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特勒根定理

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特勒根定理和互易定理

特勒根定理和互易定理

特勒根定理和互易定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特勒根定理和互易定理1、特勒根定理1特勒根定理1内容为：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令、分别为b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，它实质上是电路功率守恒的数学表达式。

2、特勒根定理2特勒根定理2内容为：如果两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由不同的支路构成。

假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用、和、表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理同样对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，但它不再是电路功率守恒的数学表达式。

有时称它为“拟功率定理”。

它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间所遵循的数学关系。

<?xml:namespace prefix = o />3、互易定理的使用条件1）电路只含有一个独立电源；2）电路中没有受控源；3）电路中的所有无源元件全部为线性电阻。

4、互易定理1互易定理1内容为：对于一个线性无源网络NS，外加激励电压与网络响应电流互换位置时，响应电流相同，如图1所示，即=，则有。

图1互易定理15、互易定理2互易定理2内容为：对于一个线性无源网络N，外加激励电流与网络响应电压互换位置时，响应电压相同，如图2所示，即=，则有。

图2互易定理26、互易定理3互易定理3内容为：对于一个线性无源网络N，若激励在数值上相等，即=，则有，如图3所示。

图3互易定理3。

4.5特勒根定理

4.5特勒根定理

特勒根定理、KCL、KVL是电路的基本定律，三者之 间，用任何两个可推出另一个。
第四章 常用的电路定理 应用特勒根定理要注意的问题： 1)定理的正确性与元件的特征全然无关，因此特勒根定 理对任何线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适 用。定理实质上是功率守恒的数学表达。 2)电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足 KCL，支路电压和支路电流必须满足关联参考方向（否则公 式中加负号）。
对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路n当它们具有相同的拓扑图但对应的支路的组成和参数不同任何时刻在两个电路的支路电流和电之间分别取关联参考方向下两电路中相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零
第四章 常用的电路定理
4.5 特勒根定理 （Tellegen’s theorem）
1. 特勒根定理1－功率守恒
特勒根定理1表述为：对于一个具有n个结点和b条 支路的集总电路，任何时刻，在各支路电流ik和电压uk 取关联参考方向下，各支路电压与支路电流的乘积的代 数和恒等于零。此定理可用下式表示为：
∑u i
k =1
b
k k
=0
(4.5-1)
第四章 常用的电路定理
2. 特勒根定理2－拟功率守恒
特勒根定理2表述为：对于两具有相同的拓扑图，但对应的支路 的组成和参数不同，任何时刻，在两个电路的支路电流和电 ˆ ˆ u 压uk与ik之间、 k 与 ik 之间分别取关联参考方向下，两电路中 相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零。可 用下式表示为， ⎧b ˆ ⎪∑ uk ik = 0 (4.5-2a) ⎪ k =1 ⎨b ⎪ u i =0 (4.5-2b) ∑ ˆk k ⎪ k =1 ⎩ 此定理中所谓相同的拓扑图是指两电路具有相同的结构。

特勒根定理

特勒根定理

b
ukik ' 0
k 1
b
同理 uk 'ik 0 k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝ -1.8A， 试求i2'?。
+ +i1
i2 + +
i1' +
i2' +
3v -
u-1
NR 4Ω u-2
3v -
u' 1 NR 8Ω u' 2
-
ik '
支路电压和电流取关联参考方向且相同，
则有 b ukik ' 0 和 k 1
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
i6’ 2A
i1 2 - 2V + i5
22
4
i2 i3
i4
验证：
i1’ 2 - 4V + i5’
+
2 4V
4
i2’ -i3’
i4’
6
15
有相同的有向图如右 2 3 4
N: u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V， u4＝4V， u5＝2V， u6＝－8V；
这就验证了特勒根第二定理。
特勒根定理适用于任意集总参数电路
特勒根第二定理的证明：
设 N和N’两网络均有n个节点b条 支；。各支路电压、电流的参考方向 关联且相同。则N网络的KCL方程为
i12 i13 i1n 0 i21 i23 i2n 0 in1 in2 inn1 0 将上式分别乘以N’网络的相应电压，
6
uk 'ik ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋

特勒根定理

特勒根定理

ˆ ˆ ˆ I1U1 I 2U 2 I kU k 0
k 3
b 2
ˆ ˆ ˆ I1U 1 I 2U 2 I kU k 0
k 3
b 2
Is 5A, U1 2V, R 2
由于网络N由线性电阻元件组成，故
ˆ ˆ ˆ I kU k I k Rk I k U k I k
电阻吸收的功率为
P I R (1 2)W 2W
2 2 2
ˆ ˆ U1 3V, U2 5V
k 3 k 3 k 3
b2
b2
b2
ˆ ˆ U1 3V, U2 5V
因此，有
ˆ ˆ ˆ ˆ I1U1 I2U2 I1U1 I2U2
代入数据有
Is 5A, U1 2V, R 2
5 3 I 2 5 5 2 0
10 15 I2 1A 5
例
网络N由线性电阻元件组成，在图（a）所示电路中，已知
Is 5A, U1 2V, R 2 ； 在图（b）中已知电流
ˆ 源的端电压 U 1 3V,
阻R吸收的功率P。
ˆ 开路电压 U 2 5V, 求图(a)中电
(a)
(b)
解： 设网络N中有b条支路，图(a)和(b)是同一电路的两种不同的 工作状态，根据特勒根似功率定理，对图(a)和(b)分别有
k 1
6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (v4 - v1 )i1 (v4 -v2 )i2 (v4 -v3 )i3 (v1-v2 )i4 (v2 -v3 )i5 (v3 -v1 )i6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v1 (i1 i4 i6 ) v2 (i2 i4 i5 ) 3 (i3 i5 i6 ) v4 (i1 i2 i3 ) 0

2-7特勒根定理

2-7特勒根定理
b
有
∑u i
k =1
k k
=0
(2) 证明: 证明:
§27 特勒根定理
b
∑u i
k =1
k k
=0
令v4=0 支路电压用节 点电压表示 u1= - v1 u2= - v2
k =1
∑ uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
=-v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v-v2 )i4 +(v2-v )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 3 1
6
=v1(i1 +i4 i6) +v2(i2 i4 +i5) +v3(i3 i5 +i6 =0 )
§27 特勒根定理
将这一结论推广到任一具有n个节点, 条支路的 将这一结论推广到任一具有 个节点,b条支路的 个节点 b 电路, 电路,则有 这就是特勒根功率定理(Tellegen′s power theorem) ′ 这就是特勒根功率定理 的数学表达式.该定理表明, 的数学表达式.该定理表明,在任意集中参数电 路中, 在任何瞬时t, 路中 , 在任何瞬时 t , 各支路吸收功率之和恒等 于零.也就是说, 于零.也就是说,电路中各独立源供给功率的总 等于其余各支路吸收功率的总和. 和,等于其余各支路吸收功率的总和 条支路在t时刻吸收的功率 (3)物理意义 uk (t)ik (t) = 第k条支路在 时刻吸收的功率 )物理意义: 条支路在 表整个电路在t时刻各支路吸收功率之和守恒( 表整个电路在 时刻各支路吸收功率之和守恒(为 时刻各支路吸收功率之和守恒 又叫瞬时功率守恒定理. 瞬时功率守恒定理 零), 所以 又叫瞬时功率守恒定理.

