高中数学题库高一部分-A集合与简易逻辑-简单逻辑

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.集合的元素个数是（）．A．59B．31C．30D．29【答案】C【解析】由2n－1＜60，得n＜，又∵n∈N*，∴满足不等式n＜的正整数一共有30个．即集合M中一共有30个元素，可列为1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1，a30=59，n=30的等差数列．集合M中一共有30个元素。

【考点】集合问题2.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算3.（本题满分12分）计算：（1）集合集合求和（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由集合的运算性质可得；（2）利用对数与指数的运算性质，以及公式化简可得试题解析：（1）（2）【考点】1．集合的运算性质；2．对数与指数的运算性质4.（本题满分12分）已知全集，，，（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）首先求解集合A中函数的定义域得到集合A，A,B两集合的交集是由两集合的相同元素构成的集合，A,B并集是由两集合的所有元素构成的集合；（2）由已知得两集合的子集关系，从而得到两集合边界值的大小关系，解不等式求解的取值范围．试题解析：（1）（2）∵∴∴得∴实数的取值范围为【考点】1．集合的交并集运算；2．集合的子集关系5.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，．【答案】-1【解析】由两集合相等可得【考点】集合相等与集合元素特征6.满足的集合A的个数是_______个．【答案】7【解析】符合条件的集合A可以为，，，，，，，共7个．【考点】集合间的关系．7.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．8.（本小题满分14分）已知集合，．（1）求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合【答案】（1）;（2）．【解析】（1）画数轴先求,再求．（2）画数轴分析可得关于关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（1）（2）【考点】集合的运算．9.在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】，所以①错；，所以②错；③④正确．【考点】1．元素与集合的关系；2．集合与集合的关系．10.已知集合，，则A．或B．C．D．【答案】B【解析】由交集的定义可知，，故选B．【考点】集合的运算及表示．【易错点睛】本题主要考查集合的运算与集合的表示方法，属容易题．集合A中的代表元素用的字母为，集合B中的代表元素用的字母为，学生会误认为是两个不同类型的集合，选D，即对两个集合均为数集的含义不清楚导致错误．11.设全集是实数集.，.（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，求出集合，然后将代入就交集和并集即可；（2）若分和求出的取值范围，周求并集即可试题解析：（1）根据题意，由于，当时，，而，所以，，（2），若，则，若，则，，综上，【考点】集合的运算，子集12.（10分）已知，。

求使不等式ax 2+4x -1≥-2x 2-a 对任意实数x 恒成立的a 的取值范围。

答案：由不等式得(a +2)x 2+4x +a -1≥0. ①①对任意x ∈R 成立。

ⅰ）当a =-2时，①化为4x ≥3,当x <43时不成立。

ⅱ）当a <-2时，由二次函数性质①不恒成立。

ⅲ）当a >-2时，△=4×[4-(a +2)(a -1)]≤0，即a 2+a +2≥4，得a ≥2，或a ≤-3，综上所述，a ≥2。

来源：08年数学竞赛专题二题型：解答题，难度：中档a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.答案：D来源：03年上海题型：选择题，难度：中档已知不等式组⎩⎨⎧>+<-+-12022a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。

答案：因为方程x 2-x +a -a 2=0的两根为x 1=a , x 2=1-a ,若a ≤0，则x 1<x 2.①的解集为a <x <1-a ，由②得x >1-2a .因为1-2a ≥1-a ，所以a ≤0,所以不等式组无解。

若a >0，ⅰ）当0<a <21时，x 1<x 2,①的解集为a <x <1-a . 因为0<a <x <1-a <1，所以不等式组无整数解。

ⅱ）当a =21时，a =1-a ，①无解。

ⅲ）当a >21时，a >1-a ，由②得x >1-2a ， 所以不等式组的解集为1-a <x <a .又不等式组的整数解恰有2个，所以a -(1-a )>1且a -(1-a )≤3，所以1<a ≤2，并且当1<a ≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。

