高中数学《向量的线性运算》教案8 苏教版必修4

2．2．1 向量的加法一、课题：向量的加法二、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和 向量；3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

三、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量； 2．向量加法定义的理解。

四、教学过程： （一）复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念。

3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）（A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r（C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u ur 、OD u u u r（二）新课讲解：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r．规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r．说明：①共线向量的加法： a r b r a b +r r②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r ，求作向量a b +r r .作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r.（1） （2） 2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r为邻边作ABCD Y，则则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r的和，这种求向量和的方法称为向量加Fb r a rO BA AB C法的平行四边形法则。

2.2.3 向量的数乘整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点： 1. 实数与向量积的意义．2．实数与向量积的运算律．3．两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.（直接引入）前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广•在代数运算中， a + a+ a= 3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.推进新课新知探究实数与向量积的定义及运算律.活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义. 教师要引导学生特别注意0 • a= 0,而不是0 • a= 0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如入+a,入一a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(入+卩)a=入a+卩a和入(a+ b)=入a+入b，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同.判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量. 一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.实数入与向量a相乘，叫做向量的数乘 (scalar multiplication of vectors) .事实上，通过作图1可发现，0G= 0M 罷+ BC= a+ a+ a.类似数的乘法，可把a+ a+ a记作3a，即0G= 3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3 倍,即|3a| = 3|a |.同样，由图可知，PN= PQ+ 6M壯 Mt= (—a) + ( —a) + ( —a)0 A B CN M Q P图1即(一a) + ( —a) + ( —a) = 3( —a).显然3( —a)的方向与a的方向相反，3( —a)的长度是a的长度的3倍，这样，3( —a) = —3a.上述过程推广后即为实数与向量的积.我们规定实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a，它的长度与方向规定如下:(1)1 入a| = | 入 || a|.⑵ 当入＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入＜0时，入a的方向与a的方向相反. 由(1)可知，入=0时，入a= 0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.设入、卩为实数，那么特别地，我们有(一入)a=- (入a)=入(一a),入(a—b)=入a-入b.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a^0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关•在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况： (1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；⑷ 同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等.教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|入|| a|确定.它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形.应用示例思路1例1课本本节例2.并同类项”.2 .若3m+ 2n = a , m- 3n =b ，其中a 、b 是已知向量，求 m n. 解：T3 n u 2n =a ，① m — 3n =b ，②3X ②，得 3m — 9n = 3b ,③ ①—③，得 11n = a — 3b ,13二 n =严―yy b .④点评：此题可把已知条件看作向量 m n 的方程，通过方程组的求解获得m n .在此题求解过程中，禾U 用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次 方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致例2课本本节例1. 变式训练如图2(1)，已知任意两个非零向量 a 、b ,试作6A= a + b , 0B= a + 2b , OC= a + 3b .你能 判断A 、B C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法， 这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到 A 、B 、C 三点共线的猜想， 再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成.另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材， 教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量 a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律.将④代入②，有32n = b + 3n =〔严+ ^b .⑴ (2)解：如图2(2)分别作向量OA OB OC过点A C作直线AC〔如图2(2)丨.观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.事实上，因为 A B= 8B-OA= a+ 2b— (a + b) = b,而AC= OC— OA= a+ 3b— (a+ b) = 2b,于是 AC= 2AB.所以A、B C三点共线.点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特.例3课本本节例3.变式训练如图3,二ABCD勺两条对角线相交于点 M且AB= a, AD= b,你能用a、b表示尬A MBiM和尬［吗?活动：本题的解答要用到平行四边形的性质. 