张量第三章
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第三章-应变分析
3－4 体积应变
单元体的体积： dVdxdydz
变形后，体积： dV'(dxxdx)(dyydy)(dzzdz)
dxdy(d1z )(1 )(1 )
x
y
z
dxdy(d1z )
x
y
z
则，体积应变：
d' V d V d
x(1 d y d z) d
x
y
z
x d y d z
dV
d xd yd zx y z
Man◇ ._Ha!n.℡ɡ1rl。 ゜ eVer ㄨ 、 Give up沸 点 soon startˊ Sorry -aesar 凯 撒 Julietˋ Ａ m , 七 分 醒 ▌SakitIf- ExpectΜ elod y丶 低 声 、 saybetrayeiove 均 My、
queen哀 伤 之 后 After sad□ Yinkuimy、 zyO° Myへ Loveヽ ρuzzledPoison丶
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变 物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位 置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。
M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）
点的位移为MM'
z
u = x'- x = u（x，y，z）
v = y'- y = v（x，y，z）
w = z’- z = w（x，y，z）
变形后：
m'点的坐标为( x+u，y+v）
a '点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量）
b '点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）
张量分析第三章
s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步为了对张量有一个全面的了解，本章对一般曲线坐标系中的张量分析做一个初步的介绍。
3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量在一般曲线坐标系中，由于必须要用两套基矢量，因此指标要分上标和下标，在正交曲线坐标系中经常用的ij δ应分为i j δ和j i δ，ijk ε也常分为ijk ε和ijkε。
设给定曲线坐标(1q ,2q ,3q )，过空间任一点M 沿每一坐标曲线可得一个切矢量，记为i i qr g ∂∂=i g 是线性独立的矢量，在正交曲线坐标系中，选i g /ig为基矢量。
由于i g 的正交性，有ij j i j i g g g g δ =⋅。
而在一般曲线坐标系中，i g 不一定是相互正交，但任选i g为基矢量（不为单位矢量），称为协变基矢量，在协变基矢量i g的基础上，我们还可以选i g ，使得1g 与2g ，3g 正交，且111=⋅g g ，其他类似。
i g 也是一组基矢量，称为逆变基矢量，i g 与i g是正交的，他们称为互逆基矢量。
我们令j i ij g g g ⋅= j i ij g g g ⋅=i i i j j j g g g g g =⋅=⋅分别称为协变度量张量，逆变度量张量及混合度量张量。
由协变基矢量i g 与逆变基矢量i g的正交性，有i j j i i j g g g δ=⋅=逆变基矢量可以用协变基矢量表示，可以推出j ij i g g g =因为j j ik ij k ij k i k ik g g g g g g g g δ==⋅=⋅=同理有j ij i g g g =可以看到协变度量张量和逆变度量张量起着升标和降标的作用。
注意，在这里我们用了约定求和，不过这里求和中的指标应是一个是上标，另一个是下标。
由于jl il l k jl ik l k jl ik l jl k ik j i i j g g g g g g g g g g g g g g ==⋅=⋅=⋅=δδ)()(可知ij g 和ij g 互为逆矩阵。
张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
右特征矢量：
u1 0u2 u3 0
∵
u1
0u2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0u3
0
u1 0u2 u3 0
;∴
是方程组（1）的非零解。
u1 0
u
2
a
u 3 0
（a是任意实数）
uai2
A u ( i 1 i 3 i 2 i 1 i 2 i 2 i 3 i 1 ) ( a i 2 ) a i 2 1 u
（3.4-4）
（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。
或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：
d e t( A I) 0
( a )
d e t( A * I) 0
( b )
∵
d e t ( A I ) * d e t ( A * I ) d e t ( A I )
ω
1 2
e
:
A
1 2
(eijk
iii
j
ik
)
:
(
Amnimin
)
1 2
eijk
Ajk
ii
1 2
( A23i1
A31i2
A12i3
A32i1
A21i3
A13i2
)
1 2
(2A23i1
在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以 肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量第三章
和 称为度量张量。
——度量张量的协变分量或协变度量张量。
——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明： ， 是二阶张量：
又
度量张量的混变分量是单位张量，即
二、度量张量的性质和作用
1、度量张量各分量等于同名基矢量的点积。
2、度量张量是二阶对称张量。
3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。
ij度量张量的确定若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量
第三章几个基本的张量
§3.1度量张量
一、度量张量
协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为：
是 的协变分量， 是 的逆变分量。
记为：
性质:
1、若二阶张量的某种分量是对称的，则其它形式的分量也是对称的。
2、张量的对称性是不变的。
3、三维空间中，二阶对称张量有六个独立分量。
三、二阶反对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶反对称的协变张量
