频率与概率的关系

频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。

说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。

频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。

在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。

⼀。

⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。

调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。

⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。

这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。

⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。

当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。

这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。

⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。

这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。

从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。

⼆。

⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。

这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。

第七章概率§3 频率与概率知识点1频率与概率的关系1.☉%#784￥@*6%☉(2020·湖北麻城一中单元检测)下面的描述:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;③频率是一个比值,但概率不是;④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值;⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值。

其中正确的说法有()。

A.①③⑤B.①③④C.①④⑤D.②④⑤答案：C解析：①显然正确;对于②,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,则它们不是一个值,②错误,⑤正确;对于③,比值只是结果的一种书写方式,可以是频率,也可以是概率,还可能两者都不是,故③错误;对于④,频率会随着试验次数的变化而变化,则不能脱离具体的n次试验,而概率是事件发生的频率趋于稳定的固定值,不依赖于具体的试验次数,正确。

综上,①④⑤正确。

2.☉%7￥￥0#*63%☉(多选)(2020·黄冈中学高一月考)下面命题是假命题的有( )。

A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的概率是59B.盒子中装有大小相同的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同D.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率为23答案：ABC解析： A中,抛掷一枚均匀硬币出现正面的概率是12;B中,摸到白球的概率要小于摸到红球的概率和摸到黑球的概率;C中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;通过画树状图可知D正确。

3.☉%￥￥1*71#0%☉(2020·湖北团风中学单元训练)若在同等条件下进行n次重复试验,得到某个事件A发生的频率为f(n),随着n的增大有()。

A.f(n)与某个常数的值相等B.f(n)与某个常数的差逐渐缩小C.f(n)与某个常数的差逐渐增大D.f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定答案：D解析：根据概率的定义,概率是频率的稳定值,因此应选D。

例题讲解
例3、某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该
公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计,统计
结果如表所示：(1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果,估
计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,＋∞)
新知探究（一）——频率的稳定性 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为 20,100,500时各做5组试验,得到事件A发生的频数和频率如 下表（10.3-2）所示：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
序号
1 2 3 4 5
n=20
频数 频率
12 0.6
9
0.45
13 0.65
7
0.35
12 0.6
n=100 频数 频率 56 0.56 50 0.50 48 0.48 55 0.55 52 0.52
所以PA 1
2
新知探究（一）——频率的稳定性 思考二：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,设事件 A=“一个正面朝上,一个反面朝上”,你能设计一个统计次数并 计算频率的试验步骤吗？
第一步：每人重复做25次试验,记录事件A发生的次数,计算频 率； 第二步：每4名同学为一组,相互比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数,计算事件A发生的频率,并 利用表10.3-1进行统计。
上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度。 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论。
例题讲解
例2、一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生的 甲获胜,事件B发生则乙获胜。判断游戏是否公平的标准是 事件A和B发生的概率相等。 在游戏过程中甲发现：玩了10次时,双方各胜5次；但玩到 1000次时,自己才胜300次,而乙却胜了700次。据此,甲认为 游戏不公平,但乙认为游戏是公平的。你更支持谁的结论？ 为什么？

(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
概率的综合应用：
3.有长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm的小棒 各一根，放在不透明的纸盒中，每次从中任 意取一根小棒（不放回），取了三次，取得 的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是 多少？
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
3
4 5 6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,5) (6,6)
(2) 取3枚硬币：在第一枚的正面贴上 红色标签，反面贴上蓝色；在第二枚的正 面贴上蓝色标签，反面贴上黄色；在第三 枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色， 同时抛三枚硬币，落地后颜色各不相同的 机会有多大？
概率是 2/3 ； （2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 ； （3）随机从中一次摸出两个球，两球 均为红球的概率是 。
（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 4/9 ；
红球 红球 红球 红球 兰球 兰球 1 2 3 4 5 6
2一般地，不确定事件发生的可能性 是有大小的。 表示方式一：
1（或100%） 必然事件发生的可能性:_______________ 不可能事件发生的可能性:____________ 用0来表示 不确定事件发生的可能性是 大于0小于1的 。
表示方式二：
用线段图可表示为：
0
不可能 发生
½(50%)
明白了
懂得了
合作交流的重要性

