1997年10月在职MBA全国联考数学试题

1997年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试数学试题（本试卷满分为100分，考试时间为180分钟）一、选择题：本大题共20个小题，每小题2.5分,共50分。

1．（1997）若某人以1000元购买A、B、C三种商品，且所有金额之比是1∶1.5∶2.5,则他购买A、B、C三种商品的金额（单位：元）依次是 A. 100, 300, 600 B. 150, 225, 400 C. 150, 300, 550D.200, 300, 500E. 200, 250, 5502. （1997）某地连续举办三场国际商业足球比赛, 第二场观众比第一场少了80%, 第三场观众比第二场减少了50%,若第三场观众仅有2500人, 则第一场观众有A. 15000人B. 20000人C. 22500人D. 25000人E. 27500人3. （1997）用一条绳子量井深, 若将绳子折成三折来量,井外余绳4尺, 折成4折来量, 井外余绳1尺, 则井深是 A. 6 尺 B. 7尺 C. 8尺 D. 9尺 E. 12尺4. （1997）银行的一年期定期存款利率为10%, 某人于1991年1月1日存入1000元, 1994年1月1日取出, 若按复利计算, 他取出时所得的本金和利息共计是A. 10300元 B.10303元 C. 13000元 D. 13310元 E. 14641元5. （1997）某商品打九折会使销售增加20%, 则这一折扣会使销售额增加的百分比是 A. 18% B. 10%C. 8%D. 5%E. 2%1126.(1997)??x,x是方程的两个实根，若的几何平均值是3,则a的值是12xx12A. 2B. 3C. 4D. –2E. –398年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试数学试题1.1998某种商品降价20%后,若欲恢复原价,应提价A.20%B.25%C.22%D.15%E.24%2.1998商店本月的计划销售额为20万元,由于开展了促销活动,上半月完成了计划的60%,若全月要超额完成计划的25%,则下半月应完成销售额A.12万元B.13万元C.14万元D.15万元E.16万元3.1998一笔钱购买A型彩色电视机,若买5台余2500元,若买6台则缺4000元,今将这笔钱用于购买B型彩色电视机,正好可购7台,B型彩色电视机每台的售价是A.4000元B.4500元C.5000元D.5500元E.6000元4.1998采矿场有数千吨矿石要运走,运矿石汽车7天可运走全部的35%,照这样的进度,余下的矿石都运走还需A.13天B.12天C.11天D.10天E.9天5.1998在有上,下行的轨道上,两列火车相向开来,若甲车长187米,每秒行驶25米,乙车长173米,每秒行驶20米,则从两车头相遇到车尾离开,需要A.12秒B.11秒C.10秒D.9秒E.8秒2126.1998若方程恰有两个正整数解x和x,则的值是12p1A.-2B.-1C.-D.1E.227.1998若在等差数列中前5项和S=15,前15项和S=120,则前10项和51510A.40B.45C.50D.55E.60n+128.1998在(2+x)的展开式里,x的系数是n(n-1)n-2n-1n-2A. B.2n(n+1) C.2n(n+1) D.n(n-1) E.2n(n-1)29.1998若一球体的表面积增加到原来的9倍,则它的体积A.增加到原来的9倍B.增加到原来的27倍C.增加到原来的3倍D.增加到原来的6倍E.增加到原来的8倍10.1998已知等腰直角三角形ABC和等边三角形BDC(如图),设ABC的周长为22+4,则的面积是A.32B.62C.12D.23E.43DCCA DA B B18.1998将3人分配到4间房的每一间中,若每人被分配到这4间房的每一间房中的概率都相同，则第一、二、三号房中各有1人的概率是33333A. B. C. D. E.4816326419.1998掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为2/3，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是8832126A. B. C. D. E.812781227数学试题1999年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试2．（1999）甲、乙、丙三名工人加工完一批零件，甲工人完成了总件数的34%，乙、丙两工人完成的件数之比是6:5，乙知丙工人完成了45件，则甲工人完成了： A．48件 B．51件 C．60件 D．63件E．132件4552．解：正确的选择是B3．（1999）一列火车长75米，通过525米长的桥梁需要40秒，若以同样的速度穿过300米的隧道，则需要 A．20秒 B．约23秒 C．25秒 D．约27秒E．约28秒300754025525753．解：正确的选择是C4．（1999）某商店将每套服装按原价提高50%后再作7折“优惠”的广告宣传，这样每售出一套服装可获利625元。

