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2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <3}，B ={x|x −2<0}，则A ∩B =( )A. (−2,2)B. (−3,2)C. (−3,3)D. (−2,3) 2. 已知复数z =4i 1+i ，则z 对应的点在复平面内位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 要得到函数y =sin2x 的图象，只需将函数y =sin(2x −1)的图象( )A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移12个单位D. 向右平移12个单位 4. 已知等比数列的前n 项和S n =4n +a ，则a 的值等于( )A. −4B. −1C. 0D. 15. 在△ABC 中，若点D 满足BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 的中点，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形7. 已知数列{a n }满足：a 1=−1，a n+1=a n +1，则a 100=( )A. 100B. 99C. 98D. 978. 在(x +3y)(x −2y)5的展开式中，x 2y 4的系数为( )A. −320B. −160C. 160D. 320 9. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. 210. 在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB =CD ，AB ⊥CD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. π2 11. 已知双曲线x 24−y 22=1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A(0,√2)，则△APF 周长的最小值为( )A. 4+√2B. 4(1+√2)C. 2(√2+√6)D. √6+3√2 12. 已知e 1x −lnx >e +a 1−xx 对任意x ∈(0,1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,e +1)B. (0,e +1]C. (−∞,e +1)D. (−∞,e +1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={x,x ≥1(x −1)2,x <1，则_______，若f(a)=4，则实数a =________14. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z =3x +y 的最小值为______．15. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为________．16. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，斜率为√3的直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =7，c =3，cosC =1314．(Ⅰ)求sin A 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．19.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(lnx−x+1)．(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e，求a的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√55，且右准线方程为x=5．(1)求椭圆方程；(2)过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB 面积的最大值．21. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投篮．(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t (t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23.已知函数f(x)=|x−a|+2|x+b|(a>0,b>0)的最小值为1．(1)求a+b的值；(2)若m≤1a +2b恒成立，求实数m的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B ={x|x <2}；∴A ∩B =(−3,2)．故选：B ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：此题考查复数的除法运算，属于基础题．根据复数的除法运算进行化简即可．解：z =4i 1+i =4i (1−i )1+i 1−i =2+2i ，则z 在复平面内对应的点为(2,2)位于第一象限， 故选A ． 3.答案：A解析：解：将函数y =sin(2x −1)的图象向左平移12个单位，可得y =sin[2(x +12)−1]=sin2x 的图象，故选：A ．由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 4.答案：B解析：解：∵等比数列的前n 项和S n =4n +a ，∴a 1= S 1=4+a ，a 2=S 2−S 1=(16+a)−(4+a)=12，a 3=S 3−S 2=(64+a)−(16+a)=48，∴122=48(4+a)，解得a =−1．故选：B ．由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，利用S n =4n +a ，能求出a 1，a 2，a 3，再由等比数列的性质能求出a 的值．本题考查公式由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的应用和等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.答案：B解析：由平面向量基本定理及共线向量的运算得：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．解：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选 B ．6.答案：C解析：本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．解：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形可以画出五边形但不是正五边形；故选：C ．7.答案：C。
甘肃兰州二中2019-2020学年高三第二学期第五次月考理科数学试卷理科数学试卷一、选择题1.设集合2{|log 0}A x x =≤，{|1327}xB x =<<，则()RC A B ⋂=（ ）A. (0,1)B. (1,3]C. (1,3)D. [1,3)【答案】C 【解析】 【分析】先求集合A 和B ，再求R C A ，进而求两集合的交集. 【详解】由题得，(0,1]A =，(0,3)B =∴(,0](1,)R C A =-∞⋃+∞，∴()(1,3)R C A B ⋂=，选C.【点睛】本题考察集合的基本运算（交并补），及对数与指数不等式的求解（化为同底数解不等式）. 2.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A. 2i - B. 2iC. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可．【详解】()()()()41414221112i i z i i i i --====-++-,故虚部即为i 的系数，为-2，故选D， 【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z ，属于较容易的题．3.命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A. 4a ≥ B. 4a >C. 1a ≥D. 1a >【答案】B 【解析】 【分析】在命题为真命题的情况下求得a 的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可.【详解】命题为真命题，则2a x >对[)1,2x ∈恒成立 4a ∴≥{}4a a >Q 是{}4a a ≥的真子集 4a ∴>是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：B【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系之间的关系. 4.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是， ，A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数，对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等． 5.若曲线ln y mx x =+在点(1，m)处的切线垂直于y 轴，则实数m = A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得k=0，解方程即可得到m 的值. 【详解】f （x ）的导数为f′（x ）=m +1x， 曲线y=f （x ）在点P （1，m ）处的切线斜率为k=m +1=0，可得m=﹣1． 故选A ．【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为：()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 6.为得到2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将23y cos x ＝函数的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移518π个单位 D. 向右平移518π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论. 【详解】由题可知，2cos32sin(3)2y x x π==+的图象，将其向右平移α个单位有()2sin 32sin(33)22y x x ππαα⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦， 欲得到2sin(3)3y x π=-的图象，则335182ππαπα-+=-⇒=所以应向右平移518π个单位 故选：D【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换过程中解析式的变化，属于简单题7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：20.30lg ≈） A. 3010 B. 2810C. 3610D. 9310【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质可得：20.3021010lg ≈＝，代入M 将M 也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：3612M ≈，8010N ≈， 根据对数性质有：2＝10lg 2≈100.30，3610.303611082(10)10M ∴≈≈≈， 1082880101010M N ∴≈=. 故选：B【点睛】本题考查指数式的性质与简单对数式的运算，属于中档题.8.