另外，用向量表示几何元素 (点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点.解：在 ABCD中,又•••平行四边形的两条对角线互相平分, •-M A= —2A C=— 2(a+ b) = —1a—2b,T 1 1 1MB=尹4 2( a—b) = 2a —尹，T 1T 1 1 T T 1T 1 1MC= 2AC=尹 + 尹 MD=— MB= — ?DB= — ?a+ 尹•/ AC= AB+ AD= a + b, DB= AB_ AD= a—b,点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则, 出来，这是解决这类几何题的关键思路2_予 1 _予 _予例1凸四边形ABCD 勺边AD BC 的中点分别为 E 、F,求证：EF= 2（AB+DC ）. 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决.或创造相同起点，以建立向量间的关系.鼓励学生多角度观察思考问题.证明：方法一：过点 C 在平面内作CG= AB,则四边形 ABGC 是平行四边形，故 F 为AG的中点（如图4）.••• EF 是厶ADG 的中位线.1T —• EF=2DG •- EF= 2DG 而 DG= DC+ CG=张 AB,T 1 T T• EF= 2(AB+ DC .方法二：如图 5,连 EB EC,则有 EB= EA+A B , EC= EEH DC又TE 是 AD 的中点，•有 EA+ ED= 0,即有 EB+ EC= AB+ DC以EB 与EC 为邻边作二EBGC 则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点.• EF= 2乙=2（EB + 吊=2（A B + DC .草图帮助解决问题；（2）加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习. 将两个向量的和或差表示 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习: （1）加强数形结合思想的训练，画出 做到准确熟练运用.图4图5例2课本本节例4.变式训练1 •若非零向量a、b满足|a+ b| = | b|，则（）A. |2a|>|2 a+ b| B・ |2 a|<|2 a+ b|C. |2 b|>| a + 2b| D • |2 b|<| a+ 2b|答案：C2 .在△ ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD= 2DB CD= _CA+入CB贝U入等于( 3)2 1 1 2A. B.-3 3 C— 3 D•— 3答案：A知能训练课本本节练习.课堂小结1 •让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件.体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化.2•向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人.作业课本习题2.2 8、9.设计感想1 •本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题. 先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地，0・a= 0），它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当入＞0时，入a与a方向相同，当入＜0时，入a与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展.2•向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要, 地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料也成为近几年各一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，入、卩为任意实数，则有⑴入（卩a）=（入卩）a；①（2）（入+ 卩）a =入a+ [1 a；②（3）入（a + b）=入a + 入b.③证明：（1）如果入=0或1= 0或a = 0，则①式显然成立.如果入丰0, 1工0,且a z0,则根据向量数乘的定义有：I 入（1 a）|=1 入 II 1 a|=1 入 II 1 II a l ,1（入 1） aI= I入 1 II aI= I入II1 II aI,所以 I 入（1 a）I = I（入 1 ）a I.如果入、1同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果入、1异号，则①式两边向量的方向都与a 反向.因此，向量入（1 a）与（入1 ）a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等.（2）如果入=0或1 = 0或a= 0,则②显然成立.如果入工0, 1工0且a z0,可分如下两种情况：当入、1同号时，贝U入a和1 a同向，所以I（入 + 1） aI= I入 + 1 II aI= （I入丨+ I1 I）I aI,I入a+ 1 aI= I入aI + I1 aI= I入II aI + I1 II aI=（I入丨+11 I）I aI,即有 I（入 + 1 ）a I = I 入a+ 1 a I.由入、1同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同.综上所述，②式成立.如果入、1异号，当入＞1时，②式两边向量的方向都与入a的方向相同；当入＜1 时，②式两边向量的方向都与 1 a的方向相同.还可证I（入+ 1）a I = I入a + 1 a I.因此②式也成立.（3）当a= 0, b= 0中至少有一个成立，或入=0,入=1时，③式显然成立.当a z0, b zo且入z0,入zi时，可分如下两种情况：当入＞0且入工1时，如图6，在平面内任取一点 O 作6A 匕a , AB= b , OA =入a , Ab = 入 b ;则 OB= a + b , 0B =入 a + 入 b.5图6由作法知 AB//AB I,有/ OA=Z OA 1B 1, |A 忌I =入 |A B| ,|0A i | |A 忌 |所以匕= 二1 =入.所以△ AOB^^ A i OB.|OA| |AB | |OB i |所以 =入，/ AOB=ZA i OB.|OB|因此 O B Bi 在同一条直线上，|OB i | = |入SB , OB 与入SB 勺方向也相同. 所以入（a + b ）=入a +入b .当入＜0时，由图7可类似证明入（a + b ）=入a +入b .图7所以③式也成立. 二、备用习题1 1 ,1. 3[ 2(2a + 8b )—(4a — 2b )]等于()A. 2a — bB. 2b — aC. b — aD. a — b2.设两非零向量 e 1、e 2不共线，且 k e 1 + e 2 与 e + k e 2 共线，贝Uk 的值为（ ）A. 1 B . —1C. 土 1D . 03.若向量方程2x — 3(x — 2 a ) =0,则向量x 等于（）C. 6 a14. 在△ ABC 中，AE=-A B , EF// BC EF 交 AC 于 F,设 AB= a , AC= b ,则 BF 用 a 、b 表示5的形式是BF= ___________ .5. ____________________________________________________________ 在厶ABC 中，M N 、P 分别是AB BC CA 边上的靠近 A B C 的三等分点，O 是厶ABC 平面上的任意一点，若 OA^OB+ OC= 3e i —芬，则O MF ON+ OP= ______________________________________________________________ .6. 已知△ ABC 的重心为 G O 为坐标原点，OA= a , OB= b , OC= c , 求证：OG= 3( a + b + c ).3 参考答案： 1. B 2.C3.C 1 1 14.— a + 5b5. 331 — 2&6.证明：连结 AG 并延长，设 AG 交BC 于M.T AB= b — a , AC= c — a , BC= c — b ,(b — a ) + 2( c — b ) = *c + b — 2a ).• A G= |AM= 3(c + b — 2a ).•- OG= OA^ AG= a + 3( c + b — 2a ) = 3( a + b + c ).—6a•••。

