湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.1变化率问题教案 新人教版选修2-2

§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

1．1.1 变化率问题教学目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.教学导入知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？[答案]自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？[答案]对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．梳理(1)：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2) 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率定义式实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1． 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．[答案] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[答案] 当Δt 趋近于0时，Δs Δt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 题型探究类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．反思与感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则Δy Δx＝________. (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．[答案](1)Δx (2)12 34[解析](1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx. ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx＝1＋Δx . 又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定[答案]B[解析]设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． 类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝Δs Δt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt . 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2. 当堂检测1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[答案]A[解析]Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．[答案][x 3，x 4][解析]由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．3．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1.[答案]1[解析]lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.。

学科： 数学学段：高二年级课题： §1.1.1变化率问题教学目标：1． 理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点： 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：：平均变化率的概念．教学过程与设计：详细过程一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-新建教案hto五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率六．布置作业。

§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学过程设计】：
x
x f
x
x
f
x
∆-
∆
+ =
)
(
)
(
)
1
1
1
?。

5.1.1 变化率问题（1）（一）教学内容通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法.（二）教学目标通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。

引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养.（三）教学重点及难点1.重点理解平均速度、瞬时速度的概念及算法.2.难点平均速度与瞬时速度.（四）教学过程问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。

师生活动：（1）学生阅读课本，教师适时引导．（2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。

二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。

同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。

设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔．问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？师生活动：（1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。

（2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。

教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。

同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。

（3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。

（4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多．（5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？设计意图：通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题，同时引入新课．问题3：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.现在的问题是：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：（1）学生可能会从多个角度回答。

§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。

如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。

板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

课题： 1.1.1 变化率问题【学习目标】(1)了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(2)知道函数的瞬时变化率的概念．(3)掌握与理解导数的定义和物理意义第一环节：导入学习1 函数的平均变化率 Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1注意：①平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx ，式子中Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，而Δy 的值可以为零，若函数f (x )为常数函数，此时Δy ＝0.②平均变化率的几何意义是函数曲线上两点割线的斜率，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝k AB ，其中点A (x 1，f (x 1))，点B (x 2，f (x 2))，如图.2 求函数f (x )的平均变化率的步骤(1)求函数增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1) (2)求平均变化率：Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 13 平均速度重点1 理解函数的平均变化率的概念和几何意义．重点2 会求函数的平均变化率． 重点3 求物体运动的平均速度的步骤：(1)求位移增量Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )；(2)求平均速度v ＝Δs Δt ；(3)求错误!未指定书签。

ΔsΔt＝错误!未指定书签。

s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt；错误!未指定书签。

.第二环节：自主学习1(1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2②1③0.1④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：(1)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝（Δx ）2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，Δy Δx＝Δx ＋2＝4；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝Δx ＋2＝3；③当Δx ＝0.1时，Δy Δx ＝Δx ＋2＝2.1；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝Δx ＋2＝2.01.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10 请计算： 解二 深入学习3两工厂经过治理，污水的排放量(W )与时间(t )的关系如图2所示，试指出哪一个厂治污效果较好？图2【分析】 比较相同时间Δt 内，两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果．【解】 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但W 1（t 0－Δt ）－W 1（t 0）Δt ≥W 2（t 0－Δt ）－W 2（t 0）Δt，所以说，在单位时间里，工厂甲比工厂乙的平均治污率大，因此工厂甲比工厂乙略好一筹．第三环节：互助学习 第四环节：展示学习第五环节：精讲学习 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.( 3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 100.52:t t v ≤≤≤≤和1时的平均速度00.5(0.5)(0)4.05(/)0.502(2)(1)8.2(/)21t h h v m s t h h v m s ≤≤-==-≤≤-==--在这段时间里，在1这段时间里，1.△x 是一个整体符号，而不是△与x 相乘；式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但△x 值不能为0，△y 的值可以为0;因此，平均变化率可正，可负，也可为零；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式x x f x x f ∆-∆+=)()(111212)()(x x x f x f x y --=∆∆。

第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。

四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。

五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。

六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。

1.1.1 变化率问题教学目标 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

重点难点 平均变化率的意义教学过程一、问题情境1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”时间4月18日 4月19日 4月20日 日最高气温 18.6℃ 24.4℃ 33.4℃该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 说明： t (d)20 30 34 210 20 30A (1, 3.5)B (32, 18.6)0 C (34, 33.4) T (℃)2 10 2121()()f x f x x x--x y ∆∆=(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。