过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( )A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程与双曲线方程联立消去y ，设两实根为1x ，2x ，利用韦达定理可表示出12x x +的值，根据P 点坐标求得12x x +＝8进而求得k ，则直线AB 的方程可得；利用弦长公式求得|AB |． 【详解】解：易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点， 所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10|AB |=12x x -|==故选D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．9.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A. 198 B. 268 C. 306 D. 378【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，①3人中有2名中国媒体和1名国外媒体，求出不同的提问方式的种数；②3人中有1名中国媒体和2名国外媒体，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案．【详解】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有21263290C C A =种不同提问方式； 若选两个外国媒体一个国内媒体，有123633108C C A =种不同提问方式， 所以共有90+108=198种提问方式. 故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n na S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,1)C. 1(,1)2D. 1[,1)2【答案】D 【解析】 【分析】先由2121n n a S n +=++，根据题意求出n a ，再由裂项相消法求出n T ，进而可得出结果. 【详解】因为2121n n a S n +=++，所以()2122n n a S n n -=+≥，因此()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，即()2211n n a a +=+，又{}n a 为正项数列，所以11n n a a +=+，故数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，()*n N ∈因此()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为*n N ∈，所以112n T ≤<. 故选D【点睛】本题主要考查等差数列以及数列的求和，熟记等差数列的通项以及裂项相消法求和即可，属于常考题型.11.的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.B.C. 12D.12【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ==，而截面到球体最低点距离为12-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为112⎛-= ⎝⎭点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.12.已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [23，34] C. [13，23]U {34} D. [13，23）U {34} 【答案】C 【解析】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C. 【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.22)nx展开式中只有第六项二项式系数最大，则n ＝_______，展开式中的常数项是_______. 【答案】 (1). 10 (2). 180 【解析】 【分析】由22)nx +展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n ＝10.再利用1022)x的通项公式即可得出.【详解】22)nx Q 展开式中只有第六项二项式系数最大，10n ∴=.1022)x ∴的通项公式：5101101052222()r r r r r rr T C C xx --+==，其中常数项，令5502r-=解得2r =. ∴常数项为：223102180T C ==.故答案为：(1). 10 (2). 180【点睛】本题考查求二项式指定项的系数，属于简单题.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足()13AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则 BP BC ⋅=u u u v u u u v______. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的加法有()121333A BP BA AP B AC AC BA BA +==+=++u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u u r ,则BP BC ⋅=u u u r u u u r 21)3(3AC BA BC +⋅u u u u ur u r u u u r ,然后用向量数量积的运算法则和定义进行计算.【详解】在正三角形ABC 中，边长为2，()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r所以()121333A BP BA APB AC AC BA BA +==+=++u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u u r u uu r u u u r , 则BP BC ⋅=u u u r u u u r 2121)33(33BA B A A C BC BC AC BC ⋅=⋅++⋅u uu r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r .2122cos6022cos60233=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=o o 故答案为：2【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的定义和运算法则，属于基础题.15.在ABC ∆中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=，且ABC ∆的面积14S abc =.则角B =__________． 【答案】3π 【解析】 【分析】ABC ∆的面积14S abc =,结合面积公式，可得2sin c C =，代入已知等式中，得到222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角B 的值.【详解】111sin 2sin 442S abc abc ab C c C =⇒=⇒=， 代入()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=中，得222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==,可将上式化简为，222a c ac b +-=，由余弦定理可知： 2222cos b a c ac B =+-⋅,所以有1cos 2B =，又因为(0,)B π∈，所以角B =3π.【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.16.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段2BF 的延长线交椭圆C 于点D ，若1F BD ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为______．【解析】 【分析】根据椭圆的定义及条件求出点D 的坐标，然后根据点D 在椭圆上可得223c a =，进而可求得椭圆的离心率． 【详解】如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四想象内，设点(,)D x y ． 由题意得1F BD ∆为等腰三角形，且1||||DF DB =．由椭圆的定义得12||||2DF DF a +=，12||||BF BF a ==， 又1222||||||||||DF DB DF BF DF a =+==+， ∴22||(|)|2a DF DF a +=+，解得2|2|a DF =． 作DE x ⊥轴于E ，则有22|sin |22||=a b b DE DF DF E a ∠=⨯=，222|cos |22||=a c c F E DF DF E a ∠=⨯=， ∴22|3||22|||=c cOE OF F E c =+=+，∴点D 的坐标为3(,)22c b-．又点D 在椭圆上，∴22223()()221c b a b -+=，整理得223c a =，所以3c e a ==．【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法(1)根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义2222222e ===1()c a b b a a a--直接求解． (2)由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于222b a c ＝－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列． （1）求{}n a 通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．【答案】(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】 【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解. 【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属的于基础题.18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）56；（2）见解析 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值；（2）由题意知随机变量X ～B （3，45），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】()1由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中有一等品：()0.040.030.01510040(++⨯⨯=件)，二等品：1004060(-=件)，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则()36310C 5P A 1C 6=-=； ()2由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为()0.040.060.040.0250.8+++⨯=，二等品的频率为0.2；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4X B 3,5⎛⎫ ⎪⎝⎭～， 所以()0303141P X 0C ()()55125==⋅⋅=， ()12131412P X 1C ()()55125==⋅⋅=， ()21231448P X 2C ()()55125==⋅⋅=， ()30331464P X 3C ()()55125==⋅⋅=； X ∴的分布列为：所以数学期望为()412E X 3.55=⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题,第二问关键是确定为二项分布.