高一数学上学期单元测试题(三)——集合与简易逻辑1.集合运算中一定要分清代表元的含义。

[举例]已知集合P={y|y=x2，x∈R}，Q={y|y＝2x，x∈R}求P∩Q。

解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）| y=x2，x∈R}才表示函数图象），P=[0，+ ，Q=（0，+ ，P∩Q=Q。

[提高]A={x｜y=3x+1,y∈Z},B={y｜y=3x+1,x∈Z},求A∩B。

2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

[举例]若A={x|x2<a} B={x|x＞2}且A∩B=Φ，求a的范围（注意A有可能为Φ）。

解析：当a>0时，集A=（- ，），要使A∩B=Φ，则≤2，得0<a≤4,当a≤0时，A=Φ，此时A∩B=Φ，综上：a≤4（A=Φ的情况很容易疏漏！）[巩固]若A={x∣ax=1},B={x∣x2=1}且B∩A=A，求a的所有可能的值的集合。

[关注]A∩B=A等价于A B3.充要条件可利用集合包含思想判定：若A B，则A是B充分条件；若A B，则A 是B必要条件；若A B且A B即A=B，则A是B充要条件。

换言之：由A B则称A是B的充分条件，此时B是A的必要条件；由B A则称B是A的充分条件，此时A是B的必要条件。

有时利用原命题与逆否命题等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。

充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”。

[举例] 若非空集合，则“或”是“”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件解析：命题“或”等价于“∈”，显然是的真子集，∴“或”是“”的必要不充分条件。

[巩固]已知直线、和平面，则‖的一个必要但不充分条件是（）（）‖且‖（）且（）、与成等角（）‖且4.命题“A或B”真当且仅当“A、B中至少要一个真”；命题“A或B”假当且仅当“A、B全假”。

已知命题2:6,:,p x x q x Z -≥∈∧若“p q?”⌝与“q?”同时为假命题，求x 的值。

答案：q p ∧ ⌝与“q?同时为假命题，所以p 为真，q 为假。

故⎩⎨⎧<-∈6||2x x Z x 2,1,0,1-=x来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A.()p q ⌝∨B.p q ∧C.()()p q ⌝∧⌝D.()()p q ⌝∨⌝答案：D来源：08年高考广东卷题型：选择题，难度：中档已知：命题1:()p f x -是()12f x x =-的反函数，且1|()|2f a -<；命题:q 集合2{|10,},{|0}A x x ax x R B x x =++=∈=>，且AB φ=，试求实数a 的取值范围使得命题,p q 有且只有一个真命题答案：因为()12f x x =-，所以11()2x fx --= ………………………………（1分） 由1|()|2f a -<得1||22a -<，解得35a -<< ………………………………（3分） 因为A B φ=，故集合A 应分为A φ=和A φ≠两种情况（1）A φ=时，24022a a ∆=-<⇒-<< …………………………………（6分）（2）A φ≠时，2124020a a x x a ⎧∆=-≥⇒≥⎨+=-<⎩ ……………………………………（8分） 所以A B φ=得2a >- …………………………………………………（9分） 若p 真q 假，则32a -<≤-…………………………………………………………（10分）若p 假q 真，则5a ≥ ……………………………………………………………（11分） 故实数a 的取值范围为32a -<≤-或5a ≥………………………………………（12分）来源：08年高考荆州中学月考一题型：解答题，难度：中档“△ABC中,若∠C=90°,则∠A.∠B都是锐角”的否命题为:_______________，否定形式是_____________-答案：否定形式：△ABC中,若∠C=90°,则∠A.∠B不都是锐角”否命题：△ABC中,若∠C≠90°,则∠A.∠B不都是锐角”来源：09年福建省福州市月考一题型：填空题，难度：中档若把命题“A⊆B”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是，其中构成它的两个简单命题分别是_____________________。

