高一数学教案：苏教版高一数学向量的数乘4

2．2.3 向量的数乘(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．(3)掌握向量共线的条件．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：数乘向量的运算及其几何意义．难点：两向量共线的含义及共线定理．(教师用书独具)●教学建议1．关于数乘向量的概念的教学教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．●教学流程创设问题情境，引入向量数乘的概念，并引导学生探究向量数乘的运算律.⇒引导学生结合向量数乘的定义及共线向量的定义，探究向量共线定理的推导和证明.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握进行向量数乘基本运算的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握结合向量数乘运算，用已知向量表示未知向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用向量共线定理解决有关三点共线问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】我们知道a ＋a ＋a ＝3a ，那么a ＋a ＋a 是否等于3a ？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？ 【提示】 a ＋a ＋a ＝3a ，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？【提示】结合律，分配律．(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)【问题导思】若b＝2a，b与a共线吗？【提示】根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.(1)化简23[(4a －3b)＋13b －14(6a －7b)]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b)－(a －23b)＋(2b －a)．【思路探究】 去括号→合并共线向量→化简． 【自主解答】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b] ＝23(52a －1112b)＝53a －1118b. (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j)＋53(2i －j)＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j ＝－53i －5j.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．计算：(1)(－7)×(6a)；(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)．【解】(1)(－7)×(6a)＝－42a.(2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)＝a＋(2b－2b)＋(c＋6c)＝a＋7c.图2－2－21如图2－2－21，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.【思路探究】 由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE →均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →表示，从而问题可解．【自主解答】 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ， 又D ，E 为边AB 的两个三等分点， 所以AD →＝13AB →＝23b －a ，所以CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a)＝a ＋43b.用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．若本例条件不变，如何求BD →？【解】 BD →＝23BA →＝－23(2b －3a)＝2a －43b ，或BD →＝BC →＋CD →＝－2b ＋2a ＋23b ＝2a －43b.已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果AB →＝e1＋e2，BC →＝2e1＋8e2，CD →＝3(e1－e2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k 的值．【思路探究】 对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． 【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e1＋e2，BD →＝BC →＋CD →＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k －λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】 BD →＝CD →－CB →＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.对向量共线定理理解不透致误图2－2－22如图2－2－22所示，在△ABC中，已知D，E 分别为BC ，AC 的中点，若AD →＝m ，BC →＝a ，试用a ，m 表示DE →. 【错解】 由题意知DB →＝12BC →＝12a ，AB →＝AD →＋DB →＝m ＋12a.∵DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，∴DE →＝12AB →＝12m ＋14a.【错因分析】 DB →与BC →共线，D 为BC 的中点，但DB →与BC →的方向相反，所以DB →＝－12BC →＝－12a.DE→与AB →平行且方向相反，故DE →＝－12AB →.【防范措施】 正确理解向量共线的充要条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa.当b 与a 同向时，λ＞0，b 与a 反向时，λ＜0. 【正解】 ∵D 为BC 的中点，∴DB →＝－12BC →＝－12a ，∴AB →＝AD →＋DB →＝m －12a.又∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点， ∴DE →＝－12AB →＝－12m ＋14a.1．向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|＜1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．2．准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b ＝λa(a≠0)，则a 与b 共线；反之，若a 与b 共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b ＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a ＝b ＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不惟一，定理的正反两个方面不成立．(3)若a ，b 不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.1．化简5(3a －2b)－4(2b －3a)的结果为________．【解析】 5(3a －2b)－4(2b －3a)＝15a －10b －8b ＋12a ＝27a －18b. 【答案】 27a －18b2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向量AB →＝a ，向量AC →＝b ，则向量AD →＝________(用向量a ，b 表示)．【解析】 延长AD 到E ，使AD ＝DE ，则四边形ABEC 是平行四边形， 则AD →＝12AE →＝12(a ＋b)．【答案】 12(a ＋b)3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量； ③存在λ∈R ，b ＝λa；④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0.【解析】 由两个非零向量a ，b 共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是． 【答案】 ④4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线．【证明】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b)＝a ＋5b ＝AB →， ∴BD →与AB →共线．又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|； ④|λa|>0.【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa|∈R ，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立． 【答案】 ①②④ 2．(2013·滨海高一检测)将112[2(2a ＋8b)－4(4a －2b)]化简成最简式为________． 【解析】 原式＝16(2a ＋8b)－13(4a －2b)＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a.【答案】 2b －a3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线且AC →与AB →同向，|AC AB |＝57(如图)，∴|BC AC |＝25，又BC →与AC →反向， ∴BC →＝－25AC →.【答案】 －254．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线的交点为O ，则用a ，b 表示OB →为________．【解析】 ∵DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →， ∴OB →＝12(a ＋b)．【答案】 12(a ＋b)5．点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，且GA →＋GB →－GC →＝λGD →，则λ＝________. 【解析】 ∵GA →＋GB →－GC →＝GA →＋GB →＋CG →＝2CG →＝4GD →， ∴λ＝4. 【答案】 4图2－2－236．如图2－2－23所示，OA →与OB →分别在由点O 出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．①OA →＋2OB →；②OA →＋12OB →；③OA →－13OB →；④34OA →－15OB →.【解析】 作出四个向量可知，只有①②满足条件．【答案】 ①②7．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________． 【解析】 通过观察，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，与a ＋2b 有2倍关系，即2AB →＝BD →.符合向量共线定理，∴A ，B ，D 三点共线．故填A ，B ，D. 【答案】 A ，B ，D8．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 法一 如图， MN →＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b)＝14(b －a)． 法二 设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的34分点，则有N 为OC 的中点，MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a)．【答案】 14b －14a二、解答题 9．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且ma －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线，求实数m 的值． 【解】 由ma －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线可知， 存在实数λ满足ma －3b ＝λ[a＋(2－m)b]， 即(m －λ)a－[3＋λ(2－m)]b ＝0， 又a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，3－λm －2＝0，解得m ＝3或m ＝－1.10．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.【解】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b.∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a.∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d. ②①×2－②，得b ＝23(2c －d)．②×2－①，得a ＝23(2d －c)．∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d.11．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论． 【解】 b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在惟一实数λ，使得a ＋b ＝λc.① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在惟一实数μ，使得b ＋c ＝μa.②由①－②得，a －c ＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ， 即a ＋b ＋c ＝0. ∴a ＋c ＝－b. 故a ＋c 与b 共线.(教师用书独具)如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 到N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．【思路探究】 本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题． 【自主解答】 在△AMC 中，D 为MC 的中点， ∴2AD →＝AM →＋AC →.又∵D 是AB 的中点，∴2AD →＝AB →. ∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →. 同理可证AN →＝AC →－AB →＝BC →.∴AM →＝－AN →.∴AM →，AN →共线且有公共点A.∴A ，M ，N 三点共线．1．用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量．2．解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论．已知任意平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．【证明】 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又 ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →.∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．。