2、若 满足 为二阶反对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶反对称的混变张量
性质：
1、若二阶张量的某种分量是反对称的，则其它形式的分量也是反对称的。
若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系，则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量。设笛卡儿直角坐标 ，任意坐标 ， ，
对正交坐标
【例】求极坐标中度量张量的协变分量和逆变分量。
, ,
§3.2置换张量
一、置换符号 不是张量
若 是某一坐标系中的量，以笛卡儿直角坐标为新系，则
故 不是张量。
二、置换张量的构造
则 是一个三阶张量。
——度量张量的协变分量或协变度量张量。
——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明： ， 是二阶张量：
又
度量张量的混变分量是单位张量，即
二、度量张量的性质和作用
1、度量张量各分量等于同名基矢量的点积。
2、度量张量是二阶对称张量。
3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。
ij度量张量的确定若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量
第三章几个基本的张量
§3.1度量张量
一、度量张量
协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为：
是 的协变分量， 是 的逆变分量。
记为：
性质:
1、若二阶张量的某种分量是对称的，则其它形式的分量也是对称的。
2、张量的对称性是不变的。
3、三维空间中，二阶对称张量有六个独立分量。
三、二阶反对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶反对称的协变张量
2、若 满足 为二阶反对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶反对称的混变张量
性质：
1、若二阶张量的某种分量是反对称的，则其它形式的分量也是反对称的。
若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系，则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量。设笛卡儿直角坐标 ，任意坐标 ， ，
对正交坐标
【例】求极坐标中度量张量的协变分量和逆变分量。
, ,
§3.2置换张量
一、置换符号 不是张量
若 是某一坐标系中的量，以笛卡儿直角坐标为新系，则
故 不是张量。
二、置换张量的构造
则 是一个三阶张量。
张量分析3
第三章 张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。
张量的协变导数是本章讨论的重点。
§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。
（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。
下面分别进行讨论。
一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。
从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。
若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。
（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。
张量分析第3次课3
r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm
张量分析及其应用
或
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
ee121211
12 22
1233ee12
e3 31 31 33e3
ei iiei （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
可见：
e ijk e jk i e k ij e jik e ik j e k ji
e i j k 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2, e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
则
ei ej eijkek
常见的恒等式
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
ee121211
12 22
1233ee12
e3 31 31 33e3
ei iiei （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
可见：
e ijk e jk i e k ij e jik e ik j e k ji
e i j k 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2, e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
则
ei ej eijkek
常见的恒等式
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第三章几个基本的张量
§3.1度量张量
一、度量张量
协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为：
是 的协变分量， 是 的逆变分量。
和 称为度量张量。
——度量张量的协变分量或协变度量张量。
——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明： ， 是二阶张量：
又
度量张量的混变分量是单位张量，即
二、度量张量的性质和作用
1、度量张量各分量等于同名基矢量的点积。
2、度量张量是二阶对称张量。
3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。
由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。
4、度量张量是坐标微分二次型的系数
类似的，
3、面元
由两个线元矢量 和 组成的面元矢量为
4、力矩。
设过某点A的力矢量为 ，点A相对于某点O的位置矢量为 ，则 对O点力矩矢量 为体元。
的物理意义。
——协变基矢量为棱的平行六面体体积。
——逆变基矢量为棱的平行六面体体积。
若三个线元矢量取得和基矢量一致，则：
若线元矢量不与协变基矢量一致，令
， ， （ ）
9、在欧几里德空间，度量张量 是正交的。
总可以通过坐标变换将其变换成上述形式，故 是正定的。