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得CF P 平面P AB ，若存在，找出F 的位置，若不存在，请说明理由； （2）求二面角B PD A --的大小．【答案】（1）在BC 上存在点F ，当13PF PD =u u u r u u u r 时，有CF P 平面P AB .（2）3π 【解析】【分析】（1）根据条件可得BA 、BC 、BP 两两垂直，以B 为原点建立坐标系，设PF PD λ=u u u r u u u r，从而得到()3,3,33F λλλ-，若CF P 平面PAB ，则CF uuu r 与平面PAB 的法向量垂直，从而得到关于λ的方程，得到λ的值，确定出F 的位置；（2）利用空间向量求出平面PAD ，平面PBD 的法向量，根据向量夹角公式，得到两平面法向量的夹角，从而得到二面角B PD A --的大小.【详解】（1）∵PB ⊥平面ABCD ，,AB BC ⊂平面ABCD ，∴PB BC ⊥，PB AB ⊥又,AD AB AD BC ⊥P ，∴AB BC ⊥，则可以B 为坐标原点，BC uuu r 为x 轴，BA u u u r 为y 轴，BP u u u r为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，假设在PD 上存在一点F ，使得CF P 平面P AB ， 设PF PD λ=u u u r u u u r ，由()()0,0,3,3,3,0P D ，得()3,3,3PD =-u u u r ，由PF PD λ=u u u r u u u r可得()3,3,33F λλλ-， 又()1,0,0C ，故()31,3,33CF λλλ=--u u u r .因为PB BC ⊥，AB BC ⊥，,AB BP ⊂平面PAB ，AB BP B =I所以BC ⊥平面PAB ，故可取平面P AB 的一个法向量为()1,0,0BC =u u u r ，若CF P 平面P AB ，则310CF BC λ⋅=-=u u u r u u u r ，解得13λ=， 故在BC 上存在点F ，当13PF PD =u u u r u u u r 时，有CF P 平面P AB . （2）由（1）可知()()()()0,0,0,0,0,3,3,3,0,0,3,0B P D A∴()()()3,3,3,0,3,3,3,3,0PD PA BD =-=-=u u u r u u u r u u u r设平面P AD 的法向量()1111,,n x y z =u r则11111113330330n PD x y z n PA y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ， 令11z =，则111,0y x ==，此时()10,1,1n =u r设平面PBD 的法向量()2222,,n x y z =u u r则22222223330330n PD x y z n BD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ， 令21x =，则221,0y z =-=此时()21,1,0n =-u u r∴1212121cos ,2n n n n n n ⋅===-u r u u r u r u u r u r u u r ， ∴122,3n n π=u r u u r ∵二面角B PD A --为锐二面角，∴二面角B PD A --的大小为3π. 【点睛】本题考查利用空间向量由线面平行求点所在的位置；利用空间向量求二面角的大小，属于中档题.20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的距离为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为2y x =+或2y x =+. 【解析】【分析】，1，依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2，联立直线和椭圆得到()22352050k x kx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v ，结合韦达定理可得到参数值.【详解】（1）直线1x y a b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意22224ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ， 当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点，所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k ∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k=+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++. 要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v ，即(1212y y x x ++ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535k k k k k +-+++ 0=，整理解得5k =或5k =， 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为25y x =+或25y x =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数1()()a f x a R x+=∈. （1）设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 极值； （2）若()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当1a >-时，()h x 极大值为ln(1)2a a a +--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 无极值；（2）211e a e +≥-或2a ≤-. 【解析】【分析】（1）求出()h x '，对a 分类讨论求出单调区间，即可求出结论；（2）()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，即为0)(0h x ≥，只需max ()0h x ≥，结合（1）中的结论对a 分类讨论求出min ()h x ，即可求解.【详解】（1）依题意1()ln a h x a x x x+=--，定义域为(0,)+∞， ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x+--++-+'=-+=-=-， ①当10a +>，即1a >-时，令()0h x '>，∵0x >，∴01x a <<+，此时，()h x 在区间(0,1)a +上单调递增，令()0h x '<，得1x a >+. 的此时，()h x 在区间(1,)a ++∞上单调递减.②当10a +≤，即1a ≤-时，()0h x '<恒成立，()h x 在区间(0,)+∞上单调递减.综上，当1a >-时，()h x 在1x a =+处取得极大值(1)ln(1)2h a a a a +=+--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 在区间(0,)+∞上无极值.（2）依题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0)(0h x ≥， 故函数1()ln a h x a x x x+=--在[]1,e 上，有max ()0h x ≥. 由（1）可知，①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递增， ∴max 1()()0a h x h e a e e +==--≥，∴211e a e +≥-， ∵2111e e e +>--，∴211e a e +≥-. ②当011a <+≤，或1a ≤-，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴2a ≤-③当11a e <+<，即01a e <<-时，由（2）可知，()h x 在1x a =+处取得极大值也是区间(0,)+∞上的最大值，即max ()(1)ln(1)2[ln(1)1]2h x h a a a a a a =+=+--=+--，∵0ln(1)1a <+<，∴(1)0h a +<在[]1,e 上恒成立，此时不存在0x 使0)(0h x ≥成立.综上可得，所求a 的取值范围是211e a e +≥-或2a ≤-. 【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式能成立等基础知识，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推.理与数学运算的数学核心素养，属于中档题题.请从下面所给的22、23题两题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值. 【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y --=，C 的普通方程229x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用22cos sin 1θθ+=将曲线C 的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程并代入C 的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【详解】解：（1）因为直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线C 的参数方程为33x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以曲线C 的普通方程229x y +=. （2）由题可知()0,1M -，所以直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数），代入229x y +=，得280t -=.设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=128t t =-. 11MA MB -=1212MB MA t t MA MB t t -+==【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.已知函数()|||1|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥；（Ⅱ）[1,2]-. 【解析】【分析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为114x x x ++-≥+，可以转化为： 1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩， 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. （Ⅱ）()()()min 11f x x a x a =+--=+， 所以211a a +≥- 21,11a a a <-⎧⇔⎨--≥-⎩或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩， 解得a ∈∅或12a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。
