周期现象、角的概念的推广及弧度制题目与答案

第一章三角函数§1周期现象§2角的概念的推广1、问题导航（1)连续抛一枚硬币,面值朝上我们记为0,面值朝下我们记为1，数字0与1就是否会周期性地重复出现？(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对不？（3)在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到x轴的正半轴所形成的角为90°,这种说法就是否正确？2、例题导读P4例1，例2，例3、通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象就是否为周期现象、试一试:教材P5习题1－1 T1，T2,T3您会不?P7例1、通过本例学习,学会判断一个角就是第几象限角、试一试：教材P8习题1－2 T1,T2您会不？P7例2、通过本例学习，学会写出终边落在坐标轴上的角的集合、P8例3、通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素、试一试：教材P8习题1－2 T3,T4您会不？1、周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象、2、任意角(1)角的概念角可以瞧成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形、(2）角的分类名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么，角的终边（除端点外)在第几象限，我们就说这个角就是第几象限角、若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角、(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角｛α｜k·360°〈α<k·360°＋90°，k∈Z｝第二象限角｛α|k·360°＋90°〈α<k·360°＋180°，k∈Z｝第三象限角{α|k·360°＋180°<α〈k·360°＋270°,k∈Z}第四象限角｛α｜k·360°＋270°〈α<k·360°＋360°,k∈Z｝轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角{α|α＝k·360°，k∈Z｝终边落在x轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在x轴上的角｛α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上的角{α｜α＝k·360°＋90°,k∈Z｝终边落在y轴的非正半轴上的角{α｜α＝k·360°－90°，k∈Z｝终边落在y轴上的角｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在坐标轴上的角{α|α＝k·90°,k∈Z}所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k×360°,k ∈Z｝，即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的与、1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”)（1）钟表的秒针的运动就是周期现象、()（2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数就是周期现象、（）（3)钝角就是第二象限的角、（)(4)第二象限的角一定比第一象限的角大、(）（5）终边相同的角不一定相等、（）解析：（1）正确、秒针每分钟转一圈,它的运动就是周期现象、（2)错误、虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同,故不就是周期现象、（3)正确、大于90°而小于180°的角称为钝角,它就是第二象限角、（4)错误、100°就是第二象限角，361°就是第一象限角，但100°〈361°、（5)正确、终边相同的角可以相差360°的整数倍、答案:(1）√(2)×(3)√（4）×（5)√2、小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能就是（)A、26B、32C、36D、41解析：选D、由十二生肖知,属相就是12年循环一次，故选D、3、已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°;④495°，其中就是第二象限角的就是（）A、①②B、①③C、②③D、②④解析：选D、－120°就是第三象限角;－240°就是第二象限角；180°角不在任何一个象限内;495°＝360°＋135°,所以495°就是第二象限角、4、在0°到360°之间与－120°终边相同的角就是________、解析:与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°（k∈Z）、由0°≤－120°＋k·360°〈360°,k∈Z，得错误!≤k<错误!、又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°、答案：240°1、对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性,例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦-望-下弦—朔;潮汐变化的周期性，即海水在月球与太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等、2、对角的概念的两点说明（1)角就是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边与终边要区分，不能混淆、（2）在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点:①要明确旋转方向;②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置、3、角的分类(1）按旋转方向划分时,先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量、如射线OA绕端点O逆时针旋转290°到OB的位置,则∠AOB＝290°、(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论、当角的终边落在坐标轴上时,这个角可以称为象限界角或轴线角、4、任意角概念的四个关注点周期现象的判断判断下列现象就是否就是周期现象、(1)地球自转;(2)某地每年一月份的降雨量；(3)世界杯足球赛的举办时间、(链接教材P4例1，例2，例3)［解](1)就是周期现象、因为地球每24小时自转一周,所以地球自转就是周期现象、(2）不就是周期现象、某地每年一月份的降雨量就是随机的,不就是周期性重复出现的、(3)就是周期现象、世界杯足球赛每隔四年举办一届，就是周期性重复出现的、方法归纳判断某现象就是否为周期现象的依据就是周期现象的特征,即每次都以相同的间隔（比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象就是无差别的重复出现、1、(1)试判断下列现象中就是否就是周期现象、①一年二十四节气的变化;②候鸟迁徙；③“随机数表”中数的排列、（2)我们的心跳都就是有节奏的、有规律的,心脏跳动时,血压在增大或减小、下表就是t/s51015202530p/mmHg93、35136、6511593、35136、65115t/s354045505560p/mmHg93、35136、6511593、35136、65115①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图;②说明血压变化的规律、解:（1)①一年二十四节气就是重复出现的，就是周期现象、②候鸟迁徙就是周期现象、③随机数表中的数0，1，2,…，9就是随机出现的，不就是周期现象、（2）①散点图如图、②从散点图可以瞧出,每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值,因此，血压就是呈周期性变化的、象限角的判断（1)给出下列四个结论：①－15°就是第四象限角；②185°就是第三象限角；③475°就是第二象限角；④－350°就是第一象限角、其中正确的个数为()A、1B、2C、3D、4（2)若α就是第一象限角,则－α就是第________象限角、（3）已知α＝－1 910°,把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°）的形式,并指出它就是第几象限的角、(链接教材P7例1）［解](1）选D、①－15°就是第四象限角;②180°〈185°<270°就是第三象限角;③475°＝360°＋115°,而90°〈115°〈180°,所以475°就是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°就是第一象限角,所以四个结论都就是正确的、（2)因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示、所以－α的终边在第四象限、故填四、（3)法一:作除法运算，注意余数必须非负,得：－1 910÷360＝－6……250,所以α＝250°－6×360°,它就是第三象限的角、法二:设α＝β＋k·360°(k∈Z），则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z),令0°≤－1 910°－k·360°〈360°，解得－6错误!