2012年第十届走美杯初赛小学五年级(含解析)

第十届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛模拟卷注意事项：1. 考生要按要求在密封线内填好考生的有关信息．2. 不允许使用计算器．小学五年级试卷一、填空题（共5题，每题8分，共40分）1、 算式：1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）的计算结果是________________2、 2、用大小两辆火车运煤，大货车运了 9 次，小货车运了 12 次 ，一共运了 180 吨。

大货车的载重量等于小货车载重量的 2 倍，大货车的载重量为 吨，小货车的载重量为 吨3、三个正方形如图放置，中心都重合，它们的边长一次是 1cm 、3cm 、5cm ，图中阴影部分的面积是____平方厘米。

4、有两根同样长的绳子，第一根平均剪成 5 段，第二根平均剪成 9 段。

第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长 10 米。

原来的每根绳子长____米。

5、观察一组式,41409,25247,13125,543222222222222=+=+=+=+……根据以上规律，请你写出第7组的式子：__________________二、填空题（共5题，每题10分）6、右图的两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，四位数 ABCD =____。

7、A 、B 、C 、D 、E 五个盒子中依次放有 2、4、6、8、10 个小球。

第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出 4 个放在其他盒子中各一个球。

第二个小朋友也找到放球最多的盒子，从中拿出 4 个放在其他盒子中各一个球，依次类推，… ，当 2011 个小朋友放完后，A 盒中放有___个球。

8、右图是一个 6×6 的方格表，现在将格线将它分割成 N 个面积各不相等的长方形（含正方形）。

N 最大是___。

9、五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是____。

11届走美小学五年级试卷（C 卷）11届走美小学五年级试卷（C 卷）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.去掉20.13中的小数点，得到的整数比原来的数增加了多少倍．【分析】原数有2位小数，将小数点去掉，变为原数的100倍，即增加了99倍。

2.在面积为210平方厘米的长方形内如图摆放了3个大小一样的小正六边形，每个小正六边形的面积是多少平方厘米．【分析】如下左图，将原图进行分割，变为一些小三角形、大三角形、五边形及六边形。

如下右图，原图中较大的三角形可以分为2个小三角形，六边形可以分为12个小三角形，而显然五边形是六边形的一半，所以可以分为6个小三角形。

于是，原长方形可以被分为21223631260⨯+⨯+⨯+⨯=个小三角形，而每个正六边形由12个小三角形组成，其面积为210601242÷⨯=平方厘米。

3.某城市出租车计费如下：起步里程为3千米，起步费10元，起步里程后每千米收费为2元；超过8千米以上的部分每千米收费为2.40元．某人坐出租车到离城20千米的地方办事，到达时需付车费多少元．【分析】10(83)2(208) 2.448.8+-⨯+-⨯=元。

4. 从1开始，轮流加4和3，得到下面一列数1，5，8，12，15，19，22……在这列数中与2013最接近的那个数是__________．【分析】可以将这串数列分为两个数列，将其奇数项取出，构成首项为1，公差为7的等差数列；将偶数项取出，构成首项为5，公差为7的等差数列于是，第一个数列的通项可以写为71a +，第二个数列的通项可以写为75b +，而201372874=⨯+，于是，这列数中与2013最接近的数是2014。

11届走美小学五年级试卷（C 卷）5.如图所示，心形由两个半圆，两个扇形和一个正方形拼成，心形面积是多少cm2．（π取3.14）【分析】心形由2个直径为10厘米的半圆、两个半径为10厘米、圆心角为45°的扇形和一个边长为10厘米的正方形组成其面积为2221452 3.1452 3.1410102572360⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=平方厘米。

数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-2.乘除法数字谜（一）模块一、乘法数字谜【例 1】 下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？5×【考点】乘法数字谜 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第2题【解析】 乘积是两位数并且是5的倍数，因而最大是95.95÷5＝19，所以题中的算式实际上是59915×所以，所填四个数字之和便是1＋9＋9＋5＝24【答案】24【例 2】 下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数。

=美妙数学___________【考点】乘法数字谜 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第12题，五年级，初赛，第11题【解析】 由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”ד妙”<10，如果“美”为2，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，那么“妙”为偶数，即为4，推出“学”为7，又由 “美”+“学”=“数”，可知“数”为9，所以=美妙数学2497。