集合与简易逻辑知识点系，而、、的关系是（B.{0}∈{0} D.B.0≠}A{3}{1A Ap一个实数一个实数(p∧q)＝p∨q(q)))第一章集合与简易逻辑测试题一、选择题1.集合A={x|x≤}，a=3，则 ( )A.a AB.a AC.{a}∈AD.{a} A2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是 ( )A.S Q MB.S=Q MC.S Q=MD.S Q=M3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是 ( )A.2B.3C.4D.55.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是 ( )A.a≤10B.a≥9C.a≤9D.9≤a≤106.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为 ( )A.0＜a＜1B.0＜a≤1C.a＞1D.a≥17.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( )A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4}B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4}C.{1，2，3，4}D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3}8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是 ( )A.0＜m≤3B.m≥9或m≤1C.0＜m≤1D.m＞99.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是 ( )A.P：3是偶数；q：4是奇数B.P：3+2=6；q：3＞2C.P：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}D.p：Q R；q：N=N+10.对于实数x、y，条件A：|x|≤1且|y|≤1；条件B：|x|+|y|≤1；条件C：x2+ y2≤1.则正确的是 ( )A.B是C的充分不必要条件；A是C的必要不充分条件B.B是C的必要不充分条件；A是C的充分不必要条件C.C是A的必要不充分条件；C是B的充分不必要条件D.C是A的充要条件；B是A的既不充分也不必要条件11.若a、b为实数，则ab(a-b)＜0成立的一个充要条件是 ( )A.0＜＜B.0＜＜C.＜D.＜12.给出以下四个命题：p：若x2-3x+2=0，则x=1或x=2；q：若2≤x＜3，则(x-2) (x-3)≤0；r：若x=y=0，则x2+y2=0；s：若x、y∈N，x+y是奇数，则x、y中一个是奇数一个是偶数，那么 ( )A.p的逆命题为真B.q的否命题为真C.r的否命题为假D.s的逆命题为假二、填空题13.已知集合M={x|x∈N+，且8-x∈N+}，则M中只含有两个元素的子集的个数有__ __个.14.已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|a＜x＜a+3}，满足A B=，则实数a的取值范围是____.15.“若a+b是偶数，则a、b必定同为奇数或偶数”的逆否命题为____.16.已知集合M{0，1，2，3，4}，且M{0，2，4，8}，则集合M中最多有____个元素.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知三元素集合A={x，xy，x-y}，B={0，|x|，y}，且A=B，求x与y的值.18设集合A={|a+1|，3，5}，集合B={2a+1，a2+2a，a2+2a-1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B.19.设A={x|-2＜x＜-1，或x＞1}，B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x＞-2}，A ∩B={x|1＜x≤3}，试求a，b的值.20.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|0＜m＜x＜n}，求关于x的不等式cx2-bx +a＜0的解.21.已知集合A={x|1＜|x-2|＜2}，B={x|(x-a)(x-1)＜0，a≠1}，且A∩B≠，试确定a的取值范围.22关于实数x的不等式与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A、B(1)求集合A、B(2)若A B，求此时a的取值范围.参考答案一、选择题1-12：DCCBC CACBB DA二、填空题13.21个14.a≥2或a≤-415.“若a、b不同为奇数且不同为偶数则a+b不是偶数”16.3个三、解答题17.解：∵0∈B，A=B，∴0∈A∵集合A为三元素集，∴x≠xy，∴x≠0，y≠1又∵0∈B，y∈B，∴y≠0从而，x-y=0，x=y这时，A={x，x2，0}，B={0，|x|，x}∴x2=|x|，x=0(舍去)或x=1(舍去)，或x=-1经验证x=-1，y=-1是本题的解.18.解：∵|a+1|=2，∴a=1或a=-3当a=1时，集合B的元素a2+2a=3，2a+1=3，由集合的元素的互异性可知，a≠1当a=-3时，集合B={-5，3，2}∴A∪B={-5，2，3，5}19.解：由A∪B={x|x＞-2}，A∩B={x|1＜x≤3}得B={x|-1≤x≤3}，根据二次不等式与二次方程的关系，可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.∴a=-(-1+3)=-2，b=(-1)×3=-320.解：m＜x＜n(x-m)(x-n)＜0x2-(m+n)x+mn＜0，对照-ax2-bx-c＜0，∴，∴a=-k，b=k(m+n)，c=-kmn，代入cx2-bx+a＜0，∴-kmnx2-k(m+n)x-k＜0，mnx2+(m+n)x+1＞0，∵0＜m＜n，∴∴所求不等式的解集为21.解：A={x|1＜|x-2|＜2}={x|0＜x＜1，或3＜x＜4}(1)当a＞1时，B={x|1＜x＜a}∵A∩B≠∴a＞3(2)当a＜1时，B={x|a＜x＜1}∵A∩B≠∴a＜1综合(1)、(2)可知，a的取值范围是a＜1，或a＞322.解：(1)A==={x|2a≤x≤a2+1}B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0}={x|(x-2)(x-3a-1)≤0}当a≤时，B={x|3a+1≤x≤2}当a＞时，B={x|2≤x≤3a+1}(2)当a≤时，若，则2a≥3a+1且a2+1≤2得a=-1当a＞时，若，则2a≥2且a2+1≤3a+1得1≤a≤3∴a的取值范围是：a=-1，或1≤a≤3。

