+i）2﹣2（2+i）=3+4i﹣4﹣2i=﹣1+2i，则====+i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题【分析】举例说明n=1时2n2+5n+2不能被2整除，n=2时2n2+5n+2能被2整除，从而得出结论．【解答】解：当n=1时，2n2+5n+2不能被2整除，当n=2时，2n2+5n+2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选：C．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的真假性判断问题，是基础题目．4．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．x2﹣y2=1【分析】根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴e==，即c=a，则b2=c2﹣a2=a2﹣a2=a2，则双曲线的方程为﹣=1，∵双曲线过点（2，），∴=1，即=1，得a2=2，b2=3，则双曲线C的标准方程为，故选：A【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系进行求解是解决本题的关键．5．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知等差数列{a n}，满足a1+a5=6，a2+a14=26，则{a n}的前10项和S10=（）A．40 B．120 C．100 D．80【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a1+a5=2a3，a2+a14=2a8，解得a3，a8，可得{a n}的前10项和S10==5（a3+a8）．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a5=6=2a3，a2+a14=26=2a8，解得a3=3，a8=13，则{a n}的前10项和S10==5（a3+a8）=5×16=80．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2015秋•随州期末）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（﹣4）=f（4）【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），即函数f（x）关于x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4），故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键．7．（5分）（2016春•河南校级月考）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．56 B．36 C．54 D．64【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件c＞20，输出S的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：第1次循环，c=2，S=4，c＜20，a=1，b=2，第2次循环，c=3，S=7，c＜20，a=2，b=3，第3次循环，c=5，S=12，c＜20，a=3，b=5，第4次循环，c=8，S=20，c＜20，a=5，b=8，第5次循环，c=13，S=33，c＜20，a=8，b=13，第6次循环，c=21，S=54，c＞20，退出循环，输出S的值为54．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．8．（5分）（2016春•荆州校级月考）设变量x，y满足约束条件，则z=|2x+3y﹣2|的取值范围是（）A．[7，8]B．[0，8]C．[，8] D．[，7]【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：作出约束条件的可行域如图：令μ=2x+3y﹣2，则y=，作出目标函数的平行线，当经过A点时，μ取得最大值，联立，可得A（3，1），可得μmax=7，当经过（0，﹣2）时，μ取得最小值﹣8，所以z=|μ|∈[0，8]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．9．（5分）（2016•邯郸校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+πB．8+πC．8+πD．8+3π【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，体积为+π×12×2=8+π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知函数f（x）=，其图象在区间[﹣a，a]（a＞0）上至少存在10对关于y轴对称的点，则a的值不可能为（）A．B．5 C．D．6【分析】将x≤0时，f（x）的图象对称到y的右侧，与x＞0时，f（x）=cos2πx的图象至少存在10个交点，得到两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=sinπx，其周期为2，x＞0时，f（x）=cos2πx，其周期为1．将x≤0时，f（x）的图象对称到y的右侧，与x＞0时，f（x）=cos2πx的图象至少存在10个交点，得到两个函数的图象，如图所示，由图象可知，当a=时，只有9个交点，B，C，D均符合题意，故选：A．【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．（5分）（2015秋•河南月考）已知抛物线y2=2px（p＞0），直线l：y=x﹣与抛物线C相交于点A，B，过A，B作直线x=4的垂线，垂足分别为C，D，且C，D在直线l的右侧，若梯形ABDC的面积为4，则p=（）A．或2 B．C．D．或2【分析】求出x1+x2=3p，得到|AC|+|BD|=8﹣3p，|AB|=4p，得到关于p的方程，解出检验即可．【解答】解：∵l经过抛物线的焦点，且倾斜角是45°，∴梯形ABCD的高是|AB|，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知：|AB|=x1+x2+p，又|AC|=4﹣x1，|BD|=4﹣x2，∴|AC|+|BD|=8﹣（x1+x2），由，得：x2﹣3px+=0，∴x1+x2=3p，|AC|+|BD|=8﹣3p，|AB|=4p，由4=×（8﹣3p）××4p，解得：p=2或，当p=2时，C、D在直线l的两侧，不合题意，∴p=，故选：C．