特勒根定理的证明

特勒根定理的证明

特勒根定理（Tolerance Theorem）是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。

下面是特勒根定理的证明：假设有一个电路，其中包含元件A、B、C，它们的电阻值分别为R1、R2、R3，并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。

根据容差的定义，我们知道δR1+δR2+δR3=0。

现在，我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3，其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数，并且它们的大小小于元件的额定容差。

根据容差的定义，我们有δR1+δR2+δR3=0，因此我们可以将上式改写为：δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式，我们得到：ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。

如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值，那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。

为了描述这种变化，特勒根定理提供了一个简单的公式。

具体来说，特勒根定理指出：对于电路中的任何元件，如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差，那么电路中的总电压变化量ΔV将满足：ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3其中，V是电路中的总电压。

这个公式告诉我们，当电路中的某个元件的电阻值发生变化时，电路中的总电压变化量将非常小，通常小于额定容差的三分之一。

这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差，而不必担心它们对电路性能的影响。

总之，特勒根定理是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。

特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系，并且提供了一个简单的公式，用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。

第9讲 特勒根定理和互易定理

k =1
支路吸收的功率
特勒根定理一: 特勒根定理一: 是功率守恒的具体体现 功率守恒的具体体现
证明: 证明:
+ u1 _ i1 i3
u2 + i2 + u6 _
i4 i6
u + 4_ i5 i7 + u5 _
p1 = u1i1 … p7 = u7i7
p2 = u2i2
∴ p1 + p2 + p3 + ... + p7 = u1i1 + u2i2 + ... + u7i7
如果电路中某一定理, 公式或方程的表述是成立的,则将 其中的元素用其相应对偶元素置换所得到的对偶表述也成立.
电路的对偶特性是电路的一个普遍性质, 电路中存在大量 对偶元素. 以下是一些常用的互为对偶的元素:
电压 磁链 电阻 电感 电压源 开路
电流 电荷 电导 电容 电流源 短路
CCVS VCVS 串联 网孔 回路 树支 KVL
k =3 ^ ^ b ^
(k=3, 4, …, b), 则
^ ^ + u2 i^2 = u1 i + u2 i u i 1 2 ^ 1 1
u i +u
1 1
^
^
2 2
i + ∑ Rk ik i k = 0
k =3
b
^
us1 i1 = us 2 i2
∧
若 uS1= uS2 , ^ 则有 i2= i1
互易定理形式二:若iS1= iS2, 则 u2=
∴u1i1 +u2i2 +u3i3 +u4i4 +u5i5 +u6i6 +u7i7 = (u1 +u2 +u3)i2 +(u4 +u5 u7)i4 +u6i6

第6章 特勒根定理


+
~ I1
~ I2
JS
若网络互易，必有
2010-11-4
~ V2 = V1
第6章 特勒根定理 7
互易定义2 端口网络互易） 二、 互易定义 （n端口网络互易） 端口网络互易
一个P端口时不变网络，或者一个 端元件， 一个 端口时不变网络，或者一个P+1端元件，如果存在 ： 端口时不变网络 端元件
k =1
则有： ∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b + ∆Z b ∆I b 上式略去二阶小量后，得
∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b
2010-11-4 第6章 特勒根定理 18
设网络N的伴随网络为 ~ ~ VbT I b − VbT I b = 0
T
~ N
则有：
网络N参数变化前的变量 网络N参数变化后的变量
2010-11-4 第6章 特勒根定理 16
交互互易定理在灵敏度分析中的应用 ~ 相互伴随， 若网络 N 和 N 相互伴随，
则对于非独立电源支路集合b，必有： 则对于非独立电源支路集合 ，必有：
l =1
~ ~ ∑ (Vl I l − Vl I l ) = 0
b
或写作矩阵形式
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
=
T T I b (Z b
~ − Z b )I b = 0
上式恒为零，只有
Zb =
T Zb
1）互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身 2）交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构 造出伴随网络。（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是 互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原 网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵 取相应矩阵的转置即可）。因此伴随网络的选择非常容易。

特勒根定理


作业9：p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒)： 任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流
分别为 和 (k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有
uk ik
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
因此有，
6
u 'i ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
这就验证了特勒根第一定理。
6
u i ' = 6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
6
u ' i = 4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0 kk k 1
b
ukik ' 0
同理
b
uk 'ik 0
k 1
k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
b
b
解：