人教A 版高一数学第一章《集合与常用逻辑用语》单元练习题（含答案）一、单选题（每小题5分，共60分）1．下列说法中正确的有（ ）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R 表示实数集； ④不大于3的所有自然数组成一个集合.A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）①1-∈N *；Z ；③32∈Q ；④π∈QA ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 3．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若集合{}2|1,{|1}A x x B x mx ====且B A ⊆，则实数m 的集合为（ ） A ．{1,0,1}- B ．{1,1}- C ．{1,0}- D ．{0,1} 5．已知全集{}12345U =，，，，，集合{}24A =，，{}34B =，，则A ∪（ U B ）=（ ）. A ．{}234，， B ．{}1245，，， C ．{}25， D ．{}26．已知集合{}|0A x x a =-=，{}|10B x ax =-=，且A B B =，则实数a 等于（ ）A ．1B ．1-或1C ．1或0D ．1或1-或0 7．已知集合A =(3，+∞)，集合B ={x |3x >9}，则x ∈A 是x ∈B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．若a 、b 、R c ∈，则“a b <”是“22ac bc <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x -+≥B ．x R ∀∈，2230x x -+≥C ．x R ∃∉，2230x x -+≥D ．x R ∀∉，2230x x -+≥10．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1lg x x +>，则p 的否定是（ ）A ．()0,x ∃∈+∞，1lg x x +>B ．()0,x ∀∈+∞，1lg x x +≤C ．()0,x ∃∈+∞，1lg x x +≤D ．()0,x ∀∈+∞，1lg x x +< 11．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 12．设M 、P 、S 为三个集合，“M P ⊆”是“()()P S M S ⋂⊇⋂”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．充要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要二、填空题（每小题4分，共24分）13．若x ∈N ，则满足250x -<的元素组成的集合中所有元素之和为________.14．设集合1|,2x M y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， ()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是_________.15．设参加某会议的代表构成集合A ，其中的全体女代表构成集合B ，全体男代表构成集合C ，则B C =∪______．（填“A ”或“B ”或“C ”）16．“a b >”是“22a b >”的__________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）．17．1x ∀>，2210x x -+>的否定是___________.18．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是______________________ .三、解答题（共66分）19．已知{2A a =-，225a a +，6}，且3A -∈，求实数a .20．已知集合{}22,,A x x m n m n ==-∈Z ．求证：偶数()42k k -∈Z 不属于集合A ．21．在①A ∩B =A ，②A ∩(R B )=A ，③A ∩B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{}2|280B x x x =--≤. （1）当2a =时，求A ∪B ；（2）若______，求实数a 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.22．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=． （1）若A 是空集，求实数a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值．23．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}．（1）求A B ，()R B A ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．24．已知全集{}4U x x =≤，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，求 （1）()U A B（2）()U A B .25．设命题:p 实数x 满足302x x -≤-：命题:q 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >. （1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围：（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数2a 的取值集合.26．设:p 实数a 满足不等式3113a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点.若p q ∧为真命题，并记为r ，且1:2t a m >+或a m <.若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.27．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p ，则q ”的形式. （1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；（3）当x y +是有理数时，,x y 都是有理数；（4）1232014++++；（5）这盆花长得太好了！参考答案1．B2．B3．C4．A5．B6．D7．A8．B9．B10．C11．D12．A13．314．()1,0-15．A16．既不充分也不必要17．01x ∃>，200210x x -+≤18．1a ≤19．32a =- 21．（1）A ∪B ={}|27x x -≤＜；22．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =或98a = 23．（1）A ∩B ＝{x |2＜x ＜6}，()R B A ＝{x | x ＜6或x ≥9}；（2）{a |2≤a ≤8}． 24．（1）{|2x x ≤或}34x ≤≤；（2）{|3x x <-或34}x ≤≤. 25．（1）](2,3；（2）(]1,4.26．512m ≤≤ 27．（2）（3）为命题，（2）为真命题，改写成“若p ，则q ”的形式是：在ABC 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，若A B >，则a b >.（3）为假命题，改成“若p ，则q ”的形式是：若x y +为有理数，则,x y 为有理数.。

