下载文档原格式
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析专题02 代数式和因式分解一、选择题1.（2002年福建福州4分）下列运算不正确的是【】（A）（a5）2＝a10（B）2a2·（－3a3）＝－6a5（C）b·b3＝b4（D）b5·b5＝b252.（2002年福建福州4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是【】（A（B）8（C（Dx不可化简，。
故选D。
3.（2003年福建福州4分）下列运算中，正确的是【】（A ）1052a a a ÷= （B ） 347(a )a = （C ） 222(x y)x y -=- （D ）3364a (3a )12a ⋅-=-4.（2003年福建福州4分）下列各式中属于最简二次根式的是【 】（A （B （C ）12 （D ）5.05.（2004年福建福州4分）下列计算正确的是【 】A 、2x 2﹣x 2=x 2B 、x 2•x 3=x 6C 、x 3÷x=x 3D 、（x 3y 2）2=x 9y 4【答案】A 。
6.（2005年福建福州大纲卷3分）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是【 】A 、()222a b a b -=-B 、()2362a 4a -=C 、325a a 2a +=D 、()a 1a 1--=--7.（2005年福建福州大纲卷3分）如果代数式 x x 1-有意义，那么x 的取值范围是【 】 A ．x≥0 B．x≠1 C．x ＞0 D ．x≥0且x≠18.（2005年福建福州课标卷3分）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是【 】A 、()222a b a b -=-B 、()2362a 4a -=C 、325a a 2a +=D 、()a 1a 1--=--9.（2005年福建福州课标卷3分）如果x 2+x ﹣1=0，那么代数式x 3+2x 2﹣7的值为【 】A 、6B 、8C 、﹣6D 、﹣810.（2006年福建福州大纲卷3分）下列运算中，正确的是【 】A.x 3＋x 2=x 5B. x 3－x 2=xC.(x 3)3=x 6D.x 3·x 2=x 511.（2006年福建福州课标卷3分）下列运算中，正确的是【 】A.x 3＋x 2=x 5B. x 3－x 2=xC.(x 3)3=x 6D.x 3·x 2=x 512.（2007年福建福州3分）下列运算中，结果正确的是【 】A ．444a a a +=B ．325a a a =C ．824a a a ÷=D ．236(2a )6a -=-13.（2008年福建福州4分）下列计算正确的是【 】A ．246x +x x =B ．2x 3y 5xy +=C ．326(x )x =D ．632x x x ÷=14.（2009年福建福州4分）下列运算中，正确的是【 】.A.x+x=2xB. 2x －x=1C.(x 3)3=x 6D. x 8÷x 2=x 4D 、应为826x x x ÷=，故本选项错误。
专题05 因式分解专题知识回忆1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 分解因式的一般方法：〔1〕提公共因式法.〔2〕运用公式法.①平方差公式： 2 2a b a b a b②完好平方公式： 2 2 2a ab b a b2〔3〕十字相乘法。
利用十字交织线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①关于二次三项式 2x bx c，假设存在p q cp q b，那么 2x bx c x p x q②首项系数不为 1 的十字相乘法在二次三项式 2ax bx c ( a ≠0) 中，若是二次项系数a 能够分解成两个因数之积，即a a1a2 ，常数项c 能够分解成两个因数之积，即 c c c ，把a1，a2，c1，c2 排列以下：1 2按斜线交织相乘，再相加，获取 a c a c ，假设它正好等于二次三项式1 2 2 12ax bx c的一次项系数b，即a c a c b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1 与a2 x c2 之积，即1 2 2 12ax bx c a x c a x c .1 12 2〔4〕分组分解法关于一个多项式的整体，假设不能够直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步办理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，尔后再对整体作因式分解——分组分解法. 即先对题目进行分组，尔后再分解因式.3. 分解因式的步骤：1(1) 先看各项有没有公因式, 假设有, 那么先提取公因式;(2) 再看能否使用公式法;(3) 用分组分解法, 即经过分组后提取各组公因式或运用公式法来到达分解的目的;(4) 因式分解的最后结果必定是几个整式的乘积, 否那么不是因式分解;(5) 因式分解的结果必定进行到每个因式在有理数范围内不能够再分解为止.2 2假设有公因式，先提公因式；尔后再考虑用公式法〔平方差公式：a －b ＝( a＋b)( a－b), 完好平方公式：2 2a ± 2ab＋b ＝( a±b) 2〕或其他方法分解；直到每个因式都不能够再分解为止.专题典型题考法及剖析【例题1】〔2021?江苏无锡〕分解因式4x 2 2 －y的结果是〔〕A．〔4x+y〕〔4x﹣y〕B ．4〔x+y〕〔x﹣y〕C．〔2x+y〕〔2x﹣y〕D ．2〔x+y〕〔x﹣y〕【答案】 C【剖析】此题主要观察了公式法分解因式，正确应用公式是解题要点．直接利用平方差公式分解因式得出答案．4x 2 2 －y ＝〔2x〕 22 = 〔2x+y〕〔2x﹣y〕．－y4【例题2】〔2021 贵州省毕节市〕分解因式：x ﹣16＝．2【答案】〔x +4〕〔x+2〕〔x﹣2〕．【剖析】运用公式法．4 2+4〕〔x+2〕〔x﹣2〕．2+4〕〔x2x ﹣16＝〔x ﹣4〕＝〔x2【例题3】〔2021 广东深圳〕分解因式：ab －a=____________．【答案】a〔b+1〕〔b－1〕【剖析】提公因式法与公式法的综合运用2原式=a〔b －1〕=a〔b+1〕〔b－1〕．【例题4】〔2021 黑龙江哈尔滨〕分解因式： 3 6a 2b 9ab 2a = ．【答案】a〔a﹣3b〕2．【剖析】先提取公因式，再用完好平方公式。
2013年中考数学解题方法及提分突破训练：构造法专题解题方法及提分突破训练：构造法专题在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
一真题链接1.（2012 青海）若m,n为实数，且2012=m-m+++则（的值为--n8)n2,02nm12.（2012 莆田）3.（2012•铁岭）如果0+y+x，那么xy=2-1=4.（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？5. （2012•佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=15二．构建几何图形对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