五年级奥数三角形等高模型与鸟头模型（二）教师版我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的13,则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例题精讲4-3-2.五年级奥数三角形等高模型与鸟头模型（二）教师版EDCBADECBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理,共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少？E DC B A AB C DE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷,∴1515ABC ADE S S ==．【答案】15【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBAABCDE甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S =又∵4BD DC ==, ∴2ABC ABD S S =,∴6ABCBDESS=,5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理,共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,2AF CF =,三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍,而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍,所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米 【答案】24【例 5】 如图16-4,已知．AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,决赛,第一题,9题 【解析】 如下图,连接AD,BE,CF.有△ABE,△ABC 的高相等,面积比为底的比,则有ABE ABCSS=AEAC,所以ABE S=AEAC×ABC S =15ABC S 同理有AEF S =AF AB ABE S ,即=AEF S =15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ,BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．【答案】61120【例 6】 如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份,则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△,设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米,三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯,五年级,初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =,可得23CE AC =．根据”共角定理”可得,():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得,:2:3CDE ACD S S =△△;,183212CDE S =÷⨯=△,6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =；延长BC 至E ,使2CE BC =；延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ．∵11 ABCDBCSS=,1ABCS=,∴S1DBC=．同理可得其它,最后三角形DEF的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中,ACB∠与FCE∠互补,∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=,所以8FCES=．同理可得6ADFS=,3BDES=．所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=．【答案】18【例 9】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD 的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：如下图,连接BD,ED,BG,有EAD、ADB同高,所以面积比为底的比,有2EAD ABD ABDEAS S SAB==．同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===．类似的,还可得6FCG BCDS S=,有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+==30平方厘米．连接AC,AF,HC,还可得6EFB ABCS S=,6DHG ACDS S=,有()66EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S+=+==30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和,即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD,有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA、AH,AB、AD的乘积比,EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6,所以EAHS=6ABDS．类似的,还可得FCGS=6BCD S,有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC,还可得EFBS=6ABC S,DHG S=6ACDS,有EFBS+DHG S=6（ABC S+ACDS）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH,△FCG,△EFB,△DHG,ABCD 的面积和, 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△,所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图,将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =,2BF BC =,于是4BEF ABC S S ∆∆=,同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =,3AH AD =,于是9AEH ABD S S ∆∆=,同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=． 那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【答案】60【例 13】 如图,在ABC △中,延长AB 至D ,使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =,F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中,ACB ∠与FCE ∠互补,∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=,所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△,3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图,1ABC S =△,5BC BD =,4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【答案】110【例 15】 如图所示,正方形ABCD 边长为8厘米,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =,8EFG S =,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFC S =,32ABFE S =,24ABF S =,所以12ABG S =平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF,则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a,则AGF∆与CEH∆的边长都是4a,所以大正三角形DEF的边长为4217⨯-=,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为16,三角形DEF的面积为496．由于4FA a=,3FB a=,所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249,所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=,所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=．【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出,虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=．【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺,最少测量次,就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

1. 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

2. 和倍问题的数量关系式是：1) 和÷(倍数+1)=小数2) 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数【例 1】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍。

买来的乒乓球和羽毛球各多少个？乒乓球羽毛球一共40个"1"【解析】 羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数。

40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数；把羽毛球的个数乘以4就是乒乓球的个数。

羽毛球有40(41)8÷+=个。

乒乓球有8432⨯=个或乒乓球有40832-=个。

第八讲和倍问题知识概述例题精讲【拓展】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍。

爷爷比小华大多少岁？爷爷小华一共72岁"1"【解析】 （方法一）小华今年72(71)9÷+=岁。

爷爷今年9763⨯=岁或爷爷今年9763⨯=岁。

爷爷比小华大63954-=岁。

（方法二）小华今年72(71)9÷+=岁。

爷爷比小华大9(71)54⨯-=岁。

【例 2】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【拓展】 被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？ 【解析】 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

