图论算法总结及图论建模

图论一．最短路问题问题描述：寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。

最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。

将问题抽象为赋权有向图或无向图G ，边上的权均非负 对每个顶点定义两个标记（()l v ，()z v ），其中：()l v ：表示从顶点到v 的一条路的权 ()z v ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线S ：具有永久标号的顶点集1.1Dijkstra 算法：即在每一步改进这两个标记，使最终()l v 为最短路的权 输入：G 的带权邻接矩阵(,)w u v 步骤：（1） 赋初值：令0()0l u =，对0v u ≠，令()l v =∞，0={u }S ，0i =。

（2） 对每个(\)i i i v S S V S ∈=（即不属于上面S 集合的点），用min{(),()()}iu S l v l u w uv ∈+代替()l v ，这里()w uv 表示顶点u 和v 之间边的权值。

计算min{()}iu S l v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1i u +，令11{}i i i S S u ++=⋃。

（3） 若1i V =-，则停止；若1i V <-，则用1i +代替i ，转（2）算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次编号()l v 给出。

在v 进入i S 之前的编号()l v 叫T 标号，v 进入i S 之后的编号()l v 叫P 标号。

算法就是不断修改各顶点的T 标号，直至获得P 标号。

若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各顶点的最短路也在图上标示出来了。

理解：贪心算法。

选定初始点放在一个集合里，此时权值为0初始点搜索下一个相连接点，将所有相连接的点中离初始点最近的点纳入初始点所在的集合，并更新权值。

然后以新纳入的点为起点继续搜索，直到所有的点遍历。

图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。

图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。

在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。

在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。

二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。

在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。

有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。

加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。

简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。

3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。

路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。

连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。

三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。

DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。

BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。

2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。

迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。

迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。

弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。

3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。

克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。

克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。

数学建模中的图论方法一、前言我们知道，数学建模比赛中有问题A和问题B。

一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是失散系统中的问题。

因为我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比率较大，而离散数学比率较小。

所以好多人有这样的感觉，A题下手快，而B题不好下手。

其他，在有限元素的失散系统中，相应的数学模型又可以区分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。

但是这种问题在MCM中特别少见，事实上，由于比赛是开卷的，参照有关文件，使用现成的算法解决一个P类问题，不可以显示参赛者的建模及解决实诘问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都还没有成立有效的算法，或许真的就不行能有有效算法来解决。

命题经常以这种NPC问题为数学背景，找一个详细的实质模型来考验参赛者。

这样增添了成立数学模型的难度。

但是这也其实不是说没法求解。

一般来说，因为问题是详细的实例，我们可以找到特其他解法，或许可以给出一个近似解。

图论作为失散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的好多方面都能供给有力的数学模型来解决实诘问题，所以吸引了好多研究人员去研究图论中的方法和算法。

应当说，我们对图论中的经典例子或多或少仍是有一些认识的，比方，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。

图论方法已经成为数学模型中的重要方法。

好多灾题因为归纳为图论问题被奇妙地解决。

并且，从历年的数学建模比赛看，出现图论模型的频次极大，比方：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－找寻最优Steiner树；AMCM92B－紧迫修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特点向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立极点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。

这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。

数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。

图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。

本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。

点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。

图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。

1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。

邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。

二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。

从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。

DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。

2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。

从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。

BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。

三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。

它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。

Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。

3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。

它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。

四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。

它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。