第一章 集合与简易逻辑(一)●知识网络集合集合的有关概念集合与元素补集解含绝对值的不等式并集解简单分式不等式集合与集合交集解一元二次不等式集合的运算集合的应用●范题精讲【例1】 已知集合A 、B 是全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A ∩B ={2},(U A )∩(U B )={1,9},(U A )∩B ={4,6,8},求A 、B.UAB 4,6,83,5, 721,9分析:作出文氏图，利用数形结合法求解本题.解:由图可得A ={2，3，5，7},B ={2，4，6，8}.【例2】 已知A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +8=2},C ={x |x 2+2x -8=0}.若∅A ∩B ,且 A ∩C =∅,求a 的值.解:∵B ={x |(x -3)(x -2)=0}={3,2}, C ={x |(x +4)(x -2)=0}={-4,2}, 又∵∅A ∩B , ∴A ∩B ≠∅. 又∵A ∩C =∅,∴可知-4∉A ,2∉A ,3∈A. ∴由9-3a +a 2-19=0， 解得a =5或a =-2.①当a =5时，A ={2,3}，此时A ∩C ={2}≠∅,矛盾， ∴a ≠5；②当a =-2时，A ={-5,3}，此时A ∩C =∅, A ∩B ={3}≠∅,符合条件. 综上①②知a =-2.评注:求出a 值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果.【例3】 解关于x 的不等式x 2-(a +a1)x +1＜0(a ≠0). 分析:解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复.解:原不等式化为(x -a )(x -a1)＜0, ∴相应方程的根为a 、a1. 当a ＞a 1，即-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜a }. 当a =a 1，即a =±1时，解集为∅.当a ＜a 1，即0＜a ＜1或a ＜-1时，解集为{x |a ＜x ＜a1 }.综上，当-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a1＜x ＜a };当a =±1时，解集为∅；当0＜a ＜1或a ＜-1时，解集是{x |a1＜x ＜a }.评注:解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题.【例4】 已知A ={x ||x -a |≤1},B ={x |3302x--x-x ≥0},且A ∩B =∅，求a 的取值范围.分析:先利用解含绝对值不等式的方法及积的符号法则解不等式，求出A 和B ，再利用数轴表示出A 和B (如下图所示)，得到A ∩B =∅时应满足的条件，从而求出a 的取值范围.解:A ={x ||x -a |≤1}={x |a -1≤x ≤a +1}.不等式3302x--x-x ≥0,即()()356x-x x +-≥0, 其解集是⎩⎨⎧≥+>05)6)(-(0,3-x x x 与⎩⎨⎧≤+-<-0)5)(6(,03x x x 的解集的并集.解得不等式3302x--x-x ≥0的解集是{x |x ≥6}∪{x |-5≤x ＜3}={x |x ≥6或-5≤x ＜3}.所以B ={x |-5≤x ＜3或x ≥6}. 要使A ∩B =∅，必须满足a +1＜-5或⎩⎨⎧<+≥-,61,31a a即a ＜-6或4≤a ＜5.所以，满足条件的a 的取值范围是a ＜-6或4≤a ＜5.评注:将集合A 、B 都标在数轴上，借助于图形直观性找到需满足的条件，再转化为与之等价的关于a 的不等式组.这种数形结合的数学思想很重要.●试题详解高中同步测控优化训练(一) 第一章 集合与简易逻辑(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A 答案:C2.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则A ∩(U B )等于A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3} 解析:∵U ={1,2,3,4,5},B ={2,5}, ∴U B ={1,3,4}.∴A ∩(U B )={1,3}.答案:D3.