2.2.3 向量的数乘1．向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘． 预习交流1你能说一下向量－3a 的几何意义吗？提示：向量－3a 的几何意义：表示向量a 的有向线段在其相反方向上伸长为原来的3倍．2．向量数乘的运算律 (1)λ(μ a )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算． 预习交流2运用向量的运算律应注意哪些问题？提示：(1)运算律的记法：向量数乘的运算律可以类比实数乘法或整式乘法的结合律与分配律学习．(2)运算的误区：结合律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量．(3)运算律的应用：对以上恒等式不仅能正用，还要能逆用，从而灵活进行向量的线性运算．3．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .预习交流3(1)若OA →＝e 1－e 2，OB →＝3e 1＋e 2，OC →＝λe 1＋5e 2，则当A ，B ，C 三点共线时，实数λ＝________.(2)判断下列各题中的向量是否共线：①a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2，且e 1，e 2不共线；②a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2，且e 1，e 2共线． 提示：(1)7(2)①由a ＝4b ，且e 1，e 2不共线，可知a 与b 共线． ②当e 1，e 2中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当e 1，e 2均不为零向量时，设e 1＝λe 2， ∴a ＝(1＋λ)e 2，b ＝(2λ－2)e 2.当λ＝－1时，a ＝0，显然b 与a 共线．当λ≠－1时，b ＝2λ－21＋λa ，∴b 与a 共线．一、向量数乘的基本运算计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b ； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．思路分析：解答本题应先去括号再化简．解：(1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .1．下列命题中，正确的个数为__________． ①(－5)·6a ＝－30a ； ②7(a ＋b )－6a ＝7a ＋b ； ③(a －5b )＋(a ＋5b )＝2a ； ④(a ＋b )－(a －b )＝2b . 答案：3解析：①③④正确．∵7(a ＋b )－6a ＝a ＋7b ，∴②不正确． 2．设x ，y 是未知向量，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x －y ＝a ，x －12y ＝b .解：将第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得32y ＝－2a ＋b ，∴y ＝－43a ＋23b .代入原来的第二个方程，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋23b ＝b ，移项并化简，得x ＝－23a ＋43b .综上，x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b .向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指的是向量，实数看作是向量的系数． 二、向量共线问题设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思路分析：非零向量a 与b 满足的条件“不共线”．(1)要证明A ，B ，D 三点共线，只要建立AB →与BD →的等量关系便可；(2)引入参数λ，使其满足k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，并由向量a 与b 不共线求解该方程．解：(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5a ＋5b ＝5AB →， ∴AB →，BD →共线． 又AB →，BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，则存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0. ∵非零向量a 与b 不共线，∴k －λ＝0且1－λk ＝0.∴k ＝±1．1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是__________． 答案：等腰梯形解析：∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →.∴AB →与CD →平行且方向相反．易知|CD →|＞|AB →|.又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．2．下面向量a ，b 共线的序号是__________． ①a ＝2e 1，b ＝2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝6e 1－35e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． 答案：②③解析：对于②，a ＝－b2；对于③，a ＝6b ，此时a ，b 共线．向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行．证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可．这一切都建立在向量共线定理的基础之上．因此向量共线定理是解此类问题的根本．三、向量的线性表示如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.思路分析：由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE→均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →表示，从而问题可解．解：∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a .又D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a .∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →＝__________BC →.答案：－32解析：如图，∵AC →＝35AB →，∴BC →＝－25AB →，AB →＝－52BC →.∴AC →＝35AB →＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52BC →＝－32BC →.2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则用a ，b 表示AF →＝__________.