1 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x xx x ®+=++ .(2) (2) 设幂级数设幂级数nn n a x¥=å的收敛半径为3,3,则幂级数则幂级数11(1)n nn na x ¥+=-å的收敛区间为的收敛区间为 . .(3) (3) 对数螺线对数螺线e qr =在点2(,)(,)2e ppr q =处的切线的直角坐标方程为处的切线的直角坐标方程为 . .(4) (4) 设设12243311A t -éùêú=êúêú-ëû,B 为三阶非零矩阵为三阶非零矩阵,,且0AB =,则t = . (5) (5) 袋中有袋中有50个乒乓球个乒乓球,,其中20个是黄球个是黄球,30,30个是白球个是白球,,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回取后不放回,,则第二个人取得黄球的概率是则第二个人取得黄球的概率是 . . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) (1) 二元函数二元函数22, (,)(0,0),(,)0, (,)(0,0)xy x y x y f x y x y ì¹ï+=íï=î在点(0,0)处 ( ) (A) (A) 连续连续连续,,偏导数存在偏导数存在 (B) (B) (B) 连续连续连续,,偏导数不存在(C) (C) 不连续不连续不连续,,偏导数存在偏导数存在 (D) (D) (D) 不连续不连续不连续,,偏导数不存在(2) (2) 设在区间设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x ¢¢¢><>令12(),()()baS f x dx S f b b a ==-ò,31[()()]()2S f a f b b a =+-,则 ( )(A) 123S S S << (B) 213S S S <<(C) 312S S S << (D) 231S S S <<(3) 2sin()sin ,x txF x etdt p +=ò设则()F x ( )(A) (A) 为正常数为正常数为正常数 (B) (B) (B) 为负常数为负常数为负常数 (C) (C) (C) 恒为零恒为零恒为零 (D) (D) (D) 不为常数不为常数(4) (4) 设设111122232333,,,a b c a b c a b c a a a éùéùéùêúêúêú===êúêúêúêúêúêúëûëûëû则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=,3330a x b y c ++=(其中220,1,2,3i i a b i +¹=)交于一点的充要条件是交于一点的充要条件是 ( ) ( ) (A) 123,,a a a 线性相关线性相关 (B) 123,,a a a 线性无关线性无关(C) (C) 秩秩123(,,)r a a a =秩12(,)r a a (D) 123,,a a a 线性相关线性相关,,12,a a 线性无关线性无关(5) (5) 设两个相互独立的随机变量设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,2,则随机变量则随机变量32X Y -的方差是的方差是 ( )(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) (1) 计算计算22(),I x y dV W =+òòò其中W为平面曲线22,0y z x ì=í=î绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域所围成的区域. . (2) (2) 计算曲线积分计算曲线积分()()()C z y dx x z dy x y dz-+-+-ò,其中C 是曲线221,2,x y x y z ì+=í-+=î从z轴正向往z 轴负向看轴负向看,,C 的方向是顺时针的的方向是顺时针的. .(3) (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的..设该人群的总人数为N ,在0t =时刻已掌握新技术的人数为0x ,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()x t (将()x t 视为连续可微变量视为连续可微变量),),),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比之积成正比,,比例常数0,k >求()x t .四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1) 设直线0,:30x y b L x ay z ++=ìí+--=î在平面P 上,且平面P 与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-,求,a b 之值之值. . (2) (2) 设函数设函数()f u 具有二阶连续导数,而(sin )xz f e y =满足方程22222xz z e zx y ¶¶+=¶¶,求()f u .五、(本题满分6分)设()f x 连续连续,,1()(),x f xt dt j =ò且0()lim x f x A x®=(A 为常数为常数),),),求求()x j ¢并讨论()x j ¢在0x =处的连续性处的连续性. .六、(本题满分8分)设11112,(),1,2,...,2n n n a a a n a +==+=证明：证明：(1) lim n n a ®¥存在；存在；(2) (2) 级数级数111n n na a¥=+æö-ç÷èøå收敛收敛. .七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1) (1) 设设B 是秩为2的54´矩阵矩阵,,123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)TTTa a a ==--=--是齐次线性方程组0Bx =的解向量的解向量,,求0Bx =的解空间的一个标准正交基的解空间的一个标准正交基. .(2) (2) 已知已知111x éùêú=êúêú-ëû是矩阵2125312A a b -éùêú=êúêú--ëû的一个特征向量的一个特征向量. . (Ⅰ) ) 试确定参数试确定参数,a b 及特征向量x 所对应的特征值；所对应的特征值； (Ⅱ) ) 问问A 能否相似于对角阵？说明理由能否相似于对角阵？说明理由. .八、(本题满分5分)设A 是n 阶可逆方阵阶可逆方阵,,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . (1) (1) 证明证明B 可逆；可逆； (2) (2) 求求1AB -.九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗个交通岗,,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的独立的,,并且概率都是25.设X 为途中遇到红灯的次数为途中遇到红灯的次数,,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望和数学期望. .十、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为的概率密度为(1), 01,()0, x x f x qqì+<<=íî其它，的估计量. . 用矩估计法和最大似然估计法求q的估计量一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)(1)【答案】【答案】32【分析】这是00型极限型极限..注意两个特殊极限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x ®®+==. 【解析】将原式的分子、分母同除以x ,得2001sin 13sin cos 3cos 3lim lim.ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x x x x x®®++==++++ 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0()lim ()x x f x g x ®¢¢应存在或为¥,而本题中而本题中, , []200111(3sin cos )3cos 2cos sinlim lim 1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x x x x x x x xx x x x x®®¢+++=+¢++-+++ 极限不存在极限不存在,,也不为¥,不满足使用洛必达法则的条件不满足使用洛必达法则的条件,,故本题不能用洛必达法则故本题不能用洛必达法则. .【相关知识点】【相关知识点】1.1.1.有界量乘以无穷小量为无穷小量有界量乘以无穷小量为无穷小量有界量乘以无穷小量为无穷小量. . (2)(2)【答案】【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系【解析】考察这两个幂级数的关系..令1t x =-,则()1212111n n nnnnn n n na ttna tta t ¥¥¥¥¥¥+-===¢==ååå.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,,1nn n a t ¥=å的收敛半径为3Þ()1nnn a t ¥=¢å的收敛半径为 3.3.从而从而()2111nn nnn n t a tna t ¥¥+==¢=åå的收敛半径为3,3,收敛区间即收敛区间即(-3,3),(-3,3),回到原幂级数回到原幂级数11(1)n nn na x ¥+=-å,它的收敛区间为313x -<-<,即(2,4)-.评注：幂级数的收敛区间指的是开区间幂级数的收敛区间指的是开区间,,不考虑端点不考虑端点. .对于对于nnn a x ¥=å,若1lim n n n a a r+®+¥=Þ它的收敛半径是1R r=.