【点评】本题考查了抛物线问题，考查转化思想以及三角形的面积，是一道中档题．12．（5分）（2015秋•河南月考）已知关于x的不等式lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1≤b恒成立；则ab的最小值为（）A．1+ B．+C．1+D．+【分析】利用导数的性质求解函数单调性，判断其最值的存在性．利用单调性讨论函数f（x）的最值，从而求解ab的最小值．【解答】解：令f（x）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，那么f′（x）=，当a≤0时，因为x＞0，所以f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，不符合题意．当a＞0时，f′（x）==，令f′（x）=0，解得：x=，所以：当x∈（0，）时减函数，故函数f（x）的最大值为f（）=，所以≤b，那么ab≥．令h（a）=，则h′（a）=﹣（1+lna），当a∈（0，）时，h′（a）＞0，当a＞，h′（a）＜0，所以h（）max=，故得ab≥．故选D．【点评】本题主要考察了函数的导数性质对单调性研究转化成最值的讨论，求其在最值上的恒成立问题．属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知函数f（x）=lg（1﹣）的定义域为（4，+∞），则a=16．【分析】由题意，对数函数的真数大于0，而定义域为（4，+∞），利用不等式与方程的关系，即可求解a 的值．【解答】解：函数f（x）=lg（1﹣）可知：1﹣＞0，得：a＜2x，x＞log2a．∵定义域为（4，+∞），可得：log2a=4，解得：a=16．故答案为：16．【点评】本题考查了对数函数的性质的运用．属于基础题．14．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知||=2，||=，，的夹角为30°，（+2）∥（2+λ），则（（+λ））•（﹣）=1．【分析】根据即可求出λ的值，然后进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：；∴；∴；∴λ=4；∴====1．故答案为：1．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．15．（5分）（2016春•成都校级月考）已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=2，其外接球的表面积为24π，则外接球球心到平面ABC的距离为．【分析】设球的半径为R，由已知可求R2=6，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，可求CD，PC，利用余弦定理可求cos∠ACB，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ACB，进而可求△ABC外接圆的半径为r，设球心到平面ABC的距离为d，由d=即可得解．【解答】解：设球的半径为R，则由4πR2=24π，可得：R2=6，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=24，可得PC=4，因为AB=2，AC=BC=2，所以cos∠ACB==，sin∠ACB=，△ABC外接圆的半径为r=，设球心到平面ABC的距离为d，所以d===．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，球内接多面体的性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．（5分）（2015秋•河南月考）数列{a n}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，则T n=…+=4n﹣﹣．【分析】a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，于是a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）=2k（k﹣1），a2k=a2k﹣1+2k=2k2．即可得出．【解答】解：∵a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，∴a2k+1﹣a2k﹣1=4k，∴a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）=0+4+8+…+4（k﹣1）==2k（k﹣1），a2k=a2k﹣1+2k=2k2．∴a n=（k∈N*）．当n=2k+1时，==2+，当n=2k时，=2．∴T n=…+=2n+2（n﹣1）+++…+=4n﹣﹣．故答案为：4n﹣﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016春•荆州校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，且（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若b=，求△ABC的面积．【分析】（I）由（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB，利用正弦定理可得：sin（A+B）=3sin（C+B），进而得出．（II）由（I）可得：c=3a，利用余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，解得a，c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB，由正弦定理可得：（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，∴sin（A+B）=3sin（C+B），∴sin=3sinA，∴sinA+cosA=3sinA，解得tanA=．（II）由（I）可得：c=3a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴14=a2+9a2﹣6a2cos，解得a=，c=3．∴S=acsinB=×sin=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016春•荆州校级月考）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（Ⅰ）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）现有6名选手的海选成绩分别为（单位：分）43，45，52，53，58，59，经过复活赛后，有二名选手进入到第二轮比赛，求这2名选手的海选成绩均在（50，60）的概率．