特勒根定理

特勒根定理特勒根定理是一个不可变定理，它证明了数论中著名的四平方定理。

这个定理由德国数学家威廉特勒根于1825年提出，其原文如下：“任意正整数，用它的四个平方数之和就可以表示成一个形式：a^4+b^4+c^4+d^4。

”特勒根定理的发现让数论的发展取得了重大突破。

因为它所指示的想法使数论定理的推不可断。

因此，对于数论理论家来说，它也是有史以来最重要的定理之一。

特勒根定理给了数论学家们一种攻克数论最难的问题的方法：四平方定理，也就是通过任意正整数的四个平方数之和表示成一个四项式的形式。

证明这一定理，可以使学者们更容易地攻克其它数论问题。

1835年，另一位德国数学家加布里埃尔-哈勒，凭借特勒根定理的基础上，提出了摩根定理，这一定理表明，任意正整数可以表示成一个三项式的形式：a^3+b^3+c^3。

由此可见，特勒根定理曾经是数论领域取得重大成就的根基。

后来，印度数学家兰克尔用数学证明了特勒根定理，这也是数论理论的一个重大里程碑。

仿佛特勒根的定理推开了数论的大门，指出了数论的方向，从而使数论的理论性有了更大的发展。

随着计算机技术的发展，特勒根定理在计算机算法中也发挥了重要作用。

比如，蒙特卡罗算法中，用特勒根定理可以加快算法的求解速度；此外，特勒根定理也被用来解决密码藏和数论组合方面的问题。

特勒根定理也被用来证明数论猜想。

另外，它还被用来解决超级计算机系统和物理学系统中的问题。

以上就是特勒根定理的历史、具体内容及其应用，它的重要性不言而喻，它对数论理论的发展及应用于计算机科学、密码藏、超级计算机系统等方面的影响都不可低估。

特勒根定理的创立，不但让传统的数论发展有了机遇，也引领了数论未来发展的方向。

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线性 电阻 网络 N
(b) ˆ ˆ = 0, u2 = uS
ˆ ˆ uk = Rk ik
ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 + ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 +
b
∑ u iˆ
k =3 b
k k
=0 =0
∵ uk = Rk ik
ˆ ∑u i
k =3
k k
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴ uk ik = Rk ik ik = ( Rk ik )ik = uk ik
i = ( i1 ,i2 ,...........,ib )
u = ( u1 ,u2 ,...........,ub )
ˆ ˆ ˆ ˆ i = ( i1 , i2 ,..........., ib )
ˆ ˆ ˆ ˆ u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向 则有： 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有： 关联参考方向
b k=1
b
∑
ˆ uk ik = 0
ˆ ∑u i
k=1
k k
=0
KCL、KVL和特勒根定理合称为拓扑约束，适 、 合称为拓扑约束 和特勒根定理合称为拓扑约束， 用于任何集总电路 用于任何集总电路 例4-8 已知如图 , 求电流 ix 。 i1 + ix 10V 1A R N 解： 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。 方向如图所示。 由特勒根定理2 由特勒根定理2，得： 5V + i2
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1： 特勒根定理 ： 对于一个n个结点， 条支路的网络 令向量i=(i 条支路的网络， 对于一个 个结点，b条支路的网络，令向量 1，i2…..，ib) 个结点 分别表示支路电流和支路电压， 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定 分别表示支路电流和支路电压 支路电压和支路电流为关联参考方向 关联参考方向， 支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
ˆ ˆ 特殊 uS = uS , 则i2 = i1
b
∑u i
k=1
k k
=0
证明： 证明： 4 ① 1 ② 2 5 0 3 6 ③ KCL： ：