但是若只知它的收敛半径为R ,则Þ11lim n n na a R+®+¥=,因为1limn n na a+®+¥可以不存在可以不存在((对于缺项幂级数就是这种情形对于缺项幂级数就是这种情形). ).(3)(3)【答案】【答案】2x y e p +=【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y ¢=,而x y ¢可由e qr =的参数方程的参数方程cos cos ,sin sin x e y e q q r q q r q qì==ïí==ïî 求得：求得： 2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin x x y e e y y x e e q q qpq q q q q q q q q q q q=¢++¢¢====-¢--, 所以切线的方程为2(0)y e x p -=--,即2x y e p+=.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.. (4)(4)【答案】【答案】3t =-【解析】由0AB =,对B 按列分块按列分块,,设[]123,,B b b b =,则[[]][[]][[]]123123,,,,0,0,0AB A A A A b b b b b b ===,即123,,b b b 是齐次方程组0Ax =的解的解. .又因B O ¹,故0Ax =有非零解有非零解,,那么那么()12210243433730311301A t t t --==+=+=-,由此可得3t =-.评注：若熟悉公式0AB =,则()()3r A r B n +£=,可知()3r A <,亦可求出3t =-. (5)(5)【答案】【答案】25【解析】方法1：利用全概率公式利用全概率公式. . 求第二人取得黄球的概率求第二人取得黄球的概率,,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关..这就要用全概率公式全概率公式..全概率公式首先需要一个完全事件组全概率公式首先需要一个完全事件组,,这就涉及到设事件的问题这就涉及到设事件的问题. .设事件i A =“第i 个人取得黄球”个人取得黄球”,,1,2i =,则完全事件组为11,A A (分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球取得黄球和第一个人取得白球).).).根据题设条件可知根据题设条件可知根据题设条件可知{}1202505P A ===黄球的个数球的总数；{}1303505P A ===白球的个数球的总数；{}2120119|50149P A A -==-(第一个人取得黄球的条件下第一个人取得黄球的条件下,,黄球个数变成20119-=,球的总数变成50149-=,第二个人取得黄球的概率就为1949)；{}2120|49P A A =(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,20,球的总数变成球的总数变成50-1=49,50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为第二个人取得黄球的概率就为2049). 故应用全概率公式故应用全概率公式{}{}{}21211212193202||5495495P A P A P A A P A P A A =+=×+×=.方法二：利用“抽签原理”利用“抽签原理”. . 只考虑第二个人取得的球只考虑第二个人取得的球只考虑第二个人取得的球,,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到个球中每一个都会等可能地被第二个人取到..犹如几个人抽奖人抽奖,,其中只有一张彩票有奖其中只有一张彩票有奖,,那么这几个人先抽与后抽那么这几个人先抽与后抽,,抽到有奖彩票的概率是一样的抽到有奖彩票的概率是一样的,,这就是我们抽奖的公平性这就是我们抽奖的公平性,,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为202505=.【相关知识点】【相关知识点】1.1.1.全概率公式全概率公式全概率公式: : {}{}{}{}{}2121121||P A P A P A A P A P A A =+；2. 2. 古典型概率公式：古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)(1)【答案】【答案】【答案】(C) (C)【解析】这是讨论(,)f x y 在(0,0)点是否连续点是否连续,,是否存在偏导数的问题是否存在偏导数的问题..按定义按定义00(0,0)(0,0)(,0),(0,)x y f d f d f x f y x dx ydy ==¶¶==¶¶,由于由于 (,0)0(),(0,)0()f x x f y y ="=",Þ$偏导数且(0,0)(0,0)0,0f f x y¶¶==¶¶.再看(,)f x y 在(0,0)是否连续？由于是否连续？由于222(,)(0,0)01lim (,)lim (0,0)2x y x y xxf x y f x x®®===¹+,因此(,)f x y 在(0,0)不连续不连续..应选应选(C). (C).评注：① 证明分段函数在某点连续证明分段函数在某点连续,,一般要用定义证一般要用定义证,,有难度有难度..证明分段函数(,)f x y 在某点000(,)M x y 不连续的方法之一是：证明点(,)x y 沿某曲线趋于0M 时,(,)f x y 的极限不存在或不为00(,)f x y .② 证明00(,)(,)lim (,)x y x y f x y®不存在的重要方法是证明点(,)x y 沿两条不同曲线趋于000(,)M x y 时,(,)f x y 的极限不想等或沿某条曲线趋于0M 时,(,)f x y 的极限不存在的极限不存在. .对于该题中的(,)f x y ,若再考察若再考察(,)(0,0)(,)(0,0)01lim (,)lim 00lim (,)2x y x y y x y xf x y f x y ®®®====¹=,(,)(0,0)lim (,)x y f x y ®Þ不存在不存在..Ca b E DxyOA B由本例可见由本例可见,,函数在一点处不连续函数在一点处不连续,,但偏导数却可以存在但偏导数却可以存在..容易找到这种例子容易找到这种例子,,例如例如(,),f x y x y =+它在点(0,0)处连续处连续,,但(0,0)x f ¢与(0,0)y f ¢都不存在都不存在..可见二元函数的连续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系. .(2)(2)【答案】【答案】【答案】(B) (B)【解析】方法1：用几何意义用几何意义..由()0,()0,()0f x f x f x ¢¢¢><>可知可知,,曲线()y f x =是上半平面的一段下降的凹弧上半平面的一段下降的凹弧,,()y f x =的图形大致如右图的图形大致如右图. . 1()baS f x dx=ò是曲边梯形ABCD 的面积；的面积；2()()S f b b a =-是矩形ABCE 的面积；的面积；31[()()]()2S f a f b b a =+-是梯形ABCD 的面积的面积.. 由图可见213S S S <<,应选应选(B). (B).方法2：观察法观察法..因为是要选择对任何满足条件的()f x 都成立的结果都成立的结果,,故可以取满足条件的特定的()f x 来观察结果是什么来观察结果是什么..例如取21(),[1,2]f x x x=Î,则 2123213211115,,248S dxS S S S S x====Þ<<ò.【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理由积分中值定理,,至少存在一个点x ,使()()(),baf x dx f b a a b =-<<òx x 成立成立,,再由()0,f x ¢<所以()f x 是单调递减的是单调递减的,,故()(),f f b x >从而从而 12()()()()()b aS f x dx f b a f b b a S==->-=òx . 为证31S S >,令1()[()()]()(),2x a x f x f a x a f t dt j =+--ò则()0,a j =11()()()(()())()2211()()(()())2211()()()()()()221(()())(),2x f x x a f x f a f x f x x a f x f a f x x a f x a a x f x f x a ¢¢=-++-¢=---¢¢=---<<¢¢=--j h h h 拉格朗日中值定理 由于()0f x ¢¢>,所以()f x ¢是单调递增的是单调递增的,,故()()f x f ¢¢>h ,()0x ¢>j ,即()x j 在[,]a b 上单调递增的单调递增的..由于()0,a j =所以()0,[,]x x a b >Îj ,从而从而1()[()()]()()02b a b f b f a b a f t dt =+-->òj , 即31S S >.因此因此,,213S S S <<,应选应选(D). (D).如果题目改为证明题如果题目改为证明题,,则应该用评注所讲的办法去证则应该用评注所讲的办法去证,,而不能用图证而不能用图证. .【相关知识点】【相关知识点】1.1.1.积分中值定理：如果函数积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续上连续,,则在(,)a b 上至少存在一个点x ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b =-<<òx x .这个公式叫做积分中值公式公式..2. 2. 拉格朗日中值定理：如果函数拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续上连续,,在开区间(),a b 内可导内可导,,那么在(),a b 内至少有一点()a b x x <<,使等式()()()()f b f a f b a x ¢-=-成立成立..(3)(3)【答案】【答案】【答案】(A) (A) 【解析】由于函数sin sin tet 是以2p 为周期的函数为周期的函数,,所以所以, , 22sin sin 0()sin sin x t t x F x e tdt e tdt +==òòp p ,()F x 的值与x 无关无关..