答案：23a ＋13b解析：如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝AD →＋DF →＝AO →＋OD →＋13AB →＝12AC →＋12BD →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－12BD →＝12a ＋12b ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b .用已知向量表示未知向量的求解思路(1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)依据向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．1．点C 是线段AB 的中点，则有AB →＝λAC →，那么λ＝__________. 答案：2解析：利用向量数乘的几何意义，数形结合可得．2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向量AB →＝a ，向量AC →＝b ，则向量AD →＝__________(用向量a ，b 表示)．答案：12(a ＋b )解析：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，则四边形ABEC 是平行四边形，则AD →＝12AE →＝12(a ＋b )．3．若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，则m ＝________，n ＝________.答案：311a ＋211b 111a －311b解析：此题可把已知条件看做向量m ，n 的方程，通过解方程组获得m ，n . 记3m ＋2n ＝a ①，m －3n ＝b ②，3×②得3m －9n ＝3b ③， ①－③，得11n ＝a －3b .∴n ＝111a －311b ④.将④代入②，得m ＝b ＋3n ＝311a ＋211b .4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，向量CD →可用BC →，BA →表示为__________．答案：－BC →＋12BA →解析：由向量加法的三角形法则可知CD →＝CB →＋BD →，又A ，B ，D 三点共线，且D 是AB 的中点，可知BD →＝12BA →，∴CD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →， ∴BD →与AB →共线．又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(55)必修4_02 向量的数乘班级 姓名目标要求1．理解向量数乘的含义，及向量数乘的运算律；2．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题．重点难点重点：实数与向量积的定义、运算律、向量共线定理； 难点：向量共线定理的应用．教学过程：一、问题情境 二、建构数学 1.实数与向量的积2.实数与向量的积的运算律3.向量共线定理：4.三点共线的充要条件：三、典例剖析例1 已知向量a r 和向量b r ，求作向量 2.5a -r 和向量23a b -r r.例2 计算：a rb r（1）3()2(2)a b a b --+r r r r ； （2）2(263)3(342)a b c a b c +---+-r r r r r r例3 已知两个非零向量12,e e u r u u r不共线，且12122ke e e ke ++u r u u r u r u u r和共线，求k ．例4 如图2-2-11，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，(1).AC CB λλ=≠-u u u r u u u r求证：1OA OB OC λλ+=+u u u r u u u ru u u r ．拓展：设,OA OB u u u r u u u r 不共线，点C 在O ，A ，B 所在平面内，且1),,OC t OA tOB t R =-+∈u u u r u u u r u u u r（（） 求证：A ，B ，C 三点共线．四、课堂练习1、=--+)]24()82(21[31 ．2、已知向量12122,35a e e b e e =+=-r u r u u r r u r u u r，求43a b -r r ．图2-2-11B3、(5),28,3(),2AB a b BC a b CD a b A B D =+=-+=-u u u r rr u u u r r r u u u r r r 设求证、、共线．4、已知OA OB u u u r u u u r 和是不共线向量，AP t AB t R =∈u u u r u u u r （），试用OA OB u u u r u u u r 和表示OP uuu r．5、如图，在ABC ∆中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==u u u r r u u u r r ，求证：1()3DE b a =-u u u r r r ．江苏省泰兴中学高一数学作业(55)班级 姓名 得分1、若向量,a b r r ，且2(43)3(54)03a c cb -+-=r rr r r ，则c r =___________．2、已知AM 是∆ABC 的BC 边上的中线，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则AM =u u u u r．3、3____5C AB AC AB AC BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r点在线段上，且，则．4、若平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平行四边形外一点，PO a =u u u r r，那么 PA PB PC PD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r．5、12121,,(,,_____a b c a b R λλλλλ=+∈=r r r r r r r已知不共线，且）若c 与b 共线，则．6、点E 在ABC ∆的边BC 上，且CE=3EB ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则AE u u u r=________ ．（用,a br r 表示）7、设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若,OA a OB b ==u u u r r u u u r r，则OP uuu r = ． OQ uuu r = （用,a b r r表示）．8、在矩形ABCD 中，两对角线交于点O ，若3BC a =u u u r r ，2DC b =u u u r r ，求AO u u u r ．C9、已知：12121223,2,63AB e e CB e e CD e e =+=-+=+u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r，试问：A 、C 、D 三点是否共线？并说明理由．10、如图，已知3AD AB =u u u r u u u r ，3DE BC =u u u r u u u r ，证明：,AC AE u u u r u u u r共线．EA11、设D ，E ，F 分别是ABC ∆的边BC ，CA ，AB 上的点，且111,,234AF AB BD BC CE CA ===。

