【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第四章 第22课 同角三角函数间基本关系式要点导学

第22课同角三角函数间基本关系式A 应知应会1.(2015·福建卷)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值为.2.已知tanα=,且α∈,那么sinα=.3.若角α的终边落在第三象限,则+=.4.已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),那么tan α=.5.已知sinθ=,<θ<π.(1)求tanθ的值;(2)求的值.6.(1)已知cos α=-,求sin α,tan α的值.(2)已知α∈,且sin α+2cos α=,求tan α的值.B 巩固提升1.已知2tanα·sinα=3,且-<α<0,那么sinα=.2.已知sin x=2cos x,那么sin2x+1=.3.(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,那么sinθ+cosθ=.4.计算:sin21°+sin22°+…+sin290°=.5.化简:.6.已知sinθ,cosθ是方程x2-(-1)x+m=0的两根.(1)求m的值;(2)求+的值.第22课同角三角函数间基本关系式A 应知应会1.-【解析】由sin α=-且α为第四象限角,得cos α==,所以tan α==-.2.-【解析】因为tanα=>0,且α∈,所以sinα<0.又sin2α====,所以sinα=-.3.-3【解析】由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3.4.-1【解析】由sin α-cos α=,得1-2sin αcos α=2,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=0,所以sinα=-cos α,所以tan α=-1.5.【解答】(1)因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ=.又<θ<π,所以cosθ=-,所以tanθ==-.(2)由(1)知==-.6.【解答】(1)因为cos α=-<0,所以α是第二或第三象限角.①如果α是第二象限角,那么sin α===,tan α===-;②如果α是第三象限角,那么sin α=-=-=-,tan α===.(2)因为解得或所以tan α=或.B 巩固提升1.-【解析】由2tanα·sinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,解得cosα=或cosα=-2(舍去),又-<α<0,故sinα=-.2.【解析】由sin x=2cos x,得tan x=2,所以sin2x+1====.3.-【解析】由得5cos2θ-cosθ-=0,解得cosθ=或cos θ=-.因为θ是第三象限角,所以cosθ=-,从而sinθ=-,所以sinθ+cosθ=-.4.【解析】原式=sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+…+sin244°+sin246°+sin245°+sin290°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)++1=44×1+=.5.【解答】原式=·-==·=.当sinα·cos α>0,即α为第一或第三象限角时,原式=4;当sinα·cosα<0,即α为第二或第四象限角时,原式=-4.综上,原式=4或-4.6.【解答】(1)由韦达定理可得由①得1+2sin θ·cos θ=4-2.将②代入得m=-,满足Δ=(-1)2-4m≥0,故m的值为-.(2)+=+=+==cos θ+sin θ=-1.。

１．同角三角函数的基本关系式（１）平方关系：sin２α＋cos２α＝１；（２）商数关系：tan α＝错误!.２．诱导公式组序一二三四五六角２kπ＋α（k∈Z）π＋α—απ—α错误!—α错误!＋α正弦sin α—sin α—sin αsin αcos αcos_α余弦cos α—cos αcos α—cos_αsin α—sin α正切tan αtan α—tan α—tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]１．已知sin错误!＝错误!，α∈错误!，则sin（π＋α）＝______.答案：—错误!２．若sin θcos θ＝错误!，则tan θ＋错误!的值为________．答案：２１．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．２．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．３．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]１．（２0１9·盐城期中）已知tan（π—α）＝错误!，α是第四象限角，则sin α＝________.解析：因为tan（π—α）＝错误!，所以tan α＝—错误!，因为sin２α＋cos２α＝１，α是第四象限角，所以sin α＝—错误!.答案：—错误!２．化简：错误!＝________.解析：原式＝错误!＝|sin ２—cos ２|，因为sin ２＞0，cos ２＜0，所以原式＝sin ２—cos ２．答案：sin ２—cos ２错误!错误![题组练透]１．（２0１9·启东调研）sin错误!·cos错误!·tan错误!的值是________．解析：原式＝sin错误!·cos错误!·tan错误!＝—sin错误!·错误!·错误!＝—错误!×错误!×（—错误!）＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·镇江中学测试）求值：sin 错误!＋cos错误!＝________.解析：sin 错误!＋cos错误!＝sin错误!＋cos错误!＝sin错误!＋cos 错误!＝sin 错误!＋cos 错误!＝错误!.答案：错误!３．已知tan错误!＝错误!，则tan错误!＝________.解析：tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝—tan错误!＝—错误!.答案：—错误!４．（易错题）设f（α）＝错误!错误!，则f错误!＝________.解析：因为f（α）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以f错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误![谨记通法]１．