不选D,(D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关周期函数在一个周期的积分与起点无关周期函数在一个周期的积分与起点无关). ).估计2sin 0sin tetdt òp的值有多种方法的值有多种方法.. 方法1：划分sin sin te t 取值正、负的区间取值正、负的区间.. 22sin sin sin 0sin sin 00sin sin 0()sin sin sin sin (sin )()sin ttttuttF x etdt etdt etdtetdt eu dueetdt--==+=+-=-òòòòòòppppppp当0t p <<时,sin 0t >,sin sin 0,ttee-->所以()0F x >.选(A).方法2：用分部积分法用分部积分法. .22sin sin 022sin sin 00220sin 2sin 2()sin cos cos cos (11)cos cos 0.ttttttF x etdt e d tet tdee et dt et dt ==-=-+=--+=>òòòòòpppppp故应选故应选(A). (A).【评注】本题的方法1十分有代表性十分有代表性. .被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,,则常将积分区间划分成若干个则常将积分区间划分成若干个,,使每一个区间内个区间内,,被积函数保持确定的符号被积函数保持确定的符号,,然后再作适当的变量变换然后再作适当的变量变换,,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可然后只要估计被积函数的正、负即可. .(4)(4)【答案】【答案】【答案】(D) (D)【解析】方法1：三条直线交于一点的充要条件是方程组三条直线交于一点的充要条件是方程组111111222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c ++=+=-ììïï++=Þ+=-ííïï++=+=-îî有唯一解有唯一解. .将上述方程组写成矩阵形式：32A X b ´=,其中112233a b A a b a b éùêú=êúêúëû是其系数矩阵是其系数矩阵,,123c b c c -éùêú=-êúêú-ëû.则AX b =有唯一解Û[]()2r A r A b == (方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数于未知量的个数),),),即即A 的列向量组12,a a 线性相关线性相关..所以应选所以应选(D). (D). 方法2：用排除法用排除法. .(A)123,,a a a 线性相关线性相关,,当123a a a ==时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数小于未知量的个数,,则①式有无穷多解则①式有无穷多解,,根据解的个数与直线的位置关系根据解的个数与直线的位置关系..所以三条直线重合所以三条直线重合,,相交有无穷多点相交有无穷多点,(A),(A),(A)不成立不成立不成立. .(B)123,,a a a 线性无关线性无关,,3a 不能由12,a a 线性表出线性表出,,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等不相等,,方程组无解方程组无解,,根据解得个数与直线的位置关系根据解得个数与直线的位置关系,,所以一个交点也没有所以一个交点也没有,(B),(B),(B)不成立不成立不成立. .(C)(C)秩秩123(,,)r a a a =秩12(,)r a a ,当123(,,)r a a a =12(,)1r a a =时,三条直线重合三条直线重合,,不只交于一点不只交于一点,,与题设条件矛盾与题设条件矛盾,,故(C)(C)不成立不成立不成立. .由排除法知选由排除法知选(D). (D).评注：应重视线性代数中的几何背景应重视线性代数中的几何背景..空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来. . (5)(5)【答案】【答案】【答案】(D) (D)【解析】因X 与Y 独立独立,,故3X 和2Y 也相互独立也相互独立..由方差的性质由方差的性质,,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.【相关知识点】方差的性质：X 与Y 相互独立时相互独立时, ,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数为常数..三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,,柱面坐标中的计算柱面坐标中的计算,,球面坐标中的计算中的计算,,其中柱面坐标中又可分先z 后(,)r q ,或先(,)r q 后z 两种方法两种方法..本题的区域W 为绕z 轴旋转的旋转体轴旋转的旋转体,,用柱面坐标先(,)r q 后z 方便方便. .【解析】方法1：采用柱面坐标采用柱面坐标,,先(,)r q 后z ,为此为此,,作平面z z =.{}22(,,)|2,,zD x y z x y z z z =+£=8222()zD I x y dv dz r rdrd q W=+=×òòòòòò(将直角坐标化为柱面坐标将直角坐标化为柱面坐标) )82231024.3zdzdr drpp q==òòò方法2：将W 投影到xOy 平面平面,,得圆域{}22(,)|16,D x y x y =+£用柱面坐标先z 后(,)r q ,有222484223321024()2(8).23r r Ix y dv d drr dzr dr pp qpW=+==-=òòòòòò评注：做二次积分或三次积分时做二次积分或三次积分时,,如果里层积分的结果不含外层积分变量如果里层积分的结果不含外层积分变量,,那么里、外层积分可以分别积分然后相乘即可可以分别积分然后相乘即可..如本例方法2中20d pq ò可以单独先做可以单独先做.. (2)(2)【解析】【解析】方法1：写出C 的参数方程的参数方程,,然后用曲线积分化为定积分的公式然后用曲线积分化为定积分的公式. .由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知的方向知,,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,,于是t 从p 2到0. 在把参数方程代入被积表达式之前在把参数方程代入被积表达式之前,,先用C 的方程将被积表达式化简的方程将被积表达式化简,,有00022202222()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.CC I z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dz x t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt p p pppp =-+-+-=-+-+-=-+--++-=+--+=-=-òòòòòòò方法2：用斯托克斯公式来计算用斯托克斯公式来计算..记S 为平面2x y z -+=上C 所围有限部分所围有限部分,,由L 的定向的定向,,按右手法则S 取下侧取下侧. .原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z y x zx y¶¶¶==¶¶¶---òòòò.S 在xy 平面上的投影区域xy D 为221x y +£.将第二类曲面积分化为二重积分得将第二类曲面积分化为二重积分得原积分22xyD dxdy p =-=-òò.这里因S 取下侧取下侧,,故公式取负号故公式取负号..(3)(3)【解析】已掌握新技术人数【解析】已掌握新技术人数()x t 的变化率的变化率,,即dx dt,由题意可立即建立初值问题由题意可立即建立初值问题0(),(0).dxkx N x dt x x ì=-ïíï=î 把方程分离变量得把方程分离变量得 ,()dxkdt x N x =-111()dx kdt N x N x +=-. 积分可得积分可得11ln x kt c N N x =+-,1kNtkNt cNe x ce=+. 以0(0)x x=代入确定0x c N x =-,故所求函数为000.kNtkNt Nx ex N x x e =-+四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)【分析】求出曲面22:0S x y z +-=在点0(1(1,,2,5)M -(位于S 上)处的切平面方程处的切平面方程,,再写出L 的参数方程的参数方程,,L 上的点的坐标应满足切平面方程上的点的坐标应满足切平面方程,,由此定出参数a 与b . 【解析】曲面S 在点0M 的法向量的法向量0{2,2,1}{2,4,1}M n x y =-=--.切平面P 的方程是的方程是2(1)4(2)(5)0x y z --+--=,即 2450x y z ---=.将直线L 的方程改写成参数方程的方程改写成参数方程,(1) 3.y x b z a x ab =--ìí=---î将它代入平面P 方程得方程得24()(1)350x x b a x ab -----++-=,即(5)420a x b ab +++-=.解得5,2a b =-=-.(2)(2)【分析】【分析】(sin )xz f e y =是由一元函数()z f u =与二元函数sin xu e y =复合而成的二元函数元函数,,它满足方程它满足方程22222xz z e z xy¶¶+=¶¶. (*)为了求()f u ,我们将用复合函数求导法我们将用复合函数求导法,,导出z x ¶¶,z y ¶¶,22z x ¶¶,22z y ¶¶与(),()f u f u ¢¢¢的关系的关系,,然后由然后由(*)(*)(*)式导出式导出()f u 满足的常微分方程满足的常微分方程,,从而求出()f u . 