52第二节 拉格朗日插值多项式

li ( x ) A( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )
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li ( x ) A( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )
其中A为常数, 由li(xi)=1可得 1 A ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
( x 1)( x 3)( x 4) 1 l1 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4) 12 ( x 1)( x 1)( x 4) 1 l2 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 4) ( 3 1)( 3 1)( 3 4) 8 ( x 1)( x 1)( x 3) 1 l3 ( x ) ( x 1)( x 1)( x 3) (4 1)( 4 1)( 4 3) 15
( i 0,1, , n)
称之为拉格朗日基函数。
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n=1时的一次基函数及图形为
x x1 l0 ( x ) , x0 x1 x x0 l1 ( x ) . x1 x0
y 1
y
l0 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
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二、拉格朗日插值多项式
利用拉格朗日基函数式li(x), 构造多项式
Ln ( x ) yi li ( x )
i 0
n
பைடு நூலகம்
可知其满足 Ln ( x j ) y j j 0,1, , n ,称为拉格朗日 插值多项式,再由插值多项式的唯一性，得
Pn ( x ) Ln ( x ) 特别地, 当n =1时又叫线性插值,其几何意义 为过两点的直线. 当n =2时又叫抛物插值, 其几何 意义为过三点的抛物线.
( n 1)!
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f ( ) n Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) ( x xi ) ( n 1)! i 0 一般来说, =(x)无法确定, 因此在估计误差时
下列不等式很有用. M n 1 n Rn ( x ) ( x xi ) , ( n 1)! i 0
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第二节
一、基函数
拉格朗日插值多项式
考虑下面最简单`最基本的插值问题.求n次 多项式li(x) (i=0,1, ⋯,n),使其满足条件
0 , li ( x j ) 1,
ji ji
( j 0,1, , n)
可知, 除xi 点外, 其余都是li(x) 的根，故可设
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例2 求过点( 1,2), (1,0), ( 3,6), (4,3)的三次插值多项式. 解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 以为节点的基函数 分别为: ( x 1)( x 3)( x 4) 1 l0 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 1 1)( 1 3)( 1 4) 40
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
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例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027
或 其中
( n 1 )
x ( a, b )
n M n 1 Rn ( x ) max ( x xi ) , x (a , b) ( n 1)! a x b i 0
M n1 max f ( n1) ( x ) .
a xb
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1 例3 设 f ( x ) ,节点 x0 2, x1 2.5, x2 4，求 f ( x ) x 的抛物插值多项式,且计算f (3)的近似值并估计误差. 解 y0 f ( 2) 0.5, y1 f ( 2.5) 0.4, y2 f (4) 0.25 抛物插值多项式为
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于是得 f (3) L2 (3) 0.05 32 0.425 3 1.15 0.325 3 6 因为 f ( x ) 4 , M 3 max | f ( x ) || f ( 2) | x[ 2, 4 ] 8 x M3 | R3 ( x ) | | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 故 3!
( x 2.5)( x 4) ( x 2)( x 4) L2 ( x ) 0.5 0.4 ( 2 2.5)( 2 4) ( 2.5 2)( 2.5 4) ( x 2)( x 2.5) 0.25 ( 4 2)( 4 2.5) 2 0.05 x 0.425 x 1.15
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（2）由余项估计式 2 M1 M1 x1 x0 R1 ( x ) max ( x x0 )( x x1 ) 2! x0 x x1 2 2 得在 [0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx 时的余项满足
sin0.34 0.34 0.32 0.333487 2 R1 ( x ) (0.34 0.32) 2! 2 8
n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) . ( x2 x0 )( x2 x1 )
一个性质
i 0
li ( x ) 1
n
还应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次 序无关.
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例1 已知 y x , x0 4, x1 9, 用线性插值求 7 的近似值。 解 y0 2, y1 3, 基函数分别为: x9 1 x4 1 l0 ( x ) ( x 9), l1 ( x ) ( x 4) 49 5 94 5 插值多项式为 1 1 L1 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) 2 ( x 9) 3 ( x 4) 5 5 2 3 1 ( ( x 9) ( x 4) ( x 6) ) 5 5 5 13 所以得 7 L1 (7) 2.6 5
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) 故 li ( x ) ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
j 0 ji n
(x xj ) ( xi x j )
i 0
对任何x∈[a ,b],有
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f ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)! 证 由插值条件和 n+1(x)的定义, 当x=xk 时,
( n 1)
式子显然成立, 并且有Rn(xk)=0 ( k=0,1,…,n ), 这表 明x0 , x1, … , xn 都是函数Rn(x) 的零点, 从而 Rn(x)可 表示为 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x ) 其中K(x)是待定函数. 对于任意固定的x[a, b], xxk , 构造自变量 t 的 辅助函数 ( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
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( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
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所以得三次插值多项式为
L3 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) y2 l2 ( x ) y3 l3 ( x ) 1 1 ( 2) ( x 1)( x 3)( x 4) 0 ( x 1)( x 3)( x 4) 40 12 1 1 ( 6) ( x 1)( x 1)( x 4) 3 ( x 1)( x 1)( x 3) 8 15 1 3 ( x 1)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 1)( x 4) 20 4 1 ( x 1)( x 1)( x 3) ( x 3 4 x 2 3 ) 5
2
0.00001667435 0.5 10 . x 0.32,0.34
4
故由此结果知至少有4位有效数字.
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
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值得注意的是, 插值基函数l i(x) (i=0,1, …,n)仅由
插值节点xi (i=0,1, … ,n)确定,与被插函数 f(x)无关. 以xi (i=0,1,…,n)为插值节点, 函数f(x) 1作插值 多项式, 则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的
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三、插值余项
截断误差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也称为插值多项式的
余项. 以下为拉格朗日余项定理.
定理1 设 f (x)在区间[a ,b]上存在 n+1阶导数,
xi∈[a, b] (i=0,1, …, n)为n+1个互异的插值节点, 则
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)! n ( ( a, b ) 且与x有关) 其中 n1 ( x ) ( x xi )