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”２．利用诱导公式化简三角函数的要求（１）化简过程是恒等变形；（２）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．错误!错误![典例引领]１．（２0１9·昆山一模）已知α∈错误!，tan α＝３，则sin２α＋２sin αcos α＝________.解析：∵α∈错误!，tan α＝３，∴sin２α＋２sin αcos α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．若sin θ，cos θ是方程４x２＋２mx＋m＝0的两个根，则m＝________.解析：由题意得sin θ＋cos θ＝—错误!，sin θ·cos θ＝错误!，又（sin θ＋cos θ）２＝１＋２sin θ·cos θ，所以错误!＝１＋错误!，解得m＝１±错误!，又Δ＝４m２—１6m≥0，解得m≤0或m≥４，所以m＝１—错误!.答案：１—错误![由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[即时应用]１．若sin α＝—错误!，且α为第四象限角，则tan α＝________.解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝错误!＝错误!＝错误!，所以tan α＝错误!＝错误!＝—错误!.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝—错误!，所以可在α的终边上取一点P（１２，—５），则tan α＝错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１9·苏州调研）已知sin θ＋cos θ＝错误!，θ∈（0，π），则tan θ的值为________．解析：∵sin θ＋cos θ＝错误!，１两边平方，得１＋２sin θcos θ＝错误!，∴２sin θcos θ＝—错误!，又θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，∵（sin θ—cos θ）２＝１—２sin θcos θ＝错误!，∴sin θ—cos θ＝错误!，２由１２得sin θ＝错误!，cos θ＝—错误!.∴tan θ＝—错误!.答案：—错误!错误!错误![锁定考向]同角三角函数关系与诱导公式一般不单独考查，常相结合命题，主要考查三角函数值的计算．常见的命题角度有：（１）由同角关系求值；（２）由角的三角函数值求值；（３）由角的关系式求值．[题点全练]角度一：由同角关系求值１．（２0１8·玄武高中检测）已知sin α是方程５x２—7x—6＝0的根，α是第三象限角，则错误!＝________.解析：由已知得sin α＝—错误!.因为α是第三象限角，所以cos α＝—错误!＝—错误!.所以原式＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：由角的三角函数值求值２．（２0１8·启东调研）如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为错误!，∠AOB＝90°.（１）求cos∠COA；（２）求tan∠COB.解：（１）因为A点的坐标为错误!，根据三角函数的定义可得cos∠COA＝错误!.（２）因为∠AOB＝90°，sin∠COA＝错误!，所以cos∠COB＝cos（∠COA＋90°）＝—sin∠COA＝—错误!.又点B在第二象限，所以sin∠COB＝错误!＝错误!，故tan∠COB＝错误!＝—错误!.角度三：由角的关系式求值３．（２0１9·滨海模拟）已知角θ的终边与单位圆x２＋y２＝１在第四象限交于点P，且点P的坐标为错误!.（１）求tan θ的值；（２）求错误!的值．解：（１）由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P错误!，得错误!２＋y２＝１，y＜0，解得y＝—错误!.∴tan θ＝错误!＝—错误!.（２）∵tan θ＝—错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２—错误!.[通法在握]求值问题的一般解题步骤（１）将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简；（２）从已知条件中结合三角函数关系得出需要的结论；（３）代入化简后的所求式子，得出最后的结论．[演练冲关]（２0１9·镇江中学测试）已知sin（π—α）—cos（π＋α）＝错误!，错误!.求下列各式的值：（１）sin α—cos α；（２）sin２错误!—cos２错误!.解：（１）由sin（π—α）—cos（π＋α）＝错误!，得sin α＋cos α＝错误!.１将１式两边平方，得１＋２sin αcos α＝错误!.所以２sin αcos α＝—错误!.又错误!＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α—cos α＞0，所以（sin α—cos α）２＝（sin α＋cos α）２—４sin αcos α＝错误!＋错误!＝错误!，所以sin α—cos α＝错误!.（２）sin２错误!—cos２错误!＝cos２α—sin２α＝（cos α—sin α）（cos α＋sin α）＝错误!×错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．若α∈错误!，sin α＝—错误!，则cos（—α）＝________.解析：因为α∈错误!，sin α＝—错误!，所以cos α＝错误!，即cos（—α）＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·镇江调研）已知α是第二象限角，cos错误!＝错误!，则tan α＝________.解析：∵α是第二象限角，cos错误!＝sin α＝错误!，∴cos α＝—错误!＝—错误!，则tan α＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１8·江苏百校联盟）已知倾斜角为α的直线l与直线x＋２y—３＝0垂直，则cos错误!＝________.解析：由题意可得tan α＝２，所以cos错误!＝—sin ２α＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!４．（２0１8·扬州期末）若点P（３cos θ，sin θ）在直线l：x＋y＝0上，则tan θ＝________.解析：∵点P（３cos θ，sin θ）在直线l：x＋y＝0上，即３cos θ＋sin θ＝0，∴sin θ＝—３cos θ，∴tan θ＝错误!