向量的线性运算（一）【三维目标】：一、知识与技能1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。

2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。

最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量难点：对向量加法定义的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.学法指导数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念2.平行向量、相等向量的概念。

【情景设置】：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为→--OA，从景点A到景点B的位移为→--AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB●这里，向量→--OA,→--OB,→--OC三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
教学准备
教学目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;
教学重难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具
投影仪
教学过程
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二(P94—95)略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第2、3题
课后小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 课后习题
作业：
P103第2、3题
板书
略。

高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计高中数学必修四《平面向量的线性运算》教案教学目标一、知识与技能1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．教学难点：理解向量加减法的定义．教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合．学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．教师备课系统──多媒体教案学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题探究，合作交流提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．2新课标普通高中◎数学④必修合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求BC=b，两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？3.数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2.当a，b不共线时，|a+b||a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|．一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|．3.如下左图，作AB=a，AD=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a．因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a．如上右图，因为AD=AC+CD=（AB+BC）+CD=（a+b）+c，，所以（a+b）+c=a+（b+c）．AD=AB+BD=AB+（BC+CD）=a+（b+c）综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量．于是-（-a）=a．我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）=（-a）+a=0．所以，如果a、b是互为相反的向量，那么4新课标普通高中◎数学④必修a=-b，b=-a，a+b=0．A.平行四边形法则如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．讨论结果：①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．三、拓展创新，应用提高例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O 的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，以OA、OB为邻边作OB=b．连接OC，则OC=a+b．例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．OACB，活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．解：如上右图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作则AC表示船实际航行的速度．（2）在Rt△ABC中，|AB|=2，|BC|=5，所以|AC|=|AB|?|BC|?因为tan∠CAB= 22ABCD，22?52?29≈5.4．29，由计算器得∠CAB=68°．2答：船实际航行速度的大小约为5．4km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d．例4如图，ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．课堂作业1．下列等式中，正确的个数是（）①a+b=b+a②a-b=b③0-a=-a④-（-a）=a⑤a+（-a）=0A．5B．4C．3D．2 2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-DB等于（）A．FDB．FCC．FED．BE3．下列式子中不能化简为AD的是（）A．（AB+CD）+BCB．（AD+MB）+（BC+CM）C．MB?AD?BMD．OC-OA+CD。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

［课题］：2.2.1向量的线性运算(3)［知识摘记］［例题解析］例1已知向量刁和方,求作向量-2. 5刁和向量2云-3方例2计算：(1) 3 (a-b)-2 (a+2b)；(2) 2 (2 a +6/? -3 e ) -3 (-3 a +4/? -2 e ).例3若3in +2n = a , m ~3n = b ,其中a , b是已知向量，求帀，例4如图，侧是的中位线，求证: 荒与顾共线，并将顾用荒表示例5如图，AOAB中,C为直线AB上一点，AC = 2CB(2工-1)证：0C =［练习与反思］1.课本练习1232.如图，在AABC 中，AB=a, BC=b，AD 为边BC 的中线，G为AABC的重心，求向量応反思：［课外作业］1 • m e R，下列说法正确的是 _____________ ⑴.若加a=0,则必有沪0⑵.若加工0,狞0,则加a的方向与。

同向⑶.若m工0,贝！J|AH a \=m\ a \(4).若m工0, 则加a与a共线2.如图.点M是AABC的重心，则MA + MB-MC =A3.若I亦1=8, |盘|=5,则荒|的取值范围是_________________4.已知a、b是非零向量,WJ \a-b\=\a\+\b\时，应满足条件 _______________ •5.已知M、N是卜ABC的一边BC上的两个三等分点，若AB =a, ~Xc电则~MN = ___ -6. (1)若2x + 3(x +a) = 0,则x = ____________ .(2)若2(x + a) — 3(x-方)=0,则x = ______________ L7.已知平彳丁四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E, O是任意一点,求证OA + OB + OC + OD^ 4OE&如图已知：oc = 3OA,CD = 3AB,试说明OB^OD的关系.9.如图，ABCD是一个梯形，AB//CD,且AB=2CD,M、 N分别是DC和AB的中点，已知AB =«，AD =b，试用a，b表示BC和MN’ •。