例2：已知，则x 的取值范围是（）A 1≤≤5B ≤1C 1＜＜ 5D ≥5分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。
因式分解一、 提公因式法.a 2-b 2=(a+b)(a-b) ; a 2± 2ab+b 2=(a ± b)2; a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2); a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2).二、 运用公式法.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2; a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca); 三、 分组分解法.a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2b+a n-3b 2-, +ab n-2-b n-1)，其中 n 为偶数；a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2b+a n-3b 2-, +ab n-2-b n-1)，其中 n 为偶数； a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3b 2-, -ab n-2+b n-1)，其中 n 为奇数.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式： am + a n+bm + b n分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式 前两项都含有 a ,后两项都含有 b ,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之 间的联系。
解：原式 =(am an) (bm bn)= a(m - n) b(m • n)每组之间还有公因式！(m n )(a b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例 2、分解因式：2ax _10ay - 5by _bx(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式：x 2- y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另 外分组。
解：原式=(x 2 - y 2) (ax ay) = (x y)(x - y) a(x y) =(x + y)(x-y+a)例4、分解因式：a 2 -2ab • b 2 -c 2 解：原式=(a 2 -2ab b 2) -c 2 2 2= (a -b) -c=(a _b _c)(a _b c)注意这两个例题的区别！ 练习：分解因式 3、x 2-x-9y 2-3y 4、x 2-y 2-z 2-2yz综合练习：(1) x 3 x 2y -xy 2-y 3(2) ax 2「bx 2 bx 「ax a 「b(3)2 x 亠6xy 亠9y 2 -16a 2 亠8a -1 (4) a 2 -6ab 12b 9b 2 -4a(5) 4a -2a 3 a 2 -9(6) 4a 2x _4a 2 y _ b 2x b 2 y (7)2x 2_2xy _ xz yz y(8) a 2 -2a b 2 -2b 2ab 1(9) y(y -2) -(m -1)(m1)(10) (a c)(a -c) b(b - 2a) (11) a 2(b c) b 2(a c) c 2(a b) 2abc ( 12)a 3 b 3 c 3 -3abc 四、十字相乘法.(一)二次项系数为 1的二次三项式 直接利用公式 ---x 2(p q)x p^ (x p)(x q)进行分解。
中考数学专题复习之因式分解综合题训练1．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．2．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k＝1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．3．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcd(a＞c)，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记T(M)=ba+dc．例如：6237是“平方差数”，因为62﹣32＝27，所以6237是“平方差数”；此时T（6237）＝26+73＝99．又如：5135不是“平方差数”，因为52﹣32＝16≠15，所以5135不是“平方差数”．（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若M=abcd是“平方差数”，且T（M）比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．4．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．5．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）=P(M)F(M)，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，∴6342是“整和差数”．又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）=98不为整数，∴4261不是“整和差数”．（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．6．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“博雅数”．定义：对于三位自然数N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“博雅数”．例如：415是“博雅数”，因为4，1，5都不为0，且4×2+1+5＝14，14能被7整除；412不是“博雅数”，因为4×2+1+2＝11，11不能被7整除．（1）判断513，427是否是“博雅数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由．7．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．8．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．9．（1）阅读材料：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数“，a，b为x的一个平方差分解．例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；②试证明10不是雪松数；（2）若a，b正整数，且ab+a+b＝68，求ab的值．10．