＝—３．答案：—３５．如果sin（π＋A）＝错误!，那么cos错误!的值是________．解析：因为sin（π＋A）＝错误!，所以—sin A＝错误!.所以cos错误!＝—sin A＝错误!.答案：错误!6．若sin θ＋cos θ＝错误!，则tan θ＋错误!＝________.解析：由sin θ＋cos θ＝错误!，得１＋２sin θcos θ＝错误!，即sin θcos θ＝—错误!，则tan θ＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·启东中学高三检测）已知α∈错误!，tan（α—π）＝—错误!，则sin α＋cos α的值是________．解析：已知tan（α—π）＝tan α＝—错误!，又α∈错误!，所以sin α＝错误!，cos α＝—错误!，所以sin α＋cos α＝—错误!.答案：—错误!２．已知sin错误!＝错误!，则cos错误!＝________.解析：因为cos错误!＝sin错误!＝sin错误!＝—sin错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１8·如东中学调研）若f（x）＝sin错误!＋１，且f（２0１8）＝２，则f（２0１9）＝________.解析：因为f（２0１8）＝sin错误!＋１＝sin（１009π＋α）＋１＝—sin α＋１＝２，所以sin α＝—１，cos α＝0．所以f（２0１9）＝sin错误!＋１＝sin错误!＋１＝—cos α＋１＝１．答案：１４．（２0１9·苏州调研）当θ为第二象限角，且sin错误!＝错误!时，错误!＝________.解析：因为sin错误!＝错误!，所以cos错误!＝错误!，所以错误!在第一象限，且cos 错误!＜sin错误!，所以错误!＝错误!＝—１．答案：—１５．计算：错误!＝________.解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!6．已知sin（３π—α）＝—２sin错误!，则sin αcos α＝______.解析：因为sin（３π—α）＝—２sin错误!，所以sin α＝—２cos α，所以tan α＝—２，所以sin αcos α＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!7．已知α为第二象限角，则cos α错误!＋sin α错误!＝________.解析：原式＝cos α错误!＋sin α错误!＝cos α·错误!＋sin α·错误!，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝错误!＋错误!＝—１＋１＝0．答案：08．（２0１9·淮安调研）若tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，则错误!的值为________．解析：∵tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，∴tan α＝２或tan α＝错误!（舍去），∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·如东模拟）（１）化简：错误!；（２）已知cos错误!＝a，求cos错误!＋sin错误!的值．解：（１）原式＝错误!＝１．（２）∵cos错误!＝a，∴cos错误!＋sin错误!＝—cos错误!＋sin错误!＝—a＋cos错误!＝—a＋a＝0．１0．已知—错误!＜α＜0，且函数f（α）＝cos错误!—sin α·错误!—１．（１）化简f（α）；（２）若f（α）＝错误!，求sin αcos α和sin α—cos α的值．解：（１）f（α）＝sin α—sin α·错误!—１＝sin α＋sin α·错误!—１＝sin α＋cos α.（２）法一：由f（α）＝sin α＋cos α＝错误!，平方可得sin２α＋２sin αcos α＋cos２α＝错误!，即２sin αcos α＝—错误!.所以sin αcos α＝—错误!.因为错误!２＝１—２sin αcos α＝错误!，又—错误!＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α—cos α＜0，所以sin α—cos α＝—错误!.法二：联立方程错误!解得错误!或错误!因为—错误!＜α＜0，所以错误!所以sin αcos α＝—错误!，sin α—cos α＝—错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·淮安高三期中）已知sin α＝cos 错误!，0＜α＜π，则α的取值集合为________．解析：由sin α＝cos错误!，得cos错误!＝cos 错误!，因为0＜α＜π，所以—错误!＜错误!—α＜错误!，所以错误!—α＝±错误!，所以α＝错误!或错误!，所以α的取值集合为错误!.答案：错误!２．（２0１9·通州模拟）如图是由４个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是１，小正方形的面积是错误!，则sin２θ—cos２θ的值是________．解析：由图可知，每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ—sin θ，∵小正方形的面积是错误!，∴（cos θ—sin θ）２＝错误!，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，∴cos θ—sin θ＝错误!.又（cos θ—sin θ）２＝１—２sin θcos θ＝错误!，∴２sin θcos θ＝错误!.∴（cos θ＋sin θ）２＝１＋２sin θcos θ＝错误!，∴cos θ＋sin θ＝错误!.∴sin２θ—cos２θ＝（sin θ—cos θ）（cos θ＋sin θ）＝—错误!×错误!＝—错误!.答案：—错误!３．已知f（x）＝错误!（n∈Z）．（１）化简f（x）的表达式；（２）求f错误!＋f错误!的值．解：（１）当n为偶数，即n＝２k（k∈Z）时，f（x）＝错误!＝错误!＝错误!＝sin２x；当n为奇数，即n＝２k＋１（k∈Z）时，f（x）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝sin２x，综上得f（x）＝sin２x.（２）由（１）得f错误!＋f错误!＝sin２错误!＋sin２错误!＝sin２错误!＋sin２错误!＝sin２错误!＋cos２错误!＝１．。