第四课时 向量的数乘(一)教学目标：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；教学难点：对向量共线的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.Ⅱ.讲授新课在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.已知非零向量a ，我们作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a ).由图可知，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ，我们把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a ，显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即｜3a ｜＝3｜a ｜.同样，由图可知，PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，我们把(－a )＋(－a )＋(－a )记作－3a ，即PN →＝－3a ，显然－3a 的方向与a 的方向相反，－3a 的长度是a 的长度的3倍，即｜－3a ｜＝3｜a ｜.上述过程推广后即为实数与向量的积.1.实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：(1)｜λa ｜＝｜λ｜｜a ｜(2)当λ＞0时，λ a 与a 同向；当λ＜0时，λ a 与a 反向；当λ＝0时，λ a ＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.2.实数与向量的积的运算律(1)λ (μa )＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa(3)λ (a ＋b )＝λa ＋λb说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.3.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .说明：(1)推证过程引导学生自学；(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.［例1］若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .分析：此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程，通过方程组的求解获得m 、n . 解：记3m ＋2n ＝a ① m －3n ＝b ② 3×②得3m －9n ＝3b ③ ①－③得11n ＝a －3b .∴n ＝111 a －311 b④将④代入②有：m ＝b ＋3n ＝311 a ＋211b 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.［例2］凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF →＝12 (AB →＋DC →).证法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF 12 DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12 (AB →＋DC →).证法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，又∵E 是AD 之中点，∴有EA →＋ED →＝0.即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →；以EB →与EC →为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF →＝12 EG →＝12 (EB →＋EC →)＝12 (AB →＋DC →)Ⅲ.课堂练习课本P66练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.Ⅴ.课后作业课本P68习题5，6，7。