2011⾛美杯5、6年级初赛试题五年级初赛⼀、填空题Ⅰ（每题8 分，共40 分）1. 算式1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)的计算结果是．2. ⽤⼤⼩两辆货车运煤，⼤货车运了9 次，⼩货车运了12 次，⼀共运了180 吨．⼤货车的载重量等于⼩货车载重量的2 倍，⼤货车的载重量是吨，⼩货车的载重量是吨．3. 三个正⽅形如图放置，中⼼都重合，它们的边长依次是1cm、3cm、5 cm，图中阴影部分的⾯积是cm 2．4. 有两根同样长的绳⼦，第⼀根平均剪成5 段，第⼆根平均剪成9 段．第⼀根剪成的每段⽐第⼆根剪成的每段长10 ⽶．原来每根绳⼦长⽶．5. 观察⼀组式⼦：32 +42 = 52 ，52 +122 =132 ，72 +242 = 252 ，92 +402 =412，……．根据以上规律，请你写出第7 组的式⼦：．6. 右图的两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．四位数ABCD ＝．7. A、B、C、D、E 五个盒⼦中依次放有2、4、6、8、10 个⼩球．第⼀个⼩朋友找到放球最多的盒⼦，从中拿出4 个放在其他盒⼦中各⼀个球．第⼆个⼩朋友也找到放球最多的盒⼦，从中拿出4 个放在其他盒⼦中各⼀个球；依此类推，……．当2011 个⼩朋友放完后，A 盒中放有个球．8. 右图是⼀个6×6 的⽅格表，现在沿格线将它分割成N 个⾯积各不相等的长⽅形（含正⽅形）．那么，N 最⼤是．4－ 5 19＋ 240×6＋ 4×2－2÷ 2 12＋1120×9. 五个连续⾃然数，每个数都是合数，这五个连续⾃然数的和最⼩是．10. 在右图的每个格⼦中填⼊ 1～5 中的⼀个，使得每⾏、每列所填数字各不相同．每个粗框左上⾓的数和“＋”、“－”、“×”、“÷”分别表⽰粗框内所填数字的和、差、积、商（例如“240×”表⽰它所在粗框内的四个数字的乘积是 240）．三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 60 分）11. n 名棋⼿进⾏单循环⽐赛，即任两名棋⼿间都⽐赛⼀场．胜者得 2 分，平局各得 1 分，负者得 0 分．⽐赛完毕后，前 4 名依次得 8、7、4、4 分．n ＝．12. 如图，⼤长⽅形被分成了四个⼩长⽅形．已知四个⼩长⽅形的周长分别是 1、2、3、4，且四个⼩长⽅形中恰有⼀个正⽅形．⼤长⽅形的⾯积是．13. 某校五年级⼆班 35 个同学，学号分别为 1~35．⼀天他们去春游．除了班长之外，其余 34个同学分成 5 组，结果发现每个⼩组的同学学号之和都相等；后来这 34 个同学⼜重新分成 8 组，结果发现每个⼩组的同学学号之和还是相等．班长的学号是．．14. 9 个⼩等边三⾓形拼成了如图的⼤等边三⾓形．每个⼩等边三⾓形中都填写了⼀个六位数，且有公共边的两个⼩等边三⾓形所填的六位数恰有⼀位不同．现已有⼩等边三⾓形中填好数．另外 6个⼩三⾓形，共有种填法．15. 相距 180 千⽶的 A 、B 两地之间有⼀条单车道的公路（即不许超车）．有⼀天，⼀辆⼩轿车从 A 出发，同时，⼀辆⼤货车在 A 、B 之间的某地 C 出发，都沿该公路驶向 B 地．两辆车到达 B 地所⽤时间之和为 5 ⼩时．如果交换两车的出发位置，并让两车仍然同时出发，那么它们到达 B 地所⽤时间之和仍为 5 ⼩时．已知在没有货车挡道时⼩轿车的速度是⼤货车速度的 3 倍，那么 BC 间的路程为千⽶． A C B六年级初赛⼀、填空题Ⅰ（每题8 分，共40 分）1. 算式(2011－9)÷0.7÷1.1 的计算结果是．【答案】2600【解析】原式＝2002÷7÷11×100＝2600．2. 全世界胡杨90%在中国，中国胡杨90%在新疆，新疆胡杨90%在塔⾥⽊．塔⾥⽊的胡杨占全世界的%．【答案】72.9【解析】90%×90%×90%＝72.9%．3. 半径为10、20、30 的三个扇形如图放置，S2 是S1 的倍．S2【答案】5【解析】S1＝π×102÷4＝25π，S2＝(π×302－π×202)÷4＝125π．所以，S2÷S1＝125π÷25π＝5 倍S14. 50 个各不相同的正整数，它们的总和是2011，那么这些数⾥奇数⾄多有个．（43）【答案】43【解析】最⼩的45 个奇正整数的和为1＋3＋5＋…＋89＝452＝2025＞2011，所以奇数个数不到45 个．另⼀⽅⾯，2011 为奇数，所以奇数的个数得为奇数，所以所以奇数个数⾄多43 个．另⼀⽅⾯，当这50 个数为1、3、5、…、85、2、4、6、8、10、12、120 是满⾜要求的⼀组数，它就有43 个奇数．5. A、B、C 三队⽐赛篮球，A 队以83:73 战胜B 队，B 队以88:79 战胜C 队，C 队以84:76 战胜A 队．三队中得失分率最⾼的出线．⼀队得失分率为得的总分，如A 队得失分率为失的总分83 + 76 ．三队中，队出线．73 +84【答案】A【解析】A 队的得失分率为83 + 76 =159 >1，B 队的得失分率为73 + 88 =161 <1，C 队的得失73 +8415783 +79162分率为79 + 84 =163 <1．所以，A 队得失分率最⾼，于是A 队出线．88 +76164⼆、填空题Ⅱ（每题10 分，共50 分）AB6. 如图，⼀个边长为120cm 的等边三⾓形被分成了⾯积相等的五块；那么，AB＝cm． C GF 【答案】45D E 【解析】因为S ?ACF=3 ，所以AC =AD?3 =120?3 = 90 (cm)．S4 4 4ADF同理，因为S?ABG=1 ，所以AB =AC ?1 =90?1 =45(cm)．2 2 2SACG7. 某校六年级学⽣中男⽣⼈数占52%，男⽣中爱踢⾜球的的占80%，⼥⽣中不爱踢⾜球的的占70%．