学而思高中数学13-集合的概念与表示复习课程
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题型一 集合的性质
【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.
A. 中国古代四大发明
B. 地球上的小河流
C. 方程210x -=的实数解
D. 周长为10cm 的三角形
【例2】在“①难解的题目；②方程x2+1=0在实数集内的的解；③直角坐标平面上第四
象限内的所有点；④很多多项式”中，能组成集合的是（）
A ②③
B ①③
C ②④
D ①②④
【例3】分析下列各组对象能否构成集合：
（1）比2008大的数；
（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点；
（3）正比例函数y x =与反比例函数1y x
=-
的图象的交点； （4）面积比较小的三角形.
【例4】下面四个命题正确的是（ ）
A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}
B ．“个子较高的人”不能构成集合
C ．方程0122=+-x x 的解集是{1，1}
D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2| 典例分析
板块一.集合的概念与表示
【例5】下面的结论正确的是（ ）
A ．Q ax ∈，则N a ∈
B ．N a ∈，则∈a {自然数}
C ．012
=-x 的解集是{-1，1}
D ．正偶数集是有限集
【例6】已知集合S ={c b a ,,}中的三个元素可构成∆ABC 的三条边长，那么∆ABC 一定
不是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
【例7】已知集合()(){}
210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为
【例8】求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围.
【例9】下面有四个命题：
⑴集合N 中最小的数是1；
⑵若a -不属于N ，则a 属于N ；
⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2；
⑷212x x +=的解可表示为{}1,1；
其中正确命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【例10】下列命题正确的有（ ）
⑴很小的实数可以构成集合；
⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；
⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【例11】下列各选项中的M 与P 表示同一集合的是 （ ）
A.{0},M P ==∅
B.{(3,7)},{(7,3)}M P =-=-
C.2{(,)|3,}M x y y x x R ==+∈, 2{|3,}P y y x x R ==+∈
D. 22{|1,},{|(1)1,}M y y t t R P t t y y R ==+∈==-+∈
【例12】已知集合A={01682=+-x kx }只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法
表示集合A 。
题型二集合的表示法
【例13】下列集合表示法正确的是（ ）
A.{1,2,2}
B.{全体实数}
C.{有理数}
D.不等式052>-x 的解集为{052
>-x }
【例14】方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()5,4- C ．(){}5,4- D ．(){}5,4-．
【例15】已知集合{|8}M x N x N =∈-∈，则M 中元素的个数是 （ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【例16】试选用适当的表示方法表示下列集合：
（1）一次函数3y x =-+与26y x =+的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数224y x x =-+的函数值组成的集合；
（3）反比例函数254
y x =
-的自变量的值组成的集合.
【例17】用列举法表示下列集合
⑴ 方程2260x x +-=的根；
⑵ 不大于8且大于3的所有整数；
⑶ 函数32y x =+与1y x
=的交点组成的集合．
【例18】已知集合8|6A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎭
⎩N N ，试用列举法表示集合A ．
【例19】判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集，指出其元素的个数.
（1）{|4012124031}A x Z x =∈-<-≤；
（2）平面内到线段AB 的两个端点距离距离相等的点P 的集合.
【例20】用列举法表示集合：10,1M m m m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭
Z Z
【例21】已知a ∈Z ，{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件
的a 的值．
【例22】直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）
A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠
B ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭
C ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭
D ．{}
2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠
【例23】已知2()(R ,R)f x x ax b a b =++∈∈，{|(),R}A x x f x x ==∈，
{|[()],R}B x x f f x x ==∈．当{1,3}A =-时，用列举法表示集合B ．
题型三集合与元素的关系
【例24】用“∈”或“∉”填空：
⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；
⑵ 0___∅；
⑶ 0___{0}．
【例25】用符号“∈”或“∉”填空
⑴0______N ， ______N N ⑵1______,π_______,e ______2
-R Q Q Q ð（e 是个无理数）
{}
|,,x x a a b =+∈∈Q Q
【例26】已知},2|{N x k x x P ∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，求k 。
【例27】设集合},4
121|{Z k k x x A ∈+==，若29=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂ B ．A x ∈ C ．A x ∈}{ D ．A x ⊂}{
【例28】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：
17 A ； －5 A ； 17 B.
【例29】给出下列关系：
（１）｛０｝是空集；
（２）若a N ∈，则a N -∉； （３）集合{}
2210A x R x x =∈-+= （４）集合6B x Q N x ⎧
⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭
其中正确的个数为 （
） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个
Ｄ．０个
【例30】集合{}31,A x x n n ==+∈Z ，{}32,B x x n n ==+∈Z ，
{}63,C x x n n ==+∈Z ．
⑴若c C ∈，问是否有a A ∈，b B ∈，使c a b =+；
⑵对于任意a A ∈，b B ∈，是否一定有a b C +∈？并证明你的结论．
【例31{}
,a R b R +∈∈连接起来．
【例32】设{|,,}S x x m m n ==+∈Z
⑴若a ∈Z ，则a 是否是集合S 的元素？ ⑵对于S 中任意两个元素1x 、2x ，则12x x +、12x x ⋅是否属于S ？
⑶对于给定的整数n ，试求满足01m <+<的S 中元素的个数．
【例33】已知集合A ＝{x |x ＝m 2－n 2,m ∈Z ,n ∈Z}
求证：（1）3∈A ；
（2）偶数4k —2 (k ∈Z)不属于A.。