【解析】先用复合函数求导法导出【解析】先用复合函数求导法导出22222222()()sin ,()()cos ,()sin ()sin ,()cos ()sin .x x x x x x z u z u f u f u e y f u f u e y x x y yz z f u e y f u e y f u e y f u e y x y¶¶¶¶¢¢¢¢====¶¶¶¶¶¶¢¢¢¢¢¢=+=-¶¶ 将后两式代入将后两式代入(*)(*)(*)得得 222222()()x x z z f u e e f u x y¶¶¢¢+==¶¶,即 ()()0f u f u ¢¢-=.这是二阶线性常系数齐次方程这是二阶线性常系数齐次方程,,相应的特征方程210l -=的特征根为1l =±,因此求得因此求得12()uuf u C e C e -=+,其中1C 、2C 为任意常数为任意常数. .五、(本题满分6分)【分析】通过变换将()x j 化为积分上限函数的形式化为积分上限函数的形式,,此时0x ¹,但根据0()lim x f x A x®=,知 (0)0f =,从而1(0)(0)0f dt j ==ò,由此由此,,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定()x j ¢在0x =处的连续性处的连续性. .【解析】由题设0()lim x f x A x®=知,(0)0,(0),f f A ¢==且有(0)0j=.又 1()()()(0),xf u du x f xt dtuxtxxj ==¹òò于是于是 02()()()(0),xxf x f u du x x xj -¢=¹ò由导数定义由导数定义,,有0200()()(0)()(0)lim lim lim 22xx x x f u du x f x A x xx j j j ®®®-¢====ò. 而 00220000()()()()lim ()lim lim lim x xx x x x xf x f u duf u du f x x xx xj ®®®®-¢==-òò (0)22A A A j ¢=-==,从而知()x j ¢在0x =处连续处连续. . 评注：对1()()x f x t d tj =ò作积分变量变换xt u =时,必附加条件0x ¹.因此,由1()()x x f u du x j =ò得到的()x j ¢也附加有条件0x ¹.从而(0)j ¢应单独去求应单独去求. .六、(本题满分8分) 【解析】【解析】(1)(1)(1)先证先证n a 单调有界单调有界. .显然0(1,2,)n a n >= ,由初等不等式：对"非负数,x y 必有2x y xy +³,易知易知1111()21(1,2,)22n n n a a n a +=+³×== .再考察再考察 121111(1)(1)1221n n n a a a +=+£+=.因此因此,,n a 单调下降且有界单调下降且有界,,存在极限lim n n a ®+¥.(2)方法1：由na 单调下降11110n n n n n a a a a a +++-Þ-=³.Þ原级数是正项级数原级数是正项级数..现适当放大现适当放大,,注意1n a ³,得111101.n n n n n n n a a a a a a a++++-£-=£- 11()n n n a a ¥+=-å的部分和1111()n k k n k S a a a a ¥++==-=-å,11lim lim n n n n S a a +®+¥®+¥Þ=-存在存在,,可见级数11()n n n a a ¥+=-å收敛收敛..由比较判别法知由比较判别法知,,级数111n n n a a ¥=+æö-ç÷èøå也收敛也收敛. . 方法2：令11n n na b a+=-,利用递推公式利用递推公式,,有221221111limlim 0141n n n n n n n nb a a b a a r +®¥®¥++-==××=<+, 由比值判别法知级数111n n n a a ¥=+æö-ç÷èøå也收敛也收敛.. 【评注】由证明中可见【评注】由证明中可见,,有下述结论：11()n n n a a ¥+=-å收敛Ûlim n n a ®¥存在存在.. 在考研题中多次用到这个知识点在考研题中多次用到这个知识点,,考生可倍加注意考生可倍加注意. .七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.) 【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基的解空间的一个标准基,,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解线性无关的解. .【解析】(1)(1)因秩因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因12,a a 线性无关线性无关, , 12,a a 是方程组0Bx =的解的解,,由解空间的基的定义由解空间的基的定义,,12,a a 是解空间的基是解空间的基. . 用施密特正交化方法先将其正交化用施密特正交化方法先将其正交化,,令：令：[][][]2122111(,)521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.(,)153T T T a b b a b b b =-=---=-- 将其单位化将其单位化,,有 [][]121212111,1,2,3,2,1,5,31539T Tb b h h b b ====--, 即为所求的一个标准正交基即为所求的一个标准正交基. . 评注：此题是一个基本计算题此题是一个基本计算题,,只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可. . 由于解空间的基不唯一由于解空间的基不唯一由于解空间的基不唯一,,施密特正交化处理后标准正交基也不唯一施密特正交化处理后标准正交基也不唯一..已知条件中12,,a a 3a 是线性相关的是线性相关的((注意12323a a a -=),),不要误认为解空间是不要误认为解空间是不要误认为解空间是33维的维的. . (2)(I)(2)(I)设设x 是矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量的特征向量,,即0,A x l x =021*******,1211a b l -éùéùéùêúêúêú=êúêúêúêúêúêú----ëûëûëû即 0002125312a b l l l --=ìï+-=íï-++=-î0130,a ,b l Þ=-=-=.(II)(II)将将(1)(1)解得的解得的30a ,b =-=代入矩阵A ,得212533102A -éùêú=-êúêú--ëû. 其特征方程为3212533(1)0,102E A l l l l l ---=-+-=+=+ 知矩阵A 的特征值为1231l l l ===-.由于由于由于 312()5232101r E A r --éùêú--=--=êúêúëû,从而1l =-只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量,,故A 不能相似对角化不能相似对角化. .评注：A 相似于对角阵ÛA 的每个i r 重特征值有i r 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .八、(本题满分5分)【解析】由于ij B E A =,其中ij E 是初等矩阵是初等矩阵0111ij i E j êúêúêúêú=êúêúêúêúëû(1)(1)因为因为A 可逆可逆,,0A ¹,故0ij ij B E A E A A ==×=-¹,所以B 可逆可逆. . (2)(2)由由ijB E A =,知11111().ijij ijij ABA E A AA E E E -----====评注：①本题考查初等矩阵的概念与性质①本题考查初等矩阵的概念与性质,,要知道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩阵的逆矩阵的三个公式等矩阵的逆矩阵的三个公式..有的考生写不出初等矩阵ij E ,或将B 写成ij B AE =,或不知道1ijij E E -=,或认为A B =±,而不知道B A =-等,这些要引起注意这些要引起注意. .②经初等变换矩阵的秩不变②经初等变换矩阵的秩不变,,易知()()r B r A n ==,也可证明B 可逆可逆. .九、(本题满分7分)【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景首先需要清楚二项分布的产生背景..它的背景是：做n 次独立重复试验次独立重复试验,,每次试验的结果只有两个结果只有两个((要么成功要么成功,,要么失败要么失败),),),每次试验成功的概率都为每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数验成功的次数,,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗这道题中经过三个交通岗,,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的独立的,,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验次独立重复试验,,试验的结果只有两个试验的结果只有两个((要么遇到红灯要么遇到红灯((成功),),要么不遇到要么不遇到要么不遇到((失败失败)),)),)),每次成功的概率都为每次成功的概率都为25,X表示遇到红灯的次数表示遇到红灯的次数,,相当于做了3次试验成功的次数试验成功的次数,,故2~(3,)5X B. 【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义由二项分布的分布律的定义,,有{}33(1),0,1,2,3.kkkp X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义再由离散型随机变量分布函数的定义,,有()k k xF x p £=å,(1)(1)当当0x <时,()0kk xF x p £==å；(2)(2)当当01x £<,{}30030322327()0()(1)555125kk xF x p p P XC -£æö=====-==ç÷èøå；。