那么，在该校全体六年级学⽣中，爱踢⾜球的学⽣占%．【答案】56【解析】(1－52%)×(1－70%)＋52%×80%＝56%．8. 在每个⽅框中填⼊⼀个数字，使得乘法竖式成⽴．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是．【答案】2030【解析】由ABC×2＝□0□得C≤4，B＝0 或5．同时对⽐ABC×D＝□1□知D≥3，若A≥3，则ABC×D＞900，万位就要进位了．所以A≤2．若B＝5，则D 也为偶数，由D≥3 得D≥4，由ABC×D＝□1□知A＝1．考A B CD E 21118＋ 43 65 1－1 2 30× 325 11＋ 4 61 600× 65 2÷2 3÷13 72×4 54113＋ 6233＋ 2 5－1 12＋ 4 356 1 6 3 2 20× 45 虑到 ABC ×E ＝□□1□知 E ＝8，由 C ×E ＝1□，知 C ≤2．由 ABC ×D ＝□1□知 D ＝4，由 C×D ＝1□有 C ≥3．⽭盾！所以 B ＝0．当 B ＝0 时，A0C ×E ＝□□1□，知 A ≥2，所以 A ＝2．再由 20C ×E ＝□□1□知 E ≥5，且 C ≤3若 C ＝2，202×D ＝□1□⽆解，所以 C ＝3．由 C ×D ＝3×D ＝1□知 D ≥4，由 203×D ＝□1□知 D ≤4．所以 D ＝3．由 C ×E ＝3×E ＝1□，知 E ≤6，所以 E ＝5、6．验算知，203×452 与 203×462 均满⾜要求．所以，203×462－203×452＝203×(462－452)＝203×10＝2030．9. ⼤⼩相同的⾦、银、铜、铁、锡正⽅体各⼀个，拼成如图的“⼗”字．⼀共有种不同的拼法（旋转以后可以重合的拼法看成是相同的拼法）．【答案】15【解析】先选择中⼼处的正⽅体，有 5 种选择，不妨设中⼼处是⾦正⽅体．再看哪个正⽅体与银正⽅体相对，有铜、铁、锡这 3 种选择．所以，共 5×3＝15 种不同的拼法．10. 在右图的每个格⼦中填⼊ 1～6 中的⼀个，使得每⾏、每列所填数字各不相同．每个粗框左上⾓的数和“＋”、“－”、“×”、“÷”分别表⽰粗框内所填数字的和、差、积、商（例如“600×”表⽰它所在粗框内的四个数字的乘积是600）．【答案】如图三、填空题Ⅲ（每题 12 分，共 60 分）11. ⽤ 1，3，5，7，9 这五个数字组成若⼲个合数，每个数字恰好⽤⼀次；那么，这些合数的总和最⼩是．【答案】214【解析】若组成的合数中最⼤的为两位数，⽽ 1、3、5、7、9 中合数只有 9，则为 2 个两位合数和 1 个⼀位合数．注意到13、31、37、73、17、71 都是质数，所以此时⽆解．若组成的合数中最⼤的为两位数，⽽ 1、3、5、7、9 中合数只有 9，则为 1 个三位合数和 1 个两位合数．⼜注意到 137、159 都是质数，所以百位⾄少是 1，⼗位数字⾄少是 3＋7，于是这些合数的总和⾄少是 1×100＋(3＋7)×10＋5＋9＝214．⽽ 175＋39＝214．综上所述，这些合数的总和最⼩是 214．12. 右图的盒⼦，⾼为 20cm ，底⾯数据如右下图．这个盒⼦的容积是 cm 3．（π取 3.14）【答案】862.8【解析】V ＝[(9＋2)×4－12×4＋π ×12]×20＝800＋20π≈862.8(cm 3)13. ⼀件⼯程，按甲、⼄、丙各⼀天的顺序循环⼯作，恰需要整数天⼯作完毕．如果按丙、甲、⼄各⼀天 4 的顺序循环⼯作，⽐原计划晚 0.5 天⼯作完毕．如果按⼄、丙、甲各⼀天的顺序循环⼯作，⽐原计划晚 1 天⼯作完毕．⼄单独完成这件⼯程需要 30 天．甲⼄丙三⼈同时做，需要天完成．【答案】7.5【解析】按甲、⼄、丙各⼀天的顺序循环⼯作，所需天数⼀定不是 3 的倍数，否则按其它顺序循环⼯作，所需天数应该和原计划⼀样．同理，按⼄、丙、甲各⼀天的顺序循环⼯作，所需天数也是整数天，也不是 3 的倍数．所以原计划所需天数为 3K ＋1 天（K 为整数）．设甲、⼄、丙的⼯效分别为 x 、y 、z ，对⽐按丙、甲、⼄各⼀天的顺序循环⼯作与原计划的⼯作，有 x ＝z ＋0.5x ．对⽐按⼄、丙、甲各⼀天的顺序循环⼯作与原计划的⼯作，有 x ＝y ＋z ．解得，x :y :z ＝2:1:1．y ＝ 1 ，则 x ＝ 1 ，z ＝ 1．30 15 所以，甲⼄丙三⼈同时做，需要1 1 30 1 1 2 ? = 1 ÷ = 7.5(天)．÷ ? + ? 15 30 +301514. 甲、⼄⼆⼈相向⽽⾏，速度相同．⽕车从甲⾝后开来，速度是⼈的 17 倍．车经过甲⽤ 18秒钟，然后⼜过了 2 分 16 秒完全经过了⼄的⾝边．甲、⼄还需⽤【答案】1088【解析】设⼈的速度为每秒⾛ 1 份，则⽕车速度为 17 份/秒．2 分 16 秒即 136 秒钟⽕车车尾与甲间的路程为(17－1)×136 ⽶，这就是此时甲、⼄间的路程．所以，甲、⼄还需⽤(17－1)×136÷(1＋1)＝1088(秒)钟相遇．15. 100 名学⽣站成⼀列．从前到后数，凡是站在 3的倍数位置的学⽣都⾯向前⽅，其余学⽣都⾯向后⽅．当相邻两个学⽣⾯对⾯时，他们就会握⼀次⼿，然后同时转⾝．当不再有⼈⾯对⾯时，⼀共握过了次⼿．【答案】1122【解析】每握⼀次⼿，两⼈转⾝可以看成这两⼈交换位置，朝向不变．这样的话，最后 3 号要⾛到 1 号位置，要交换 2 次位置，即握 2 次⼿；6 号要⾛到 2 号位置，要交换 4 次位置，即握 4 次⼿；9 号要⾛到 3 号位置，要交换 6 次位置，即握 6 次⼿；……； 99 号要⾛到 33 位置，要交换 66 次位置，即握 66 次⼿．所以，⼀共握⼿ 2 + 4 + 6 ++ 66 = 1122次．。

