几何的公理化方法- 第十一讲.

中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。

这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。

一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。

一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。

从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。

②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。

③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。

二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。

从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。

几何学公理化除了极少数的著作之外，没有人知道那些伟大的古希腊先哲们究竟在思考什么。

关于这些先驱的生平，人们只能从《欧德斯摩摘要》一书中了解极为粗略的情况。

然而正是在这些吉光片羽的文字中，保留了古希腊关于数学的最光辉的思想。

从泰勒斯（Thales）到欧几里得的三百多年历史中，数学稳步而又迅速地发展着。

泰勒斯开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派进一步将数学从具体中抽象出来，并把算术和几何紧密地联系在一起。

公元前387年左右，柏拉图（Plato，公元前426－347）在雅典创建了哲学学园，主张通过几何学习培养逻辑思维能力。

他的学生亚里士多德（Aristotel，公元前384－322）则是形式逻辑的奠基者。

这个学派的另一个重要人物欧多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）创立了比例论。

他用公理化的方法建立理论，使得比例的适用范围从毕达哥拉斯学派的可通约量扩大至不可通约量。

到了公元前4世纪时，古希腊无论是在几何学还是逻辑学上都日臻成熟，公理化思想也是由来已久，一个严密而又完整的几何体系已是呼之欲出。

这个重任就落在了欧几里得的肩上。

1.欧几里得的贡献欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊著名的数学家。

他的《几何原本》直到现在，依然是几何学入门的最佳读本。

两千年来，这部巨著令许多数学家的努力与文字黯然失色。

《原本》一书中的数学思想与方法，深刻地影响了整整两千多年的数学与自然科学的发展历程。

欧几里得的最大贡献并不是发现了多少深奥的定理，而是对过去所有数学知识的总结。

他的《几何原本》不仅奠定了西方几何学的基础，并且提供了一整套的公理化方法的范例。

在他之前，也曾有人设想过如此计划。

但正如《欧德斯摩摘要》一书中所说的，“把几何学原理联系到一起，把欧多克索斯的许多定理有次序地安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，并对前任未经严谨证明的许多东西给以无可争辩地阐明”的，乃是欧几里得。

《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷为后人增补）。

第6章几何公理法简介6.6 几何公理体系的三个基本问题任何公理体系中，包括初等几何公理体系，都有三个基本问题：①无矛盾性问题（即和谐问题）；②最少个数问题（即独立性问题）；③完备性问题．第一个问题要求公理体系的各个公理以及经过一串推导得出的命题不能相互矛盾，首先要求公理之间不相矛盾．这显然是必要的条件．证明公理体系的和谐性常用模型法．公理法是抽象的，它所考虑的对象（几何元素点、直线、平面）以及对象之间的关系或运算（几何上讲的接合、顺序、合同），都是不加定义的，但要满足公理的要求．设给定一组公理，在某些对象间建立了确定性质的相互关系．从所采用的公理，可以对这些对象的这些性质作逻辑推理，而完全不必理睬它们其它一切可能的性质，只要公理中没有提到．所以一个已知公理体系的对象可以是任意种类的事物，而且在公理中说到的它们之间的关系，可以有任何具体意义，只要公理的要求得到满足．给定一组公理，具体挑选一组事物使这组公理得到满足，就说给这组公理做了一个实现或解释．实现这些公理的对象的集合，构成这公理体系的一模型．一个公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这公理体系就是和谐的．举一具体的例．我们给第一组公理I1-8造一个模型．取一个四面体，约定将它的顶点叫做“点”，棱叫做“直线”，面叫做“平面”．在这个实现里，构成几何元素的集合是四点、六直线、四平面．正象在任何实现里一样，此刻应将接合性具体叙述出来．我们约定，跟四面体ABCD的顶点例如A所代表的“点”相接合的“直线”就是含顶点A的棱，跟“点”A接合的“平面”就是四面体含顶点A的面；跟“直线”AB接合的“平面”就是四面体含棱AB的面．容易验明，在这个模型里，公理I1-8全部满足．这四面体模型的存在表明八条接合公理是和谐的．这个模型的存在，还给我们带来一个更宝贵的信息，即从第一组接合公理不能推出几何元素的个数是无穷的．因为四面体模型只有4+6+4=14个元素却已实现了它．初等几何公理体系的和谐性证明是相对的，即有条件的。

解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。

以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。

2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。

3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。

4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。

通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。

5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。

6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。

7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。

8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。

9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。

10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。

11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。

以上就是解析几何的11种方法。

需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。

第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义P1三、欧几里得《几何原本》简介P2四、完备化的希尔伯特公理体系P5五、中学几何公理系统P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1．什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。

”一般由4部分组成：(1)原始概念的列举(2)定义的叙述(3)公理的列举(4)定理的叙述和证明4个部分不是独立地叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。

原始概念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。

如欧氏几何、罗氏几何等。

原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。

原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：◆一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内；◆两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线；◆过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理是“在一个系统中已为反复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性.”。

一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。

因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。

2．公理系统的三个基本问题(1) 相容性 (无矛盾性)若由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。

靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。

要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。

先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。

公理化方法和中学几何公理体系12数学陈婷12220620摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。

而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。

本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。

关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示正文：一、几何学发展简史几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。

在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。

一）欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。

欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。

全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。

这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。

欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。

他的思想被称作“公理化思想”。

欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。

但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：1、在欧式几何中用了重合法来证明全等：在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。