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·153·第二节 定积分及其应用一、内容精要 （一） 基本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。
定义3.3 设函数f(x)在闭区间[]b a ,上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将[]b a ,分成n 个小区间],[i i x x x -，记),,2,1(n i x x x i i i =-=∆，],[1i i x x -∈∀ξ，作乘积i i x f ∆)(ξ（称为积分元），把这些乘积相加得到和式∑=∆ni iixf 1)(ξ（称为积分和式）设{}n i x i ≤≤∆=1:max λ，若∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在[]b a ,上的定积分，记作dx x f ba)(⎰，即i i ni b a x f dx x f ∆=⎰∑=→)()(1lim 0ξλ.否则称f(x)在[]b a ,上不可积.注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。
注2若dx x f ba )(⎰存在，区间[]b a ,进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。
注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即.)()()(du u f dt t f dx x f ba ba ba ⎰=⎰=⎰定积分的几何意义: 若f(x)在[]b a ,上可积，且,0)(≥x f 则dx x f ba)(⎰表示曲线)(x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形的面积.同样，变力所作的功dx x f w ba )(⎰=（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程dt t v S ba )(⎰=（)(t v 是瞬时速度），密度不均质直线段[]b a ,的质量dx x M ba )(μ⎰=（其中)(x μ是线密度）。
定积分及其应用1 定积分的概念1． 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) (0)ba xdx ab <<⎰； (2) ()bakdx k ⎰是常数；(3) 22x dx ⎰-1；(4)1(1,0)xa dx a a ≠>⎰0.2． 设()f x 在[,]a c b c + +可积，证明()f x c +在[,]a b 上可积，且()()bb caa cf x c dx f x dx +++=⎰⎰.3． 设1,,(,),()0,[,)(,],x c c a b f x x a c c b =∈⎧=⎨∈⋃⎩ 求证()0baf x dx =⎰.4． 设∈f R ],[b a ，f g 与仅在有限个点取值不同．试用可积定义证明∈g R ],[b a ，且=⎰bax x g d )(⎰bax x f d )(．5．证明：若∈f R ],[b a ，则],[],[b a ⊂βα∀，∈f R ],[βα．2 定积分的基本性质1． 设()f x 在[,]a b 连续，()0f x ≥，()f x 不恒为零，证明()0baf x dx >⎰.2． 设()f x 在[,]a b 连续，2()0baf x dx =⎰，证明()f x 在[,]a b 上恒为零.3． 举例说明2()f x 在[,]a b 可积，但()f x 在[,]a b 不可积. 4． 比较下列各对定积分的大小： (1) 1120xdx x dx ⎰⎰，；(2)220sin xdx xdx ππ⎰⎰，；(3) 1120133xx dx dx --⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰，.5． 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 211x e dx e ≤≤⎰；(2) 2sin 12x dx x ππ≤≤⎰； (3)22ππ≤≤⎰； (4)406e≤⎰. 6． 证明：(1) 10lim 01nn x dx x→∞=+⎰； (2) 2limsin 0n n xdx π→∞=⎰.7． 设(),()f x g x 在[,]a b 连续，证明1lim ()()()()nbi i i ai f g x f x g x dx λξθ→=∆=∑⎰，其中0111,,,[,](1,2,,),n i i i i i i i a x x x b x x x x x i n ξθ--=<<<= ∆=-∈ ={}1max i i nx λ≤≤=∆.8． 设'()f x 在[,]a b 连续，且()0f a =，求证：2()()max '()2baa xb b a f x dx f x ≤≤-≤⎰.9． 设01δ<<，求证12120(1)lim0(1)n n nt dttdtδ→∞-=-⎰⎰.10．(1)设()f x 在[,]a b 上连续，且对[,]a b 上任一连续函数()g x 均有()()0baf xg x dx =⎰，证明()0,[,]f x x a b ≡ ∈ .(2)设()f x 在[,]a b 上连续，且对所有那些在[,]a b 上满足附加条件()()0g a g b ==的连续函数()g x ，有()()0baf xg x dx = ⎰.证明：在[,]a b 上同样有()0f x ≡.11． 设(),()f x g x 在[,]a b 连续，求证：2()()()bbaaf xg x dx g x ≤⎰⎰而且等号成立当且仅当()()g x f x λ=(或()()f x g x λ=)，其中λ为常数。