变化率问题班级： 姓名：【学习目标】：通过具体案例理解函数平均变化率的概念。

【学习重点】：理解函数平均变化率的概念及几何意义。

【学习难点】：求函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率。

【问题导学】1.阅读教材p72,在【气球膨胀率】问题中：（1）空气容量从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率约为：0.62（dm/L);空气容量从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率约为：0.16（dm/L);请计算出空气容量从2L 增加到2.5L 时，气球的平均膨胀率约为多少？空气容量从2.5L 增加到4L 时，气球的平均膨胀率约为多少？（2）从以上数据可以看出：随着气球体积的增大，比值体积的增加量半径的增加量发生怎样的变化？说明了什么(快慢）？（3）概括出：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率的表达式？2.阅读教材p73,在【高台跳水】问题中：（1）在5.00≤≤t 时间段内，平均速度)/(05.4s m v =，那么运动员相对于水面的高度h 是在平均增大还是减小？在21≤≤t 时间段内呢？能概括出：运动员在1t 到2t 时间段内的平均速度吗？（2）计算运动员在49650≤≤t 时间段里的平均速度，思考下面的问题： ①运动员在这段时间内是静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？3.阅读教材p73,回答什么是函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率？并阅读p74的思考栏目回答相应问题？【实践演练】例1：一物体做直线运动，其位移s 与时间的关系为23)(t t t s s -==，求物体在[]t t t ∆+00,这段时间内的平均速度。

例2：求函数21x y =在)0(00≠x x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

【基础练习】：1.在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆是否一定大于0？2.函数)(x f y =，当自变量x 由0x 变到x x ∆+0时，函数值的改变量为：3.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(及邻近一点)4,1(y x ∆+∆+，则xy∆∆等于多少？4.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(P 及附近一点),(00y x Q ，且21=∆∆x y ，则点Q 的坐标为多少？若P 为)1,0(呢？为)4,1(-呢？5.求函数122-=x y 在1-=x 和2-=x 处的平均变化率，并比较当21=∆x 时变化率的的大小。

1.1.1 变化率问题【学习目标】1．经过对实例的剖析，理解均匀变化率；2．会求函数在指定区间上的均匀变化率.【新知自学】知识回首：1.球的体积公式为____________________.2.已知直线l经过两点A(x 1,y1),B(x 2,y2)，则直线l的斜率为 ________________.新知梳理：1.经过气球膨胀率和高台跳水问题可知，函数y f (x) 从x1到x2的变化过程中，我们用x 表示相关于x1的一个“增量” ，即x =____________，则 x2= x1x ；近似地，y =____________．则把yf ( x) 从x1到x2的均匀变化率．___________叫做函数yx注意：（１）x 是一个整体符号，而不是与 x 的乘积；（２）x是自变量 x 在x0处的增量，能够是正当，也能够是负值．2.函数均匀变化率的观点是什么？感悟：函数y=f(x)在x从 x1→ x2的均匀变化率的几何意义是过函数y=f(x)的图象上两点(x1,f(x 1))、 (x2,f(x 2 ))的直线的斜率.对点练习：1.在求均匀变化率中，自变量的增量x 知足（）A.x C.x 0B.xD.x2.设函数y f ( x) ，当自变量x 由x0改变到x0x 时，函数值的改变量y=（）A. f ( x0x)B. f ( x0)xC. f ( x0x) f ( x0 )D. f (x0)x3.一物体运动时的位移方程是s 2t 2，则从２到２＋t 这段时间内位移的增量s =（）A. ８B.82tC .8 t2( t) 2 D.4t2(t ) 24.已知函数 f ( x)x 2x 的图象上一点（-1 ， -2 ）及周边一点( 1x, 2y) ，则y.=x【合作研究】典例精析：例 1.求函数y=x2+1在区间[2,2+x] 上的均匀变化率.议论展现联合函数y x2 图象，商讨当x 取定值后，随x 取值不一样，该函数在x x0周边的的．．．．．．0均匀变化率能否同样．变式练习：求函数 f (x) 3x 2 2 在区间x0 , x0x 上的均匀变化率，并求当 x02, x0.1 时均匀变化率的值.例 2.高台跳水运动中，运动员相关于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式为h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 ，求运动员在t 65 s 时的刹时速度，并解说此时的运动98状态 .议论展现65计算运动员在0 t这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：49⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你以为用均匀速度描绘运动员的运动状态有什么问题吗？变式练习：放在下节试用一质点按规律 s(t)=at2+1 作直线运动（位移单位：m，时间单位： s），若质点在 t=2s 时的刹时速度为 8m/s，求常数 a 的值 .规律总结：求函数均匀变化率的主要步骤：【讲堂小结】【当堂达标】已知函数2则在x0 2, x 0.1时，y 的值为（）1.f(x)=x +1,2.假如质点M 按规律s 3 t 2运动，则在时间段2,2.1 中相应的均匀速度等于（）A.3B.43.已知函数 f (x)2x21 的图象上一点（ 1， 1）及周边一点 (1x,1 y), 则y=（ ）xA ． 4 B. 4xC. 4 2 xD. 42( x) 24.函数f ( x) 53x 2 在区间 1,2 上的均匀变化率是.【课时作业】1.将半径为 R 的铁球加热，若铁球的半径增添R ，则铁球的表面积增添（）A.8 RRB.8R R4 ( R) 2C.4R R 4 ( R)2D.4 ( R)22.已知曲线 y1x 2和这条曲线上的一点 P(1, 1) ,Q 是曲线上点 P 周边的一点， 则点 Q 的坐44标为（）A. (1 x, 1( x) 2 )x, 1 ( 4 B. ( x) 2)4C. (1x, 1( x 1) 2 )x, 1 ( 4 D. ( x 1)2)43.甲、乙两人的运动行程与时间的函数关系分别为 s=s 1(t),s=s 2(t) ，图象如图 .则在时间段内甲的均匀速度 __________ 乙的均匀速度（填大于、等于、小于） .ss1(t)s2(t)O t0t4.已知函数f (x)1在 1,1x 上的均匀变化率为.x5.求函数 y=sinx 在 0到之间和到之间的均匀变化率，并比较它们的大小.6326.求函数y x 在x0到x0+x 之间的均匀变化率.。