第六届“走进每秒的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛小学六年级试卷一、填空题I(每题8分，共40分)1. 11111111 612203042567290+++++++=解：原式=11111111223349102105-+-++-=-=L L2．一个表面积为56emz的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是______cm2．解：每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积,所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为168cm2.3．将2、4、6、8、12、18、24、36、72填人右边的九宫格，使每行每列及两条对角线上三数的积都相等．每行的三个数的积是______．解：每行三个数的积相等，所以这个积的3次方等于9个数的积，这就个数是：2130、2230、2131、2330、2231、2132、2331、2232、2332，它们的积21839，所以每行上的3个数的积为2633=1728. 4.0.2.0080.A BCC A B••••=，三位数ABC的最大值是多少？解析：2.008化为分数是251125，可以约分为251125的分数有502250、753375，所以ABC的最大值为753.5． 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO 的面积为______．分析：根据容斥关系：四边形EFGO 的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积 三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50 所以四边形的面积=60-50=10二、填空题Ⅱ(每题l0分，共50分)6． 如图，ABCD 是正方形．阴影部分的面积为_______．（π取3．14）分析：正方形和它的内切圆的面积比是固定的，即4：π.小正方形的面积等于（3+5）2-4×3×5÷2==34，所以其内切圆的面积等于34÷4×（4-π）=7.317． 用数字l ～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有种组成方法．分析：l ～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.8．N 为自然数，且1+N ，2+N 、……、9+N 与690都有大于l 的公约数．N 的最小值为_______．解析：690=2×3×5×23，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l 的公约数.所以9个数中只有4个奇数，剩下的5个数，有3个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则1+N 、3N +、5N +、7N +、9N +是偶数，剩下的4个数中2+N 、8N +是3的倍数（5各偶数当中只有5N +是3的倍数），还有4N +、6N +一个是5的倍数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，5N +是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然524N +=是最小解，所以N 的最小值为19.9． 50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报l ，跳过一人第 三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是_______．分析：将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951……101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n 次报数的人的编号为()12n n +, 报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，我们知道36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以报2008的同学第一次报8.10．用l —9填满三角形空格，一个格子只能填人一个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不相连的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次．分析：解题顺序如第二附图，依照A 、B 、C 、D ……的顺序.三、填空题Ⅲ(每题l2分，共60分)11．A 、B 两杯食盐水各有40克，浓度比是 3：2．在B 中加入60克水，然后倒人A 中________克．再在A 、B 中加人水，使它们均为100克，这时浓度比为7：3．分析：在B中加入60克水后，B盐水浓度减少为原来的25，但溶质质量不变，此时两杯盐水的盐质量比仍然为3：2，B中的盐占所有盐的质量的22325=+，但最终状态B中的盐占所有盐的质量的337310=+，也就是说B中的盐减少了32111054-÷=，也就是说从A中倒出了14的盐水，即25克.12．中午l2时，校准A、B、C三钟．当天下午A钟6点时，B钟5点50分；B钟7点时，C钟7点20分．晚上C钟11点时，A钟_____点_____分，B钟_______点_____分．分析：下午A钟6点，B钟5点50分，两钟的运行比为360：350=36：35B钟7点时，C钟7点20分，时钟运行比为420：440=21：22，A:B:C=108:105:110所以C钟11点的时候，A钟10：48，B钟10：30.13．一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有______种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．分析：枚举法，枚举出所有方法：1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4231、4312、4321.14．机器人A、B从P出发到Q，将Q处的球搬到P点．A每次搬3个，往返一次需l5秒．8每次搬5个，往返一次需25秒．竞赛开始8立即出发，A在B后10秒出发．在竞赛开始后的420秒内，A领先的时间是_______秒，B领先的时间是______秒．(领先指搬到P的球多)．分析：对俩机器人的工作情况分别ABA-B:时间0- 25- 40- 50- 55- 70- 75- 85- 100- 115 ……个数差0 -2 1 -4 -1 2 -3 0 -2 1 ……所以从25秒开始，每隔75秒就会出现一个循环，即周期为75秒.前25秒，A、B都没有完成搬运。

