割集

§3-6 割 集 分 析 法一、割集与基本割集1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。

（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。

需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。

图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。

将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是图3－26 图G 及其割集(a)(b)(c)(d)只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。

而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。

将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。

对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。

2）、作高斯面确定割集在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。

在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、(a)(b)图3－27 非割集说明①②①②C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。

3）、基本割集基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。

如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。

当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。

最小割集、最小径集的定义文章一：最小割集的定义在图论中，最小割集是指将图分为两个不相交的子图，使得两个子图之间的边的权重之和最小。

最小割集是一个被广泛应用于网络流问题中的概念。

具体而言，最小割集可以用来解决最大流最小割定理的相关问题。

最小割集的定义可以通过以下步骤进行：1. 给定一个图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。

2. 在图G中选择两个不相交的子集A和B，即A∪B=V，A∩B=∅。

3. 最小割集可以被定义为边集合E的一个子集，其中这些边连接A和B之间的节点。

4. 最小割集的权重是指连接A和B之间的边的权重之和，即连接A和B之间的边的权重之和最小。

最小割集的应用非常广泛，特别是在网络流问题中。

最小割集可以被用来解决最大流最小割定理的相关问题。

最大流最小割定理指出，网络中的最大流量等于网络中的最小割集的权重。

因此，通过求解最小割集，我们可以得到网络中的最大流量。

此外，最小割集还可以应用于图像分割、社交网络分析等领域。

在图像分割中，最小割集可以被用来将图片分割为不同的区域，从而实现物体识别和图像处理等任务。

在社交网络分析中，最小割集可以被用来识别不同群组之间的连接情况，从而帮助我们理解社交网络的结构和特征。

综上所述，最小割集是将图分为两个不相交子图的一种方法，其权重表示连接两个子图之间的边的权重之和。

最小割集在网络流问题、图像分割和社交网络分析等领域有广泛的应用。

文章二：最小径集的定义在图论中，最小径集是指将图中所有节点分为两个不相交的子集，使得这两个子集之间的最短路径的长度最小。

最小径集是一个常用的概念，它能够帮助我们理解图的结构和性质，并且在很多实际问题中有着重要的应用。

最小径集的定义可以通过以下步骤进行：1. 给定一个图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。

2. 在图G中选择两个不相交的子集A和B，即A∪B=V，A∩B=∅。

3. 最小径集可以被定义为连接A和B之间的最短路径的集合，即找到使得连接A和B之间的最短路径的长度最小的路径集合。

割集的概念割集是集合论中的一个重要概念，它是指一个集合与它的补集之间的分割。

在数学中，割集常常用于划分和描述集合中的元素之间的关系。

本文将从基本概念、性质和应用方面探讨割集，并尽量详细地回答你的问题。

首先，我们来阐述割集的基本概念。

对于一个给定的集合S，它的割集通常由两个子集构成，即割集和割集的补集。

割集A 是集合S 的一个真子集，它包含S 的一部分元素。

割集的补集记作A'，也是集合S的一个真子集，它包含了S中割集A之外的所有元素。

换句话说，割集和割集的补集共同构成了整个集合S，每个元素要么属于割集A，要么属于割集的补集A'。

在这个分割过程中，割集A 和A'之间是互斥的，即没有共同的元素。

割集的性质是割集理论的重要内容之一。

首先，割集是可数或不可数的。

如果S 是一个有限集，那么它的割集A和割集的补集A'都是可数集。

如果S是一个无限集，那么它的割集A和割集的补集A'都是不可数集。

其次，割集是平凡或非平凡的。

如果割集A或割集的补集A'是空集，则称为平凡割集；如果割集A和割集的补集A'都非空，则称为非平凡割集。

此外，割集的补集也是一个割集。

换句话说，对于一个给定的割集A，它的补集A'是割集S中的另一个割集。

最后，两个割集的交集为空集。

这意味着，对于任意两个割集A和B，它们的交集A∩B是一个空集，即没有共同的元素。

在应用方面，割集在集合论、数理逻辑、拓扑学等数学领域中都有重要的应用。

首先，割集可用于证明集合的基本性质。

例如，利用割集的概念，我们可以证明集合的相等性、交并运算的性质等。

其次，割集可用于描述集合之间的关系。

例如，我们可以利用割集的补集操作，定义集合的包含关系、互斥关系等。

此外，割集也在实数系的构建中发挥着重要的作用。

通过割集，我们可以定义实数的大小和有序性，并利用割集的运算规则进行实数的加减乘除等运算。

最后，割集在拓扑学中有广泛的应用。

离散数学-基本割集的找法
前⾔：因为做离散数学的时候发现⼀些重要的基础知识总是忘记，觉得写下来应该可以记得更牢固⼀些，所以记录平时的知识，随学随更。

基本割集:由树的⼀条树枝和若⼲连⽀构成的割集。

寻找基本割集的步骤：
1.移去所有连⽀，余下⼀棵树。

2.移除tk,则余下⼦图被分成N1，N2两部分。

和连接N1，N2的连⽀l1,l2,...,ln构成基本割集。

4.割集的⽅向，以tk所指的⽅向为正⽅向。

例题：寻找⽀路3的基本割集，树枝为2，3，5.
1.移去所有连⽀，余下⼀棵树。

2.移去⽀路3，树被分成两个孤⽴部分N1，N2。

3.则⽀路3和连接N1，N2的连⽀1，4，6构成基本割集。

最小割集求法相关概念求解方法（行列法结构法布尔代数化简法）相关概念割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。

也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。

引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。

径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。

那么，这些基本事件的集合称为径集。

不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。

TOP求解方法行列法结构法布尔代数化简法行列法行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。

其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。

这种方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列纵横向摆开。

这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。

化简结果，就得出若干最小割集。

为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。

事故树示意图我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的，所以，应当成列摆开，即A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：下面依此类推：整理上式得：下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A·A＝A，则X1·X1＝X1，X4·X4＝X4，即又根据A＋A·B＝A，则X1·X2＋X1·X2·X3＝X1·X2，即于是，就得到三个最小割集{X1，X2}，{ X4，X5}，{ X4，X6}。

按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:事故树等效图TOP结构法这种方法的理论根据是：事故树的结构完全可以用最小割集来表示。

下面再来分析图4－25事故树示意图： A 1∪A 2＝X 1·B 1·X 2∪X 4·B 2＝X 1·(X 1∪X 3)·X 2∪X 4·(C ∪X 6)＝X 1·X 2∪X 1·X 3·X 2∪X 4·(X 4·X 5∪X 6) ＝X 1·X 2∪X 1·X 2·X 3∪X 4·X 4·X 5∪X 4·X 6 ＝X 1·X 2∪X 1·X 2·X 3∪X 4·X 5∪X 4·X 6 ＝X 1·X 2∪X 4·X 5∪X 4·X 6这样，得到的三个最小割集{ X 1，X 2}、{X 4，X 5}、{X 4，X 6}完全与上例用行列法得到的结果一致。