第1课时向量的加法在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示．它的实际位移AB，可以看作水平运动的分位移AC与竖直运动的分位移AD的合位移．问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为AB，AD，AC之间有什么关系？提示：AB＝AC＋AD .问题2：AD与CB之间有什么关系？提示：AD＝CB.问题3：向量AB，AC，CB之间有什么关系？提示：AB＝AC＋CB .1．向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法的运算法则(1)三角形法则：已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则向量OB叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝OA＋AB＝OB .(2)平行四边形法则：已知两个不共线的非零向量a，b，作OA＝a，OC＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线上的向量OB＝a＋b，如图．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．问题1：如图，AC＝AB＋BC＝a＋b；同理AC＝AD＋DC＝b＋a.由此你能得出什么结论？提示：a＋b＝b＋a.问题2：如图，AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋c；AD＝AB＋BD＝a＋(b＋c)；AD＝AC＋CD＝(a＋b)＋c.由此你又能得出什么结论？提示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.向量加法的交换律和结合律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)a＋0＝0＋a＝a；(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.1．向量加法的三角形法则是从位移求和引出的，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，当两个向量平行(或共线)时，三角形法则同样适用．2．向量加法的平行四边形法则是从力的合成引出的，使用该法则关键是将向量a，b的起点移到同一点A，并以a，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC即为a＋b.[例1] 化简下列各式：(1) PB＋OP＋BO；(2)(AB＋MB)＋BO＋OM；(3)AB＋BC＋CD＋DE.[思路点拨] 多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则求解，也可直接运算．[精解详析] (1)PB＋OP＋BO＝(OP＋PB)＋BO＝OB＋BO＝0；(2)(AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB；(3)AB＋BC＋CD＋DE＝AC＋CD＋DE＝AD＋DE＝AE.[一点通] 在进行向量加法运算时，利用运算律转化为“顺次首尾相接的形式相加”，即AB＋BC＋CD＝AD的形式，计算简捷且不易出错．1．在平行四边形ABCD中，BC＋CD＋DA＝________.解析：BC＋CD＋DA＝(BC＋CD)＋DA＝BD＋DA＝BA.答案：BA2．下列各式中结果为0的是________．①AB＋BC＋CA；②AB＋MA＋BO＋OM；③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC.解析：①原式＝AC＋CA＝0；②原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MA)＝AO＋OA＝0；③原式＝(BO＋OA)＋(CO＋OC)＝BA＋0＝BA.④原式＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.故①②④符合．答案：①②④3．化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.[例2] 已知四边形AECF是平行四边形，B，D是对角线EF上的两点，且FD＝EB(如图所示)．求证：四边形ABCD是平行四边形．[思路点拨] 要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明AB＝DC或AD＝BC.[精解详析] ∵四边形AECF是平行四边形，∴FC∥AE，FC＝AE，又∵FC，AE方向相同，∴FC＝AE，∵DF＝EB，且在一条直线上，DF与EB方向相同，∴DF＝EB，∵AB＝AE＋EB，DC＝DF＋FC，∴AB＝DC，∴AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．[一点通] 解决此类问题应注意以下两点：(1)要注意向量加法的三角形法则及平行四边形法则的应用条件；(2)要注意方向相同且长度相等的有向线段所表示的向量是相等向量．4.如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝________.解析：由于BA＝DE，故BA＋CD＋EF＝CD＋DE＋EF＝CF.答案：CF5．在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF＝b，求AC，AD，AE.解：如图所示，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO 均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO＝AB＋AF＝a＋b，故有AD＝2AO＝2a＋2b.在平行四边形ABCO中，AC＝AB＋AO＝a＋a＋b＝2a＋b.而BC＝AO＝FE＝a＋b，由三角形法则得AE＝AF＋FE＝b＋a＋b＝a＋2b.[例3] 小雨滴在无风时以4 m/s的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan 37°＝34 )[思路点拨] 根据题意作出示意图，然后利用向量解决．[精解详析]法一：如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，OB表示风的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt△OAC中，|OA|＝4 m/s，|AC|＝3 m/s，所以|OC|＝|OA|2＋|AC|2＝5 m/s.且tan ∠AOC＝|AC||OA|＝34，即∠AOC≈37°.所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s，方向约为东偏南53°.法二：如图，设OA表示小雨滴无风时下落的速度，AB表示风的速度，以OA，AB为两边作三角形OAB，则OB就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt△OAB中，|OA|＝4 m/s，|AB|＝3 m/s，所以|OB|＝|OA|2＋|AB|2＝5 m/s.所以tan ∠AOB＝|AB||OA|＝34，即∠AOB≈37°.所以小雨滴实际飞行的速度为5 m/s，方向约为东偏南53°.[一点通] 利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立向量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解决时要注意作图的准确性．6．一条宽为 3 km的河，水流速度为2 km/h，船在静水中的航速为4 km/h，该船要从河的一边驶向对岸，为使行程最短，应怎样安排行驶方向？用时多少？解：如图，设AC为水流速度，AD为最大航速，以AC和AD为邻边作平行四边形ACBD.