教学设计1．1变化率与导数1．1.1变化率问题整体设计教材分析本节的主要知识内容是平均变化率，在众多变化率问题中，教材选择了气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题，把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率，并在此基础上推广到更大范围的函数变化率．这两个实例的共同特点是背景简单，对学生来说，一个是生活经验，一个是非常熟悉的物理知识．这样设计既可以引起学生的学习兴趣，又可以减少因背景内容的复杂而形成对数学知识的干扰．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念．2．过程与方法目标通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：函数的变化率、平均变化率．难点：通过大量的实例，使学生学会用数学的度量来描述平均变化率．教具准备10只气球多媒体视频文件教学过程引入新课引例1.姚明身高变化曲线图(横轴为年龄，纵轴为身高)．从图中，你能看出姚明在哪个年龄段身高变化最快吗？引例2.将班内学生平均分成10组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：(1)气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？(2)你认为膨胀速度与哪些量有关系？(3)球的体积公式是什么？有哪些基本量？(4)结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：对第一个问题学生会很感兴趣，部分姚明的球迷更是热情高涨，很快就说出在13岁至16岁期间身高增长最快；对第二个问题学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：哪一组同学能按顺序回答引例2的四个问题？学情预测：学生能够感知气球膨胀速度的问题，但未必能从体积和半径两个量的关系上说清楚．教师提示：由球的体积公式V(r)＝43πr 3可得，r(V)＝33V 4π.随着球内气体体积的增加，球半径也在增加．学情预测：经过提示和讨论后，学生能比较准确地叙述气球膨胀率了．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和用数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师．提出问题：问题1：当气球内空气的体积从0增加到1 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题2：当气球内空气的体积从1 L 增加到2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题3：当气球内空气的体积从V 1 L 增加到V 2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.活动设计：学生先独立思考，独立运算，再小组讨论决定答案(对于膨胀率的理解可以从单位上看出)．活动成果：问题1：r(1)－r(0)≈0.62(dm)；r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)． 问题2：r(2)－r(1)≈0.16(dm)；r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)． 问题3：r(V 2)－r(V 1)；r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1. 提出问题：(观看多媒体视频：高台跳水)人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态，那么，问题1：运动员在0≤t ≤0.5这段时间里的平均速度是多少？问题2：运动员在0≤t ≤1这段时间里的平均速度是多少？在1≤t ≤2这段时间里的平均速度是多少？在2≤t ≤3这段时间里的平均速度是多少？问题3：运动员在0≤t ≤6549这段时间里的平均速度是多少？运动员在这段时间里是静止的吗？问题4：你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确合理吗？活动设计：观看视频，展示问题，对比前面的问题，先独立思考，再交流探索．活动成果：问题1：v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)． 问题2：v ＝h (1)－h (0)1－0＝1.6(m/s)；v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)；v ＝h (3)－h (2)3－2＝－18(m/s)．问题3：∵h(6549)＝10＝h(0)，∴v ＝0.但是，这段时间运动员不是静止的．问题4：通过以上计算可以发现，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，不能更精确地刻画运动员在某一时刻的运动状态．说明：像平均膨胀率、平均速度一样，平均变化率是一个比值，是一个平均值． 理解新知提出问题：根据你对前面两个问题的理解，试回答以下问题：问题1：已知函数f(x)＝x ＋1，求x 取从1到2时的平均变化率．问题2：已知函数f(x)＝1x，求x 取从1到2时的平均变化率． 问题3：已知函数f(x)＝lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率．问题4：已知函数f(x)＝sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率．通过这四个问题，分析它们的平均变化率不同的原因．活动设计：找四名同学在黑板上解答，其他同学独立解答，教师巡视，了解学情，待黑板上学生做完后，再由学生点评、更正，最后教师总结．活动成果：问题1：f (2)－f (1)2－1＝1；问题2：f (2)－f (1)2－1＝－12； 问题3：f (2)－f (1)2－1＝ln2；问题4：f (2)－f (1)2－1＝sin2－sin1. 不同的函数反映曲线的变化规律不同，它们的平均变化率也不同．对于任意函数f(x)，从x 1到x 2的平均变化率可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1；用Δy 表示y 2－y 1，即Δy ＝y 2－y 1.于是，平均变化率可以表示为Δy Δx. 