已知集合S={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由于集合中的元素是互异的,所以a 、b 、c 互不相等,即△ABC 一定不是等腰三角形. 答案:D4.集合A ={x ∈R |x (x -1)(x -2)=0}，则集合A 的非空子集的个数为A.4B.8C.7D.6解析:集合A ={0，1，2}，共有23=8个子集，其中非空子集有7个，故选C.这里特别注意{0}≠∅.答案:C5.已知集合A ={x ||2x +1|>3},B ={x |x 2+x -6≤0},则A ∩B 等于A.(-3,-2］∪(1,+∞)B.(-3,-2］∪［1,2)C.［-3,-2)∪(1,2］D.(-∞,-3］∪(1,2］ 解析:A ={x ||2x +1|>3}={x |2x +1>3或2x +1<-3}={x |x >1或x <-2}, B ={x |x 2+x -6≤0}={x |-3≤x ≤2}(如下图).答案:C6.已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ，那么a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.0，1或-1解析:因为由x 2=1得x =±1，所以P ={-1,1}.又因为Q ⊆P ，所以分Q =∅和Q ≠∅两种情况讨论.(1)若Q =∅，则a =0；(2)若Q ≠∅，则a ≠0，Q ={x |x =a1}，所以a =-1或1.综合(1)(2)可知，a 的值为0，1或-1. 答案:D7.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是A.(U P )∪Q =UB.( U P )∩Q =∅ C.P ∪Q =Q D.P ∩(U Q )=∅UPQ解析:由文氏图知(U P )∩Q ≠∅.答案:B8.不等式组⎩⎨⎧>+>03,42a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值范围是A.a ≤-6B.a ≥-6C.a ≤6D.a ≥6答案:B9.若|x +a |≤b 的解集为{x |-1≤x ≤5},那么a 、b 的值分别为A.2，-3B.-2，3C.3，2D.-3，2 答案:B10.设全集U =R ，集合E ={x |x 2+x -6≥0}，F ={x |x 2-4x -5＜0}，则集合{x |-1＜x ＜2}是A.E ∩FB.( U E )∩FC.(U E )∪(U F )D. U (E ∪F )解析:E ={x |x 2+x -6≥0}={x |x ≤-3或x ≥2}, F ={x |x 2-4x -5＜0}={x |-1＜x ＜5}. 借助数轴知{x |-1＜x ＜2}=(U E )∩F .答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0}.若S ∩T ={(2,1)},则a =_______,b =_______.解析:由S ∩T ={(2,1)},可知⎩⎨⎧==1,2y x 为方程组⎩⎨⎧=--=-+0,03b y x y ax 的解，解得⎩⎨⎧==.1,1b a答案:1 112.已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =_______. 解析:∵M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },∴N ={0,2,4}.∴M ∩N ={0,2}. 答案:{0,2}13.不等式1-x ax＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a 的值为________. 解析:由1-x ax＜1得［(a -1)x +1］(x -1)＜0，由不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞2}知，1、2为方程［(a -1)x +1］(x -1)=0的两根，∴(a -1)×2+1=0.∴a = 21. 答案: 2114.不等式3)2(-+x x x <0的解集为_______. 解析:原不等式x (x +2)(x -3)<0.如下图,由数轴穿根法可知原不等式的解集为{x |0<x <3或x <-2}.答案:{x |0<x <3或x <-2}三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2}.若A =B ，求实数c 的值.