甘肃省靖远县2020届高三仿真高考冲刺数学试题（理）——★ 参*考*答*案 ★——1．B『解析』因为{}2{|13},0{|01}M x x N x x xx x =-<<=-=<<，所以{|01}M N x x =<<，应选答案B 。
2．D『解析』令z i =∈C ,则210i =-<,故A 不正确;21i -的虚部是2,故B 不正确;a i +与b i +都是虚数,不能比较大小,故C 不正确;由实数集与虚数集可组成复数集知D 正确.故选：D. 3．B『解析』因为a 与反向，所以舍去A,C,D因为122（，-的模为1，所以选B. 点睛：与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-. 4．B『解析』22log 0.7log 10c =<=,()()11330ln 21ln 3a b <=<<=,故c a b <<,故选B. 5．A『解析』由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得1234P P P P 、、、在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A 6．A『解析』设正方形的边长为a 则一个弧田的面积为221142a a π- 所以两个弧田的面积为2212a a π- 所以在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为22211212a a a ππ-=- 所以选A 7．B『解析』程序中,当m ≠n 时总是用较大的数减去较小的数直到相等时跳出循环,显然是“更相减损之术”求m ,n 的最大公约数. 本题选择B 选项. 8．D『解析』对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 9．D『解析』由2*123()43n S n n n N =++∈，2n 时，1nn n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误．由2*123()43n S n n n N =++∈，2n ∴时，2211212153[(1)(1)3]4343212n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．1n =时，114712a S ==，1n =时，15212n a n =+，不成立．∴数列{}n a 不是等差数列．21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．5191547154322(5)(9)021*******a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数列．631535(456)32124S S -=⨯+++⨯=．961553(789)32124S S -=⨯+++⨯=．1291571(101112)32124S S -=⨯+++⨯=．5323571444⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．故选：D ． 10.D 11.D『解析』由f （x ）=2sin xcosx 2x =sin2x 1+cos 2x ）=sin2x 2x（2x +3π）， 将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数g （x ）的图象，即g （x ）=2sin 『2（x ﹣6π）+3π』x由2x =kπ，k ∈Z ，得x =2k π，此时g （x ）即函数的对称中心为（2k π， 当k =1时，对称中心为2π⎛ ⎝. 故答案为：D 12．A『解析』由()()2f x f x +=可知()f x 是周期为2的偶函数由当[0,1]x ∈时，()2f x x =和偶函数知当[]1,0x ∈-时，()2f x x =- 令()()2g x a x =+，则问题转化为()(),f x g x 在区间[]2,3-有四个交点 由下图得()g x 图象在直线AB 与AC 之间时()(),f x g x 有四个交点 直线AB 斜率23，直线AC 斜率25，故22,53a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭选A13．1013『解析』因为等比数列{}n a 的公比123101133q x dx x ===⎰，且2231211a a a a q a q ===， ∴113a =，∴101013a =. 故答案为1013 14．[]0,3『解析』画出可行域如上图阴影部分,令2z x y =+ ,当0z =表示的是经过原点的直线,将2z x y =+变形为2y x z =-+ ,在原点处,z 有最小值0 ,在点(1,1)A 处,z 有最大值3 ,所以2x y +的取值范围是[]0,3.15．228- 『解析』()()6312xx -+的展开式中，含5x的项是56553262252455666622(22)228C x x C x C C x x --⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅-⋅=-，即5x 的系数是228-.16．3『解析』由题意可知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，0p >， 设()2000,02y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴02014332288OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00322y p y p =时等号成立.27．（1）3π；（2『解析』() 1由正弦定理得222ab c a b +=+，即222a b c ab +-=，即2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，则3C π=．()2由()1知，2222c a b ab ab ab ab =+-≥-=，2c =，4ab ∴≤当且仅当a b =时取等号，则三角形面积11sin 422S ab C =≤⨯=，．18．（Ⅰ）见解析； . 『解析』（Ⅰ）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（Ⅱ）利用等积法可得： D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离．试题『解析』（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ， FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．19．（1）()1y x =±-；（2）见解析．『解析』 (1)F 的坐标为()1,0，设l 的方程为()1y k x =-代入抛物线24y x =得()2222240k x k x k -++=，由题意知0k ≠，且()()222222441610k k k k ⎡⎤-+-⋅=+>⎣⎦， 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴212224k x x k++=，121x x =， 由抛物线的定义知1228AB x x =++=， ∴22246k k+=，∴21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为()1y x =±-. （2）直线BD 的斜率为212122212121444BD y y y y k y y x x y y ++===---， ∴直线BD 的方程为()11214y y x x y y +=--， 即()221211144y y y y y y x x -+-=-，∵24y x =，121x x =，∴()212121616y y x x ==， 即124y y =-(因为12,y y 异号)，∴BD 的方程为()()12410x y y y ++-=，恒过()1,0-.20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析『解析』 (1)解：f ˊ(x ) = x 1e -+a .（i ）当a ≥0时, f ˊ(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增；(ii )当 a <0 时，令f ˊ(x ) =0,则ln （-a ）+1，当f ˊ(x )>0,即x >ln( -a ) + 1时，函数f (x )单调递增；当f ˊ(x )<0,即x <ln( -a ) + 1时，函数f (x )单调递减.综上，当a ≥0时，函数f (x )在R 上单调递增；当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(ln(-a )+1，+∞)， 单调递减区间是(一∞,ln(-a )十1).（2）证明:令 a = — 1,由（1)可知，函数/(x ) =x 1e -—x 的最小值为f (1)=0,∴x 1e -—x ≥0, 即x 1e -≥x（3）证明：f (x )十ln x ≥a +1 恒成立与f (x )十ln x -a -1≥0 恒成立等价.令 g (x )=f (x )+ln x -a -1,g (x )=x 1e -+ a (x —1)+ ln x -1,则g ˊ(x ) =x 1e -+1x+a . 当a ≥—2时，g ˊ（x ) = x 1e -十1x 十a ≥x 十1x 十aa = a 十2≥0,(或令φ(x ) = x 1e -十1x ，则φˊ（x ) = x 1e -—21x在『1，十∞)上递增，∴φˊ (x )在『1，十∞)上递增， ∴φ(x ) ≥φ(1) = 2，∴g ˊ(x ) ≥0).∴g (x )在区间『1，十∞)上单调递增，∴g (x ) ≥g (1)=0，∴ f (x )十ln x ≥a +1 恒成立21．（1）0.0129．（2）ˆ100.6y=+576.6千元． 『解析』（1）由已知，单只海产品质量~(280,25)N ξ，则280,μ=5σ=， 由正态分布的对称性可知，11(265)[1(265295)][1(33)]22P P P ξξμσξμσ<=-<<=--<<+ 1(10.9974)0.00132=-=， 设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g 的为X 只，故~(10,0.0013)X B ， 故10(1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P X P X ≥=-==--≈-=，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129． （2）由 6.8,t =563,y =()()81108.8,i i i t t y y =--=∑()821 1.6i i t t =-=∑， 有()()()81821108.8ˆ681.6i i i i i t t y y b t t ==--===-∑∑， 且ˆˆ56368 6.8100.6ay bt =-=-⨯=，所以y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ 当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+=千元． 所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．22．（1）()2211x y -+=，1a x e -->；（2）4『解析』（1）由题圆C ：22cos ρρθ=，即222x y x +=，()2211x y -+=， l ：3326612336x t x t y t y t =+=+⎧⎧⇒⎨⎨=--=--⎩⎩，，，，消去参数t 得l ：2330x y +-=；（2）记圆心C （1，0），半径r ＝1，过C 作CM l ⊥于点M ，∴M 为AB 中点，设12AM BM AB m ===， ∴()()2222222514PA PB PM m PM m PM m CP CM m CP r ⋅=-⋅+=-=--=-=-=.23．