【分析】（Ⅰ）求出a的值，求出平均数，从而求出中位数；（Ⅱ）记海选成绩在（40，50）之间的选手为A1，A2，成绩在（50，60）之间的选手为B1，B2，B3，B4，列出所有可能的结果以及满足条件的结果，求出满足条件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）∵10×（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得：a=0.04，故平均数=10（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82；结合图象前2个矩形的面积之和是0.5，则中位数是80；（Ⅱ）记海选成绩在（40，50）之间的选手为A1，A2，成绩在（50，60）之间的选手为B1，B2，B3，B4，有2名选手进入到第二轮比赛的结果是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）15种，2名选手的成绩均在（50，60）的结果有：（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）6种，故概率是p==．【点评】本题考查了频率发布问题，考查平均数、中位数以及概率计算问题，是一道中档题．19．（12分）（2016春•荆州校级月考）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为6的等边三角形，点A1在底面△ABC内的射影为△ABC的中心O，D，E分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AA1=4，求四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积．【分析】（I）取AC的中点F，连接A1F，EF，通过证明四边形A1FED是平行四边形得出DE∥A1F，于是得出DE∥平面ACC1A1；（II）证明BC⊥平面A1AE，得出BC⊥A1E，BC⊥BB1，利用勾股定理计算A1E，得出四棱锥各面的面积即可得出棱锥的表面积．【解答】证明：（I）取AC的中点F，连接A1F，EF，∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB，又D是A1B1的中点，AB∥A1B1，AB=A1B1，∴A1D∥EF，A1D=EF，∴四边形A1FED是平行四边形，∴DE∥A1F，又DE⊄平面ACC1A1，A1F⊂平面ACC1A1，∴DE∥平面ACC1A1．解：（II）连接A1O，A1E，AE．∵A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC，∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AE⊂平面A1AE，A1O⊂平面A1AE，AE∩A1O=O，∴BC⊥平面A1AE，∵A1A⊂平面A1AE，AE⊂平面A1AE，∴BC⊥A1A，BC⊥A1E，又A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，∵△ABC的边长为6，∴AE=3，AO=2，OE=，BC=6，∵A1A=4，∴A1O==6，A1E==，∴A1C=A1B==4，∴S=S=S==3，S=4×6=24，S==9，∴四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积为S=3×3+24+9=9+33．【点评】本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定与性质，棱锥的面积计算，属于中档题．20．（12分）（2016春•荆州校级月考）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F到直线x=的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，直线OD与y=x+2平行，求△OAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率e==，及﹣c=1，即可求得a和c的值，由椭圆的性质b=，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）AB为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标，求得直线OD 的方程，根据两直线平行的条件，代入求得k的值，代入利用韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，利用点到直线的距离公式求得O到直线AB的距离d，利用三角形面积公式及基本不等式的性质可知，S△OAB=≤×=，即求得△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：由离心率e==，∵由右焦点F到直线x=的距离为1，∴﹣c=1，解得：a=，c=1，b==1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由题意可知：直线AB的斜率存在，且不为0，设AB为y=kx+m（m≠0），，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴△=8（2k2﹣m2+1）＞0，∴x1+x2=，x0=，y0=kx0+m=+m=，∴直线OD的方程为y=﹣x，与y=x+2平行，可得﹣=，解得：k=﹣1，此时3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，△=8（3﹣m2）＞0，∴0＜m2＜3，∴x1+x2=，x1•x2=，丨AB丨=•=，O到直线AB的距离d==，∴△OAB面积S△OAB=•，•，==，∵0＜m2＜3，S△OAB═≤×=，∴当且仅当m2=3﹣m2，即m=±时，∴△OAB面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，三角形面积公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．21．