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概率论与数理统计第21讲(2).my

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概率论与数理统计课件ppt

概率论与数理统计课件ppt
简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间

最新概率论与数理统计第21讲精品资料

最新概率论与数理统计第21讲精品资料

位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,
( X1, X2 , , Xn )和 ( X1, X2 , , Xn )( ),
对于任意 满足 P{ } 1 , 则称随机区间( , )是的置信水平为1- 的置信 区间，和 分别称为置信水平为1- 的双侧置信 区间的置信下限和置信上限，1- 称为置信水平.
关于定义的说明
就是的一个置信水平为1-的置信区间。
三、小结
点估计不能反映估计的精度, 故而本节 引入了区间估计. 置信区间是一个随机区间[ˆ1, ˆ2 ],它覆盖未知参
数具有预先给定的高概率(置信度)，即对于任
意的 ，有P(ˆ1 ˆ2 ) 1
求置信区间的一般步骤(分三步).
第五节 正态总体均值与方差的区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我 们根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似 然估计为1000条.
实际上, N的真值可能大于 1000条, 也可能小于1000条.
若能给出一个区间，在此区间内我们 合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数 的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们 能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间. 下面我们就来正式给出置信区间的定义,
并通过例子说明求置信区间的方法.
一. 置信区间的定义
设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参 数 ,对于给定值(0< <1)，若由来自X的样本
X1, X2 , , Xn 确定的两个统计量
由定义可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)

概率论与数理统计课件(最新完整版)

概率论与数理统计课件(最新完整版)

“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B

说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B

若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B， 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;

概率论与数理统计课件【】

概率论与数理统计课件【】
观察 n 次试验中 A 发生的次数．
试验者 德.摩根
n
2048
nA
1061
fn (A)
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK.皮尔逊
12000
6019
0.5016
K.皮尔逊
24000
12012
0.5005
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有 放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
的次数 nA
称为事件 A 发生的频 数.比值
nA n
称为事件
A 发生的频 率,并记
成 fn ( A).
通过实践人们发现，随着试验重复次数n 的大量增加,频率fn ( A)会
越来越稳定于某一个常数, 我们称这个常数为频率的稳定值.其实这个值
就是事件A的概率f ( A).
在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件 A =“正面朝上”，
1.1.4 事件间的关系与运算
1. 包含关系与相等： “事件 A发生必有事件B发生 ” 记为AB。 A＝B AB且BA.
A B
A
B Ω
2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个 发生”，记作AB或A+B。
显然：AAB，BAB；若AB，则AB=B。
推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.

概率论与数理统计说课PPT课件

概率论与数理统计说课PPT课件
P ( B ) P ( A ) ,于 是 有 P ( A ) P ( S ) 1
S
B A
证:BA(BA) 不交并
P (B ) P (A ) P (B A )
P (B A ) P (B ) P (A )
.
37
问 题 ： 一 般 情 况 下 P ( B A ) ?
BA BA 答 案 ： P ( B A ) P ( B ) P ( A B )
（注：当L>m
或
L<0时，记
C
L m
0）
.
50
例3：将n个不同的球，投入N个 不同的盒中(n≤N)，设每一球 落入各盒的概率相同，且各盒 可放的球数不限，记A＝{ 恰有 n个盒子各有一球 }，求P(A)．
.
51
解 ： A :"每 盒 至 多 一 球 "
P(A)
N(N1)(N2)...(Nn1) Nn
i1
i1
1ijn
P(AiAjAk)(1)n1P(A1A2An)
1ijkn
.
41
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
.
42
解：设A, B, C分别表示甲, 乙, 丙参加， 由条件知
P(A) = P(B) =P(C) = 0.4, P(AB ∪ AC ∪ BC) = 0.3,
i1
i1
.
30
例：抛硬币出现的正面的频率
试验 序号
n =5 nH fn(H)
n =50 nH fn(H)
1
2 0.4 22 0.44
2
3 0.6 25 0.50

概率论与数理统计课件最新完整版

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时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
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概率论与数理统计课件最新完整版
概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。

概率论与数理统计课件(完整版)

例1. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹, 每次投下一颗炸弹, 每架飞机各带3颗炸弹, 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3, 第2架的概率为0.4, 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。
1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
系统一:先串联后并联
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
*
例3. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批 乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95
*
1. 公式法：
当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
注
计算条件概率有两种方法:
*
2.缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.
*
随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
*
2. 样本空间与随机事件
样本空间的分类:
离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