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C.答案 C2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )． A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5 解析 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2， 解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B6．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．100解析 由sin π7＝－sin 8π7，sin 2π7＝－sin 9π7，…，sin 6π7＝－sin 13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S 13＝S 14＝0. 同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0，共14个，所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C 二、填空题7．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案 1258．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sinα＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案 －14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2. (1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 法二 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。

要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值已知sinx=,求cosx与tanx的值.[思维引导]结合同角三角关系式直接求解,但是要注意分类表达.[解答]因为sinx=,所以cosx=±=±=±.当cosx=时,tanx=;当cosx=-时,tanx=-.[精要点评]在平时的训练中要形成“知其一即可知其所有”的意识,即在三角式中若知道某一个三角值,即相当于知道了其他所有的三角值.还要特别注意角的范围或是其他约束条件.已知3sinα=-cosα,求下列各式的值:(1) ;(2) 1+sinαcosα.[思维引导](1) 所求式是关于sinα与cosα的齐次式,若将分式的分子、分母同除以cos2α,则所求式用tanα表示,从而求值;(2) 也可以用tanα表示sin α,cosα,一般地,关于sinα,cosα的齐次式都可化为关于tanα的函数式.[解答]因为3sinα=-cosα,所以tanα=-.(1) 原式==-.(2) 原式=1+=1+=.[精要点评]要善于利用sin2α+cos2α=1作代换.(2014·成都模拟)已知tan(π-α)=,那么=.[答案]-[解析]由tan(π-α)=,得tanα=-,所以===-.利用同角三角函数关系化简、证明求证:=.[分析一]为了消除左、右两边的差异,在左边的分子上凑出1+sinx.[证法一]由cosx≠0,知sinx≠-1,所以1+sinx≠0,故左边=====右边,所以原等式成立.[分析二]内项积=外项积.[证法二]因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx·cosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以=.[分析三]计算左边-右边=0.[证法三]因为-===0,所以原等式成立.[分析四]为了消除左、右两边的差异,在左边的分母凑出“cosx”.[证法四]因为cosα≠0,左边=====右边,所以原等式成立.化简:.[解答]原式====sin α+cos α.sinθ±cosθ及sinθcosθ的关系问题已知0<θ<π,且sin θ+cos θ=-,求tan θ的值.[思维引导]利用sin θ+cos θ的值可以求得sin θcos θ,进而可以知道tan θ的值,注意到0<θ<π,因此解题中应特别留意角θ的范围.[解答]因为sin θ+cos θ=-,两边平方得1+2sin θ·cos θ=,所以sinθ·cos θ=-<0.则sin θcos θ===-,解得tan θ=-或-.而θ∈,所以sin θ>0,cos θ<0,又sin θ+cos θ=-<0,所以|sin θ|<|cos θ|,所以|tan θ|<1,故tan θ=-.[精要点评]本题容易出错,原因在于注意到sin θcos θ=-<0,故tan θ<0.但两解是否都是满足条件,还应考虑sin θ+cos θ=-<0,所以得到|sin θ|<|cos θ|,从而得解.本题还可以根据已知条件求sin θ-cos θ,然后再求sin θ与cos θ的值,进而求tan θ的值.已知sin αcos α=,且<α<,那么cos α-sin α的值是.[答案]-[解析]因为<α<,所以cos α<sin α,所以cos α-sin α<0.而(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α=1-2×=,所以cos α-sin α=-.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.(1) 求sin θ和cos θ的值;(2) 若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.[规范答题](1) a·b=(sin θ,-2)·(1,cos θ)=sin θ-2cos θ=0,(2分) 即sin θ=2cos θ.又sin2θ+cos2θ=1,θ∈,解得sin θ=,cos θ=. (6分)(2) sin(θ-φ)=sin θcos φ-cos θsin φ=, (9分)将sin θ=,cos θ=代入,整理得2cos φ-sin φ=.结合sin2φ+cos2φ=1,0<φ<, (12分)可得cos φ=. (14分)1. 已知α是第二象限角,sinα=,那么cosα=.[答案]-2. 已知tan α=2,那么sin αcos α=.[答案][解析]sin αcos α===.3. 化简:sin2α+cos2αsin2β+cos2αcos2β=.[答案]1[解析]原式=sin2α+cos2α(sin2β+cos2β)=sin2α+cos2α=1.4. 设α是第三象限角,若tan α=,则cos α=.[答案]-[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第43-44页).。