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合M =｛x │0≤x <2｝,集合N =｛x │x 2-2x -3<0｝,集合M ∩N = ( )(A) {}10<≤x x ； (B) {}20<≤x x ； (C) {}10≤≤x x ； (D) {}20≤≤x x 。

2．如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a = ( )(A) －3； (B) －6； (C) 23-； (D) 32。

3．函数y =tg(π3121-x )在一个周期内的图像是 ()4．已知三棱锥D-ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 ( ) (A) arccos 33； (B) arccos 31； (C) 2π； (D) 32π。

5．函数y =sin(x 23-π)+cos2x 的最小正周期是( )(A)2π； (B) π； (C) π2； (D) π4。

6．满足arccos(1－x )≥arccos x 的x 的取值范围是 ( )(A) [－1,－21]； (B) [－21,0]； (C) [0, 21]； (D) [ 21,1]。

7．将y =2x 的图像 ( )(A) 先向左平行移动1个单位； (B) 先向右平行移动1个单位； (C) 先向上平行移动1个单位； (D) 先向下平行移动1个单位。

再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数y =log 2(x +1)的图像．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ( )(A) 20π2； (B) 25π2； (C) 50π； (D) 200π。

1997年10月在职MBA联考逻辑真题1、医生告诫病人："吸烟有百害而无一利，特别是像你这样的患者，应该立即戒烟。

"以下哪项未能给医生的观点提供进一步的论证？A、吸烟者认为戒烟后可能引起其他疾病。

B、烟草中的尼古丁不仅危害人体健康，还可能引起精神紊乱。

C、吸烟可能诱发心血管病。

D、吸烟不仅损害心脏和肺，而且对皮肤也有危害。

E、吸烟者吐出的烟雾，会妨碍他人的健康。

2、"我有好几次看见这位中年男子从化工厂里出来，才知道他是该厂的工人。

"上文谈话者的逻辑前提是：A、这位中年男子不像一个干部。

B、很多工人的装束与此人极其相似。

C、此人不是工人，就是干部。

D、只有该厂工人，才会经常进出该厂。

E、作者认识该厂的技术员，不是此人。

3、《伊索寓言》中有这样一段文字：有一只狗习惯于吃鸡蛋。

久而久之，它认为"一切鸡蛋都是圆的"。

有一次，它看见一个圆圆的海螺，以为是鸡蛋，于是张开大嘴，一口就把海螺吞下肚去，结果肚子疼得直打滚。

狗误吃海螺是依据下述哪项判断的？A、所有圆的都是鸡蛋。

B、有些圆的是鸡蛋。

C、有些鸡蛋是圆的。

D、所有的鸡蛋都是圆的。

E、有些圆的不是鸡蛋。

4、设"并非无奸不商"为真，则以下哪项一定为真？A、所有商人都是奸商。

B、所有商人都不是奸商。

C、并非有的商人不是奸商。

D、并非有的商人是奸商。

E、有的商人不是奸商。

5、甲、乙两人就"人的有意识的活动是否都是有目的''这一论题展开辩论。

甲认为，人有意识的活动都是有目的的，乙持相反的观点。

为证明自己观点的正确性，乙说："我现在就可以有意识却无目的地举起我的手。

"乙的证明犯了下述哪项错误？A、模棱两可。

B、两不可。

C、自相矛盾。

D、以偏概全。

1E、论据不足。

6、有人说："不到小三峡，不算游三峡，不到小小三峡，白来小三峡"。

1998年10月在职MBA全国联考数学试题一、问题求解:第1～15小题,每小题3分,共45分.下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,只有一个选项符合试题要求.请在答题卡．．．上将所选项的字母涂黑.1．某种商品降价20%后,若欲恢复原价,应提价（）（A）20% （B）25% （C）22% （D）15% （E）24%2.商店本月的计划销售额为20万元,由于展开了促销活动,上半月完成了计划的60%,若全月要超额完成计划的25%,则下半月应完成销售额（）（A）12万元（B）13万元（C）14万元（D）15万元（E）16万元3.一笔钱购买A型彩色电视机,若买5台余2500元,若买6台则缺4000元,今将这笔钱用于购买B型彩色电视机,正好可购7台,B型彩色电视机每台的售价是（）（A）4000元（B）4500元（C）5000元（D）5500元（E）6000元4.采矿场有数千吨矿石要运走,运矿石汽车7天可运走全部的35%,照这样的进度,余下的矿石都运走还需（）（A）13天（B）12天（C）11天（D）10天（E）9天5.在有上、下行的轨道上,两列火车相向开来,若甲长187米,每秒行驶25米,乙车长173米,每秒行驶20米,则从两车头相遇到车尾离开,需要（）（A）12秒（B）11秒（C）10秒（D）9秒（E）8秒的值是（）6.若方程x2+px+37=0恰有两个正整数解x1和x2,则(x1+1)(x2+1)p（D）1 （E）2（A）-2 （B）-1 （C）−127.若在等差数列前5项和S5=15,前15项和S15=120,则前10项和S10为（）（A）40 （B）45 （C）50 （D）55 （E）608.若一球体的表面积增加到原来的9倍,则它的体积（）（A）增加到原来的9倍（B）增加到原来的27倍（C）增加到原来的3倍（D）增加到原来的6倍（E）增加到原来的8倍9.已知等腰直角三角形ABC 和等边三角形BDC （见图1）,设△ABC 的周长为2√2+4,则△BDC 的面积是（ ）（A ）3√2 （B ）6√2 （C ）12 （D ）2√3 （E ）4√310.已知直线l 的方程为x +2y −4=0,点A 的坐标为（5,7）,过点A 作直线垂直于l ,则垂足的坐标为（ ）（A ）（6,5） （B ）（5,6） （C ）（2,1） （D ）（-2,6） （E ）（12,3）11.将3人分配到4间房的每一间中,若每人被分配到这4间房的每一间房中的概率都相同,则第一、二、三号房中各有1人的概率是（ ）（A ）34 （B ）38 （C ）316 （D ）332 （E ）36412.掷一枚不均匀的硬币,正面朝上的概率为23,若将此硬币掷4次,则正面朝上3次的概率是（ ）（A ）881 （B ）827 （C ）3281 （D ）12 （E ）262712.甲、乙、丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中概率为0.9,乙的命中概率为0.8,丙的命中概率为0.7,现每人各投一次,求:（1）三人中至少有两人投进的概率是（ ）（A ）0.802 （B ）0.812 （C ）0.832 （D ）0.842 （E ）0.902（1）三人中至多有两人投进的概率是（ ）（A ）0.396 （B ）0.416 （C ）0.426 （D ）0.496 （E ）0.506 图1 B ADC 图1请在MBA大师APP中，进入“做题-扫码做题”，填入答案，查看解析和得分，并会自动记录错题数据，方便查漏补缺（加小助手微信）（下载MBA大师APP）。

全MBA入学考试数学试题和答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1997年全MBA入学考试数学试题和答案一、选择题：本大题共20个小题，每小题2.5分，共50分，在每小题给出的五个选项中，只有一项正确，把所选项前的字母填在括号内。

1.某厂一生产流水线，若每分15秒可出产品4件，则1小时该流水线可出产品(A)480件 (B)540件 (C)720件(D)960件 (E)1080件【】解：15秒生产4件，则1分钟生产4×4=16件，1小时生产16×60=960件，正确的选择是D。

112.若x2+bx+1=0的两个根为x1和x2，且--+--=5，则b的值是x1 x2(A)-10 (B)-5(C)3(D)5 (E)10【】1 1 x1+x2解：已知—+ —= ———=5,x1 x2 x1·x2由韦达定理：x1x2=1,x1+x2=-b,得b=-5.正确的选择是B。

3.某投资者以2万元购买甲、乙两种股票，甲股票的价格为8元/股，乙股票的价格为4元/股，它们的投资额之比是4：1。

在甲、乙股票价格分别为10元/股和3元/股时，该投资者全部抛出这两种股票，他共获利(A)3000元 (B)3889元 (C)4000元(D)5000元 (E)2300元【】解：期初，2万元投资于甲和乙两种股票，比例为4：1，5 16000故投资于甲为20000×—=16000元，共———=2000股，4 81 4000投资于乙为20000×—=4000元，共———=1000股，5 4期末，卖出A共得2000×10=20000元，卖出B共得1000×3=3000元。

共卖得23000元。

故总盈利23000-2000=3000元。

正确的选择是A。

4.甲仓存粮30吨，乙仓存粮40吨，要再往甲仓和乙仓共运去粮食80吨，使甲仓粮食是乙仓粮食数量的1.5倍，应运往乙仓的粮食是(A)15吨 (B)20吨 (C)25吨(D)30吨 (E)35吨【】解：最后A、B两仓共计30+40+80=150 吨，又知甲：乙=1.5:1,1故乙仓为150×———=60 吨，1.5+1须向乙仓再运行60-40=20 吨。

M B A联考真题附答案精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2010-2012-2013年MBA/MPA联考真题目录2013年MBA/MPA/MPACC考试大纲及真题：（一）算术1．整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数2.分数、小数、百分数3.比与比例4.数轴与绝对值（二）代数1．整式（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解2．分式及其运算3．函数（1）集合（2）一元二次函数及其图像（3）指数函数、对数函数（保留2012年1月新增加考点）4．代数方程（1）一元一次方程（2）一元二次方程（3）二元一次方程组5．不等式（1）不等式的性质（2）均值不等式（3）不等式求解一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。

6．数列、等差数列、等比数列（三）几何1．平面图形（1）三角形（2）四边形(矩形、平行四边形、梯形)（3）圆与扇形2．空间几何体（保留2012年1月新增加考点）（1）长方体（2）圆柱体（3）球体3．平面解析几何（1）平面直角坐标系（2）直线方程与圆的方程（3）两点间距离公式与点到直线的距离公式（四）数据分析l．计数原理（1）加法原理、乘法原理（2）排列与排列数（3）组合与组合数2．数据描述（1）平均值（2）方差与标准差（保留2012年1月新增加考点）（3）数据的图表表示直方图，饼图，数表。

3．概率（1）事件及其简单运算（2）加法公式（3）乘法公式（4）古典概型（5）贝努里概型（一）2012年MBA综合真题及答案一、问题求解题：第1～15小题，每小题三分，共45分。

下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡上将所选的字母涂黑。

1.某商品的定价为200元，受金融危机的影响，连续两次降价20%后的售价为（A）114元（B）120元（C）128元（D）144元（E）160元2.如图1，ABC是直角三角形，为正方形，已知,a，b，c，分别是的边长，则（A） a=b+c (B) a=b+c(C) a=2b+2c (D) a=b+c(E) a=2b+2c图1 图23. 如图2，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是20m的圆柱形、上半部分（顶部）是半球形，已知底面与顶部的造价是400元/m，侧面的造价是300元/ m,该储物罐的造价是。

