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三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
中考数学常用模型和定理总结中考数学是学生们重要的考试之一，为了更好地备战中考，学生们需要总结常用模型和定理。
本文将为学生们提供一份中考数学常用模型和定理的总结，帮助大家更好地备考。
一、常用模型1.三角形模型三角形是初中数学中最重要的图形之一，它具有稳定性，是解决许多数学问题的关键。
在解决与三角形有关的数学问题时，学生们需要掌握三角形的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的勾股定理等。
2.矩形模型矩形是初中数学中另一个重要的图形，它具有对角线相等、四个角都是直角的性质。
在解决与矩形有关的数学问题时，学生们需要掌握矩形的性质、矩形的面积和周长的计算等。
3.函数模型函数是初中数学中的一个重要概念，它是描述变量之间关系的一种方式。
在解决与函数有关的数学问题时，学生们需要掌握函数的定义、函数的图像和性质等。
4.坐标系模型坐标系是描述点和位置的一种方式，它是初中数学中另一个重要的概念。
在解决与坐标系有关的数学问题时，学生们需要掌握坐标系的建立、点的坐标的确定等。
二、常用定理1.梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理是指任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明，梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
2.托勒密定理托勒密定理是指圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于其对边之积的和，即对角线乘积的一半。
古希腊哲学家毕达哥拉斯和他的学派在单位正方形上以直径为边作正多边形，然后把这个多边形分割为四个小的相似多边形，并将相似多边形的边换算成等量线段。
这样，他们就得到一个“倍长”过程，即用一组线段拼成另一组线段，用一组线段的长度表示另一组线段长度的比例中项。
如果把一条边看作是某个正偶数（4除外）的正弦，则另一条边可以被表示为同一个偶数的余弦。
3.西姆松定理西姆松定理是指一个三角形中，如果有三条平行于基底的直线通过另外两个顶点，那么这三条直线一定相交于基底的中点。
初中数学九大几何模型、手拉手模型 - 旋转型全等条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形；条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形；结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠ AEDD EAED 1）等边三角形D结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。
“ 2 2 2 ( 2 2 2 2 2 3．特殊公式（x ± ）2 = x 2 + 7． 1 的灵活应用：如： = = - 等。
= 初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ．代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把 0.108108108 ⋅⋅⋅ 化为分数。
设 S= 0.108108108 ⋅⋅⋅ （1）两边同乘 1000 得：1000S=108.108108 ⋅⋅⋅ （2）（2）-（1）得：999S=108从而：S=108余例仿此——9992．对称式计算技巧： 平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；x 2 + y 2 中，知二求二。
( x + y ) = x + y +2 x y ⇒ 2x + 2y = x +) 2y - xy( x - y ) = x + y -2 x y =( x + )y -4 x y加减配合，灵活变型。
1 x 1x 2± 2 的变型几应用。
4．立方差公式： a 3 ± b 3 （a ± b ）（a 2 m ab + b 2）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+²²²+2017 的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法 +公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求 1+2+4+8+16+32+²²² 2n令 S=1+2+4+8+16+32+²²²+ 2n （1）两边同乘 2 得:2S=2+4+8+32+64+²²²+ 2n + 2n +1（2）（2）-（1）得：2S-S= 2n +1 - 1从而求得 S 。
1 n - m 1 1 1 1- = m n mn 6 2 ⨯ 3 2 38．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式 f （n ）。
初中数学11个模型解题法
1.数与式模型
2.方程模型
3.不等式模型
4.初等函数模型
5.函数综合模型
6.辅助线模型
7.几何变换模型
8.圆模型
9.概率统计模型
10.开放探究题模型
11.阅读理解题模型
巧添辅助线，解证几何题
在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点；一是通过添加辅助缄，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把断问题化为已近的同以解决。
本讲主要解决含有倍角、中点、角平分线、线段的和差、形、垂
线段等问题时，辅考助线的添加方法和规律。
在学习过程中，我们应仔细思考以下的几个同题：如何根据题目的困形特征选取添加辅助线的方式？常用的辅助线通常具有哪些证明或者求解方面的功能？如何正确地做出合情合理的辅助线？
666。
初中中考的29个性质、定理、公式和解题方式1.科学记数法对科学记数法的考查一般有三种形式：1.大数的科学记数法；2.小数的科学记数法；3.结合有效数字的科学记数法．无论是哪种考查形式，其关键点是要确定将原数表示成为a×10n时的a、n值．列表如下：2.3.实数的运算题中，常涉及到以下的运算，在解答此类题时，应先计算每一小项的值，再进行实数的四则混合运算．加减；②有括号时先计算括号里面的；③同级运算按照从左到右的顺序进行计算．4.幂的运算5.6.7.根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，然后再对这两个整数进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间．例如，估算7在哪两个整数之间时，先对7平方即为7，找出与7相邻的两个开得尽方的整数4和9，因为4＜7＜9，所以，4＜7＜9，即2＜7＜3.8．一元二次方程的解法及适用情形9.分式方程的解题步骤10.11.12.k＜0b＞0 b＜0 b＞0 b＜0图象经图象经图象经图象经13.k＞0第一、三象限而减小而增大S△AOP＝|k|2S矩形OAPB＝|k|S△APP′＝2|k|(P′为P关于原点的对称点)14.a＞0 a＜0增15.16.17.18.①)②)③)④)⑤) 19.特殊角三角函数值记忆法3(2)图形记忆法如图①、图②所示图①)20.解直角三角形实际应用的常考类型及解题方法在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)，用字母i 表示；坡面与水平线的夹角α叫做坡角．i ＝tanα＝h l一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)通常表达成北(南)偏东(西)×度，如图，A 点位于O 点的北偏东30°方向，B 点位于O 点的南偏东60°方向，C 点位于O 点的北偏西45°方向(或西北方向) 1.解直角三角形时，当所求元素不在直角三角形中时，21.平行四边形性质22.矩形性质23.菱形性质24.性质25.圆周角定理及其推论定理圆O的直径垂径定理及其推论定理26.圆切线的性质与判定性质27.图形扇形求弧长扇形求面积28.阴影部分面积的计算29.(1)由正方块组成几何体的三视图的判断步骤(2)几何体主视图俯视图正方体圆柱圆锥球体。
总结初中数学中的解题思路总结数学是一门需要严密的逻辑思维和灵活的解题方法的学科。
在初中阶段，数学解题的思路和方法是培养学生数学思维和逻辑推理能力的重要途径。
本文将总结初中数学中的常见解题思路，并分享一些解题技巧，帮助同学们更好地应对数学考试。
一、代数思维代数思维是数学解题中常用的一种思维方式。
通过将问题转化为代数表达式，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，在解决方程题时，一般可以按照以下步骤进行：1. 理解问题中所描述的数学关系，将关系用字母表示；2. 列出方程式，表达出问题中的数学关系；3. 通过运用等式性质和变形规则，将方程化简为一次方程；4. 求解方程，得到问题所要求的答案。
代数思维在解决应用题时尤为重要。
通过将现实问题转化为代数表达式，可以简化问题、明确变量及其关系，解题更加具体和清晰。
二、几何思维几何思维是解决几何问题的重要思维方式。
在解决几何问题时，需要建立几何图形与已知条件之间的联系，通过几何性质和定理进行推理和证明。
例如，解决平面几何题时，可以按照以下步骤进行：1. 仔细观察图形，找出已知和待求的几何关系；2. 运用几何性质和定理推导，建立各个几何关系之间的等式或者比例关系；3. 运用代数方法求解几何问题。
几何思维需要同学们善于运用几何知识，灵活运用几何性质和定理进行推理和求解。
同时，绘制几何图形也是解决几何问题的重要手段之一。
三、逻辑思维逻辑思维是数学解题中不可或缺的思维方式。
在解决复杂的问题时，需要运用逻辑思维进行分析和推理。
例如，在解决逻辑问题时，可以按照以下步骤进行：1. 仔细阅读问题描述，理解问题所给的条件和要求；2. 分析问题的逻辑结构，找出其中的蕴含关系和逻辑规律；3. 利用排除法、归纳法等逻辑思维方法，推理出问题的解答。
逻辑思维需要同学们善于分析问题的逻辑关系、运用逻辑规律进行推理和判断。
这种思维方式对于解决数学中的逻辑题和证明题尤为重要。
四、综合思维综合思维是初中数学解题中的重要思维方式。
初中数学解题方法总结一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
初中数学48个解题模型数学是一门需要理解和掌握的学科，而解题模型则是数学学习中非常重要的一部分。
解题模型是指在解决数学问题时，根据问题的特点和要求，采用合适的方法和步骤，运用数学知识进行分析、计算和推理的一种解题方式。
在初中数学学习中，掌握一定的解题模型，可以更好地提高数学解题的能力和效率。
下面，我们将介绍初中数学中常用的48个解题模型，其中包括了初中数学的各个方面，希望对初中数学学习有所帮助。
1. 等式变形模型：根据等式变形的性质，对等式进行变形，使其更加简单易解。
2. 分式化简模型：根据分式化简的原理，对分式进行化简，使其更加简单易解。
3. 去括号模型：根据去括号的原理，将括号内的式子进行展开，使其更加简单易解。
4. 合并同类项模型：根据合并同类项的原理，将同类项进行合并，使其更加简单易解。
5. 因式分解模型：根据因式分解的原理，将式子进行因式分解，使其更加简单易解。
6. 基本不等式模型：根据基本不等式的原理，对不等式进行变形，使其更加简单易解。
7. 二次函数解析式模型：根据二次函数解析式的原理，求出二次函数的解析式。
8. 三角函数解析式模型：根据三角函数解析式的原理，求出三角函数的解析式。
9. 解方程模型：根据解方程的原理，对方程进行变形，求出方程的解。
10. 解不等式模型：根据解不等式的原理，对不等式进行变形，求出不等式的解。
11. 平面几何基本定理模型：根据平面几何基本定理的原理，对几何问题进行求解。
12. 空间几何基本定理模型：根据空间几何基本定理的原理，对几何问题进行求解。
13. 三角形的性质模型：根据三角形的性质，对三角形问题进行求解。
14. 相似三角形模型：根据相似三角形的原理，对相似三角形问题进行求解。
15. 同余模型：根据同余的原理，对同余问题进行求解。
16. 勾股定理模型：根据勾股定理的原理，对勾股定理问题进行求解。
17. 三角函数基本关系式模型：根据三角函数的基本关系式，对三角函数问题进行求解。
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ． 代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108⋅⋅⋅化为分数。
设S=0.108108108⋅⋅⋅ （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108⋅⋅⋅（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22x y + 中，知二求二。
222222()2()2x y x y xy x y x y xy +=++⇒+=+- 2222()2()4x y x y xy x y xy -=+-=+- 加减配合，灵活变型。
3．特殊公式22112x x x x ±=+±2（）的变型几应用。
4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+（）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+···2n 令S=1+2+4+8+16+32+···+2n （1）两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。
7．11n m m n --=mn 的灵活应用：如：111162323==-⨯等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。
22221111x y x y x y+++22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
10. 三大非负数：三大永正数；11．常用最值式：2x y ±±（）正数 等（非负数+正数）。
12．换元大法。
13．自圆其说加减法与两肋插刀法。
代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
14．拆项法；配方法。
原理同上。
15．十字相乘法。
16．统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。
17．一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。
18. |a|=|b|,则a=±b 在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法）。
19.四个角的正切值：22.5度的正切值为： 根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1 75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3B ． 几何篇：1．两套：等线套；等角套。
①等角套（如图所示）：条件 ： ∠AOB ＝∠COD 结论：∠AOC ＝∠BOD 说明：OABCDOACBD②可以视做由旋转产生的“共点等角”等线套（如图所示）：条件：AB=CD 结论：AC=BD 说明：可以看做由平移产生。
ABCD2．两条平行线夹一角。
一角=两旁角的和。
条件：AB ∥CD 结论：∠P ＝∠AEP ＋∠PFCABC DEPF3．平行线夹等（同）底三角形：面积相等。
同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。
CmA nDB若：m ∥n 则ABCABDSS= 反之：若 ABCABDSS= 则：m ∥n （反比例模型中的“垂平”模型的证明用之）4．已知三角形两边定一边的范围。
“大于两边的差，小于两边的和”。
5．三角形的角分线角：⑴两内角平分线交角：∠I=902A∠+⑵一内一外角分线交角：∠I=2A∠⑶两外平分线交角：∠I=902A∠-5.三角形的角平分线：两边的比=分线段（第三边）的对应比。
ABCIABCIIABCD条件：AD 为角平分线 结论：AB BDAC DC=6．三角形中线性质定理；三中线交点分中线为1233和两部分。
条件：AD 、BE 、CF 为中线结论：AK=2KD=23AD BK=2KE=23BE 。
CK=2KF=23CF7．大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。
三高造相似。
三高造辅助圆。
条件：AD 、BE 、CF 为三角形的高—— 结论：AD ·BC=BE ·AC=CF ·AB △ADB ∽△CFB 等。
B 、C 、E 、F 、四点共圆等。
8．高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。
(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形—— 2225a b c +=其中a 、b 为中线所在的边) ①条件：AD 、AE 分别为三角形的角平分线和高， （AB ≠AC ）。
结论：∠DAE=2C B∠-∠ ②条件：BE 、CF 为三角形的中线，且BE ⊥CF结论：2225a b c += 2225AC BC AB +=③如图：∠D=∠A+∠B+∠CABCDEFkABCDFE ACBD ECA BEFABCD9．三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。
①在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么 ::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ()()1243::AO OC S S S S =++10．等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；；一垂两等变等腰；一垂三等变等直。
等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半腰■重要推论：已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边×这个角的余弦=另一边的一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。
如图：cos 2BCAB B ABC •=⇔为等腰三角形（BC 为底） ■“两线一圆模型”：已知线段AB （两定点A 、B ）， 在平面内找一点C ，使三角形ABC 为等腰三角形。
这样的点C 的集合在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆和AB 的垂直平分线上（与A 、B 共线的点除外） （等腰三角形存在性问题）11．直角三角形斜高的求法。
斜高=两直角边的乘积斜边■直角三角形存在性之“两线一圆模型”： 已知线段AB （两定点A 、B ）， 在平面内找一点C ，使三角形ABC 为等腰三角形。
OFE DCBAS 4S 3S 2S 1O DCBA ABCAB满足条件的C 的集合在：过A 、B 做线段AB 的垂线及以AB 为直径的圆上的除A 、B 两点的任意点都可与A 、B 组成直角三角形。
（所谓的“两线一圆”）。
12．等边三角形面积的求法。
24S a =边长为a 的等边三角形 13．求面积的套路：⑴．复杂图形：一拆用加；二放用减。
⑵．三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的积的一半（遇钝变补）；③铅垂线法（宽高法）④等边三角形的面积。
⑤利用：相似比的平方 =面积比（借助面积可求的三角形的面积和 相似比求解）。
⑥让出去：化归。
（3）平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。
（4）．共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBAAB14．三大蝴蝶： ⑴一线两等边。
条件：△ABC 、△ECD 为等边三角形，B 、C 、D 共线 则有：△BCE ≌△ACD△DCG ≌△ECF △BCF ≌△ACG旋转60°形成的全等三角形！！！ ∴△CGF 也是等边三角形。
还有：AB ∥CE DE ∥AC 等结论成立！∠AKB=60° CK 平分∠BKD ∠BKC=60°=∠DKC K 、F 、C 、G 四点共圆。
⑵一个三角形两等边（费马点：见课件）。
条件：以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边三角形ADB 和等边三角形ACE 则有：△ADC ≌△ABE （SAS ）∴CD=BE∠DGB=60°∠DGE=120° 又ADCABE SS 分别作高AM 、AN ，则AM=AN （面积相等，底等，则高等）， ∴AG 是∠DGE 的平分线！ ∠DGA=∠EGA=60°⑶一个三角形两个正方形。
条件：四边形GBAF 和正方形ACDE结论：FC=BE FC ⊥BE AH 是∠FHE 的角平分线（∠FHA=∠EHA=45°）A 、F 、B 、F 四点共圆。
ABC DEGMNABCDEFGHABCDEFGK15．平行四边形的面积关系。
平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。
①12AEDABCD SS =平行四边形 ②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）的距离相等。
16．平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：222222AC BD AB BC CD DA +=+++ 17．矩形一边上任意一等到对角线距离的和 =•长宽对角线18．矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。
如图：矩形ABCD 内任意一点P ，则有：2222PA PC PB PD +=+19．矩形精典对折图。
如图：矩形ABCD 沿对角线，BD 对折，C 点到了 E 点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两 个等腰。
例AE ：BD=3：5则AB ：BC=4：8=1：2 这是因为相似比为3：5，所以EF ：FB=3：5， 因此ED=4（勾股）而AD=DF+FA=5+3=8！！20．正方形垂等图。
垂直⇔相等 横平竖直；改斜归正的辅助线方法。
ABCDOEBCDABCDFABCDE FGMN21．正方形三兄弟成面积图 = 中正方形之面积。
三个正方形，如图摆放：AN 正好过E 点。
技巧：AC ∥EC ∥FN （对角线平行：此题题眼） △ AGN 的面积=△AGE 的面积+△EGN 的面积 △AGE 的面积=△ECG 的面积△EGN 的面积=△EGF 的面积 ∴结论成立！ 22．两正方形垂直相等图。