根据题意AC⊥AB，在Rt△ABD和平行四边形ACBD中，|DB|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠ABD＝90°，所以|AB|＝|AD|2－|DB|2＝23，sin ∠BAD＝|DB||AD|＝12，所以∠BAD＝30°.设所用时间为t(h)，则t＝323＝12(h)．答：船沿着与水流方向成120°的方向行驶可使行程最短，用时0.5小时．7．在日本“3·11”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．解：如图所示，设AB、BC分别是直升飞机两次位移，则AC表示两次位移的合位移．即AC＝AB＋BC，在Rt △ABD中，|DB|＝20 km，|AD|＝20 3 km ，在Rt△ACD中，|AC|＝|AD|2＋|DC|2＝40 3 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 3 km处．向量加法法则的应用对于向量求和的三角形法则与平行四边形法则，要注意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是一致的．但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．用三角形法则求两个向量和的步骤是：第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和．课下能力提升(十四)一、填空题1．化简：OA＋AB＋CD＋BC＝________.解析：OA＋AB＋CD＋BC＝OB＋CD＋BC＝OB＋BC＋CD＝OC＋CD＝OD.答案：OD2．若|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________．解析：当a与b同向时，|a＋b|取最大值13；当a与b反向时，|a＋b|取最小值3.答案：[3,13]3．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________．①a∥b②a＋b＝a③a＋b＝b④|a＋b|<|a|＋|b| ⑤|a＋b|＝|a|＋|b|解析：∵a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝(AB＋BC)＋(CD＋DA)＝AC＋CA＝0，∴①③⑤正确．答案：①③⑤4．在边长为1的正三角形ABC中，若向量BA＝a，BC＝b，则|a＋b|＝________.解析：如图，设AC的中点为D，由平行四边形法则知|a＋b|＝|BE|＝2|BD|＝ 3.答案： 35．下列命题中正确命题的个数为________．①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0③若AB＋BC＋CA＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等解析：①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有AB＋BC＋CA＝0；④假命题，只有当a与b 同向时才相等．答案：1 二、解答题6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，G 是△ABC 内的一点，若GA ＋GB ＋GC ＝0，求证：G 是△ABC 的重心．证明：如图所示， ∵GA ＋GB ＋GC ＝0， ∴GA ＝－(GB ＋GC )，以GB 、GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD ＝GB ＋GC ， ∴GD ＝－GA .又因为在▱BGCD 中，BC 交GD 于点E ， ∴BE ＝EC ，GE ＝ED . ∴AE 是△ABC 的边BC 的中线， 且|GA |＝2|GE |. ∴G 是△ABC 的重心．7．已知|OA |＝|OB |＝2，且∠AOB ＝120°，求|OA ＋OB |的值． 解：以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则OC ＝OA ＋OB . 因为|OA |＝|OB |＝2， 且∠AOB ＝120°， 所以△OAC 是正三角形．所以|OA ＋OB |＝|OC |＝|OA |＝ 2.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．解：如图，OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸方向的速度，OC 表示船实际航行的速度，其中∠AOC ＝30°，|OB |＝5(km/h)．因为四边形OACB 为矩形，所以|OA |＝|AC |tan 30°＝|OB |×3＝53≈8.7(km)，|OC |＝|OA |cos 30°＝5332＝10(km)．所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.第2课时 向量的减法问题1：我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，想一想，向量减法是否也有类似法则？提示：有，向量a 减去b 相当于加上b 的相反向量－b . 问题2：已知向量a 和b ，如何作出a －b?提示：作OA ＝a ，OB ＝b ，AC ＝－b .则OC ＝a ＋(－b )＝a －b ，因四边形ABCD 为▱ABCD ，∴BA ＝OC ＝a －b .问题3：向量的减法是否也满足三角形法则和平行四边形法则？ 提示：满足，作OA ＝a ，OB＝b ，则BA ＝a －b .1．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 2．向量的减法法则以O 为起点，作向量OA ＝a ，OB ＝b ，则BA ＝a －b ，即当向量a，b起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b .向量减法的实质是向量加法的逆运算，利用相反向量的定义，－AB＝BA，就可以把减法转化为加法，在运用三角形法则做向量减法时，只要记住“重合两向量的起点，连结两向量终点，箭头指向被减向量”即可．[例1] 化简：(AB－CD)－(AC－BD)．[思路点拨] 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．[精解详析] 法一：(AB－CD)－(AC－(BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.法二：(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB－AC)＋(BD－CD)＝CB＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.法三：在平面上取一点O，则AB＝OB－OA，(AB－CD)－(AC－BD)＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.[一点通] 法一是把向量的减法转化为加法进行化简；法二是利用向量减法法则进行化简；法三可设一个辅助点O，利用AB＝OB－OA的关系进行化简．事实上，平面内任一向量都可以写成两个向量的和；同样，任一向量都可以写成两个向量的差．要学会通过这种转化来简化运算．1．下列四个式子中，可以化简为AB的有________．①AC＋CB；②AC－CB；③OA＋OB；④OB－OA.解析：AC＋CB＝AB；OB－OA＝AB.答案：①④2．下列四个式子，不能化简为AD的序号是________．①(AB＋CD)－CB；②(AD－BM)＋(BC－MC)；③OC－OA＋CD；④MB＋AD－BM解析：①原式＝AB＋(CD－CB)＝AB＋BD＝AD；②原式＝AD＋BC－(BM＋MC)＝AD＋BC－BC＝AD；③原式＝AC＋CD＝AD；④原式＝MB＋AD＋MB≠AD，∴只有④不能化为AD.