知识概述一、运用运算律简化运算：（1）乘法交换律：a b b a⨯⨯＝（2）乘法结合律：()()a b c a b c a b c⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝（3）乘法分配律：()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯,()a b c a c b c-⨯=⨯⨯－（4）除法分配性质：()a b c a c b c+÷=÷+÷,()-a b c a c b c-÷=÷÷二、计算中变换的规律：（1）和不变的规律：如果一个加数增加,另一个加数减少同一个数,它们的和不变。

（2）差不变的规律：如果减数和被减数同时增加或减少相同的数,差不变。

（3）积不变的规律：如果一个因数扩大几倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变。

（4）商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变。

三、常用的技巧和方法：拆分、凑整和分组。

四、在小数计算中,可利用小数点位置的变化简化运算。

速算巧算历届杯赛考试中,对学生的计算能力的考察是必不可少的。

这部分的题目难度不大,但是方法很巧妙,目的是考察大家的基本运算和巧算的能力。

要做好这些题目,就需要同学们在掌握好最基本的计算知识和方法的基础上多做题,从而锻炼自己的运算能力。

在计算的过程中也有许多技巧方法可以帮助我们加快计算速度、提高正确率。

名师点题计算：（1）67×200+254×33+54×67（2）9999×8+1111×28【解析】（1）67×200+254×33+54×67 （2）9999×8+1111×28=（67×200+54×67）+254×33 =1111×72+1111×28=67×（200+54）+254×33 =1111×（72+28）=67×254+254×33 =1111×100=254×（67+33）=111100=25400计算：（1）37÷36+105÷36+146÷36（2）11÷17+17÷19+20÷17+40÷19+37÷17【解析】（1）37÷36+105÷36+146÷36 （2）11÷17+17÷19+20÷17+40÷19+37÷17 =（37+105+146）÷36 =（11÷17+20÷17+37÷17）+（17÷19+40÷19）=288÷36 =（11+20+37）÷17+（17+40）÷19=8 =7计算：2008×20022002-2002×20082008【解析】2008×20022002-2002×20082008=2008×2002×10001-2002×2008×10001=0【巩固拓展】计算：（1）9999×2222+3333×3334（2）1994×19931993-1992×19941994例3例2例1【解析】（1）9999×2222+3333×3334 （2）1994×19931993-1992×19941994 =3333×6666+3333×3334 =1994×1993×10001-1992×1994×10001=3333×（6666+3334）=1994×10001×（1993-1992）=3333×10000 =1994×10001=33330000 =19941994（3）42×39+296÷37+83÷37+37×39-9÷37+39×21=（42×39+37×39+39×21）+（296÷37+83÷37-9÷37）=（42+37+21）×39+（296+83-9）÷37=100×39+370÷37=3910（第十届“中环杯”五年级决赛试题）计算：11×91+125×999+250【解析】()1191125999125210011259992100112510011261001126126=⨯+⨯+⨯=+⨯+=+⨯=⨯=原式【巩固拓展】计算：99×22+88×33+77×44+66×55【解析】()992288337744665511111811112411112811113011111824283012110012100=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+++=⨯=原式例1计算：1.83320183 6.718.3⨯+⨯+【解析】()18.33218.36718.3118.33267118.31001830=⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=原式【巩固拓展】计算：1.2567.8751250.675 1.2524.625⨯+⨯+⨯【解析】()1.2567.875 1.2567.5 1.2524.6251.2567.87567.524.6251.251601.258201020200=⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=⨯⨯=⨯=原式计算：296297-298295⨯⨯【解析】()()()296297-298295296298-1-298295296298-296-298295296298-298295-296298296-295-296298-2962=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯==原式【巩固拓展】计算：1234234512332346⨯-⨯例3例2【解析】()()()123423451233234612342346-1-1233234612342346-1234-1233234612342346-12332346-123423461234-1233-12342346-12341112=⨯-⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯==原式计算：200420052006-200320052007⨯⨯⨯⨯【解析】()()[][][]()[]2005200532005200420062003200720052004200712003200720052004200720042003200720052004200720042003200720042003200720046015==⨯⨯⨯⨯-⨯=⨯⨯--⨯=⨯⨯--⨯=⨯⨯--⨯-⨯-==原式【巩固拓展】（第十一届“中环杯”五年级决赛试题）计算：201120111949195019502009⨯⨯－【解析】()()()[]2011100011949-19501000120091000120111949-200919501000120111950-2011-200919501000119502011-2009-201110001188918891889=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=原式计算：0.10.30.50.70.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 +++++++++例5例4【解析】()0.1 1.9102210210=+⨯÷=⨯÷=原式【巩固拓展】计算：0.10.20.30.90.100.110.120.980.99 ++++++++++【解析】()() ()()0.10.20.30.90.100.110.120.980.990.10.9920.100.999024.549.0553.55=++++++++++=+⨯÷++⨯÷=+=原式（第八届“中环杯”五年级初赛试题）计算：1000999998997996995994993104103102101+--++--+++--【解析】()()() ()[]100099999899799699599499310410310210141000-1011449004900=+--++--+++--=⨯+÷=⨯÷=原式【巩固拓展】计算：20062005-200420032002-200154-321++++++++【解析】()()()()()()[]()20062005-200420032002-200154-32120072004200163200732007-3312200736692672345=++++++++=+++++=+⨯÷+÷=+⨯÷=原式例6计算：（1）37.5×3×0.112+35.5×12.5×0.224（第十届“中环杯”五年级初赛试题） （2）3.6×42.3×3.75 – 12.5×0.423×28（第十一届“中环杯”五年级初赛试题）【解析】 （1）()()12.50.112971 