如下图所示：思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？ 结论：结合图象，联系到解析几何中斜率的概念，可以看出，平均变化率实际上就是一个斜率表达式．设计意图通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，为进一步加深理解变化率与导数做好铺垫．运用新知例1已知某质点运动规律满足s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中相应的平均速度为…( )A ．6＋ΔtB ．3＋ΔtC ．9＋ΔtD ．6＋Δt ＋1Δt思路分析：平均速度是指Δs Δt ，即(3＋Δt )2＋3－32－3Δt. 解：因为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝32＋6Δt ＋Δt 2＋3－32－3Δt＝6＋Δt ， 所以答案选A.点评：平均速度是变化率的一种情况，要恰当地进行解析式的恒等变形．例2过曲线f(x)＝x 3上两点P(1,1)、Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求当Δx ＝0.1时割线的斜率．思路分析：两点连线的斜率公式为y 2－y 1x 2－x 1，即(1＋Δy )－1(1＋Δx )－1＝Δy Δx. 解：因为Δy ＝(1＋Δx)3－1＝1＋3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3－1＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3，所以Δy Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2.当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝3＋3×0.1＋0.12＝3.31. 巩固练习1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于…( )A ．8πRΔRB ．8πRΔR ＋4π(ΔR)2C ．4πRΔR ＋4π(ΔR)2D ．4π(ΔR)23．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f(x)在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．答案：1.C 2.B 3.17.5变练演编变式1：求函数f(x)＝x 2在x ＝x 0附近的平均变化率．变式2：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，求物体在t ＝4附近的平均速度． 变式3：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，在时间段(t ，t ＋3)内的平均速度为20，试确定t 的值．变式4：已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图象上的一点A(－1，－2)，以及临近一点B(－1＋Δx ，－2＋Δy)，则AB 两点连线的斜率是多少？当Δx ＝0.1时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.01时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.001时，求AB 的斜率；试结合图形，分析这些结论．答案：变式1.2x 0＋Δx ；变式2.25＋3Δt ；变式3.53；变式4.3－Δx ；2.9；2.99；2.999；随着Δx 取值的变小，直线AB 的斜率逐渐稳定在3.0附近．达标检测1．在平均变化率的定义中，自变量的增量是( )A ．Δx>0B ．Δx<0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx等于 ( ) A ．4 B ．4＋2ΔxC ．4＋ΔxD ．4Δx ＋(Δx)23．某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，求当日12时30分时两车之间的距离对时间的变化率．答案：1.D 2.B 3.100 km/h. 课堂小结阅读教材，通过对所讲内容的梳理，总结知识和方法如下：1．平均变化率的概念．2．函数在某点附近的平均变化率．3．通过对现实生活中的实例分析，了解变化率的实质．布置作业课本习题1.1A1；补充练习1～3.补充练习1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0)2．一质点运动的方程为s ＝1－2t 2，则在一段时间[1,2]内的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－63．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？ 答案：1.D 2.D3．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大． 设计说明本节课是导数概念的起始课，主要介绍变化率、平均变化率的概念，内容比较简单．但是要想从源头上说明导数的意义，必须重视本节课的教学．高中阶段的导数知识来源于生活，所以我们从生活中比较常见的变化率实例入手，采取观察、演示、相互交流等手段，培养学生接受新知识、认识新事物的能力．所选择的实例经过分析、变式以后，逐步推广到一般情况，于是，问题进入到研究函数平均变化率问题上来．随后我们从数、式、图三个方面分别做了练习，这时对变化率的理解基本达到了教材引出导数概念的要求．对于知识的形成过程，我们希望不急于引出概念，而是用形象直观的“逼近”方法定义变化率、平均变化率以及导数的概念．同时，对于学生的自主学习培养，也要提供丰富的素材和广阔的空间．备课资料微积分成为一门学科是在17世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也很典型的极限概念．到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求和问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献，他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的．微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．。