答案：④3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式不．正确的是________．①AD＋BE＋CF＝0 ②BD－CE＋DF＝0③AD＋CE－CF＝0 ④BD－BE－FC＝0解析：①AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋CF＝－BD＋BE＋CF＝DE＋CF＝DE ＋ED＝0；②BD－CE＋DF＝(BD＋DF)－CE＝BF－CE≠0；③AD＋CE－CF＝AD＋(CE－CF)＝AD＋FE≠0；④BD－BE－FC＝(BD－BE)－FC＝ED－FC＝ED＋CF≠0.答案：②③④[例2] 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作向量a－b＋c，并求出它的模．[思路点拨] 可先作a－b，再与c求和．[精解详析] 延长AB至F，使|AB|＝|BF|，连结CF，由于BF＝AB＝a，∴CF＝a－b.a－b＋c＝CF＋AC＝AC＋CF＝AF.则AF即为所求，如图所示．且|AF|＝2|AB|＝2.[一点通] (1)作两个向量的差向量，起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点，即“统一起点，连结终点，指向被减”．(2)对比两个向量的求和运算，掌握向量减法的运算法则．向量减法是加法的逆运算．作图一般要通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．4．保持例题条件不变，求作向量a＋b＋c，并求它的模．解：如图，由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，所以延长AC至E，使|CE|＝|AC|，则a＋b＋c＝AC＋CE＝AE，且|a＋b＋c|＝|AE|＝2|AC|＝2 2.5．将本例中条件变为“BA＝a，BC＝b，CA＝c”，试作向量a＋b－c，并求其模．解：如图：a＋b＝BA＋BC＝BD，∴a＋b－c＝BD－CA .作BE＝CA，所以a＋b－c＝ED，且|ED|＝|a＋b－c|＝2.[例3] 如图，平行四边形ABCD中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示向量OD.[思路点拨] 寻找图中已知向量与所要表示的向量之间的关系，然后利用向量的加法或减法来解决．[精解详析] 如图所示，因为OA＝a，OB＝b，OC＝c，又BC＝OC－OB＝c－b，AD＝OD－OA＝OD－a，又BC＝AD，所以c－b＝OD－a，则OD＝a－b＋c.[一点通] (1)在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．(2)事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线的向量的和，即AM＝AB＋BM 以及AB＝NB－NA (M，N是同一平面内任意一点)．6.如图，四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝________(用a，b，c表示)．解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋c7．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA.证明：法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，∴b＋c＝DA＋OC＝CB＋OC＝OB，∴b＋c－a＝OB－AB＝OB＋BA＝OA.法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OC＋CD＝OD，∵DA＝b，∴b＋c－a＝b＋OD＝DA＋OD＝OA.1．利用向量减法几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图甲所示，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b＝OA－OB，即向量BA等于终点向量(OA)减去始点向量(OB)，利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b，作OA＝a，OB＝b，AC ＝－b，则OC＝a＋(－b)，如图乙所示．2．运用向量减法法则运算的常用方法(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算；(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点；(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一．3．用几个基本向量表示某个(些)向量的技巧(1)首先，观察待表示向量的位置；(2)其次，寻找(或作)相应的平行四边形和三角形；(3)再次，运用法则找关系；(4)最后，化简结果．课下能力提升(十五)一、填空题1.如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝________.解析：DC＝DA＋AB＋BC＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋c2．化简下列向量式，结果为0的个数是________．①RS－RT＋ST；②BD＋DC＋AB－AC；③AB－AC－CB；④AB＋BC－AC解析：①RS－RT＋ST＝0②BD＋DC＋AB－AC＝BC＋CB＝0③AB－(AC＋CB)＝0④AB＋BC－AC＝0.答案：43．下列命题中，正确的个数是________．①在平行四边形中，BA＋AD－BD＝AB＋CD；②a＋b＝a⇔b＝0；③a－b＝b－a；④AB－CB＋CD－AD的模为0.解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a⇔a＋b－a＝0⇔(a－a)＋b＝0⇔b ＝0知，②正确．由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．答案：34．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为__________．①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)．②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c.③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.解析：根据题意画出如下图形，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确．答案：①②③5．已知菱形ABCD边长是2，则向量AB－CB＋CD的模为________．解析：∵AB－CB＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，∴|AB－CB＋CD|＝|AD|＝2.答案：2二、解答题6．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示DC，OH，BH.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴OD＝OA＋OB＝a＋b，∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.7．化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)；(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．解：(1)(BA－BC)－(ED－EC)＝CA－CD＝DA.