探究题：（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝；x2﹣4x+4＝；4x2﹣20x+25＝；（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为；（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．11．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．12．阅读材料：，上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：（1）因式分解：x2+2x﹣3；（2）求多项式x2+6x﹣10的最小值；（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．13．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．14．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x 2﹣2xy +y 2﹣4＝（x 2﹣2xy +y 2）﹣4＝（x ﹣y ）2﹣22＝（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y +2）． ②拆项法：例如：x 2+2x ﹣3＝x 2+2x +1﹣4＝（x +1）2﹣22＝（x +1﹣2）（x +1+2）＝（x ﹣1）（x +3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x 2+4x ﹣y 2+1；②（拆项法）x 2﹣6x +8；（2）已知：a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a 2+b 2+c 2﹣4a ﹣4b ﹣6c +17＝0，求△ABC 的周长．15．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax 2+bx +c （a ≠0）的多项式变形为a （x +m ）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax 2+bx +c （a ≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x 2+4x ﹣5＝x 2+4x +（42）2﹣（42）2﹣5＝（x +2）2﹣9＝（x +2+3）（x +2﹣3）＝（x +5）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：x 2+2x ﹣8；（2）求多项式x 2+4x ﹣3的最小值；（3）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，求△ABC 的周长．16．如果一个自然数M 能分解成A ×B ，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A ×B 的过程称为“全美分解”，例如：∵2838＝43×66，4+6＝10，3+6＝9，∴2838是“十全九美数“；∵391＝23×17，2+1≠10，∴391不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M是“十全九美数“，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为S（M）；将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为T（M）．当S(M)T(M)能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M．17．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．。
2013年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）因式分解(分3个考点精选48题）11.1 提公因式法（2013北京，9，4）分解因式：269mn mn m ++= ．【解析】原式=m (n 2+6n +9)=m (n +3)2【答案】m (n +3)2【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。
（2013广州市，13， 3分）分解因式a 2－8a 。
【解析】提取公因式即可分解因式。
【答案】:a(a －8).【点评】本题考查了因式分解的方法。
比较简单。
（2013浙江省温州市，5，4分）把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4a a -B. (2)(2)a a +-C. (2)(2)a a a +-D. 2(2)4a --【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式．【答案】A【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．（湖南株洲市3,9）因式分解：22a a -= .【解析】22(2)a a a a -=-【答案】(2)a a -【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．（2013四川成都，1l ，4分）分解因式：25x x -=________．解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。
本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。
观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。
答案：x(x-5)。
点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。
（2013湖北随州，11,4分）分解因式：249x -=______________________。
解析：22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。
2013年中考数学专题复习第四讲：因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，二、因式分解常用方法：1、提公因式公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a2-b2= ,②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点， 找准里面a 与b 。
如：x 2-12x+14即是完全平方公式形式而x 2- x+12就不符合该公式。