（1）15,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）证明见解析 『解析』解：（1）由,x y R +∈，且1x y +=可知，122x y -≤即1322x -≤， ∴113222x -≤-≤，解得1526x ≤≤，且()15,0,126⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦， ∴x 的取值范围为15,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）证明：222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫--=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()2211111121x x y y x y x y xy xy-+-+++=⨯==+，由基本不等式，1022x y +<≤=2≥，14xy ≥， 所以221121119x y xy ⎛⎫⎛⎫--=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|24B x x =-<<，则A B =I （ ）A. {}|23x x -<≤B. {}|54x x -≤<C. {}|52x x -≤≤-D. {}|34x x ≤<2. 若复数z 满足()2313i z i +=，则z =（ ） A. 32i -+B. 32i +C. 32i --D. 32i -3. 若向量()1,5a =r ，()2,1b =-r，则()2a a b ⋅+=r r r （ ）A. 30B. 31C. 32D. 334. 已知函数()()2log 1,13,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()()2f f -=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青.苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗.青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同，马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A. 257，507，1007 B.2514，257，507 C. 1007，2007，4007D. 507，1007，20076. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A.13B. 13-C.3D. 3-7. 若函数()323f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A. -3B. 3C. -2D. 28. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B. 43πC.3D. 39. 设8log 0.2a =，0.3log 4b =，0.34c =，则（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<10. 给出下列三个命题：①“0x R ∃∈，200210x x -+≤”的否定；②在ABC ∆中，“30B >︒”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中假命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,212. 已知函数()ln mxf x me x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C. [)1,+∞D. (),e -∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.14. 若函数()2221x ax f x x =++为奇函数，则a =______.15. 记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分別为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则77a b =______. 16. 在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求cos C 的值；（2）若ABC ∆的面积是ABC ∆的周长.18. 已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. 已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()()22314g x x x m m =-+-<≤，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.20. 如图，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，224AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值. 21. 已知函数()2xf x me x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 22. 已知函数()252ln f x x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5：ABCCD 6-10：BADDC 11-12：BA1. A 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为{}|53A x x =-≤≤，{}|24B x x =-<<，所以{}|23A B x x =-<≤I . 2. B 【解析】本题考查复数的运算，考查运算求解能力. 因为()2313i z i +=，所以()()()13231332232323i i i z i i i i -===+++-. 3. C 【解析】本题考查平面向量，考查运算求解能力.因为()1,5a =r ，()23,7a b +=-r r，所以()235732a a b ⋅+=-+⨯=r r r .4. C 【解析】本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力. 由题意可得()2239f -==，则()()()()229log 913ff f -==-=.5. D 【解析】本题考查数列与数学文化，考查运算求解能力.设羊户赔粮1a ，马户赔粮2a ，牛户赔粮3a ，则1a ，2a ，3a 成等比数列，且公比2q =，12350a a a ++=，则()21150a q q++=，故1250501227a==++，2110027a a ==，23120027a a ==. 6. B 【解析】本题考查三角函数，考查推理论证能力与运算求解能力. 由图象知，534884T πππ=-=，即T π=，则2ω=±，从而()()sin 2f x A x ϕ=±+.因为()1sin 23f A ππϕ⎛⎫=±+= ⎪⎝⎭，所以1sin 3A ϕ=-，()()1sin 2sin 3f A A ππϕϕ=±+==-.7. A 【解析】本题考查导数与函数的极值，考查运算求解能力. 因为()323f x ax x b =++，所以()2'36f x ax x =+，则()()'1360132f a f a b =+=⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得2a =-，1b =，则3a b -=-.8. D 【解析】本题考查三视图，考查空间想象能力与运算求解能力.由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4，高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆锥的体积111423V π=⨯⨯⨯=21442V =⨯⨯=12V V V =+=+9. D 【解析】本题考查指数、对数的比较大小，考查运算求解能力与推理论证能力.因为0.30.310log 4log 13<=-，0.38881log 0.125log 0.2log 10,41-=<<=>，所以b a c <<. 10. C 【解析】本题考查命题，考查运算求解能力与推理论证能力.因为“0x R ∃∈，200210x x -+≤”是真命题，所以其否定是假命题，即①是假命题；在ABC ∆中，“30B >︒”是“cos B <”的充要条件，即②是真命题；将函数2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2cos 23y x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，即③是假命题.11. B 【解析】本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力. 因为cos y x =在[],0π-上单调递增，所以cos y x ω=在,0πω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在2,33ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2,,3233ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得203ω<≤.12. A 【解析】本题考查导数与函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力.由题意可知0m >，则ln 0mx me x ->在(]0,1上恒成立.当1x >时，()0f x >等价于ln mx me x >，因为1x >，所以ln ln mx x mxe e x >.设()()0xg x xe x =>，显然()g x 在()0,+∞上单调递增，因为0mx >，ln 0x >，所以()()ln g mx g x >等价于ln mx x >，即ln x m x >.设()()ln 0xh x x x=>，则()()21ln '0xh x x x-=>.令()'0h x =，解得x e =，则()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减.从而()()max 1h x h e e ==，故1m e>.二、填空题13. 3 14. -2 15.11516. 252π 13. 3 【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想.作出可行域（图略），当直线2z x y =+经过点()1,1A 时，max 1213z =+⨯=. 14. -2 【解析】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力.()22212121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，记()121xa g x =++，因为()f x 是奇函数，所以()g x 为奇函数，则()()g x g x -=-，即112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭，整理得20a +=，解得2a =-.15.115【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 因为357n n S n T n +=+，所以7137133135111375a S b T ⨯+===+. 16. 252π 【解析】本题考查简单几何体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力.设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心.