1997年10月数学试题问题求解.1.若某人以1000元购买A 、B 、C 三种商品，且所有金额之比是1:1.5:2.5，则他购买A 、B 、C 三种商品的金额（单位：元）依次是（）.（A ）100,300,600（B ）150,225,400（C ）150,300,550（D ）200,300,500（E ）200,250,5502.某地连续举办三场国际商业足球比赛，第二场的观众比第一场少了80%，第三场观众比第二场减少了50%，若第三场观众仅有2500人，则第一场观众有（）.（A ）15000人（B ）20000人（C ）22500人（D ）25000人（E ）27500人3.银行的一年期定期存款利率为10%，某人于1991年1月1日存入1000元，1994年1月1日取出，若按复利计算，他取出时所得的本金和利息共计是（）.（A ）10300元（B ）10303元（C ）13000元（D ）13310元（E ）14641元4.用一条绳子量井深，若将绳子折成三折来量，井外余绳4尺，折成4折来量，井外余绳1尺，则井深是（）.（A ）6尺（B ）7尺（C ）8尺（D ）9尺（E ）12尺5.某商品打九折会使销售增加20%，则这一折扣会使销售额增加的百分比是（）.（A ）18%（B ）10%（C ）8%（D ）5%（E ）2%6.12,x x 是方程2670x x a −+=的两个实根，若1211x x +，则a 的值是（）.（A ）2（B ）3（C ）4（D ）–2（E ）–37.在直角三角形中，若斜边与一直角边的和为8，差为2，则另一直角边的长度为（）.（A ）3（B ）4（C ）5（D ）10（E ）98.一个长方体，长与宽之比为2:1，宽与高之比为3:2，如果长方体的全部棱长之和是220厘米，求长方体的体积是（）.（A ）2880立方厘米（B ）7200立方厘米（C ）4600立方厘米（D ）4500立方厘米（E ）3600立方厘米9.如图1所示，C 是以AB 为直径的半圆上一点，再分别以AC 和BC 为直径做半圆、若5AB =，3AC =，则图中阴影部分的面积为（）.（A ）3π（B ）4π（C ）6π（D ）6（E ）410.若圆的方程为224210y y x x ++−+=，直线方程为321y x +=，则过已知圆的圆心并与已知直线平行的直线方程是（）.（A ）2310y x ++=（B ）2310y x +−=（C ）3240y x ++=（D ）3280y x +−=（E ）2360y x +−=图111.某公司电话号码有5位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9的任意一个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（）.（A ）126（B ）1260（C ）3024（D ）5040（E ）3024012.一批灯泡共10只，其中有3只质量不合格.今从该批灯泡中随机取出5只，则：（1）这5只灯泡都合格的概率是（）.（A ）736（B ）524（C ）16（D ）536（E ）112（2）这5只灯泡中只有3只合格的概率是（）.（A ）512（B ）112（C ）724（D ）1124（E ）1613.一种编码由6位数字组成，其中每位数字可以是0,1,2,…,9中的任意一个，求编码的前两位数字都不超过5的概率（）.（A ）0.36（B ）0.37（C ）0.38（D ）0.46（E ）0.3914.已知二次方程222102420x ax x a a −++−−=有实根，则两个实根之积的最小值是（）.（A ）–4（B ）–3（C ）–2（D ）–1（E ）–6【参考答案】1-5DDDCC 6-10ABDDC 11-14C(EA)AA。