解:若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a ⇒a +ac 2-2ac =0, 所以a (c -1)2=0,即a =0或c =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当c =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22⇒2ac 2-ac -a =0. 因为a ≠0，所以2c 2-c -1=0, 即(c -1)(2c +1)=0. 又c ≠1，所以只有c =-21. 经检验，此时A =B 成立.综上所述c =-21. 16.(本小题满分10分)设集合A ={x ||x -a |<2},B ={x |212+-x x <1},若A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:A ={x |-2<x -a <2}={x |a -2<x <a +2},∵212+-x x <123+-x x <0(x +2)(x -3)<0-2<x <3,∴B ={x |-2<x <3}. 如下图,∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧≤+-≥-.32,22a a解得0≤a ≤1.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.解:A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2},由x 2-ax +3a -5=0，知Δ=a 2-4(3a -5)=a 2-12a +20=(a -2)(a -10). (1)当2＜a ＜10时，Δ＜0,B =∅⊆A ;(2)当a ≤2或a ≥10时，Δ≥0，则B ≠∅. 若x =1，则1-a +3a -5=0,得a =2, 此时B ={x |x 2-2x +1=0}={1}⊆A ;若x =2，则4-2a +3a -5=0，得a =1, 此时B ={2,-1} A.综上所述，当2≤a ＜10时，均有A ∩B =B .18.(本小题满分12分)解不等式：(1)1＜|x -2|≤3;(2)|x -5|-|2x +3|＜1.分析:解含绝对值的不等式应根据绝对值的概念去掉绝对值符号，(2)中可采用零点分区间法去绝对值符号.(1)解法一:原不等式即⎪⎩⎪⎨⎧≤->-.32,12x x由①得x ＜1或x ＞3.由②得-1≤x ≤5(如图).所以原不等式的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.⎩⎨⎧≤-<≥-321,02x x 或⎩⎨⎧≤--<<-,3)2(1,02x x 即1＜x -2≤3或-3≤x -2＜-1,解得3＜x ≤5或-1≤x ＜1.所以原不等式组的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. (2)解:①当x ≥5时，原不等式可化为 (x -5)-(2x +3)＜1, 解得x ≥5.②当-32≤x ＜5时，原不等式可化为-(x -5)-(2x +3)＜1, 解得31＜x ＜5.① ②③当x ＜-32时，原不等式可化为 -(x -5)+(2x +3)＜1,解得x ＜-7. 综上可知，原不等式的解集为{x |x ＞31或x ＜-7}. 19.(本小题满分12分)已知U ={x |x 2-3x +2≥0},A ={x ||x -2|＞1},B ={x |21--x x ≥0},求A ∩B , A ∪B ,(U A )∪B ,A ∩(U B ).解:∵U ={x |x 2-3x +2≥0}={x |(x -2)(x -1)≥0}={x |x ≥2或x ≤1}, A ={x ||x -2|＞1}={x |x -2＞1或x -2＜-1}={x |x ＞3或x ＜1},B ={x |⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(1(x x x }={x |x ＞2或x ≤1}.由图(1)可知,A ∩B ={x |x ＞3或x ＜1},A ∪B ={x |x ＞2或x ≤1}.图(1)由图(2)可知U A ={x |2≤x ≤3或x =1},易知U B ={x |x =2}.图(2)由图(3)可知,(U A )∪B ={x |x ≥2或x ≤1}=U .图(3)由图(4)可知,A ∩(U B )=∅.图(4)。