10、度量张量 的行列式及其坐标变换
标架变换时：
记
则
g是标量函数，但在两个参照系中的值是不同的。伪标量。
三、度量张量的确定
若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系，则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量。设笛卡儿直角坐标 ，任意坐标 ， ，
对正交坐标
【例】求极坐标中度量张量的协变分量和逆变分量。
, ,
§3.2置换张量
一、置换符号 不是张量
若 是某一坐标系中的量，以笛卡儿直角坐标为新系，则
故 不是张量。
二、置换张量的构造
则 是一个三阶张量。
证明：设笛卡儿直角坐标系为新坐标系。
（ 表示在特殊坐标系成立的等式）
即 是一个三阶协变张量。
又
三、置换张量的性质及原因
1、任何一个二阶张量可唯一的表示为一个对称张量和一个反对称张量之和。利用置换张量可将对称和反对称张量表示为：
若 是非对称张量，则 表示将其反对称部分分离出来。
2、分解为球张量和偏张量
对 记 则
为 的球张量
为 的偏张量。
或者
§3.4 二阶张量
一、二阶张量矩阵表示
二、二阶对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶对称的协变张量
2、若 满足 j为二阶对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶对称的混变张量
记为：
性质:
1、若二阶张量的某种分量是对称的，则其它形式的分量也是对称的。
2、张量的对称性是不变的。
3、三维空间中，二阶对称张量有六个独立分量。
设坐标微分dxi，空间线元 ，则：
5、度量张量确定空间两矢量的夹角
又
又
6、度量张量确定矢量的逆变分量和协变分量之间的关系。
即 起着下降某个指标作用， 则上升某个指标。
7、度量张量的混变分量是单位张量
上式在任何参照标架中都成立。
8、在正交坐标系中度量张量的性质。
正交坐标系中，
笛卡儿直角坐标系中,
， ， （不求和）
1、置换张量是关于任意一对指标的反对称量。
2、置换张量的分量与坐标系选择有关。
3、关于 ， 与 的几个关系式：
二维置换张量
即
4、利用置换张量展开行列式
类似的
对二阶行列式
§3.3一阶张量——矢量
用张量方法研究矢量，其结果属于任何坐标系。
一、点积
1、点积
2、矢量长度
3、线元长度
二、叉积
1、基矢量叉积
2、矢量叉积
三、二阶反对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶反对称的协变张量
2、若 满足 为二阶反对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶反对称的混变张量
性质：
1、若二阶张量的某种分量是反对称的，则其它形式的分量也是反对称的。
2、张量的反对称性质是不变的。
3、三维空间中，二阶反对称张量有三个独立分量。
四、二阶张量的分解
§3.1度量张量
一、度量张量
协变基矢量的逆变分量和逆变基矢量的协变分量是单位张量。若把每个基矢量看成是异名基矢量所构成的参照标架的一个特殊矢量，则可以表示为：
是 的协变分量， 是 的逆变分量。
和 称为度量张量。
——度量张量的协变分量或协变度量张量。
——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明： ， 是二阶张量：
又
度量张量的混变分量是单位张量，即
二、度量张量的性质和作用
1、度量张量各分量等于同名基矢量的点积。
2、度量张量是二阶对称张量。
3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按一对指标求和等于单位张量。
由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。
4、度量张量是坐标微分二次型的系数
类似的，
3、面元
由两个线元矢量 和 组成的面元矢量为
4、力矩。
设过某点A的力矢量为 ，点A相对于某点O的位置矢量为 ，则 对O点力矩矢量 为体元。
的物理意义。
——协变基矢量为棱的平行六面体体积。
——逆变基矢量为棱的平行六面体体积。
若三个线元矢量取得和基矢量一致，则：
若线元矢量不与协变基矢量一致，令
， ， （ ）
9、在欧几里德空间，度量张量 是正交的。
总可以通过坐标变换将其变换成上述形式，故 是正定的。
10、度量张量 的行列式及其坐标变换
标架变换时：
记
则
g是标量函数，但在两个参照系中的值是不同的。伪标量。
三、度量张量的确定
若知道了某种坐标与笛卡儿直角坐标的关系，则可以很方便地求出这种坐标中的度量张量。设笛卡儿直角坐标 ，任意坐标 ， ，
对正交坐标
【例】求极坐标中度量张量的协变分量和逆变分量。
, ,
§3.2置换张量
一、置换符号 不是张量
若 是某一坐标系中的量，以笛卡儿直角坐标为新系，则
故 不是张量。
二、置换张量的构造
则 是一个三阶张量。
证明：设笛卡儿直角坐标系为新坐标系。
（ 表示在特殊坐标系成立的等式）
即 是一个三阶协变张量。
又
三、置换张量的性质及原因
1、任何一个二阶张量可唯一的表示为一个对称张量和一个反对称张量之和。利用置换张量可将对称和反对称张量表示为：
若 是非对称张量，则 表示将其反对称部分分离出来。
2、分解为球张量和偏张量
对 记 则
为 的球张量
为 的偏张量。
或者
§3.4 二阶张量
一、二阶张量矩阵表示
二、二阶对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶对称的协变张量
2、若 满足 j为二阶对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶对称的混变张量
记为：
性质:
1、若二阶张量的某种分量是对称的，则其它形式的分量也是对称的。
2、张量的对称性是不变的。
3、三维空间中，二阶对称张量有六个独立分量。
设坐标微分dxi，空间线元 ，则：
5、度量张量确定空间两矢量的夹角
又
又
6、度量张量确定矢量的逆变分量和协变分量之间的关系。
即 起着下降某个指标作用， 则上升某个指标。
7、度量张量的混变分量是单位张量
上式在任何参照标架中都成立。
8、在正交坐标系中度量张量的性质。
正交坐标系中，
笛卡儿直角坐标系中,
， ， （不求和）
1、置换张量是关于任意一对指标的反对称量。
2、置换张量的分量与坐标系选择有关。
3、关于 ， 与 的几个关系式：
二维置换张量
即
4、利用置换张量展开行列式
类似的
对二阶行列式
§3.3一阶张量——矢量
用张量方法研究矢量，其结果属于任何坐标系。
一、点积
1、点积
2、矢量长度
3、线元长度
二、叉积
1、基矢量叉积
2、矢量叉积
三、二阶反对称张量及其性质
定义：
1、若 满足 为二阶反对称的协变张量
2、若 满足 为二阶反对称的逆变张量
3、若 满足 为二阶反对称的混变张量
性质：
1、若二阶张量的某种分量是反对称的，则其它形式的分量也是反对称的。
2、张量的反对称性质是不变的。
3、三维空间中，二阶反对称张量有三个独立分量。
四、二阶张量的分解