5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有哪些不同？连续型随机变量
的概率密度与分布函数之间是什么关系？
答：（1）离散型随机变量 X 只取有限个可能的值 x1，x2，…， xn ，而且是以确定的概
率取这些值，即
P（X=xi）=pi（ i =1，2，…，n）。因此，可以列出 X 的所有可能取值 x1，x2，…， xn ，以 及取每个值的概率 p1，p2，…， pn ，将它们用表格的形式表现出来，就是离散型随机变量
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（3）主观概率
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古典概率和统计概率都属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析或
是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而有些事件，特别是未来的某一事件，既
不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须
，
对于连续型随机变量，其均值和方差分别为：
= E(X ) = xf (x)dx， 2 = E(X 2) − E2(X ) = − x2 f (x)dx
−
−
7．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后
对其进行估计从而作出相应的决策，那就需要应用主观概率。
主观概率需要人们根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素进行分析，
以此确定主观概率。
3．概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面？ 答：（1）区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意 义上的取值概率，连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数 f（x）曲 线（或直线）在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率 值为 0，因为它对应的面积为 0。而分布函数 F 在 x 处的取值，就是随机变量 X 的取值落在 区间（-∞，x）的概率。 （2）联系

大
D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率
都是0.1
【答案】
D
(2)我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连
续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反
面向上”呢？
【解析】 不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一
次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结
状元随笔 (1)正确理解频率与概率之间的关系
随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一
定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种
摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的
概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件
发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个
事件的概率．
(2)概率与频率的区别与联系：
频率
概率
频率反映了一个随机事件发 概率是一个确定的值，它反映
区别
生的频繁程度，是随机的 随机事件发生的可能性的大小
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越
联系
接近概率
基 础 自 测
(2)将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
题型3 频率分布直方图的应用[经典例题]
例3 (1)在某次赛车中，50名参赛选手的成
绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和
1
，是指试验次数相当
1 000

n
n
随着试验次数的增大，频率 m 稳定在0.5的附近。
n
探究一：通过频率估计概率
活动3
m
掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率 n 的变化趋势。
可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币 出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一 个概率的近似值！
谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，那么这种
探究一：通过频率估计概率
大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少 吗？
有的同学回答“针尖向上”概率为0.5，其实由于图钉不是 均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出 现的可能性不一样大。
你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？
探究一：通过频率估计概率
类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率。
200
250
销售人员首先从所有的柑橘中随机 300
抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统 350
400
计，并把获得的数据记录在右表中．请 450
你帮忙完成此表．
500
5.50 10.50 15.15 19.42 24．25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用
例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地 均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：
朝上的点数 1 出现的次数 7
23 98
456 11 15 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； （2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”。

$P(A|B) = frac{P(B|A) cdot P(A)}{P(B)}$，其中$P(A|B)$表示在 事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
贝叶斯定理应用
贝叶斯定理在统计学、机器学习、决策理论等领域有广泛应用， 尤其是在处理不确定性和主观概率方面。
全概率公式
全概率公式定义
全概率公式用于计算一个复杂事件发生的概率，该复杂事件可以分 解为若干个互斥且完备的子事件。
市场调查
在市场调查中，全概率公式可以用于计算某个事件发生的概率，例如消费者购买某产品的概率，可以通过考虑不 同市场细分和购买行为的条件概率来计算。
感谢您的观看
THANKS
概率的乘法性质是指一个事件发生后，另一个事件接着发生的概率等于前一事 件的概率乘以后一事件的概率。
详细描述
如果事件A和事件B有因果关系，即B的发生依赖于A的发生，那么 P(AB)=P(A)P(B)。如果事件A和事件B没有因果关系，那么P(AB)=P(A)P(B)。
条件概率与独立性
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，一个事件发生的概率。独立性是指两个事件之 间没有相互影响。
中心极限定理的实例
在投掷骰子实验中，随着投掷次数的增加，出现3.5次朝上的频率 逐渐接近正态分布。
大数定律与中心极限定理的应用
在统计学中的应用01 Nhomakorabea大数定律和中心极限定理是统计学中的基本原理，用于估计样
本均值和方差，以及进行假设检验和置信区间的计算。
在金融领域的应用
02
大数定律和中心极限定理用于金融风险管理和资产定价，例如
方差
方差是随机变量取值与其期望的差的 平方的平均值，表示随机变量取值的 离散程度。
05
大数定律与中心极限定理