】 一、 公式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先2、 二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A ．m 2+nB ．m 2-m+1C ．m 2-nD ．m 2-2m+1对应训练1．（2012•凉山州）下列多项式能分解因式的是（ ）A ．x 2+y 2B ．-x 2-y 2C ．-x 2+2xy-y 2D ．x 2-xy+y 2例2 （2012•天门）分解因式：3a 2b+6ab 2= ．例3 （2012•广元）分解因式：3m 3-18m 2n+27mn 2= ．对应训练3．（2012•恩施州）a 4b-6a 3b+9a 2b 分解因式得正确结果为（ ）A ．a 2b （a 2-6a+9）B ．a2b （a-3）（a+3）C ．b （a 2-3）2D ．a 2b （a-3）2考点三：因式分解的应用（ ） −→←对应训练4．（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= ．【聚焦山东中考】1．（2012•济宁）下列式子变形是因式分解的是（）A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）2．（2012•临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= ．【备考真题过关】一、选择题2．（2012•呼和浩特）下列各因式分解正确的是（）A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）B．x2+2x-1=（x-1）2C．4x2-4x+1=（2x-1）2D．x2-4x=x（x+2）（x-2）4．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2二、填空题7．（2012•桂林）分解因式：4x2-2x= ．8．（2012•沈阳）分解因式：m2-6m+9= ．9．（2012•黔西南州）分解因式：a4-16a2= ．10．（2012•北海）因式分解：-m2+n2= ．12．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．13．（2012•宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2= ．14．（2012•绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．14．ab（a-b）2．15．（2012•宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为．16．（2012•广东）分解因式：2x2-10x= ．17．（2012•黄石）分解因式：x2+x-2= ．18．（2012•黑河）因式分解：27x2-3y2= ．19．（2012•六盘水）分解因式：2x2+4x+2= ．20．（2012•南充）分解因式：x2-4x-12= ．21．（2012•哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是．．24．（2012•大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2= ．。
解题方法及提分突破训练：因式分解法专题中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算，求值，化简，论证．解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形．代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解．它贯穿、渗透在各种代数式问题之中．因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的．它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础．所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容．它具有广泛的基础知识的功能．由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体．正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点．一 真题链接1. （2011浙江杭州，12，4）当7x =-时，代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为 ．2. （2011山东威海，16，3分）分解因式：2168()()x y x y --+-= . 3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x2－2y2)－x(7x ＋y)＋xy ．4. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：39a a -5．（2012年山东泰安模拟）因式分解：93x x -= _________________；如果2x a =，3ya =，则23x ya+=______________．6．（2012年北京市顺义区一诊考试）分解因式：3225105x x y xy -+= 二 名词释义因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
一．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式二．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．三．十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解． 对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2＋bx ＋c ，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a ，c1c2=c ，a1c2＋a2c1=b ．三 典题示例一、提公因式法.：ma+mb+mc=m 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则A B C ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x（三）二次项系数为1的二次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+ （四）二次项系数不为1的二次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy 五、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652，则x A x x 2672+=++ ∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x例14、分解因式（1）262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x设t x x =+1，则21222-=+t x x∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x=)2)(12()1(2--+x x x（2）144234+++-x x x x解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x六、添项、拆项、配方法。
