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第4章函数的连续性[视频讲解]4.1本章要点详解本章要点■连续性的定义■间断点的分类■连续函数的性质■一致连续性的定义■一致连续性定理重难点导学一、连续性概念1．函数在一点的连续性（1）定义①设函数f 在某U （x 0）上有定义，若00lim ()()x x f x f x →=则称f 在点x 0连续．用εδ-方式叙述，即：若对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0x x δ-<，有0()()f x f x ε-<则称f 在点x 0连续．②设函数f 在某00()(())U x U x +-内有定义，若0000lim ()()(lim ()())x x x x f x f x f x f x +-→→==则称f 在点x 0右（左）连续．（2）定理函数f 在点x 0连续的充要条件是：f 在点x 0既是右连续，又是左连续．2．间断点及其分类（1）定义设函数f 在某00()U x 上有定义，若f 在点x 0无定义，或f 在点x 0有定义而不连续，则称点x 0为函数f 的间断点或不连续点．若x 0为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一①f 在点x 0无定义或极限0lim ()x x f x →不存在．②f 在点x 0有定义且极限0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠．（2）分类①可去间断点若0lim ()x x f x A →=，而f 在点x 0无定义，或有定义但0()f x A ≠．则称x 0为f 的可去间断点．②跳跃间断点若函数f 在点x 0的左、右极限都存在，但00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→≠，则称点x 0为函数f 的跳跃间断点．可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，特点是函数在该点处的左、右极限都存在．③第二类间断点函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点．3．区间上的连续函数若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．二、连续函数的性质1．连续函数的局部性质（1）局部有界性若函数f 在点x 0连续，则f 在某0()U x 上有界．（2）局部保号性若函数f 在点x 0连续，且f （x 0）＞0（或＜0），则对任何正数r ＜f （x 0）（或r ＜－f （x 0）），存在某0()U x 使得对一切0()x U x ∈有f （x ）＞r （或f （x ）＜－r ）（3）四则运算若函数f 和g 在点x 0连续，则f ±g ，f g ⋅，f g （g （x 0）≠0）也都在点x 0连续．（4）复合函数的连续性若函数f 在点x 0连续，g 在点u 0连续，u 0＝f （x 0），则复合函数g οf 在点x 0连续．2．闭区间上连续函数的基本性质（1）定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在x 0∈D ，使得对一切x ∈D 有00()()(()())f x f x f x f x ≥≤则称f 在D 上有最大（最小）值，并称f （x 0）为f 在D 上的最大（最小）值．（2）最大、最小值定理若函数f 在闭区间[a ，b ]连续，则f 在[a ，b ]上有最大值与最小值．（3）有界性定理若函数f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，则f （x ）在闭区间[a ，b ]上有界．（4）介值性定理设函数f 在闭区间[a ，b ]上连续，且f （a ）≠f （b ）．若μ为介于f （a ）与f （b ）之间的任何实数（f （a ）＜μ＜f （b ）或f （a ）＞μ＞f （b ））则至少存在一点x 0∈（a ，b ），使得f （x 0）＝μ（5）根的存在定理若函数f 在闭区间[a ，b ]上连续，且f （a ）与f （b ）异号（即f （a ）与f （b ），则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x =即方程f （x ）＝0在（a ，b ）上至少有一个根．3．反函数的连续性若函数f 在[a ，b ]上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[](),()f a f b 或[](),()f b f a 上连续．4．一致连续性（1）定义设f 为定义在区间I 上的函数．若对任给的ε＞0，存在()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数f 在区间I 上一致连续．（2）一致连续性定理若函数f 在闭区间[a ，b ]上连续，则f 在[a ，b ]上一致连续．三、初等函数的连续性1．指数函数的连续性（1）设a＞0，α，β为任意两个实数，则有a a a a a;()αβαβαβαβ+⋅==（2）指数函数a x（a＞0）在R上是连续的．2．初等函数的连续性（1）一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数．（2）任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．4.2配套考研真题解析一、证明题1．设f（x）为定义在上的函数，且。
第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i mx x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类:图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点. 例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注:Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2求极限:⑴;sin 2lim 0x x x -→⑵.sin 2lim xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→(x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性:先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,12≤<x x 就有 . 22 11 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可 记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义.例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x 与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使=-221 )()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 .221ε<-x x )却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有, )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立.121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴)(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).二. 利用函数的连续性求极限: 例2.cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5().sin 1sinlim x x x -++∞→解=-+x x sin 1sin .21cos 21sin2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。