（12分）（2016春•荆州校级月考）已知函数f（x）=lnx﹣x2+x﹣m（Ⅰ）求函数f（x）的极值（Ⅱ）若函数f（x）＜2x﹣x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极大值即可；（Ⅱ）问题转化为m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立，设h（x）=（x﹣2）e x+lnx﹣x，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），由题意得：f′（x）=﹣，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=﹣m，没有极小值；（Ⅱ）∵f（x）＜2x﹣x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）上恒成立，∴m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立，设h（x）=（x﹣2）e x+lnx﹣x，则h′（x）=（x﹣1）（e x﹣），x＞1时，x﹣1＞0，且e x＞e，＜1，∴e x﹣＞0，h′（x）＞0，0＜x＜1时，x﹣1＜0，设u（x）=e x﹣，则u′（x）=e x+，∴u（x）在（0，1）递增，∵u（）＜0，u（1）＞0，∴∃x0∈（0，1），使得u（x0）=0，由y=e x和y=的图象可得，h（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，h（x0）=1﹣﹣2x0，∵x0∈（0，1），∴﹣＜﹣2，又h（x0）=1﹣﹣2x0＜﹣1﹣2x0＜﹣1，h（3）＞0，∴x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），∴m≥h（3），即m∈[e2+ln3﹣3，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．请考生从第22、23、24题中任选一题作答.多答按首题进行评分，不选，按本选考题的首题进行评分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016•衡阳二模）如图，AB是⊙O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BD ⊥AC且DB=AB，连接AD与⊙O交于点E，连接CE与⊙O交于点F．（Ⅰ）求证：D，F，B，C四点共圆；（Ⅱ）若AB=，DF=，求BE2．【分析】（Ⅰ）先由割线定理得CA•CB=CF•CE，再由图中的等量关系，得CA•CB=2CB2=DC2=CF•CE，再通证明△CDE和△CFD相似，从而得出∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE，再由BD⊥AC，即可得证；（Ⅱ）在等腰Rt△CDB中，CD=2，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，在Rt△CDE中，求出CE=4，最后在△BCE中，利用余弦定理求出BE2的值．【解答】（1）证明：如图所示，∵CA与⊙O交于点B，CE与⊙O交于点F，∴由割线定理，得CA•CB=CF•CE，∵AB=BC=DB，DB⊥AC，∴DA=DC=CB，∠CDB=∠ADB=45°，∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，∴CA•CB=2CB2=DC2=CF•CE，即=，又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．又DB⊥AC，可得D，F，B，C四点共圆；（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=，∴CD=2．在Rt△DFC中，DF=，∴sin∠DCF=，∴∠DCF=30°，∴在Rt△CDE中，CE=4，∵∠ECB=∠DCB﹣∠DCE=15°∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°﹣30°）=，∴在△BCE中，BE2=BC2+CE2﹣2BC•CE•cos∠BCE=10﹣4．【点评】本题主要考查圆中的垂直关系、割线定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016春•荆州校级月考）在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数）上的两点A，B 对应的参数分别为α，α+．（Ⅰ）求AB中点M的轨迹的普通方程；（Ⅱ）求点（1，1）到直线AB距离的最大值．【分析】（I）A（cosα，sinα），B（﹣sinα，cosα）．设M（x，y），则x=（﹣sinα+cosα），y=（sinα+cosα）．平方相加即可得出．（II）k AB=，利用点斜式可得：（sinα﹣cosα）x﹣（sinα+cosα）y+=0．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（I）A（cosα，sinα），B（﹣sinα，cosα）．设M（x，y），则x=（﹣sinα+cosα），y=（sinα+cosα）．∴AB中点M的轨迹的普通方程为：x2+y2=1．（II）k AB==，∴y﹣sinα=（x﹣cosα），化为：（sinα﹣cosα）x﹣（sinα+cosα）y+=0．∴点（1，1）到直线AB距离==|cosα﹣1|≤+1．【点评】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016春•荆州校级月考）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，a＞0．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）对任意实数x都成立，求a的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为关于a，b的不等式组，求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|，表示数轴上的x对应点到2，3对应点的距离之和，而和对应点到2、3对应点的距离之和正好是4，故不等式f（x）＜4的解集是（，）；（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|=2﹣a，由题意得2﹣a，即（2﹣a）（1﹣a）≥a2+b2+c2①，正实数b，c满足a+b+c=1，∴（1﹣a）2=（b+c）2≤2（b2+c2），∴≤b2+c2②，综合①②可得（1﹣a）（2﹣a）≥a2+，即a2+4a﹣3≤0，再结合0＜a＜1，解得：0＜a≤﹣2．【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查解不等式问题，是一道中档题．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