揭示频率与概率之间的关系一、频率与概率的区别与联系（1）区别：频率是随着试验次数的改变而改变，即频率是随机的，而试验前是不确定的，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关，是随机事件自身的一个属性。

（2）联系：在相同的条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，所以可用频率作为概率的近似值，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，概率是频率的近似值。

二、频率与概率应注意的问题①求一个事件的概率的基本方法是做大量的重复试验。

②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率。

③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。

④概率反应了随机事件发生的可能性的大小。

⑤概率的值越接近1表明事件发生的可能性越大，反过来值越接近0，则事件发生的可能性越小。

三、典型例题精析例1：某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下所示射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m8 19 44 93 178 453 击中10环频率n m（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？分析：（1）逐个将n 、m 值代入公式n m进行计算．（2）观察各频率能否在一常数附近摆动，用多次试验的频率估测概率。

解：（1）射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m8194493178453击中10环频率n m0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9．点评：利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率。

例2：为迎接2008年奥运会，某工厂大批生产奥运会吉祥物----福娃，该工厂对甲乙两职工生产福娃进行了测试，然后进行了统计，下表是统计结果。

频率与概率的关系公式
在概率论中，频率与概率之间的关系可以通过大数定律来解释。

大数
定律指出，当重复进行一些随机实验时，频率会逐渐趋近概率。

也就是说，随着实验的次数增加，事件发生的频率会越来越接近其概率。

假设事件A发生的次数为n，总实验次数为N。

频率可以表示为
f(A)=n/N
而概率可以表示为
P(A) = lim(N -> ∞) n/N
这里的lim表示当N趋近于无穷大时，n/N的极限值。

也就是说，当
实验次数足够多时，事件A发生的频率会逐渐趋近于事件A发生的概率。

除了大数定律，还有一些其他的关系公式可以描述频率与概率之间的
关系。

1.绝对频率与相对频率：
绝对频率是指事件发生的实际次数，而相对频率是指事件发生的次数
与总次数的比值。

绝对频率可以表示为
f(A)=n
相对频率可以表示为
f(A)=n/N
2.概率与频率的关系：
当实验次数足够大时，频率会逐渐趋近于概率。

也就是说，频率可以作为概率的估计值。

这可以表示为
P(A)≈f(A)
这个公式说明了频率可以用来估计概率，但是只有当实验次数足够多时才能得到比较准确的结果。

3.几何概率与频率的关系：
在几何概率中，事件的概率可以通过对事件发生的次数进行标准化得到。

这里的标准化是指将事件发生的次数除以总次数。

所以，事件的几何概率可以表示为
P(A)=f(A)/N
这个公式说明了几何概率与频率之间的关系，几何概率可以通过频率来计算。

况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A
的( )
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为 4
5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出 现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
(1)在上表中填上优等品出现的频率. (2)中常常用随机事件发生的概率来估 计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产 品中不合格产品的数量等.
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为 规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟 随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结 果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了 高中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该 中学高中部一共有多少名学生.
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳 定在0.97,在它附近摆动
【思维·引】 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到,它只反映事 件发生的可能性大小来判断.
【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是 说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可 能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不 正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能 性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1, 所以C不正确,D正确.
提示:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大 小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.