(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)＝AC＋BA－DC＋DB＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB＝BC＋CB＝0.8.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋ED.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3)DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.第3课时向量的数乘问题1：我们知道x＋x＝2x，那么a＋a是否等于2a?提示：是．问题2：2a方向与a方向是否相同？并给以说明．提示：方向相同，如图．AC＝AB＋BC＝a＋a＝2a.问题3：－a＋(－a)等于－2a吗？其方向与a的方向有何关系？提示：等于，方向相反．1．向量的数乘实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.2．向量数乘的运算律设a、b为任意向量，λ、μ为实数，则：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.问题1：我们知道，向量a、2a和－3a是共线向量，向量a和λa(λ∈R)是共线向量吗？提示：共线．问题2：若b＝2a(a≠0)，b与a共线吗？提示：共线．问题3：若向量a和向量b共线，且|b|＝2|a|，试想两向量有何等式关系？提示：若a、b同向，则b＝2a，若a、b反向，则b＝－2a.向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b和a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.1．关于实数与向量的积λa的理解λa是一个向量，不是一个实数，我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1时)，同时，我们可以不改变a的方向(当λ>0时)，也可以改变a的方向(当λ<0时)．2．向量共线定理定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.[例1] 计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a＋2b－f(23a－b)－76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a＋37b＋76a；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．[思路点拨] 利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．[精解详析] (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝12⎝⎛⎭⎪⎫3a＋2b－23a－b－76⎝⎛⎭⎪⎫12a＋37b＋12a＝32a＋b－13a－12b－712a－12b－712a＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.[一点通] 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．1．计算：(1)14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a＋2b＋3a－13a－12b；(2)(λ＋μ)(a＋b)－(λ－μ)(a－b)．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μ a ＋2λ b .2．若a ＝12x －y ，b ＝x －12y ，其中a ，b 是已知向量，求向量x 与y .解：将第一个方程的－2倍与第二个方程相加， 得32y ＝－2a ＋b ， ∴y ＝－43a ＋23b .代入原来的第二个方程，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋23b ＝b移项并化简，得x ＝－23a ＋43b .综上，x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b .[例2] (1)设两非零向量a 和b 不共线，如果AB ＝a ＋b ，CD ＝3(a －b )，BC ＝2a ＋8b .求证：A 、B 、D 三点共线；(2)已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且ke 1＋e 2和e 1＋ke 2共线，求实数k 的值． [思路点拨] (1)证明A 、B 、D 三点共线，即证明存在实数λ，使AB ＝λBD ； (2)利用向量共线的条件列方程组求解．[精解详析] (1)∵BD ＝BC ＋CD ＝(2a ＋8b )＋3(a －b )＝5a ＋5b ，AB ＝a ＋b ， ∴AB ＝15BD ，∴AB ∥BD ，又AB 、BD 有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． (2)∵ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，∴存在实数λ，使得ke 1＋e 2＝λ(e 1＋ke 2)， ∴ke 1＋e 2＝λe 1＋λke 2，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. 又∵e 1和e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，即k ＝±1.[一点通] 利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a ＝λb ”， 通过向量关系得到“三点共线”的结论．3．已知e 1和e 2不共线，则下列向量a ，b 共线的序号是________． ①a ＝2e 1，b ＝2e 2②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2解析：对于②，b ＝－2a ；对于③，a ＝4b ，此时a 与b 共线． 答案：②③4．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：∵AB ＝5e ，CD ＝－7e ，∴CD ＝－75AB .∴AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |. 又∵|AD |＝|BC |， ∴四边形ABCD 是等腰梯形． 答案：等腰梯形5.如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．证明：∵D 为MC 的中点，且D 为AB 的中点， ∴AB ＝AM ＋AC ， ∴AM ＝AB －AC ＝CB . 同理可证明AN ＝AC －AB ＝BC .∴AM ＝－AN .∴AM ，AN 共线且有公共点A ， ∴M ，A ，N 三点共线.[例3] 如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．[思路点拨] 由已知得A 为BC 中点，D 为OB 的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．[精解详析] (1)依题意，A 是BC 中点， ∴2OA ＝OB ＋OC ， 即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45.[一点通] 利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．6．如图，已知▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝4OE .