河南省中原名校 2016届高三上学期第一次联考理数试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分■在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1、 已知 M -「y R|y =x 「，N -「x R|x 2y 2=2?，则 M N =（）A . -1,1 , 1,1 ?B . 1C . 0,1 丨D . 0,、、2 12、 命题“ x • Z ，使X 22x ^0 ”的否定是（）2 _ -B .不存在x •二Z ，使x 2x m 0C.-x R ，使 x 2 2x m _ 0D . -x R ，使 x 22x m 0C . 2 AC -1AB3 3 D . - AC - AB3 3C . 一sinxD . - cosx3、在 ABC 中，若点D 满足BD =2DC ，贝廿AD —（ ）来源z_xx_k]4、为了纪念 抗日战争胜利70周年，从甲、 乙丙等 5名候选民警中选 2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供 安保服务，则甲、乙、丙中有 2个被选中的概率为（）3 A . 10 1B .10 3 C.- 20 11 2C . A . B . D. e r 1 _x5、函数f x =1 log2x 与g x =2 在同一直角坐标系下的图象大致是6、设 f ° x = cos x ，仏 X = f 0 x ， f 2 x = t x ， ，f n 1 X 二 f n X ， nN ，则 f 2DI6 x =()7、由曲线y=」，直线，x=2及x 轴所围成图形的面积是（x2A .丄1 n2 2 B . 2ln215C.—48、已知集合M = 'a,b,c?，N -；-1,0,1?，从M 到N 的映射f 满足f a - f b - f c l=0,那么映射f 的2A . x 二 Z ，使 x 2x m 0A . ^AC -AB 33 A . sinxB . cos x个数为（）A . 7 B. 5 C. 4 D. 29、若函数f x , g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f x二g x • e x，则（）10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A. 67升 B .47升 C .37升66 44 3311、下列命题中是假命题的是（）A. m R，使f x二m -1 x m 3是幕函数，且在0,二上递减B.函数f x “g x2• a • 1 x-a • 1 的值域为R,2C.关于x的方程ax 2x ^0至少有一个负根的充要条件是a乞1D .函数y = f a x与函数y = f a - x的图象关于直线x = a对称12、设m, n • Z ,已知函数f x二log2：1- x - 4的定义域是m, n】，值域是0,2若函数g x二2xJ!m 1 有唯一的零点，贝U m • n =（）A. 2B. -2C. 1 D . 0第H卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）［来源：13、已知集合A={x|ax+1=0>, B={-1”,若A^B = A，则实数a的所有可能取值的集合为 _____________________1 114、若2a =5» =m，且一+—=2，则m = ___________________a b15、已知点A（—1,1 ）, B（1,2 ）, C（—2,—1 ）, D（3,4 ），则向量• AB在CD方向上的投影为.16、已知函数f （x ）= （x2 T f - x2 T +k，给出下列四个命题：4节的容②存在实数k，使得函数恰有4个不同的零点;④ 存在实数k ,使得函数恰有8个不同的零点.三、解答题 (本大题共6小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)对一切正实数x 均成立.(1) 如果p 是真命题，求实数 a 的取值范围；(2) 如果命题"p q ”为真命题，且"p q ”为假命题，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知二次函数y 二f x 的图象经过坐标原点，其导函数为 「X = 6x - 2 •数列惊】 的前n 项和为S n ，点n,S n (n ・N *)均在函数y = f x 的图象上. (1)求数列an 1的通项公式；3r 1m *(2)设b n，T n 是数列、b n 啲前n项和，求使得「对所有n ，N 都成立的最小正整数 m .a .a n 卅201619. (本小题满分12 分)在二ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m 二cosA,cosB ， n =a,2c -b ，且 m 〃 n .(1) 求角A 的大小；(2) 若a = 4，求ABC 面积的最大值.20. (本小题满分12分)为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池底 面半径为r 米，高h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅 与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米，底面的建造成本为 160元/平方米，该蓄水池的总建造成 本为12000二元(二为圆周率).(1 )将V 表示成r 的函数V r ，并求函数的定义域；(2)讨论函数V r 的单调 性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.21.(本小题满分12分)已知f x 是定义在!-1,11上的奇函数，且f 1 =1，若a ，b 1-1,11，a b0成立.［来源学科网］其中真命题的序号是(把你认为正确的序号全写上)17.(本小题满分10分)设命题P :函数f x = lg‘‘ 2 a ' xxax 2—x + — i 的定义域为R ；命题q ：不等式3x —9x <a16时，有(1)判断f X在1-1,1 ］上的单调性，并证明;(2)解不等式:(3)若f x _m2 -2am • 1对所有的a 1-1,1恒成立，求实数m的取值范围.322.(本小题满分12分)已知函数f x i=l n2ax，1 •扌-x2—2ax( a R ).(1)若x = 2为f x的极值点，求实数a的值；(2)若y = f x在3, •::上为增函数，求实数a的取值范围；3(3)当a - 时，函数y = f1-x-丄—-b有零点，求实数b的最大值.2 3 x。