〈k≤－错误!＝－5错误!，k∈Z、所以k的最大整数解为k＝－6,求出相应的β＝250°,于就是α＝250°－6×360°,它就是第三象限的角、在本例（3)中,写出与β的终边互为反向延长线的角γ,并指出它就是第几象限的角、解：当β＝250°时,γ＝250°＋180°＋k·360°＝70°＋（k＋1)·360°＝70°＋k′·360°（其中k′＝k＋1,k∈Z）、即γ＝70°＋n·360°，n∈Z,γ就是第一象限的角、方法归纳判断α就是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β（k∈Z，0°≤β〈360°）的形式、第二步，判断β的终边所在的象限、第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限、2、若角α满足α＝45°＋k·180°,k∈Z，则角α的终边落在（）A、第一或第三象限B、第一或第二象限C、第二或第四象限D、第三或第四象限解析:选A、当k＝0时,α＝45°,此时α为第一象限角；当k＝1时,α＝225°,此时α就是第三象限角,故选A、终边落在过原点的直线上的角写出终边在直线y＝x上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°〈β〈720°的元素β写出来、(链接教材P7例2,P8例3)[解]如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°,225°、因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝｛β｜β＝45°＋k·360°,k∈Z}∪{β｜β＝225°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β|β＝45°＋2k·180°,k∈Z}∪{β｜β＝45°＋(2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝45°＋n·180°，n∈Z｝、由于－360°〈β〈720°，即－360°〈45°＋n·180°〈720°,n∈Z,解得－错误!<n〈错误!，n∈Z、所以n＝－2，－1，0，1，2，3、所以S中适合不等式－360°〈β<720°的元素就是45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°,45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°,45°＋3×180°＝585°、方法归纳（1）写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合,方法步骤就是:①在直角坐标系中画出该直线;②在0°~360°范围内找出满足条件的角;③写出满足条件的角的集合，并注意化简、（2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式,确定出n的取值,再逐一代入计算、3、已知角β的终边在直线y＝－x上、（1）写出角β的集合S;（2）写出S中适合不等式－360°〈β<720°的元素、解：（1)如图,直线y＝－x过原点,它就是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°,315°、因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝｛β|β＝135°＋k·360°,k∈Z｝∪｛β｜β＝315°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋（2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β｜β＝135°＋n·180°,n∈Z｝、(2）由于－360°<β<720°,即－360°〈135°＋n·180°<720°,n∈Z、解得－错误!<n<错误!，n∈Z、所以n＝－2，－1，0,1,2，3、所以集合S中适合不等式－360°〈β〈720°的元素为：135°－2×180°＝－225°;135°－1×180°＝－45°;135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°；135°＋2×180°＝495°;135°＋3×180°＝675°、区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分（实线包括边界,虚线不包括边界）的角的集合、[解］（1)由题图(1)可知,阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角,与l2终边相同的角有310°角、所以题图（1）阴影部分中角的集合为S＝{α｜60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°,k∈Z}、(2)由题图(2）知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1＝{α｜45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}、第三象限内阴影部分中角的集合为S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z｝、所以所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°,k∈Z}∪{α｜45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z｝、(3)由题图(3）知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1,与l2终边相同的角有－30°角,与l1终边相同的角有30°角、所以题图(3)阴影部分中角的集合为S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°,k∈Z｝、方法归纳区域角就是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角、其写法可分为三步(1）先按逆时针的方向找到这个区域的起始与终止边界、(2)按由小到大分别标出起始与终止边界对应的－360°到360°范围内的角α与β,写出最简区间｛x｜α〈x<β}、（3）根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α,β加上k·360°（k∈Z）、4、(1）如图所示,写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合、(2)已知集合A＝{α|30°＋k×180°〈α<90°＋k×180°，k∈Z},B＝｛β｜－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°,k∈Z}、①试在平面直角坐标系内画出集合A与B中的角的终边所在的区域；②求A∩B、解：(1）终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k ·360°＋135°〈α≤k ·360°＋180°，k ∈Z ｝，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k ·360°－15°≤α≤k ·360°，k ∈Z },所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜k ·360°＋135°〈α≤k ·360°＋180°或－15°＋k ·360°≤α≤k ·360°,k ∈Z }、（2）①如图所示：集合A 中的角的终边在阴影（Ⅰ)内，集合B 中的角的终边在阴影（Ⅱ)内、②集合A ∩B 中的角的终边在阴影（Ⅰ)与(Ⅱ)的公共部分内，所以A ∩B ＝｛γ|30°＋k ×360°<γ<45°＋k ×360°,k ∈Z }、易错警示 因未能正确理解象限角而出错 已知α就是第三象限角，则错误!就是第几象限角?[解] 因为α就是第三象限角,所以180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z ),所以60°＋k ·120°<错误!<90°＋k ·120°(k ∈Z )、当k ＝3n （n ∈Z )时，60°＋n ·360°〈α3〈90°＋n ·360°(n ∈Z ）， 所以错误!就是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z ）时，180°＋n ·360°〈α3〈210°＋n ·360°(n ∈Z ），所以错误!就是第三象限的角；当k ＝3n ＋2（n ