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本科生毕业论文（设计）册论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
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作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
矩阵的逆与行列式的应用矩阵是线性代数中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
其中，矩阵的逆与行列式是矩阵运算中的重要内容。
本文将介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个n×n的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵B，则称矩阵A为可逆矩阵，否则称为奇异矩阵。
矩阵的逆可以用来解线性方程组、求解矩阵方程等。
为了求解矩阵A的逆矩阵B，可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的定义如下：设A是n×n矩阵，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，则称(adjA)_ij为A的代数余子式C_ij的代数余子式矩阵，即(adjA)_ij=(-1)^(i+j)·detAij，其中detAij表示Aij的行列式。
根据伴随矩阵的定义，可以得到矩阵A的逆矩阵B的表示式为B=(1/detA)·adjA，其中detA为矩阵A的行列式。
通过这种方法，我们可以求解出矩阵的逆矩阵。
二、行列式的应用行列式是矩阵运算中的一个重要工具，它可以用来判断矩阵的可逆性、计算矩阵的秩、求解线性方程组的解等。
1. 判断矩阵的可逆性对于n×n的方阵A，如果detA≠0，则A是可逆矩阵；如果detA=0，则A是奇异矩阵。
因此，通过计算矩阵的行列式，可以判断矩阵是否可逆。
2. 计算矩阵的秩对于m×n的矩阵A，其秩r表示A的行（列）向量组的极大无关组所含向量的个数。
行列式与矩阵的秩之间存在如下关系：r=min(m,n)，即矩阵的秩等于其行列式不等于0的最大子阵的阶数。
3. 求解线性方程组的解通过行列式的运算，可以求解线性方程组的解。
设A为n×n的方阵，X为n×1的列向量，B为常数项列向量，则线性方程组AX=B可以表示为X=A^(-1)B，其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵，B为常数项列向量。
通过计算A的逆矩阵以及常数项列向量B，可以得到线性方程组的解向量X。
人教版高中选修(B版)4-2第二章逆矩阵及其应用课程设计一、课程设计目的本次课程设计旨在通过教学过程的展示，帮助学生进一步理解矩阵及逆矩阵的概念，掌握求解矩阵逆的方法和应用逆矩阵解线性方程组的思想，培养学生的矩阵推导和计算能力，提高学生的数学综合素质。
二、教学内容和重点难点（一）、教学内容1.逆矩阵的定义与性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组（二）、重点难点1.矩阵的定义和性质2.如何求解逆矩阵3.判断矩阵是否可逆的方法4.应用逆矩阵解线性方程组的思想三、教学方法采用讲授法、举例法、解题法、练习法相结合的教学方法，注重理论和实践相结合，通过多个例题和练习，达到深化学生的思维，同时提高对所学知识的理解和记忆。
四、教学流程1.介绍矩阵的定义和性质，分析矩阵的逆的定义和性质，引出矩阵逆的概念以及求解逆矩阵的方法。
2.推导如何求解逆矩阵的方法，通过伴随矩阵求逆矩阵，通过消元法计算逆矩阵。
3.通过多个示例和练习，检查学生对逆矩阵的理解。
4.探究如何判断矩阵是否可逆，通过行列式的值判断矩阵是否可逆，让学生掌握这种方法的应用。
5.学习如何应用逆矩阵解线性方程组，通过计算逆矩阵并乘以系数矩阵，求解未知数的值。
6.现场进行练习，检查学生的应用能力和理解能力。
五、教学评价和作业（一）、教学评价在教学过程中，要注重学生的思维深度和理解能力提高。
通过教师的引导，学生能够充分理解矩阵逆的定义和性质，并能运用所学知识解决实际问题。
同时，教师需要积极引导学生，让学生在掌握基础知识的同时，能够发扬自己的创造能力，开拓思路，实现知识的更深层次的应用。
（二）、作业1.完成教师提供的逆矩阵计算题。
2.解答教师出的线性方程组题目。
3.选择一道有关逆矩阵的应用题目，并提交解答思路和结果。
六、教学效果衡量对学生的成绩与表现进行评价，并对他们的各项能力进行考核。
学生能在考试中取得较好的成绩，并能对知识点进行深入的理解和思考。
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的逆与逆矩阵的应用在数学中，矩阵是一个经常被使用的概念，它在线性代数、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
而矩阵的逆与逆矩阵的应用则是解决线性方程组、求解线性变换的关键步骤之一。
本文将详细介绍矩阵的逆以及逆矩阵的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B 的乘积等于单位矩阵I。
即AB=BA=I。
如果一个矩阵无法找到满足条件的逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。
逆矩阵的存在性是解决线性方程组的重要前提。
1.1 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：- 逆矩阵的逆矩阵仍然是原矩阵本身，即(A的逆)的逆=A。
- 矩阵的逆是唯一的，如果存在逆矩阵，那么它一定是唯一的。
- 矩阵乘积的逆等于逆矩阵的乘积，即(AB)的逆=B的逆A的逆。
- 矩阵转置的逆等于逆矩阵的转置，即(A的转置的逆)=(A的逆)的转置。
1.2 求解逆矩阵的方法求解逆矩阵的方法有多种，其中最常用的方法是利用伴随矩阵和行列式的关系求解。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则A可逆，且其逆矩阵为A* = (1/|A|) * adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、逆矩阵的应用逆矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍逆矩阵在线性方程组、线性变换和行列式求导等方面的应用。
2.1 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，那么方程组的解可以表示为x = A^-1 * b。
通过求解逆矩阵，我们可以得到线性方程组的解，从而解决实际问题。
2.2 线性变换逆矩阵在线性变换中也有重要的应用。
对于一个线性变换T:R^n→R^m，如果其对应的矩阵A可逆，那么存在一个逆变换T^-1:R^m→R^n，满足T(T^-1(x))=x，其中x为任意向量。
也就是说，逆矩阵能够将变换后的结果重新映射回原始空间。
2.3 行列式求导在微积分中，行列式也是一个重要的工具。
摘要本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。
关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂AbstractIn this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication.The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix；powers of a matrix ；Encrypted secure communications目录1 引言 (1)2 可逆矩阵的定义和性质 (1)2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1)2.2可逆矩阵的相关性质 (2)3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4)3.1定义法求矩阵的逆 (4)3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5)3.3特征值法判定矩阵的逆 (6)3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6)3.5初等变换法求矩阵的逆 (7)3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10)4 可逆矩阵的若干应用 (13)4.1求方阵的幂 (13)4.1.1方阵的幂及其运算律 (13)4.1.2求方阵的幂 (13)4.2 解矩阵方程 (15)4.3构造通信模型 (16)参考文献 (19)1 引 言矩阵的研究历史悠久，而矩阵的现代概念是在19世纪才逐渐形成。
被公认为矩阵的奠基人是凯利，矩阵被他作为独立的数学对象研究。
他在《矩阵论的研究报告中》[1]研究了矩阵的运算、矩阵的逆以及转置和特征多项式.矩阵以简洁地形式表达了物质的关联，因此矩阵的应用十分广泛。
物理应用中主要是在几何光学和电子学的应用，在计算机中的应用主要体现在三维动画制作。
而可逆矩阵在矩阵理论研究中占有非常重要的地位，在应用中更是举足轻重。
可逆矩阵就像矩阵的左膀右臂，其应用越来越广泛，可逆矩阵解决了数理统计、线性规划、经济学、网络和测绘等许多领域的问题。
比如在经济学中证券投资组合中的应用，在实际生活中解决电费分时段计费的应用，在解密保密通信中的应用等。
本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，主要有定义法、伴随矩阵法、特征值法、初等变换法、分块矩阵的公式法等等，对应用数学软件MATLAB 求解可逆矩阵的逆矩阵方面也作了相关的阐述。
逆矩阵的应用是本文的写作重点，着重讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和构造通信模型中的若干应用。
本文也用有趣的实例说明了可逆矩阵在生活中的相关应用，让人再次加深对于矩阵逆的了解，体现可逆矩阵的美。
2 可逆矩阵的定义和性质2.1矩阵可逆的定义及等价条件定义2.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.[2] 若矩阵A 可逆，则1A -的逆矩阵是唯一的，记为1A -.[3]定义2.1.2 设()ijn nA a ⨯=,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，矩阵11211222*12N N N N N N NN A A A A A A A adjA A A A ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.[4] 定义2.1.3 设是A 矩阵，我们把A 的行与行之间及列与列之间，适当地加上一些横线及竖线，这样，A 就被分成若干个小块。
我们把分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵.如：11121314212223243132333441424344a a a a aa a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 可以按如下方式划分成4小块：11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭那么1112112122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1314122324a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭,3132214142a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3334224344aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.这样，A 可以简写为11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 给了一个矩阵，可以根据需要，作出各种不同的分块. 上面的矩阵A 还可以有如下的分块：11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 11121314212223243132333441424344a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭等等. 设A 是一个n 阶矩阵，则下列断言等价： （1）A 可逆.（2）存在方阵B 使AB I =(或I AB =). （3）0A ≠. （4）()r A n =.（5）A 经行(列)初等变换可以化为单位矩阵. （6）A 可以表示成初等矩阵的乘积. （7）A 的特征值全不等于0.（8）齐次线性方程组0AX =只有零解.[5]2.2可逆矩阵的相关性质命题2.2.1 设,A B 都是可逆矩阵，k 是非零数，则 （1）()()'11'A A --=.（2）()111AB B A ---=. （3）()111kA k A ---=. （4）1*1A A A-=. （5）11A A --=. （6）**AA A A A I ==. （7）()()'**'AA =.（8）()()-1**1=A A -. （9）()***=B AB A . （10）1*n A A-=.（11）()*1*n kA k A -=.（12）()()()()*,;1,1;0, 1.n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩命题2.2.2 初等矩阵是可逆矩阵，并且其逆矩阵是同类型的初等矩阵：()()()()()()()()()()1111,,,P ,,,P i j P i j i c P i c P i j k P i j k ----===-.命题2.2.3 （1）可逆分块初等矩阵，有1n m mnO E OE E O E O -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11n n P O P O O E O E --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11mmE O E O OP OP --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1m mn n E P E P OE OE --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1mm n n E O E O PE P E -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(2)用分块初等矩阵左（右）乘A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭(要可乘，可加）相当于对其作相应的分块矩阵行（列）初等变化：n m O E A B A B E O C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,n P O A B PA PB O E C D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, m n E P A B A PC B PD OE C D C D ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,m n E O A B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用分块初等矩阵的上述结果，可以处理分块矩阵的有关命题.命题2.2.4 若12,,,S A A A 都是可逆矩阵，则11111221S S A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11122111S S A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解对于矩阵的逆，通常有两类问题：一是判定矩阵是否可逆.二是可逆时，矩阵逆的求解.两者的关系紧密相连.我们就对几种常用的方法进行介绍.3.1定义法求矩阵的逆设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使得AB BA I ==,则称A 矩阵是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵.I 是单位矩阵，则矩阵A 的逆矩阵可以被表示成：1A B -=.[6]通常定义法一般适用于求抽象矩阵的逆.例1 已知322,22A E B A A E ==-+,证明B 可逆，并求出1B -.证：由题设知223222(2)()B A A E A A A A A E A E =-+=-+=+-,运用待定系数法.由32A E =可得212A A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()2122410A E A A E E ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦,()()2A E A A E E -++= 因此，矩阵,2A E A A E +-和均是可逆的，1212A A -=, ()()12122410A E A A E -+=-+，()12-A E A A E -=++,因此B 是可逆的，求得()()11112B A E A E A ----=-+()()22211+A+E 24102A A A E A =⋅-+⋅()65432132410A A A A A =-+++()213410A A E =++. 例2 设满足O I A A =--22的n 阶矩阵A ,证明：（1）A 和A I -都是可逆矩阵，并求1-A 和()1--A I ；(2)I A +和I A 2-不可能同时都是可逆的.证 （1）由O I A A =--22，得()O I A A =--22,()O I I A A =--2,()I I A A =-21.因此，A 和A I -都是可逆矩阵，且()I A A -=-211,()A A I 211-=--. (2)由O I A A =--22，得()()O I A I A =+-2,若I A 2-可逆，则()()()()O O I A I A I A I A =-=+----11222,有O I A =+,即I A +为零矩阵，不可逆.若I A +可逆，则()()()()O I A O I A I A I A =+=++---112, 有O I A =-2,即I A 2-为零矩阵，不可逆.综上所诉，I A +和I A 2-不可能同时都是可逆矩阵.3.2用矩阵的秩判定其可逆性利用矩阵的秩是判定矩阵是否可逆的重要的手段；在线性空间中将矩阵转换成线性变换也可以判定其可逆性.例3 设A 是n m ⨯实矩阵,证明：若A 的秩()m n A r <=，则A A '可逆.证：先证齐次线性方程0=AX 与0'=AX A 同解.显然0=AX 的解都是0'=AX A 的解，任取0'=AX A 的解()'21,,,n b b b =α，记()'1,,n c c A =α，则()00''''==⇒=αααααA A A A A A 所以()0,,11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n c c c c ，即0221=+nc c ， 于是01===n c c ，即α是0=AX 的解，故两方程组同解.由0=AX 与0'=AX A 同解，则()()n A r A A r =='，故n 阶方阵A A '可逆.3.3特征值法判定矩阵的逆若A 的特征值全不为0，则A 是可逆矩阵，否则A 不可逆.()0=-=A I f A λλ,如果00=⇒=A λ，则A 不可逆.特征值法可以快速判定A 是否可逆，但是不能求出A 的逆矩阵.例 4 设A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶实矩阵，且'AB BA +的特征值全大于0，其中'B 为B 的转置，证明：A 可逆.证 由()'''''''''AB BA BA AB A B B A AB BA +=+=+=+,知'AB BA +是实对称矩阵.因为其特征值全大于0，所以'AB BA +正定.设X 是A 特征值λ的特征向量，则R ∈λ，n R X ∈≠0,于是 ()()()X B AX BX X X B A X AX B X X AB BA X '''''''''0+=+=+<λ()X B B X X B X BX X '''''+=+=λλλ 故0≠λ，由A 的特征值全不为0，故A 可逆.[7]3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆要判定n 阶方阵A 是否可逆,首先会想到伴随矩阵法，当0=A 时，A 不可逆，当0≠A 时，A 可逆，且*11A AA =-. 如果方阵的阶数n 较低时，常用*11A AA =-求矩阵的逆.特别是2=n 时，记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，结论就更为简单：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-a c b d A A 11. 例5 求A 的逆矩阵，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0021001231002100A . 解 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2112C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11231B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112511C , 故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----0011002352510051520000001111B C CB A . 解析：矩阵求逆的方法主要有三种：伴随矩阵求逆；初等变换求逆；分块矩阵求逆.伴随矩阵求逆法，当矩阵阶数较高时，往往计算量大且容易出错.因此，当阶数比较高的时候会考虑用初等变换求逆或者是分块矩阵求逆.本例中，A 可以分解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O AA O A 21,从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---O A A O A 11121.求A 的逆转换为求更低阶矩阵1A ,2A 的逆，此时采用伴随矩阵求逆法.可见三种方法并不是绝对孤立的，有时候一个题目如果综合运用三种方法，便可以迅速求解.3.5初等变换求矩阵的逆定义3.5.1 行（列）初等变换是指一个矩阵施行的下列变换； （1）对矩阵的某两行（列）进行交换；（2）对于一个非零的数乘矩阵的某一行（列），那么用非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素[8]；（3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一个行（列）上，即用某一个数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一个行（列）的对应元素上. 定义 初等矩阵是由单位矩阵I 经过一次行（列）初等变换得到的矩阵. （1）初等行变换如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n n ⨯的矩阵(A,I)，然后对此矩阵进行初等变换，使矩阵A 化为单位矩阵I ,则同时I 就化为1A -了，即(A,I)经过初等行变换变为1(I,)A -. 备注：1、对于阶数较高(3)n ≥的矩阵，采用伴随矩阵法比较麻烦，而采用初等行变换求矩阵的逆一般会比较简单.并且在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.2、也可以利用1A I I A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵.3、当矩阵A 可逆时，可以利用()()1A B I A B -−−−−→初等行变换求得1A B -和1CA -.这一方法的不需要求出1A -，通过初等变换进行矩阵乘法，最后求出-11A B CA -或者.例6 先判断矩阵A 是否可逆，如果可逆，求1-A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0002000012011100121011101A .由0≠A 可知A 可逆，对分块矩阵()AE 施行初等变换将A 化为E ,()3425310000000200100000012001000111000010012100000111101⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AE23425321000000100100000012001000111000010012100000111101521⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−r2325212732100000102110000000221010001100210010012000000111101)4,3,2(5⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−−−→−=-i r r i 3265342345125213132410000610323101000310313100010021000000010412100000001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→ . 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-125213132461032310310313121000041210001A . 分析 对于三阶以上的矩阵作行初等变换十分考验计算能力和耐心，阶数越高越繁琐，越容易出错.为了避免计算的错误，采取加校正列的办法：把矩阵每一行的元素的和写在该行的右边，构成一个含校正列的矩阵，对其施行行初等变换，每一步都保持最后一个元素等于它前面的元素之和.如果发现某一行破坏了这个规律，那么说明该行的计算有误.这种方法能够有效的减少错误.虽然，采取校正列求矩阵的逆在一定程度上减少了计算错误，但是随着科学计算的需求，矩阵的阶数也越来越高，简单的人工运算已经不能满足需求了，为了使计算更加简便、快捷，计算的精确度得到提升，矩阵的逆采用MATLAB 来求解. 运用MATLAB 软件求解[9][][]1,0,1,1,1;0,1,2,1,0;0,1,1,1,0;2,1,0,0,0;0,2,0,0,0;C ,eye(5)0(C)V U 0C(:,6:10)A A U C rref =--===运行结果为：10111100000121001000011100010021000000100200000001C -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭100000000.50000.25000100000000.500000010000.33330.333300.33330001000.33330.666700.1667000014.0000.66670.33330.50000.4167U C -⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭其右边的五列就是逆阵V :0000.50000.250000000.500000.33330.333300.333300.33330.666700.16674.00000.66670.33330.50000.4167V -⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭.3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解高阶矩阵运算一般都是非常繁琐，并且容易出错；如果将高阶矩阵按照某种规则划成若干部分，并将每一部分视为矩阵的元素，且每一小块的矩阵按照矩阵的运算法则进行运算，这样，矩阵的逆便可以求出了. 分块矩阵的相关性质命题 3.6.1 如果方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D A T 001可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---111100D A T.[10]命题 3.6.2 如果方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=002CB T 可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---001112B C T .命题3.6.3 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0C B A T 可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110AC B B C T.命题3.6.4 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B A T 0可逆，其逆矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D BD A A T. 命题 3.6.5 设方阵A ,D 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C A T 0可逆，其逆矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----111110D CA D A T命题3.6.6 设方阵B ,C 可逆，那么分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B T 0可逆，其逆矩阵为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----011111B C DB C T. 例7 设r s +阶矩阵B D T O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,C B 分别是 ,r s 阶可逆矩阵，证明A 可逆且11111B B DC TO C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 证 法一：用广义行初等变换法()1111111r rs sB D I O I B DC B O B BD A I O C O I O I OC C -------⎛⎫⨯⎛⎫-⨯=→⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭1111r sI OB B DC O I O C ----⎛⎫-→⎪⎝⎭故11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭.法二：用广义列初等变换法()11-11111111r rB DC s C s r s BD I O I DC A O C O I O I I I O B B DC B O OI O C O C ----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−−→−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第一列乘以第二列乘以第二列乘以所以11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例8 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A AA A A ，其中1A 是r 级可逆矩阵，4A 是s 级矩阵.问：还应满足什么条件，A 才可逆，当A 可逆时，求1-A .解 如果把A 变成分块上三角矩阵，那么可利用例5的结果.于是作分块矩阵的初等行变换：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+-21134214321011132A A A A A A A AA A r A A r 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2113421432111300A A A A A A A A A A I A A I s r. 两边取行列式，得211341A A A A A A I I s r --=.由此得出，在满足21134A A A A --可逆的条件，则A 可逆.当A 可逆时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----s rI A A I A A A A A A A AA A A 1131211342114321100 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-------s rI A A I A A A A AA A A A A A 1131211341211342111100 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+=-------------12113411312113412113421111312113421111A A A AA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . 注 计算分块矩阵的行列式DC BA 时，把n 阶方阵A ,B ,C ,D 当作数，直接从二阶行列式的定义得BC AD DCBA -=是错误的.若将分块矩阵D C BA 作分块初等变换，将其化为分块对角矩阵，再加上条件CA AC =,则有()CB AD B ACA AD B CA D A B CA D A DC BA -=-=-=-=---111. 例9 求矩阵Q 的逆矩阵，其中10030104=00123425Q ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解：将矩阵Q 分成四块，形如A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其中100=010001A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3=42B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,()342C =,()5D =,于是()()1=-240D CA B --≠，所以矩阵Q 可逆，且()111=-24D CA B ---，1342A B B -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,()1342CA C -==, Q=A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()()()11-111111-111111+=A A B D CA B CA A B D CA B Q D CA B CA D CA B ------------⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭. 得115-12-63-128-841-6-820224342-1Q -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 4 可逆矩阵的若干应用4.1求方阵的幂4.1.1方阵的幂及其运算律设A 是一个n 阶方阵，m 是正整数，则个m m A AA A =称为A 的m 次幂. l k l k A A A +=，()kl lk A A =，()k k k A A λλ=，kk A A =，kk A A ''=4.1.2求方阵的幂方法 利用相似对角化：若求得n 阶可逆矩阵P ，使得),,,(211n diag AP P λλλ =-，则121),,,(-=P Pdiag A k n k k k λλλ .而对于分块对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k s kk kA A A A 21，其中()n i A i ,,2,1 =均为方阵. 例10 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001B ,PB AP =,求nA . 解 2=P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1124211P , 1-=PBP A , ,12112---==P PB PBP PBP A ,1-=P PB A n n ,而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22200120012001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nB 2001, ， 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++11242121211124212001412121n n n n A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++++++122212222224222421112211n n n n n n n n . 例11 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021113A ,求k A .解 ()()()42121021111---=-------=-λλλλλλλA I 得A 的特征值为11=λ，22=λ，43=λ.可求得对应的特征向量分别为()Tp ,1,1,11-=，()Tp 1,1,02-=，()Tp 1,1,23=令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111201P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-4000200011B AP P .故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-11230222614000200011111112011k kk k P PB A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅++⋅-+-+⋅-+⋅++-+-+-+=+++++++k k kk k k k k k k k k k 22121212121212222232223222223222322222222261. 4.2 解矩阵方程在实际的生产应用中，逆矩阵在解决生活中的问题扮演着重要角色，比如在电费的分时段计费、阶梯电费中的应用.例12 某地为了让高峰用电更加合理，采取了分时段计费的方式，白天（AM7:00-PM10：00）；夜间（PM10：00-AM7：00)的电费标准为Q ，某两个用户某月的用电情况如下：120150132174D NA B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所交电费为 90.29101.41M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用矩阵的运算求出本地的电费标准为多少？解：令120150132174C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为CQ M =，等式两边同时乘以矩阵-1C ，可得到本地的电费标准1Q C M -=,接下来我们利用初等变换求-1C .122111333091145012015010450303013217401111321740109110r r r r -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪−−−→−−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭ 112154129529545040103045918036111111111010101909909109r r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故129518036111109C -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.因此129590.290.462018036111101.410.2323109Q C M -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭.4.3构造通信模型先设定26个英文字母与整数的对应关系： A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14151617181920212223242526如果要发信息“I U Y ”,通过对应关系，则此信息的编码是：9,21,25，但是如果发的是“GIVE ME SOME MONEY ”这样叠字，那么是不是很容易密码就会被直接破译呢？在一连串的信息编码当中，人们会根据字母的出现的频率去假设这个字母是什么。