已知二次函数()2f x ax bx c =++. 〔1〕若()10f -=,试判断函数()f x 零点个数；<2>是否存在,,a b c R ∈,使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-,且()0f x 的最小值是；②对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-。

若存在,求出,,a b c 的值,若不存在,请说明理由。

答案：〔1〕()10,0,f a b c -=∴-+=b a c =+2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-当a c =时0∆=,函数()f x 有一个零点；当a c ≠时,0∆>,函数()f x 有两个零点。

<2>假设,,a b c 存在,由①知抛物线的对称轴为x ＝－1,且min ()0f x = ∴241,024b ac b a a--=-= ∴222,444b a b ac a ac a c ==∴=∴=由②知对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=由12a b c b a a c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b ===,当11,42a c b ===时,221111()(1)4244f x x x x =++=+,其顶点为〔－1,0〕满足条件①,又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-,满足条件②。

∴存在,,a b c R ∈,使()f x 同时满足条件①、②。

来源：09年####市月考一题型：解答题,难度：中档命题"对任意的2310x R x x ∈-+≤，"的否定是A.存在2310x R x x ∈-+≤，B.存在2310x R x x ∈-+≤，C.存在2310x R x x ∈-+>，D.对任意的2310x R x x ∈-+>，答案：C来源：09年##师大附中月考一题型：选择题,难度：中档用符号"∀"与"∃"表示含有量词的命题:〔1〕实数的平方大于等于0_______________________________〔2〕存在一对实数 x,y,使2x ＋3y ＋3>0成立 。

第一章 集合与简易逻辑三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________。

2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________。

3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个。

4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________。

5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________。

6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个。

7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________。

8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________。

9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________。

10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________。

11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11。

如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由。

12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围。

四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D2、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、命题“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是（）A．∃x≥0,x2+ax−1<0B．∃x≥0,x2+ax−1≥0C．∃x<0,x2+ax−1<0D．∃x<0,x2+ax−1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax−1<0”.故选：C5、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.6、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.7、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．10、已知全集U=Z，集合A={x|2x+1≥0,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，则（）A．A∩B={0,1,2}B．A∪B={x|x≥0}C．(∁U A)∩B={−1}D．A∩B的真子集个数是7答案：ACD分析：求出集合A，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.A={x|2x+1≥0,x∈Z}={x|x≥−1,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，2A∩B={0,1,2}，故A正确；A∪B={x|x≥−1,x∈Z}，故B错误；,x∈Z}，所以(∁U A)∩B={−1}，故C正确；∁U A={x|x<−12由A∩B={0,1,2}，则A∩B的真子集个数是23−1=7，故D正确.故选：ACD11、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．填空题12、请写出不等式a>b的一个充分不必要条件___________．答案：a>b+1 (答案不唯一)分析：根据充分不必要条件，找到一个能推出a>b，但是a>b推不出来的条件即可.因为a>b+1能推出a>b，但是a>b不能推出a>b+1，所以a>b+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，所以答案是：a>b+1（答案不唯一）13、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2, 2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]14、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．解答题15、已知集合A={x|−1≤x≤2},B={y|y=ax+3,x∈A}，C={y|y=2x+3a,x∈A}，（1）若∀y 1∈B ，∀y 2∈C ，总有y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；（2）若∀y 1∈B ，∃y 2∈C ，使得y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围； 答案：（1）a ≥5；（2）a ≥−14. 分析：（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，由题设可得y 1max ≤y 2min ，建立不等式组，解之可得答案. （2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，建立不等式组，解之可得答案.（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，其中−1≤x ≤2， 由题设可得y 1max ≤y 2min ，即y 1max ≤3a −2，故{−a +3≤−2+3a 2a +3≤−2+3a ， 解得a ≥5.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，故{−a +3≤4+3a 2a +3≤4+3a ，解得a ≥−14.。