概率与频率的关系
频率和概率的关系：频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。

因此，概率是可以通过频率来“测量”的，频率是概率的一个近似。

频率是一个对象出现的频数和总数的比值，概率是一个事件自身的属性。

1) 频率：在n次重复试验中，事件A发生了m(A)次，则称：m(A)/n 为事件A发生的频率；
2) 概率：随机事件A发生可能性大小的度量(非负实数，<=1)，称为事件A发生的概率，记做P(A)，P是英文Probability(概率)的字头。

在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m(A)/n总是接近于某个数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率。

因此只要n相当大，概率是可以通过频率来测量的，或者说频率是概率的一个近似。

因此：
3) 事件A的概率P(A)是对事件A发生可能性大小的一个度量，它是一个确定的数值，其值大于0小于1。

与试验次数n无关。

事件A的频率m(A)/n是一个与试验次数n有关的数，它总是在概率P(A)附近摆动。

当试验次数n相当大的时候，频率可以作为概率的一个近似，或者说概率是可以通过频率来测量。

19.3频率与概率的关系教学设计主备教师石攀科授课教师时间教学目标：知识与技能总结频率的特点及频率和概率的关系；知道用频率估计概率，并逐步学习直接计算简单事件的概率的方法。

过程与方法经历直观猜想、进行实验收集数据、整理并表示数据、分析实验结果、验证猜想过程。

情感态度价值观体会知识点之间的区别与联系。

教学重点难点重点：频率的特点及频率和概率的关系；能够直接计算简单事件的概率。

难点：直接计算简单事件的概率。

（一）观察与思考观察图19—2，思考以下问题：当实验次数较少时，频率有什么特征?当实验次数增多时，频率有什么样的变化趋势从折线统计图上容易看出：当实验次数较少时，频率很不稳定，实验次数增大时，频率趋于稳定，稳定在0．5左右．（二）做一做两人一组做掷硬币实验，每组掷40次．将各小组的实验结果汇总，写下表．小组序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（三）大家谈谈观察上面的统计表与统计图，随着投掷次数增加，“正面向上”的频率是如何变化的？是否也逐渐稳定在0.5附近？实际上，当实验次数增大时，频率的波动明显减小，并逐渐稳定到0.5附近。

（四）练习第二课时19.3频率与概率的关系教学目标：知识与技能总结频率的特点及频率和概率的关系；知道用频率估计概率，并逐步学习直接计算简单事件的概率的方法。

过程与方法经历直观猜想、进行实验收集数据、整理并表示数据、分析实验结果、验证猜想过程。

情感态度价值观体会知识点之间的区别与联系。

教学重点难点重点：频率的特点及频率和概率的关系；能够直接计算简单事件的概率。

难点：直接计算简单事件的概率。

教学方法实验法、合作探究、小组讨论教学设计过程：．两个号码的和有多少种可能结果?．每个结果发生的可能性相同吗?第三课时19.3频率与概率的关系教学目标：知识与技能总结频率的特点及频率和概率的关系；知道用频率估计概率，并逐步学习直接计算简单事件的概率的方法。

过程与方法经历直观猜想、进行实验收集数据、整理并表示数据、分析实验结果、验证猜想过程。

(1)一次试验中两张牌的牌面的数字和可能有哪些值?
2,3,4
(2)每人做30次试验,依次记录每次摸得的牌面数字,并根 据试验结果填写下表:
牌面数字和
2
频数
频率
3
4
做一做 5
是“玩家”就玩有用的
探索频率与概率的关系
(3)根据上表,制作相应的频数分布直方图. (4)你认为哪种情况的频率最大? (5)两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一个小组,分别汇总其中两人,三人, 四人,五人,六人的试验数据,相应得到试验60次,90
牌面数字和等于3的频率,它与你的估计 可能性 人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性,用0表示不可能事件发生的可能性.
相近吗?
议一议P158 7
“联想”的功能
探索频率与概率的关系 不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0;
两张牌的牌面数字和等于3的理论概率等于1/2. 类似地,在上面的摸牌试验中,当试验次数很大时,两张牌的牌面数字和等于3的频率也稳定在相应的概率附近.
不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0; 类似地,在上面的摸牌试验中,当试验次数很大时,两张牌的牌面数字和等于3的频率也稳定在相应的概率附近.
和等于3的频率大约是多少?你是怎样估计的? 两张牌的牌面数字和3的频率
(2)每人做30次试验,依次记录每次摸得的牌面数字,并根据试验结果填写下表:
次,120次,150次,180次时两张牌的牌面数字和等于3的
频率,并填写下表,并绘制相应的频数分布直方图.
试验次数
60 90 120 150 180
两张牌的牌面数字和3的频数
两张牌的牌面数字和3的频率
议一议 6