12.59710.112 10000.112 112=⨯⨯+=⨯+⨯=⨯=原式 （2）()()()()3.642.3 3.75 1.2542.3 2.842.3 3.6 3.75 1.25 2.8 42.3 3.63 1.25 1.25 2.8 42.310.8 1.25 1.25 2.8 42.310.8 2.8 1.25 423=⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⨯-⨯=原式计算：（1）41.2×8.1+53.7×19+1.1×12.5（2）31.3×7.7+11×8.85+0.368×230（第十三届“中环杯”五年级初赛试题）【解析】 （1）()()()41.28.141.212.5 1.9 1.112.5 41.28.141.2 1.912.5 1.9 1.112.541.28.1 1.912.5 1.9 1.1 41237.5 449.5=⨯++⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+=+=原式（2）()()()3.137755 1.77 3.68233.13770.55177 3.130.55233.1377230.5517723 313110 423=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯++⨯=⨯++⨯+=+=原式例3例2例1计算：（1）6.1+6.3+6.5+…+9.9-6.2-6.4-6.6 -…-9.8 （第九届“中环杯”五年级初赛试题） （2）（第十届“小机灵杯”五年级复赛试题）0.1-（0.1+0.3）+（0.1+0.3+0.5）-（0.1+0.3+0.5+0.7）+…-（0.1+0.3+…+9.5）+（0.1+0.3+0.5+…+9.7）【解析】 （1）()()()() 6.10.1 6.10.1 86.1 6.3 6.2 6.5 6.49.99.89.9 6.30.2119==+⨯=+⨯=+-+-++--÷+⎡⎤⎣⎦原式（2）()()[]()()[]()()[]()()[]0.1+0.10.30.50.10.30.10.30.50.7+0.90.10.30.50.7 0.10.30.59.70.10.39.5 0.10.50.99.70.19.79.70.10.412 9.8252 122.5=++-+++++-+++++++++-+++=++++=+⨯-÷+÷=⨯÷=原式（第二届“走美杯”五年级试题） 计算：100×101-99×100+98×99-97×98+96×97-95×96+…+2×3-1×2【解析】()()()()()() 10098962 10098962 100101991009899979896979596231210199999797953122221002100221225100==⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯----+⨯-÷+÷⨯⎡⎤⎣⎦=原式观察：()()()()234-1234-123345-2345-234456-3456-345567-4567-456⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯计算：122334989999100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【解析】 观察发现：()()()()23234-123334345-234345456-345356567-4563⨯=⨯⨯⨯⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯÷()()()()()()[]()12233498999910012234-1233345-234399100101-9899100312234-123345-23499100101-98991003299100101-12332991001013-12339910010139931⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯÷+⨯⨯⨯⨯÷++⨯⨯⨯⨯÷=⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯÷=+⨯⨯⨯⨯÷=+⨯⨯÷⨯⨯÷=⨯⨯÷=÷⨯01100333300⨯=【练习1】 计算：（1）()()1351989-2461988++++++++（2）()()()()()2-24246-2468-24962498+++++++++++++++【解析】 （1）()()()1989-19881987-19863-21119902995=++++=⨯÷=原式（2）()()()()()()[]2246-24246810-24682498-2496 261098(298)(98-2)412100252 1250++++++++++++++++=++++=+⨯÷+÷=⨯÷==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦++++原式【练习2】 计算：（1）200720082008200820072007⨯-⨯ （2）200320022001200120022003⨯-⨯（3）2011201020122013201120112012201210002⨯⨯+－【解析】 （1）2007200810001-2008200710001 0=⨯⨯⨯⨯=原式（2）()()()()200320022003-2-200120022003 200320022003-20032-200120022003200320022003-200120022003-20032 2003-200120022003-20032 20022003-20032 40040000=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=原式（3）()() 20112011-2012201310002 20112011-2012201310002 020112011-12012201320112011201220121000220122013-20122012==⨯+=+=⨯⨯+原式-【练习3】 计算：（1）4.820.590.411.590.323 5.9⨯⨯⨯＋－（2）7.816 1.45 3.14 2.184 1.697.816⨯+⨯+⨯（3）3.47 6.9 6.53 3.1 3.06 1.9⨯+⨯+⨯【解析】 （1）()()4.820.59-3.230.590.41 1.594.82 3.230.590.41 1.591.590.590.41 1.59=⨯⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+=原式－（2）()()()7.816 1.45 1.697.816 3.14 2.1841.45 1.697.816 3.142.1843.147.816 2.184 31.4=⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯=⨯+=原式（3）()()()()()3.47 6.9 3.47 3.06 3.1 3.06 1.9 3.47 6.9 3.47 3.1 3.06 3.1 3.06 1.93.47 6.9 3.47 3.1 3.06 3.1 3.06 1.9 3.47 6.9 3.1 3.06 3.1 1.9 3.4710 3.0656.945 3.0=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+=⨯+⨯=⨯+原式＋6510550⨯=⨯=【练习4】 计算：0.10.30.50.70.90.110.130.150.970.99++++++++++【解析】 ()()()[]0.10.9520.110.990.990.110.02122.5 1.1452 27.25=+⨯÷++⨯-÷+÷=+⨯÷=原式【练习5】 如果6267*=+,53567*=++,4545678*=++++,…,那么556575105_____*+*+*++*=【解析】 ()()()()()()5565751055678967891078910111011121314758595125789125712625285*+*+*++*=++++++++++++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯=++++⨯=+⨯÷⨯=。