证明：在△OAE 中，OA ＋AE ＝OE ，同理，OB ＋BE ＝OE ，OC ＋CE ＝OE ，OD ＋DE ＝OE ，以上各式相加，得OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝4OE .7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：法一：连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形． ∴CN ＝－AD ＝－b . ∵CN ＋NB ＋BC ＝0， ∴BC ＝－NB －CN ＝b －12a ，MN ＝CN －CM ＝CN ＋12AN ＝14a －b .法二：在梯形ABCD 中， 有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0，即a ＋BC ＋(－12a )＋(－b )＝0.可得BC ＝b －12a .在四边形ADMN 中，有AD ＋DM ＋MN ＋NA ＝0， 即b ＋14a ＋MN ＋(－12a )＝0，可得MN ＝14a －b .1．向量数乘的基本运算应注意的问题(1)实数与向量的积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算； (2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算； (3)含向量的方程，一定要弄清未知量是实数还是向量． 2．向量共线定理的应用向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行．证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可．这一切都建立在向量共线定理的基础之上．因此向量共线定理是解此类问题的根本．课下能力提升(十六)一、填空题1．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b . 解析：∵|a |＝3，|b |＝2，∴|a |＝32|b |.又∵b 与a 反向，∴a ＝－32b .答案：－322．化简：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －4a －2b ＝________.解析：13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －4a －2b＝13(a ＋4b －4a ＋2b ) ＝13(－3a ＋6b )＝－a ＋2b . 答案：－a ＋2b3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.答案：324．如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)解析：MN ＝CN －CM ＝14CA －12CB ＝12BC －14AC ＝12AD －14(AB ＋AD )＝14AD －14AB ＝14(b －a )．答案：14(b －a )5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b二、解答题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋ke 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解：DB ＝CB －CD ＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB ＝2e 1＋ke 2，因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ∥DB .设DB ＝λAB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝2λ4＝λk⇒k ＝－8.7．如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，用BC 表示AD ＋BE ＋CF .解：因为AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC＝13(AB ＋BC )＋23AB ＝13AC ＋23AB ， BE ＝BA ＋AE ＝－AB ＋13AC ，CF ＝CA ＋AF ＝－AC ＋23AB .从而AD ＋BE ＋CF ＝13AC ＋23AB －AB ＋13AC －AC ＋23AB ＝13AB －13AC ＝13CB ＝－13BC .8.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上一点，且DE AE ＝CF BF＝12，若AB ＝a ，DC ＝b ，试用a 、b 表示EF . 解：法一：分别取AE 、BF 的中点G 、H ， 则有ED ＋EG ＝CF ＋HF ＝0，又EF ＝ED ＋DC ＋CF ，且EF ＝EG ＋GH ＋HF ，两式相加，得EF ＝12(b ＋GH )，即GH ＝2EF －b ， 同理GH ＝12(EF ＋a )．所以2EF －b ＝12(EF ＋a )，解得EF ＝13a ＋23b .法二：EF ＝EA ＋AB ＋BF ，①EF ＝ED ＋DC ＋CF .②由DE AE ＝CF BF ＝12，知EA ＝－2ED ；BF ＝－2CF . ②×2，得2EF ＝2ED ＋2DC ＋2CF ，③ ①＋③，得3EF ＝AB ＋2DC ＝a ＋2b ， ∴EF ＝13a ＋23b .。

第二课时 向量的线性运算――向量的加法编制：马林勇 审核：陈天正 日期： 12/11【学习目标】理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，掌握加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的运算。

【重点】向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

向量加法的交换律和结合律。

【难点】向量加法法则的运用。

【活动过程】活动一：问题情境，感受数学利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB （如图）这里，向量OA ，AB ，OB 三者之间有什么关系？活动二：小组合作，建构数学 1．向量加法的定义_______________________________________________________2．向量加法的三角形法则_________________________________________________ 具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。

（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。

简记为：“首尾相连，首是首，尾是尾”3．向量加法的平行四边形法则_______________________________________ 4．对于零向量和任一向量a 有 a a a =+=+00，对于相反向量有()()0 =+-=-+a a a a5．向量加法的运算律交换律____________________________结合律______________________________6．如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？活动三：学习展示，运用数学例1．作出下列向量的和：例2．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：O BAa b b b a a (1) (2) (3)（1）OC OA + （2）FE BC + （3）FE OA +例3．在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25。