概率论与数理统计书ppt课件


条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。

概率论与数理统计第21讲

14
a
(4) 对不等式1U2作恒等变形后化为 P{ q q q }=1-a, (3.5) 则( q,q )就是q的置信度为1-a的双侧置 信区间.
15
三, (0-1)分布参数的置信区间 考虑(0-1)分布情形, 设其总体X的分布率 为 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p, (0<p<1), 现求p的置信度为1-a的置信区间. 已知(0-1)分布的均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p), 设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本, 当n充 分大时, 样本均值X可作为p的点估计, 且近似有 X~N(p, p(1-p)/n)
21
若存在统计量 q =q(X1,X2,…,Xn), 满足 P{q <q}=1-a. 则称(-,q)为q的置信度为1-a的单侧置 信区间, 称q为q的单侧置信上限.
22
例5 从一批灯泡中随机地抽取5只作寿命 试验, 其寿命如下(单位:h) 1050 1100 1120 1250 1280 已知这批灯泡寿命X~N(,2), 求平均寿 命的置信度为95%的单侧置信下限. 解 因为 X - T ~ t (n - 1) S/ n 对于给定置信度1-a, 有 X - P ta (n - 1) 1 - a S / n
5
③置信度与估计精度是一对矛盾. 置信度 1-a越大, 置信区间(q,q )包含q的概率就 越大, 但区间(q,q )的长度就越大, 对未 知参数q的估计精度就越差. 反之, 对参数 q的估计精度越高, 置信区间(q,q )长度 就越小, (q,q )包含q的真值的概率就越 低, 置信度1-a越小. 一般准则是: 在保证 置信度的条件下尽可能提高估计精度.
25
§6.5 正态总体的置信区间

概率论与数理统计说课PPT课件

频率 f n ( A ) 反映了事件A发生的频繁程度。
.
29
频率的性质：
11。 。00fnf(nA (A )) 11 22。 。ffnn((SS))11
33。 。若 若 AA 1,1,AA 2,2… ,… ,A,kA 两 k两 两 两 互互 不相 不 容 相 ， 容 则 ， 则 fn(
k
k
不 相 容 ， 则fn( Ai) fn(Ai)
565657575858595960606161ijpapaapapaapaaijpapaapapaapaa6262pannnn63636464656566661212676769697070发生的条件概率发生的条件下表示71在这个例子中若不知道事件a已经发生的信息那么事件发生的概率为其原因在于事件的发生改变了样本空间使它由原是在新的样本空间中由古典概率的计算公式而得到的7373记
.
4
不确定性现象，又称随机现象，在一次 试验中，它的发生具有偶然性，但是在 大量重复试验中，它又会体现出一定的 规律性，这种规律性称为统计规律性。
.
5
概率论与数理统计是研究随机现 象数量规律的学科。
.
6
对随机现象的观察、记录、实验统称 为随机试验。它具有以下特性：
可以在相同条件下重复进行； 事先知道所有可能出现的结果； 进行试验前并不知道哪个试验结果会 发生。
n—总试验次数。称 f n ( A ) 为A
在这n次试验中发生的频率。
.
27
例：
➢ 中国男子国家足球队，“冲出亚洲” 共进行了n次，其中成功了一次，在 这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n ；
.
28
➢ 某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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解：由样本资料得,
1 n 15, x xi 425, s 8.478 n i 1
n
0.05,
t (n 1) t 0.05 (14) 2.145
2 2
对最大飞行速度的期望值 进行估计： （i）估计值： x 425.0 (m s) ˆ （ii）误差限: t 2 (n 1) s 2.145 8.478 ( x ) 4.69 n 15 （iii）可靠性: p 95% (iv) 置信区间: [ x ( x )] 420.31, 429.69 （v）估计精度:

2) 方差 未知时 :
2
可用 S 近似代替
则误差限为
( X )
u 2 n

u 2 S n
的置信度为1 的置信区间为
u 2 S u 2 S ,X X [ X ( X )] n n
例 欲估计大棚内油松2年生苗木高度，采用重复 抽样的方式从大棚内抽取了n=65株苗木组成样 本，样本的苗高(cm)数据如下： 12.3 16.6 12.0 17.1 12.6 10.8 11.0 11.7 12.2 14.8 11.5 12.6 12.3 11.9 12.9 13.9 12.8 15.0 13.6 12.4 16.6 13.2 16.6 13.5 14.0 12.7 11.3 13.9 11.4 13.9 13.9 13.5 13.6 15.4 14.8 16.8 14.8 15.3 12.6 14.5 12.6 14.5 12.9 16.4 18.3 17.8 13.5 11.8 13.6 17.2 13.5 13.6 14.5 12.9 15.8 13.6 15.4 16.1 15.6 12.9 12.9 14.6 15.1 15.0 13.6 试以95%的可靠性对该大棚内苗木的平均高进行 估计。
注：
当置信度 当置信度
1 较大时，置信区间也较大； 1 较小时，置信区间也较小。
2) 方差 未知时 :
2
抽样分布 定理3
X T S n
~ t n - 1
所以
t (n 1)
2
1
t (n 1)
2
t
X P t (n 1) 1 S n 2
u u 0.01 2.576
2
2.576 0.06 ( x ) 0.257 6
(iii) 可靠性： p 99% (iv) 置信区间：
14.95 0.257, 14.95 0.257
[ x ( x )]
14.693, 15.207
(v) 估计精度：
~
)
抽样分布 定理2
N (0,1)
所以
u 2 即 : P X 1 n ˆ ˆ 点估计 : P | | ( ) 1
X P u 1 n 2
1
u
2
u
x 4.69 A 1 E 1 1 0.989 98.9% x 425.0
小结:
估计总体均值 时(大样本方法)：
u 2
误差限X
，
，
非正态总体，
n
u 2 S n
已知
2
非正态总体，
未知
2
估计总体均值 时(小样本方法)：
u 2
大样本容量的确定问题 例:在上例中,若估计精度要求为0.98, 应抽取多少株林木？ 2 u 2 u 2
由 ( X ) n ,得 n
( X )
( x ) 又 A 1 x ( x ) (1 A) x 0.02 13.94 0.2788
t 2 (n 1) S 即: P X 1 n
总体平均数 的估计为：
( 方差 未知时)
2
（i）估计值：
ˆ X
（ii）误差限： ( X ) （iii）可靠性：
t 2 (n 1) S n
p 1
(iv) 置信区间：
[ X ( X )]
2 2
1.96 0.06 x 0.196 6
(iii) 可靠性： p 95% (iv) 置信区间：
14.95 0.196, 14.95 0.196
[ x ( x )]
14.754, 15.146
(v) 估计精度：
( x ) 0.196 A 1 1 0.9869 98.69% x 14.95
u 2 1.96 1.726 n 149.63 150 ( x ) 0.2788
2 2
§6.２ 一个总体均值的估计
6.2.2. 小样本方法
前提: 正态总体
1) 方差 已知时 :
2
X ~
N ( ,

2
X U n
n
第6章 参数估计
§6.1 参数估计的基本概念与理论
§6.２ 一个总体均值的估计
6.2.1. 大样本方法 前提:总体不服从正态分布,或总体分布未知 2 抽样分布
X 近似 ~
n很大
N ( ,

X U n
n
)
定理1
n很大
近似
~
N (0,1)
所以
X P u 1 n 2
1.96 1.754 65
（iii）可靠性：95%
（iv) 置信区间:
13.51, 14.37
(v)估计精度：
13.94 0.4263, 13.94 0.4263
[ x ( x )]
( x ) 0.4263 A 1 1 0.9694 96.94% x 13.94
2


总体平均数 的估计为
1) 方差 已知时 : ˆ （i）估计值： X
2
（ii）误差限： ( X ) （iii）可靠性：
u 2 n
p 1
(iv) 置信区间：
[ X ( X )] X
(v) 估计精度：
ˆ ˆ [ ( )] u 2 u 2
( x ) 0.257 A 1 1 0.9828 98.28% x 14.95
该例中，若 的估计为：
0.05, 对平均直径
(i) 估计值： x 14.95(mm) ˆ
(ii)误差限： ( X )
u 2 n
0.05,
u u 0.05 1.96
t 2 n 1 S t 2 n 1 S X ,X n n
(v) 估计精度：
X A 1 E 1 X

[例] 对某型号飞机的飞行速度进行15次试 验，测得最大飞行速度（m/s）如下： 422.2, 417.2, 425.6, 420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 428.2, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5, 413.5, 441.3, 423.0 根据长期经验，最大飞行速度可以认为服从 正态分布。试就上述试验数据对最大飞行速 度的期望值进行估计，并求出估计精度（可 靠性0.95）
1 n 1 x xi 14.6 15.1 15.1 14.95 n i 1 6
对平均直径 作估计 : ˆ (i) 估计值： x 14.95(mm) 即平均直径的估计值为14.95mm.
(ii)误差限： ( X )
u 2 n
2
0.01,
误差限X
，
正态总体，
n
已知
2
t 2 (n 1) S n
正态总体， ，
未知
2
1
u
2
u
2
ˆ | ( ) 1 ˆ 点估计 : P |
u 2 即 : P X 1 n


总体平均数 的估计为
1) 方差 已知时 : ˆ （i）估计值： X
2
（ii）误差限： ( X )
u 2 n
n ,X n
X ˆ) ( A 1 E 11 A 1 E Xˆ

例 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠 直径可认为服从正态分布，现从某天产品 里随机抽取6件,测得直径(mm)分别如下： 14.6, 15.1, 4.9, 14.8, 15.2, 15.1 若已知直径方差0.06，试求平均直径的置 信区间 ( 0.01) 解：由样本资料得: n 6,
解：由样本资料计算得： 且由题设可知 0.05, u u 0.05 1.96 2 2 所以作估计： ˆ （i）估计值 : x 13.94; （ii）误差限:
x 13.94, s 1.754
( x )
u 2
n n 0.4263(cm);

u 2 s
（iii间 ：
[ X ( X )] X
(v) 估计精度：
ˆ ˆ [ ( )] u 2 u 2
n ,X n
X ˆ) ( A 1 E 11 A 1 E Xˆ