⼩学奥数教程：进制的应⽤_全国通⽤（含答案）1. 了解进制；2. 会对进制进⾏相应的转换；3. 能够运⽤进制进⾏解题⼀、数的进制1.⼗进制：我们常⽤的进制为⼗进制，特点是“逢⼗进⼀”。

在实际⽣活中，除了⼗进制计数法外，还有其他的⼤于1的⾃然数进位制。

⽐如⼆进制，⼋进制，⼗六进制等。

2.⼆进制：在计算机中，所采⽤的计数法是⼆进制，即“逢⼆进⼀”。

因此，⼆进制中只⽤两个数字0和1。

⼆进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，⼆进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在⼆进制中表⽰为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

⼆进制的运算法则：“满⼆进⼀”、“借⼀当⼆”，乘法⼝诀是：零零得零，⼀零得零，零⼀得零，⼀⼀得⼀。

注意：对于任意⾃然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：⼀般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进⼀”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如⼆进位制的计数单位是02，12，22，，⼋进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=?+?++?+（）⼗进制表⽰形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；⼆进制表⽰形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下⽅写上k ，表⽰是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表⽰⼋进位制，⼆进位制，⼗⼆进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和⼗进制⼀样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

⼆、进制间的转换：⼀般地，⼗进制整数化为k 进制数的⽅法是：除以k 取余数，⼀直除到被除数⼩于k 为⽌，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为⼗进制数的⼀般⽅法是：⾸先将k 进制数按k的次幂形式展开，然后按⼗进制数相加即可得结果．如右图所⽰:知识点拨教学⽬标5-8-2.进制的应⽤模块⼀、进制在⽣活中的运⽤【例 1】有个吝啬的⽼财主，总是不想付钱给长⼯。

几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。

我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。

掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。

解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

模块一、简单分割【例 1】3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A和B分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题【解析】将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

【答案】90平方厘米【例 2】正方形ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．D CBA【考点】图形的分割【难度】2星【题型】解答【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【答案】9平方米例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116，所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【答案】13平方米【例 5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯= (平方米)【答案】2平方米【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。

分解质因数（一）1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯例题精讲 知识点拨 教学目标【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。

1. 五年级奥数余数性质（一）教师版2. 理解弃9法,并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减。

例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同,那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为1知识点拨 教学目标5-5-3.余数性质（三）1898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。

1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，例题精讲知识点拨知识框架5-3-1.质数与合数（一）将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例 2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。