支路电压与结 点电压关系： 点电压关系： u1 = un1 u2 = un1 − un 2 u3 = un 2 − un 3 u4 = un 3 − un1 u5 = un 2 u6 = un 3
i1 + i2 − i4 = 0 − i2 + i 3 + i5 = 0 − i 3 + i 4 + i6 = 0
证明： 证明：
设共有b条支路， 设共有 条支路， 条支路
b
ˆ ˆ ˆ u1 = uS , u2 = 0; u1 = 0, u2 = uS
ˆ ˆ u1i1 + u2 i2 + ˆ ˆ u1i1 + u2 i2 +
∑Hale Waihona Puke k=3 bˆ uk ik = 0 ˆ uk ik = 0
∵ uk = Rk ik
ˆ ˆ uk = Rk ik
b b k k
∑u iˆ
k=1
=0
ˆ ∑u i
k=1
k k
=0
证明与前同
二、特勒根定理2： 特勒根定理 ：
如果有两个网络N和 ˆ 它们由不同的二端元件构成， 不同的二端元件构成 如果有两个网络 和 N ，它们由不同的二端元件构成，它们 的拓扑图完全相同， 的拓扑图完全相同，它们的支路电流和支路电压向量分别用 图完全相同
能量守恒是特勒根定理1的特例 能量守恒是特勒根定理 的特例 二、特勒根定理2： 特勒根定理2：
i1 + i2 − i4 = 0 − i2 + i 3 + i5 = 0 − i 3 + i 4 + i6 = 0
如果有两个网络N和 ˆ 它们由不同的二端元件构成， 不同的二端元件构成 如果有两个网络 和 N ，它们由不同的二端元件构成，它 们的拓扑图完全相同 图完全相同， 们的拓扑图完全相同，它们的支路电流和支路电压向量分 ˆ ˆ ˆ ˆ i= 别用 ( i1 ,i2 ,...........,ib ) i = ( i1 , i2 ,..........., ib ) u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) ˆ ˆ ˆ ˆ u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) 来表示 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向则有： 关联参考方向则有 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向则有：
6
∑u i
k =1
k k
= u1 i1 + u2 i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5 i5 + u6 i6 = un1 i1 + ( un1 + un 2 )i2 + ( un 2 − un 3 )i3 + ( un 3 − un1 )i4 + un 2 i5 + un 3 i6
= un1 ( i1 + i2 − i4 ) + un 2 ( − i2 + i3 + i5 ) + un 3 ( − i3 + i4 + i6 ) KCL： ： =0
R
ˆ N
b
10 × ( − i x ) + 0 × i2 +
0 × ( − i1
ˆ ˆ ˆ ∵ uk ik = ik Rk ik = ik uk
∴ − 10i x = −5
∑ u iˆ = 0 ˆ ) + ( −5 ) × 1 + ∑ u i = 0
k k 3
b
k k
3
i x = 0.5 A
互易定理证明
∑
k=3
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴ uk ik = Rk ik ik = ( Rk ik )ik = uk ik
∴
ˆ ˆ ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 = u1 i1 + u2 i2
ˆ ˆ ˆ 由 u1 = uS , u2 = 0; u1 = 0, u2 = uS
ˆ ˆ uS i1 = uS i2 即 ˆ uS uS = ˆ i2 i1
对于一个线性电阻网络，若电路只有一个激励， 对于一个线性电阻网络，若电路只有一个激励，则激励与响 应互换位置时，其激励和响应的比值保持不变。 应互换位置时，其激励和响应的比值保持不变。 电压源激励， 一、第一种形式:电压源激励，电流为响应 第一种形式 电压源激励 a a i1 c + 线性 + + + 电阻 ˆ i1 u2 i2 u1 uS ˆ u1 网络 – – – N – d b b (a) 证明： 证明： ˆ u1 = uS , u2 = 0; u1 设共有b条支路 条支路， 设共有 条支路， ˆ i2 c + + ˆ ˆ uS u2 – – d