一元二次方程章节重点知识点复习教学提纲

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料习是一架保持平衡的天平，一边是付出，一边是收获，少付出少收获，多付出多收获，那么你们知道关于初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料大全，欢迎参阅。

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

九上数学第21章《一元二次方程》知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。

注意：若b<0，方程无解(2)因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

(3)配方法：用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解(4)公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根0∆<⇔方程无实根3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

《一元二次方程》第一节认识一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义（重点）（温馨提示：紧扣定义理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，这三个要素必须同时满足，缺一不可。

）例题1：下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2-1对应练习1：下列方程是一元二次方程的是（）A． B．2x-3y+1=0 C．（x-3）（x-2）=x2 D．（3x-1）（3x+1）=3 知识点二：一元二次方程的一般形式（重点）（温馨提示：一元二次方程的一般形式的特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式，其中a≠0是重要组成部分。

）例题1、一元二次方程2x2-5x-7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5；2；7 B．2；-5；-7 C．2；5；-7 D．-2；5；7对应练习1：把一元二次方程（1-x）（2-x）=3-x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（）A．2、3、-1 B．2、-3、-1 C．2、-3、1 D．2、3、1对应练习2：下列一元二次方程是一般形式的为（）A．（x-1）2=0 B．3x2-4x+1=0 C．x（x+5）=0 D．（x+6）2-9=0对应练习3：把方程（x-1）2+2=2x（x-3）化为一般形式是，其中二次项是，一次项系数是．知识点三：一元二次方程的解温馨提示：根据方程的解的定义，用代入法和整体思想求代数式的值。

例题1、已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式2m2-4027m-2+ 的值．对应练习1：（2016•攀枝花）若x=-2是关于x的一元二次方程x2+ax-a2=0的一个根，则a的值为（）A．-1或4 B．-1或-4 C．1或-4 D．1或4对应练习2：[易错题哦～～～]（2016•济宁二模）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（）A．-1 B．1 C．1或-1 D．-1或0知识点四：根据实际问题列一元二次方程（重点）例题1：（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=0第二节：用配方法求解一元二次方程（温馨提示：适用方程为一边是未知数或含有未知数的代数式的平方，另一边是非负．．常数。

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx ---=是关于x的一元二次方程时，m =．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=， ∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．。

一元二次方程复习一、知识系统：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数1、概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。

理解：⎩⎨⎧≠=02a x 的最高次数 21） 2） 配方法：02=++c bx ax （适用所有方程，但方程易化成022=++C kx x 的形式）|3） 公式法：02=++c bx ax 有根的前提△≥0，a ac b b x 2422,1-±-= 4） 因式分解法：能用公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法对左边c bx ax ++2分解成：()()21x x x x a --3、实际应用（与二次函数最值联系）：面积、增长率、销售等%4、根的判别式、根系关系：)0(02≠=++a c bx ax￥根系关系：ab a b b a b a b x x -=∆--∆+-=∆--+∆+-=+22221,()a c aac b b a b a b a b x x =--=∆--=∆--⋅∆+-=⋅22222221444)()(22 5、二次函数c bx ax y ++=2，令y=0变为一元二次方程02=++c bx ax ，抛物线与x 轴的两交点横坐标21,x x 则为方程02=++c bx ax 的两根。

二、例题：1、若032)1(12=+--+x x m m是关于x 的一元二次方程，求这个方程的根。

%2、用适当方法解下列方程：①61232=+x x ②x x 210)5(32-=- ③0222=--x x\3、已知关于x 的方程：0362=++x x ,不解方程求下列式子的值：①21x x + ②21x x ⋅ ③2221x x + ④1221x x x x + ⑤3231x x + ⑥222316122x x x ++-$ 4、已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ，①求证：无论m 取什么实数，方程总有两个不同的实数根。

一元二次方程复习提纲考点一：概念（1）定义：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。

（2）一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

（3）判断一元二次方程的依据：①只含有一个未知数。

② 是整式方程。

③ 二次项系数不为“0”。

④ 未知数最高次数是“2”。

典型例题：1、下列是关于x 的一元二次方程的是（ ）2、方程2269x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )．A 、629，，B 、269-，，C 、269--，，D 、 269-，， 3若方程2210mx x -+=是关于x 的一元二次方程，则m ．4、当m 时，方程mx 2-3x =2x 2-mx +2 是一元二次方程考点二：一元二次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值典型例题：关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为( ).(A) 1 (B) 1- (C) 1或1- (D)21. 考点三：一元二次方程的解法1、直接开平方法适用方程特征：()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±= 典型例题：(1) x 2 = 5 (2)(y+2)2=3 (3)2(3a-1)2-1=022221 320 B 2x +y-1=0 C x 00 D x xA x -+==、、、、适用方程特征：方程左边可以化为两个因式的乘积，右边是0，即形如 (x+a)(x+b)=0的方程都可以用因式分解法。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

典型例题：解方程（1）3x 2 = 2x (2) 0)1(3)1(2=-+-x x x(3) 22)12()3(+=-x x (4)y 2 =3y +43、配方法即通过配方将方程化为（x+a ）2=b(b ≥0)的形式，再用直接开平方法求解。

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=b 1x=-a+b 2x=-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx242(b2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2 －4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。

一元二次方程复习提纲数学是初中学习中的一个重要科目，是三大主科之一，但是有许多同学的数学成果并不志向，以下是我给大家整理的一元二次方程复习提纲，盼望对大家有所协助，欢送阅读!一元二次方程复习提纲一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简洁题目。

2.驾驭通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，驾驭依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用娴熟驾驭以上学问解决问题。

二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.判定一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领悟降次──转化的数学思想。

5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3.用公式法解一元二次方程时的探讨。

4.通过依据平方根的意义解形如x2=n，学问迁移到依据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区分。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

7.学问框架四、学问点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数次数是2;(3)是整式方程。

要判定一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理。

假如能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，那么这个方程就为一元二次方程。

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。

下面将对这些解法进行讲解。

一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。

具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。

例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。

二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。

具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。

例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。

三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。

方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。

2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。

0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

当Δ < 0时，方程无实数根。

3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。

4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。

三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。