2.3.3 向量的数乘教学目的: 掌握向量数乘的运算，理解其几何意义；掌握两个向量共线的含义，理解向量共线定律。

引入：质点从点O 出发做匀速直线运动，若每秒位移用向量a →表示，则该质点3s 的位移为结果中3a →是何种运算结果？新授：实数λ与向量a →的积是一个向量，它的长度与方向规定如下：1、模：|λa →|=|λ|·|a →|2、方向：λ>0时，λa →与a →方向相同，λ<0时，λa →与a →方向相反，λ=0时，λa →=0→方向任意。

向量数乘的运算律：1、λ(μa →)=(λμ)a →2、(λ+μ)a →=λa →+μa →3、λ(a →+b →)=λa →+λb →例题分析1、计算：(1) 8(2a →-b →+c →)-6(a →-2b →+c →)-2(2a →+c →)(2)(m+n)(a →-b →)-(m+n)(a →+b →)2、已知向量a →、b →，求作向量－2a →和2a →－3b →3、已知a →=e 1→+2e 2→，b →=3e 1→－5e 2→，用e 1→、e 2→表示4a →－3b →a →b →4、已知OA→和OB →是不共线向量，AP →=λAB →(t ∈R)，试用OA →和OB →表示OP →。

5、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，新授向量共线定理：如果有一个实数λ，使 b →=λa →(a →≠0)，那么b →与a →是共线向量；反之，如果b →与a →(a →≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b →=λa →证明：小结：向量的数乘向量共线定理。

教学设计2.2.3向量的数乘整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义．2．实数与向量积的运算律．3．两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究实数与向量积的定义及运算律．活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors)．事实上，通过作图1可发现，OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a ＋a记作3a，即OC→＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|.同样，由图可知，→＝PQ→＋QM→＋MN→＝(－a)＋(－a)＋(－a)，PN图1即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．应用示例思路1例1课本本节例2.例2课本本节例1.变式训练如图2(1)，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律．(1) (2)图2解：如图2(2)分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC 〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3课本本节例3.变式训练如图3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图3活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ， MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.思路2例1凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．图4证明：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 的中点(如图4)．∴EF 是△ADG 的中位线．∴EF 12DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 方法二：如图5，连EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图5又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．例2课本本节例4. 变式训练1．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b |答案：C2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23答案：A知能训练课本本节练习．课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．作业课本习题2.2 8、9.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa 的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa 的方向相同．还可证|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立．当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ；则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图6由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB ＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|，所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB ∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB ＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图7可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图7所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．03．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 6．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )． 参考答案：1．B 2.C 3.C4．－a ＋15b 5.13e 1－12e 26．证明：连结AG 并延长，设AG 交BC 于M. ∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ， ∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )．∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．(设计者：翟昌丽)。

教学设计2.2.3向量的数乘整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义．2．实数与向量积的运算律．3．两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a ，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究实数与向量积的定义及运算律．活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a ＝0，而不是0·a ＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors)．事实上，通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图可知，PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，图1即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．应用示例思路1例1课本本节例2.例2课本本节例1. 变式训练如图2(1)，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律．(1) (2)图2解：如图2(2)分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC 〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ， 而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →. 所以A 、B 、C 三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3课本本节例3. 变式训练 如图3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图3活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点． 解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b .点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.思路2例1凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．图4证明：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 的中点(如图4)．∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF12DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →， ∴EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二：如图5，连EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图5又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →. 以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．例2课本本节例4.知能训练课本本节练习．课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．作业课本习题2.2 8、9.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a ＝0)，它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa 与a 方向相同，当λ<0时，λa 与a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立． 当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ；则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图6由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB ＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|， 所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB ∽△A 1OB 1.所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB ＝∠A 1OB 1.因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同． 所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图7可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图7所以③式也成立． 二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b 2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．03．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________.6．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )．参考答案： 1．B 2.C 3.C 4．－a ＋15b 5.13e 1－12e 26．证明：连结AG 并延长，设AG 交BC 于M. ∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )．∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．(设计者：翟昌丽)。