取BE 的中点F （图略），连接1O F ，2O F ，由条件得213O O F F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =.连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π.三、解答题17. 解：（1）因为()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-，所以()()22a b c a b c c ab -+--=-，即2222a b c +=.因为a =，所以2242b c =，所以c =，由余弦定理可得222222cos 2a b c C ab +-===. （2）由（1）可得cos C =，则sin C =， 因为ABC ∆的面积是，所以1sin 2ab C =即22=2b =，则a =c =故ABC ∆的周长为2+. 评分细则：（1）在第1问中，先由正弦定理将边转化为角，得到222sin sin 2sin A B C +=，从而得到2222a b c +=不予扣分；（2）在第2问中，由cos C 值求出sin C 给1分，求出a ，b ，c 给3分： （3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.18.（1）证明：因为11221n n n na a n +++=+，所以()11122n n n n a na +++=+，所以()111122n n n nn a na +++=+，从而()111122n nn nn a na +++-=.因为12a =，所以112a =. 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列. （2）解：由（1）可知2nn na n =，则2n n a =. 因为n n b a n =+，所以2nn b n =+，则123n n S b b b b =++++L ()()()()232122232nn =++++++++L()()232222123nn =+++++++++L L ()()122121112212222n n n n n n +⨯-+=+=++--.评分细则：（1）在第1问中，可从等差数列的定义出发，将11221n n n na a n +++=+代入()11122n n n n n a na +++-，通过化简得到()111122n nn nn a na +++-=；（2）在第2问中，由等差数列的通项公式求出2nn a =给2分，通过分组求出n S 给3分，中间步骤没有分组直接计算可不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.19. 解：（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()101211132222f a fa b a π⎧==-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1a =，b =. 故()13sin cos 2222x x f x ⎛⎛⎫=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-， ()223g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.因为14m <≤，2x m -≤≤，所以()()min 14g x g m ==-，()()max 25g x g m =-=+，则144152m m m <≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m <≤. 故m 的取值范围是(]1,3。
2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题1.设集合2{|log 0}A x x =≤，{|1327}xB x =<<，则()RC A B ⋂=（ ）A. (0,1)B. (1,3]C. (1,3)D. [1,3)2.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A. 2i -B. 2iC. 2D. 2-3.命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A. 4a ≥B. 4a >C. 1a ≥D. 1a >4.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<5.若曲线ln y mx x =+在点(1，m)处的切线垂直于y 轴，则实数m = A. 1-B. 0C. 1D. 26.为得到2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将23y cos x ＝函数的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移518π个单位 D. 向右平移518π个单位 7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：20.30lg ≈） A. 3010B. 2810C. 3610D. 93108.过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( )A. B. C.D. 9.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )A. 198B. 268C. 306D. 37810.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n n a S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,1)C. 1(,1)2D. 1[,1)211.如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.212 B.212C. 61- D.31- 12.已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [23，34] C. [13，23]U {34} D. [13，23）U {34} 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.22()nx x+展开式中只有第六项二项式系数最大，则n ＝_______，展开式中的常数项是_______. 14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足()13AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则 BP BC ⋅=u u u v u u u v______.15.在ABC ∆中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=，且ABC ∆的面积14S abc =.则角B =__________．16.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段2BF 的延长线交椭圆C 于点D ，若1F BD ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得CF P 平面P AB ，若存在，找出F 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求二面角B PD A --的大小．20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x ya b+=的距离为4. （1）求椭圆C的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由. 21.已知函数1()()af x a R x+=∈. （1）设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 的极值；（2）若()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围.请从下面所给的22、23题两题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值. 23.已知函数()|||1|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题1.设集合2{|log 0}A x x =≤，{|1327}xB x =<<，则()RC A B ⋂=（ ）A. (0,1)B. (1,3]C. (1,3)D. [1,3)【答案】C 【解析】 【分析】先求集合A 和B ，再求R C A ，进而求两集合的交集. 【详解】由题得，(0,1]A =，(0,3)B =∴(,0](1,)R C A =-∞⋃+∞，∴()(1,3)R C A B ⋂=，选C.【点睛】本题考察集合的基本运算（交并补），及对数与指数不等式的求解（化为同底数解不等式）. 2.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A. 2i - B. 2iC. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合复数的运算，化简z ，计算虚部，即可． 【详解】()()()()41414221112i i z i i i i --====-++-,故虚部即为i 的系数，为-2，故选D ． 【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z ，属于较容易的题．3.命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A. 4a ≥ B. 4a >C. 1a ≥D. 1a >【答案】B 【解析】 【分析】在命题为真命题的情况下求得a 的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可. 【详解】命题为真命题，则2a x >对[)1,2x ∈恒成立 4a ∴≥{}4a a >Q 是{}4a a ≥的真子集 4a ∴>是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：B【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系之间的关系.4.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等． 5.若曲线ln y mx x =+在点(1，m)处的切线垂直于y 轴，则实数m = A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得k=0，解方程即可得到m 的值. 【详解】f （x ）的导数为f′（x ）=m +1x， 曲线y=f （x ）在点P （1，m ）处的切线斜率为k=m +1=0，可得m=﹣1． 故选A ．【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为：()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 6.为得到2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将23y cos x ＝函数的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向左平移518π个单位 D. 向右平移518π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论. 【详解】由题可知，2cos32sin(3)2y x x π==+的图象，将其向右平移α个单位有()2sin 32sin(33)22y x x ππαα⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦， 欲得到2sin(3)3y x π=-的图象，则335182ππαπα-+=-⇒=所以应向右平移518π个单位 故选：D【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换过程中解析式的变化，属于简单题7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：20.30lg ≈） A. 3010 B. 2810C. 3610D. 9310【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质可得：20.3021010lg ≈＝，代入M 将M 也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：3612M ≈，8010N ≈， 根据对数性质有：2＝10lg 2≈100.30，3610.303611082(10)10M ∴≈≈≈， 1082880101010M N ∴≈=. 故选：B【点睛】本题考查指数式的性质与简单对数式的运算，属于中档题.8.过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( )A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程与双曲线方程联立消去y ，设两实根为1x ，2x ，利用韦达定理可表示出12x x +的值，根据P 点坐标求得12x x +＝8进而求得k ，则直线AB 的方程可得；利用弦长公式求得|AB |． 【详解】解：易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点， 所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10|AB |=12x x -|==故选D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．9.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A. 198 B. 268C. 306D. 378【答案】A【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，①3人中有2名中国媒体和1名国外媒体，求出不同的提问方式的种数；②3人中有1名中国媒体和2名国外媒体，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案．【详解】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有21263290C C A =种不同提问方式； 若选两个外国媒体一个国内媒体，有123633108C C A =种不同提问方式， 所以共有90+108=198种提问方式. 故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n na S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ） A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,1)C. 1(,1)2D. 1[,1)2【答案】D 【解析】 【分析】先由2121n n a S n +=++，根据题意求出n a ，再由裂项相消法求出n T ，进而可得出结果. 【详解】因为2121n n a S n +=++，所以()2122n n a S n n -=+≥，因此()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，即()2211n n a a +=+，又{}n a 为正项数列，所以11n n a a +=+，故数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，()*n N ∈因此()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为*n N ∈，所以112n T ≤<. 故选D【点睛】本题主要考查等差数列以及数列的求和，熟记等差数列的通项以及裂项相消法求和即可，属于常考题型.11.如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.212 B.212C. 61- D.31- 【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离13142d =-=，而截面到球体最低点距离为31，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.12.已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [23，34] C. [13，23]U {34} D. [13，23）U {34} 【答案】C 【解析】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C. 【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.22)nx+展开式中只有第六项二项式系数最大，则n ＝_______，展开式中的常数项是_______. 【答案】 (1). 10 (2). 180 【解析】 【分析】由22)nx +展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n ＝10.再利用1022)x 的通项公式即可得出.【详解】22)nxQ 展开式中只有第六项二项式系数最大，10n ∴=. 1022)x ∴的通项公式：5101101052222()r r r r r rr T C C xx --+==，其中常数项，令5502r-=解得2r =. ∴常数项为：223102180T C ==.故答案为：(1). 10 (2). 180【点睛】本题考查求二项式指定项的系数，属于简单题. 14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足()13AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则 BP BC ⋅=u u u v u u u v______. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的加法有()121333A BP BA AP B AC AC BA BA +==+=++u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u u r ,则BP BC ⋅=u u u r u u u r 21)3(3AC BA BC +⋅u u u u ur u r u u u r ,然后用向量数量积的运算法则和定义进行计算.【详解】在正三角形ABC 中，边长为2，()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r所以()121333A BP BA APB AC AC BA BA +==+=++u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u u r u uu r u u u r , 则BP BC ⋅=u u u r u u u r 2121)33(33BA B A A C BC BC AC BC ⋅=⋅++⋅u uu r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r .2122cos6022cos60233=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=o o 故答案为：2【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的定义和运算法则，属于基础题.15.在ABC ∆中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=，且ABC ∆的面积14S abc =.则角B =__________． 【答案】3π 【解析】 【分析】ABC ∆的面积14S abc =,结合面积公式，可得2sin c C =，代入已知等式中，得到222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角B 的值.【详解】111sin 2sin 442S abc abc ab C c C =⇒=⇒=， 代入()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=中，得222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==,可将上式化简为，222a c ac b +-=，由余弦定理可知： 2222cos b a c ac B =+-⋅,所以有1cos 2B =，又因为(0,)B π∈，所以角B =3π.【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.16.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段2BF 的延长线交椭圆C 于点D ，若1F BD ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为______． 【答案】33【解析】 【分析】根据椭圆的定义及条件求出点D 的坐标，然后根据点D 在椭圆上可得223c a =，进而可求得椭圆的离心率． 【详解】如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四想象内，设点(,)D x y ． 由题意得1F BD ∆为等腰三角形，且1||||DF DB =．由椭圆的定义得12||||2DF DF a +=，12||||BF BF a ==， 又1222||||||||||DF DB DF BF DF a =+==+， ∴22||(|)|2a DF DF a +=+，解得2|2|a DF =． 作DE x ⊥轴于E ，则有22|sin |22||=a b b DE DF DF E a ∠=⨯=，222|cos |22||=a c c F E DF DF E a ∠=⨯=， ∴22|3||22|||=c cOE OF F E c =+=+，∴点D 的坐标为3(,)22c b-．又点D 在椭圆上，∴22223()()221c ba b -+=，整理得223c a =， 所以33c e a ==．故答案为3． 【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法(1)根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义2222222e ===1()c a b b a a a--直接求解． (2)由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于222b a c ＝－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．【答案】(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】 【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解. 【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）56；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值； （2）由题意知随机变量X ～B （3，45），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】()1由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中有一等品：()0.040.030.01510040(++⨯⨯=件)， 二等品：1004060(-=件)，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件． 记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则()36310C 5P A 1C 6=-=；()2由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为()0.040.060.040.0250.8+++⨯=， 二等品的频率为0.2；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4X B 3,5⎛⎫⎪⎝⎭～， 所以()0303141P X 0C ()()55125==⋅⋅=，()12131412P X 1C ()()55125==⋅⋅=， ()21231448P X 2C ()()55125==⋅⋅=，()30331464P X 3C ()()55125==⋅⋅=； X ∴的分布列为：X 0123P 1125 12125 48125 64125所以数学期望为()412E X 3.55=⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题,第二问关键是确定为二项分布.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得CF P 平面P AB ，若存在，找出F 的位置，若不存在，请说明理由； （2）求二面角B PD A --的大小．【答案】（1）在BC 上存在点F ，当13PF PD =u u u r u u u r 时，有CF P 平面P AB .（2）3π【解析】 【分析】（1）根据条件可得BA 、BC 、BP 两两垂直，以B 为原点建立坐标系，设PF PD λ=u u u r u u u r，从而得到()3,3,33F λλλ-，若CF P 平面PAB ，则CF uuu r与平面PAB 的法向量垂直，从而得到关于λ的方程，得到λ的值，确定出F 的位置；（2）利用空间向量求出平面PAD ，平面PBD 的法向量，根据向量夹角公式，得到两平面法向量的夹角，从而得到二面角B PD A --的大小.【详解】（1）∵PB ⊥平面ABCD ，,AB BC ⊂平面ABCD ， ∴PB BC ⊥，PB AB ⊥ 又,AD AB AD BC ⊥P ， ∴AB BC ⊥，则可以B 为坐标原点，BC u u u r 为x 轴，BA u u u r 为y 轴，BP u u u r为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，假设在PD 上存在一点F ，使得CF P 平面P AB ， 设PF PD λ=u u u r u u u r，由()()0,0,3,3,3,0P D ，得()3,3,3PD =-u u u r，由PF PD λ=u u u r u u u r可得()3,3,33F λλλ-，又()1,0,0C ，故()31,3,33CF λλλ=--u u u r.因为PB BC ⊥，AB BC ⊥，,AB BP ⊂平面PAB ，AB BP B =I 所以BC ⊥平面PAB ，故可取平面P AB 的一个法向量为()1,0,0BC =u u u r，若CF P 平面P AB ，则310CF BC λ⋅=-=u u u r u u u r，解得13λ=，故在BC 上存在点F ，当13PF PD =u u u r u u u r时，有CF P 平面P AB .（2）由（1）可知()()()()0,0,0,0,0,3,3,3,0,0,3,0B P D A∴()()()3,3,3,0,3,3,3,3,0PD PA BD =-=-=u u u r u u u r u u u r设平面P AD 的法向量()1111,,n x y z =u r则11111113330330n PD x y z n PA y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ， 令11z =，则111,0y x ==，此时()10,1,1n =u r设平面PBD 的法向量()2222,,n x y z =u u r则22222223330330n PD x y z n BD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ， 令21x =，则221,0y z =-=此时()21,1,0n =-u u r∴1212121cos ,2n n n n n n ⋅===-u r u u ru r u u r u r u u r ， ∴122,3n n π=u r u u r∵二面角B PD A --为锐二面角， ∴二面角B PD A --的大小为3π. 【点睛】本题考查利用空间向量由线面平行求点所在的位置；利用空间向量求二面角的大小，属于中档题.20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为25y x =+或25y x =+.【解析】 【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050k xkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v，结合韦达定理可得到参数值. 【详解】（1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k ∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v，即(1212y y x x++ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535kk k kk+-+++ 0=，整理解得k =或k =所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数1()()af x a R x+=∈. （1）设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 的极值；（2）若()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当1a >-时，()h x 极大值为ln(1)2a a a +--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 无极值；（2）211e a e +≥-或2a ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出()h x '，对a 分类讨论求出单调区间，即可求出结论；（2）()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，即为0)(0h x ≥，只需max ()0h x ≥，结合（1）中的结论对a 分类讨论求出min ()h x ，即可求解. 【详解】（1）依题意1()ln ah x a x x x+=--，定义域为(0,)+∞， ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=-+=-=-， ①当10a +>，即1a >-时，令()0h x '>，∵0x >，∴01x a <<+， 此时，()h x 在区间(0,1)a +上单调递增， 令()0h x '<，得1x a >+.此时，()h x 在区间(1,)a ++∞上单调递减.②当10a +≤，即1a ≤-时，()0h x '<恒成立，()h x 在区间(0,)+∞上单调递减.综上，当1a >-时，()h x 在1x a =+处取得极大值(1)ln(1)2h a a a a +=+--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 在区间(0,)+∞上无极值.（2）依题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0)(0h x ≥， 故函数1()ln a h x a x x x+=--在[]1,e 上，有max ()0h x ≥. 由（1）可知，①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递增， ∴max 1()()0a h x h e a e e +==--≥，∴211e a e +≥-， ∵2111e e e +>--，∴211e a e +≥-. ②当011a <+≤，或1a ≤-，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴2a ≤-.③当11a e <+<，即01a e <<-时，由（2）可知，()h x 在1x a =+处取得极大值也是区间(0,)+∞上的最大值，即max ()(1)ln(1)2[ln(1)1]2h x h a a a a a a =+=+--=+--，∵0ln(1)1a <+<，∴(1)0h a +<在[]1,e 上恒成立，此时不存在0x 使0)(0h x ≥成立.综上可得，所求a 的取值范围是211e a e +≥-或2a ≤-. 【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式能成立等基础知识，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题题.请从下面所给的22、23题两题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值. 【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y --=，C 的普通方程229x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用22cos sin 1θθ+=将曲线C 的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程并代入C 的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【详解】解：（1）因为直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线C 的参数方程为33x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以曲线C 的普通方程229x y +=. （2）由题可知()0,1M -，所以直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数），代入229x y +=，得280t -=.设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=128t t =-. 11MA MB -=12128MB MA t t MA MB t t -+==. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.已知函数()|||1|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥；（Ⅱ）[1,2]-. 【解析】【分析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为114x x x ++-≥+，可以转化为： 1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩， 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. （Ⅱ）()()()min 11f x x a x a =+--=+， 所以211a a +≥- 21,11a a a <-⎧⇔⎨--≥-⎩或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩， 解得a ∈∅或12a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。