10．3 频率与概率
内容标准
学科素养
1.结合实例，会用频率估计概率． 2.理解频率与概率的区别与联系． 3.能用概率的意义解释生活中的事例.
数学抽象 数学运算
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
[教材提炼] 知识点 频率的稳定性 预习教材，思考问题 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应 的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中， 相应的频率一般也越小．在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复 试验，用频率去估计概率．那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的 大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？
3．在一篇英文短文中，共使用了 6 000 个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使 用了 900 次，则字母“e”在这篇短文中的使用的频率为________． 解析：频率＝6900000＝0.15.
答案：0.15
4．某人进行打靶练习，共射击 10 次，其中有 2 次击中 10 环，有 3 次击中 9 环，有 4 次击中 8 环，有 1 次未中靶． (1)求此人中靶的概率； (2)若此人射击 1 次，则中靶的概率约为多大？击中 10 环的概率约为多大？
解析：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(红桃 2、红桃 3、红桃 4 分别用 2,3,4 表示， 方片 4 用 4′表示)为 (2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′， 3)，(4′，4)，共 12 种． (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌面数字大于 3 的概率为23. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大有 5 种情况：(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′， 3)，数字相等有 2 种情况：(4,4′)，(4′，4)． 故甲胜的概率 P1＝152，乙胜的概率 P2＝152.所以此游戏公平．

停在红色区域的概率吗？
对于这些问题，既
可以通过分析用计算的
方法预测概率，也可以
通过重复试验用频率来
估计概率。
1
能，可以通过理论分析，预言概率为 2
练习 （课本147页练习）用力旋转如图的转盘甲和转盘
乙的指针，求两个指针都停在红色区域的概率.
【解】
转盘甲
转盘乙
在转盘甲中，P（指针停在红色区域）=
在转盘乙中，P（指针停在红色区域）=
P（至少一个点. 数为2）= 36
例：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出
两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？
分析：
解：Βιβλιοθήκη 对于第1从上至下每一条路径就是一
种可能的开结始果,而且每种结
果发生的概率相等.
次抛掷，可能
出现的结果是 第一次
正
反
正面或反面；
对于第2、3次
抛掷来说也是 第二次
（2）你能用理论分析求出“出现两个正面”的概率吗？
正正 反正 正反 反反
出现均等机会结果有
___4____种，“出现两个 正面”结果有___1___种.
这种方法称为通过列 表来求概率
P（出现两个正面）=
试验得到的频率与理论分析计 算出的概率有何关系？
列表法：事件包含两步时，用表格列出事件所有可能出现的结果
前者停为在红3 色，区后域者的只概有率1和。停在蓝色区域的概率不同，
4
4
请你和同学一起做重复试验，并将结果填入表25.2.4， 两个转盘指针停在蓝色区域的频数、频率统计表
请你和同学一起做重复试验，在图25.2.3中用不同颜 色的笔分别画出相应的两天折线。
观察两个转盘，我们可以发现：转盘甲中的蓝 色区域所对的圆心角为900，说明它占整个转盘的 四分之一；转盘乙尽管大一些，但蓝色区域所对的 圆心角仍为900，说明它还是占整个转盘的四分之 一。你能预测指针停在蓝色区域的概率吗？