12．设(),()f x g x 在[,]a b 连续，求证：而且等号成立当且仅当()()g x f x λ=(0λ≥常数).13． 设()f x 在[0,1] 连续，()0f x α≥>，求证：1111()()dx f x f x dx≥⎰⎰.14． 设()(0)y x x ϕ=≥是严格单调增加的连续函数，(0)0,()x y ϕφ==是它的反函 数，证明()()(0,0).abx dx y dy ab a b ϕφ+≥ ≥ ≥⎰⎰15． 用一致连续定义验证：(1) ()f x =[0,1] 上是一致连续的；(2) ()sin f x x =在(,)-∞ +∞上是一致连续的；(3) 2()f x x =在[,]a b 上一致连续，但在(,)-∞ +∞上不一致连续； (4) 2()sin f x x =在(,)-∞ +∞上不一致连续.16．证明：若f 在],[b a 上连续，且0)()(==⎰⎰x x f x x x f babad d ，则至少存在两点),(,21b a x x ∈，使得0)()(21==x f x f ．17．借助定积分证明：（１）n nn ln 11211)1ln(+<+++<+ ； （２）11211ln 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n ． 18．设f 在],[b a 上有0)(≥''x f ．证明：2)()()(12b f a f x x f a b b a f ba+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎰d3 微积分基本定理1． 计算下列定积分： (1) 20cos xdx π⎰； (2)⎰； (3)0π⎰； (4)34--⎰；(5) 21ln xdx x⎰； (6)1ln eex dx ⎰；2． 求下列极限： (1) 11limsin nn k k n n π→∞=∑； (2) 111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭； (3) 21limnnk k n →∞=∑； (4) n3． 若()f x 连续，求'()F x ：(1) 20()()x F x f t dt =⎰；(2) ()()bxF x f t dt =⎰；(3) 32()x t xF x e dt =⎰；4． 求下列极限： (1) 20cos limxn t dt x→∞⎰；(2)()22220limx t xn t e dt e dt→∞⎰⎰；5． 设()f x 在[0,) +∞连续且单调递增，求证：函数01()()xF x f t dt x=⎰ 在(0,) +∞上连续且单调递增。
6．设f 在]1,0[上为严格递减函数．证明（并说明其几何意义）： （１）)1,0(∈ξ∃，使)1()1()0()(1f f x x f ξ-+ξ=⎰d ；（２）)1,0(,)0(∈η∃>∀f c ，使)1()1()(1f c x x f η-+η=⎰d ．7．设f 在),(B A 上连续，⊂],[b a ),(B A ．证明：)()()()(lima fb f x hx f h x f bah -=-+⎰→d ．8．证明：若f 在),[∞+a 上可导，且x x f a⎰∞+d )(与x x f a⎰∞+'d )(都收敛，则必有0)(lim=∞+→x f x ．4 定积分的计算1． 计算下列定积分 (1)2221(1)(3)3x x dx x +-⎰；(2)21411x dx x ++⎰；(3)1515-⎰；(4)94dx ⎰；(5) 0⎰；(6) 0ax ⎰；(7) 20sin cos mx nxdx π⎰；(8)123/20(1)dxx x -+⎰；(9)30⎰；(10)4(x x dx +⎰；(11)221cos 1sin xdx xπ+⎰；(12) 10⎰； (13) 1arctan x xdx ⎰； (14) 2220cos x xdx π⎰； (15) 22cos x xdx ππ-⎰；(16) 230x e dx -；(17)sin cos mx nxdx ππ-⎰；(18)(0)ax a >⎰；(19)20⎰；(20)32100(15)x x dx -；2． 计算下列定积分 (1) 920sin xdx π⎰；(2) 50sin xdx π⎰；(3) 260cos xdx π⎰；(4) 3720cos xdx π⎰；(5) 220()an a x dx -⎰ ； (6)1260(1)x dx -⎰；3． 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有 一个为奇函数.4． 设()f x 在所示区间上是连续函数，证明：(1)220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；(2)00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰；(3)2222211()()2aa a dx a dxf x f x x x x x+=+⎰⎰；(4)2321()()(0)2aa x f x dx xf x dx a = >⎰⎰；5． 计算积分20sin cos sin xdx x xπ+⎰.6． 利用分部积分法证明：()()()xxuf u x u du f t dtdu -=⎰⎰⎰7． 设''()f x 在[,]a b 连续，且()()0f a f b ==，求证： (1)1()''()()()2bbaa f x dx f x x a xb dx =--⎰⎰；(2)3()()max ''()12baa x bb a f x dx f x ≤≤-≤⎰；8． 设()f x 在0x >时连续，对任意,0a b >，积分值()abaf x dx ⎰与a 无关，求证：()cf x x=（c 为常数）. 9． 设()f x 在任一有限区间上可积分，且lim ()x f x l →∞=求证：1lim ()xx f t dt l x →∞=⎰ 10．证明下列不等式： （１）212214π<-<π⎰x x d ； （２）ee e 211)11(2102+<<-⎰∞+-x x d ．5 定积分在物理中的应用初步1．2． 有一薄版22221()x y a b a b+≤ >，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力. 3． 修建大桥桥墩时要先下围囹。
设一圆柱形围囹的直径为20m ，水深27m ，围囹高出水面3m ，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。
4．5． 某水库的闸门是一梯形，上底6m ，下底2m ，高10m ，求水灌满时闸门所要的力。
设水的比重为10003/kg m .6． 半径为r 的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要 作多少功？7．8． 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。
已知1kg 的力能使弹簧伸长1cm ，问把弹簧拉长10cm 要作多少功？9．10．有一长为a 的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此细棒的平均密度.6 定积分的近似计算1． 已知12014dx x π=+⎰，试把积分区间[0,1]分成10等分，分别用梯形公式和抛物线 公式计算π的近似值，精确到小数点后三位.2． 把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三 位：(1) 0⎰； (2)21dx x⎰.。