1．1.1 变化率问题教学目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法. 知识梳理知识点一 函数的平均变化率1．平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx． 2．求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy?(2)平均变化率的几何意义是什么？(1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零．(2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢．(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．题型探究题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率．解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9. 反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值． 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx＝______________.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0)． (1)[答案]2Δx ＋4[解析]因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率Δy Δx＝2Δx ＋4. (2)解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20 ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20， ∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20. 题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1. 即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数．跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米)．(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．跟踪训练2 解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米)． v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒)． 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒)．(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒)． 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒．当堂检测1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ≠0D ．Δx 可为任意实数[答案]C[解析]因平均变化率为Δy Δx，故Δx ≠0.] 2．沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率[答案]B[解析]v ＝Δs Δt ，而li m Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度． 3．以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，Δs Δt→v 0－gt 0. ∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v (t )＝v 0－gt ， ∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt＝－g . ∴当Δt →0时，Δv Δt→－g . 故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .。

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念教学建议1.教材分析第一小节主要内容是平均变化率,是在气球膨胀率问题和高台跳水问题的基础上,归纳它们的共同特征,定义了一般的平均变化率,第二小节主要是利用极限的思想给出了导数的定义.重点是使学生知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.难点是体会由平均变化率研究瞬时变化率的过程中采用的逼近方法,从而理解导数的概念.2.主要问题及教学建议(1)气球膨胀率问题和高台跳水问题.建议教师借助这两个生活中的例子引导学生体会平均膨胀率和平均速度,为学习平均变化率做好铺垫.(2)平均速度与瞬时速度的关系.建议教师通过物体的运动说明平均速度是物体在一段时间内的速度,刻画了物体在该段时间运动的快慢,而瞬时速度是物体在某一瞬间的速度,刻画了物体在该时刻运动的快慢.(3)瞬时变化率与导数.建议教师多选配一些变化率问题,利用丰富的实例让学生辨别它们的共同特征,认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率,逐步建立起导数的概念.备选习题1.若函数f(x) =-x2+x在[2,2+Δx]上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围.解:因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为:===-3-Δx,所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).2.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人距路灯射影点C的距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯射影点C后,在0 s到10 s内身影的平均变化率.解:(1)如图所示,人从点C运动到B处的距离为x m,AB为身影的长度,AB的长度为y m,由于CD∥BE,则,即,所以y=x.(2)84 m/min=1.4 m/s,当从0 s到10 s时,身影长度增加了×1.4×10-×1.4×0=(m),身影的平均变化率为(m/s),即人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率为 m/s.3.求函数y=-在点x=4处的导数.解:∵Δy=-==.∴.∴=.∴y'|x=4=.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。