1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题：本大题共15小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（15）题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}02M x x =≤<|，集合{}2230N x x x =--<|，集合MN =A ．{}10<≤x xB ．{}20<≤x xC ．{}10≤≤x xD ．{}20≤≤x x 【答案】B【解析】方法一：∵{}13N x x =<<|，则M N ⊂，∴M N M =．方法二：∵{}13N x x =<<|，∴{}{}{}021302M N x x x x x x =≤<<<=≤<||．2．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，那么系数a = A ．3- B ．6- C ．23- D ．32 【答案】B【解析】由平行关系条件得231a =-，解得6a =．3．函数11tan()23y x π=-在一个周期内的图像是【答案】A 【解析】由于112232x πππ-<-<，所以533x ππ-<<，又正切函数在定义域内为增函数，A 正确．4．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且2AB AC BC ===，则以BC 为棱，以面BCD与面BCA 为面的二面角的大小是 A． B ．1arccos 3C ．2πD ．32π由题设可知AB AC BD DC ====，2BC AD ==．取BC 中点M ．连结,AM DM ．则,AM BC DM BC ⊥⊥．所以AMD ∠就是所求的二面角．在AMD ∆中，222AM DM AM DM AD ==+=．易知这个三角形是一个等腰直角三角形，即2AMD π∠=，所以这个二面角是2π．5．函数sin(2)cos 23y x x π=-+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】2(2)32sin(2)cos 2sin(2)sin(2)2sin 3322x x y x x x x πππππ-+-=-+=-+-= 2(2)5532cos 2sin(2)cos()2sin(2)cos 212121212x x x x ππππππ---⋅=-⋅-=--⋅，所以函数的最小正周期是π．6．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是 A ．1[1,]2-- B ．1[,0]2- C ．1[0,]2 D ．1[,1]2【答案】D【解析】由于arccos [0,]y x π=∈，且为减函数，所以11,1x x x -≤≤-≤，解得1[,1]2x ∈．7．将2xy =的图像A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ．先向下平行移动1个单位再作关于直线y x =对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像． 【答案】D【解析】函数2log (1)y x =+的反函数为21xy =-，D 正确．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 A． B． C ．50π D ．200π 【答案】C【解析】由题设可得球的半径为22R ==，则表面积是2450R ππ=．9．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，0t ≠），它的普通方程是 A ．2(1)(1)1x y --= B ．()()221x x y x -=-C ．()1112--=x y D ．112+-=x xy 【答案】B【解析】由11x t =-得11t x =-，所以211()1y x =--，即21()11y x=--，所以 ()()221x x y x -=-．10．函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为 A ．2 B ．0 C ．41- D ．6 【答案】B【解析】2231cos 3cos 2(cos )24y x x x =-+=--，由1cos 1x -≤≤，所以当1cos 2x =时，函数取得最小值为231(1)024--=．11．椭圆C 与椭圆()()1429322=-+-y x 关于直线0x y +=对称，椭圆C 的方程是A ．()()1934222=+++y x B ．()()1439222=-+-y xC ．()()1439222=+++y x D ．()()1934222=-+-y x【答案】A【解析】设椭圆C 上一点(,)x y ，其关于直线0x y +=对称的对称点为(,)y x --，代入方程()()1429322=-+-y x 并整理得()()1934222=+++y x ．12．圆台上、下底面积分别为,4ππ，侧面积为π6，这个圆台的体积是A ．332π B ．π32 C ．637π D ．337π【答案】D【解析】圆台上、下底半径分别为1,2，由侧面积公式(12)6S l ππ=+=得母线长2l =，所以高h =1(24)33V πππ=++=．13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数()f x 为增函数；偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式：①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<-- ③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 【答案】C【解析】本小题考查函数的奇偶性与不等式，由条件知数()g x 在区间(),0-∞上是减函数，()f x 在区间(),0-∞上为增函数，作图并结合对称性可知①与③正确．14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是A ．{}02x x << B ．{}5.20<<x x C ．{}60<<x x D ．{}30<<x x【答案】C【解析】当02x <≤时得3232x x x x -->++，解得02x <≤；当2x >时得3232x xx x-->-++，解得2x <<故答案为C ．15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A ．150种 B ．147种 C ．144种 D ．141种 【答案】D【解析】间接法：每个面内的6个点中任意4个点都共面有464C 种，每条棱与相对棱中点共面的有6种，各棱中点中四点共面的有3种，故满足条件的取法有44106463141C C ---=．【本题难度】较难．第Ⅱ卷 （非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为 ． 【答案】4【解析】通项为3999221991()((1)()2r rr r r r r r r a T C C a x x ---+==-，由3932r -=得8r =，则884919(1)()24C a -=，所以4a =．17．已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，则极点到该直线的距离是 ． 【答案】22 【解析】化为直角坐标方程为10x y +-=，原点到直线的距离为22． 18．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为 ．【答案】32- 【解析】sin 7cos15sin8sin(158)cos15sin8sin15cos8sin15cos 7sin15sin8cos(158)sin15sin8cos15cos8cos15︒+︒︒︒-︒+︒︒︒︒︒===︒-︒︒︒-︒-︒︒︒︒︒tan 60tan 45tan15tan(6045)21tan 60tan 45︒-︒=︒=︒-︒===+︒︒19．已知,m l 是直线，,αβ是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l α⊥； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若,m l αβ⊂⊂，且l m ⊥，则βα⊥； ④若β⊂l ，且α⊥l ，则βα⊥； ⑤若,m l αβ⊂⊂，且//αβ，则//m l ．其中正确的命题是序号是 ．（注：把你认为正确的序号都．填上） 【答案】①④．注：第（19）题多填、漏填和错填均给0分．【解析】略．三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）已知复数1,2z i ω=-=+．复数23,z z ωω在复数平面上所对应的点分别为,P Q ．证明OPQ ∆是等腰直角三角形（其中O 为原点）． 【解】本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一：1cos()sin()2266z i i ππ=-=-+-， 4sin 4cos 2222ππωi i +=+=， 于是cossin1212z i ππω=+，cos()sin()1212z i ππω=-+-，2333[cos()sin()](cos sin )3344z i i ππππω=-+-⨯+125sin125cos ππi += 因为OP 与OQ 的夹角为2)12(125πππ=--，所以OP OQ ⊥．因为1.132====ϖϖz OQ z OP ，所以OQ OP =．由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形． 解法二：因为)6sin()6cos(2123ππ-+-=-=i i z ，所以i z -=3． 因为4sin 4cos 2222ππωi i +=+=，所以14-=ω 于是i z z z z z z z z ==⋅=22433232ωωωωωωωω，由此得,OP OQ OP OQ ⊥=． 由此知OPQ ∆有两边相等且其夹角为直角，故OPQ ∆为等腰直角三角形．21．（本小题满分11分）已知数列{}{},n n a b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为,p q ，其中p q >，且1,1p q ≠≠．设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和．求1lim-∞→n nn S S ．【解】本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．11(1)(1)11n n n a p b q S p q --=+--，)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ． 分两种情况讨论．（ⅰ）1p >．∵0,01qp q p>><<， 111111111111[(1)(1)(1)()]limlim 11[(1)(1)(1)()]n nn n n nn x n n n n n n q p a q b p S p p pq S p a q b p p p p-→∞→∞-------+--=--+-- 11111111111(1)(1)(1)[()](1)lim 11(1)(1)(1)(1)[()]n nn n n n n q a q b p a q p p pp p p q a q a q b p p p p→∞-----+---=⋅=⋅=---+--．（ⅱ）1p <．∵01q p <<<，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim lim 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n S a q p b p q a q b p S a q p b p q a q b p --→∞→∞---+------===--+------22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的．．．．运输成本．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．（I ）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （II ）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 【解】本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分． （Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=（Ⅱ）依题意知,,,S a b v 都为正数，故有ab S bv vaS 2)(≥+当且仅当,bv v a=．即bav =时上式中等号成立 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小， 若c ba>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c a S bv v a S +-+)]()[(bc bv c a v a S -+-==))((bcv a v c vcS-- 因为0c v -≥，且2a bc >，故有20a bcv a bc >≥->，所以)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当v c =时等号成立， 也即当v c =时，全程运输成本y 最小．综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为bab v =； 当c bab>时行驶速度应为v c =．23．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点． （I ）证明1AD D F ⊥； （II ）求AE 与1D F 所成的角； （III ）证明面AED ⊥面11A FD ；（IV ）设12AA =，求三棱锥11F A ED -的体积11F A ED V -．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．（Ⅰ）∵1AC 是正方体，∴AD ⊥面1DC ．又1D F ⊂面1DC ，∴1AD D F ⊥．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结1,A G FG ．因为F 是CD 的中点，所以,GF AD 平行且相等，又11,A D AD平行且相等，所以11,GF A D 平行且相等， 故11GFD A 是平行四边形，11//A G D F ．设1A G 与AE 相交于点H ，则1AHA ∠是AE 与1D F 所成的角， 因为E 是1BB 的中点，所以11,Rt A AG Rt ABE GA A GAH ∆≅∆∠=∠， 从而190AHA ∠=︒，即直线AE 与1D F 所成角为直角． （Ⅲ）由（Ⅰ）知1AD D F ⊥，由（Ⅱ）知1AE D F ⊥，又ADAE A =，所以1D F ⊥面AED ．又因为1D F ⊂面11A FD ，所以面AED ⊥面11A FD ． （Ⅳ）连结1,GE GD ．∵11//FG A D ，∴//FG 面11A ED ，∴GE A D ED A G ED A F V V V 111111---==． ∵12AA =，∴S S GE A =∆1正方形ABB 1A 12321=--∆∆GBE AG A S S ． 123231311111111=⨯⨯=⨯⨯==∆--GE A GE A D ED A F S D A V V ．24．（本小题满分12分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足10x <21x a<<． （I ）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（II ）设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明102x x <．【解】本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．证明：（Ⅰ）令()()F x f x x =-．因为12,x x 是方程()0f x x -=的根，所以12()()()F x a x x x x =--．当1(0,)x x ∈时，由于12x x <，得12()()0x x x x -->，又0a >，得12()()()0F x a x x x x =-->，即()x f x <．1111212()[()]()()()[1()]x f x x x F x x x a x x x x x x a x x -=-+=-+--=-+- 因为a x x x 1021<<<<，所以12220,1()110x x a x x ax ax ax ->+-=+->->． 得1()0x f x ->．由此得1()f x x <． （Ⅱ）依题意知ab x 20-=， 因为12,x x 是方程()0f x x -=的根，即12,x x 是方程2(1)0ax b xc +-+=的根． ∴1212120()111,222a x x ax ax b b x x x a a a a+-+--+=-=-==， 因为21ax <，所以22110x a ax x =<．25．（本小题满分12分） 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．【解】本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．解法一：设圆的圆心为(,)P a b ，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为,b a由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故222r b =，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有221r a =+．从而得2221b a -=． 又点(,)P a b 到直线20x y -=的距离为52b a d -=， 所以2222222222524442()21d a b a b ab a b a b b a =-=+-≥+-+=-=，当且仅当a b =时上式等号成立，此时251d =，从而d 取得最小值．由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于222r b =知2=r ．于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=，或22(1)(1)2x y +++=．解法二：同解法一，得52b a d -=，∴d b a 52±=-， 得2225544d bd b a +±=，①将2221a b =-代入①式，整理得 01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即28(51)0d ∆=-≥，得251d ≥．∴25d 有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得22420b b ±+=．解得1b =±．将1b =±代入222r b =，得22r =．由221r a =+得1a =±．综上21,1,2a b r =±=±=． 由21a b -=知,a b 同号．于是，所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=，或22(1)(1)2x y +++=．。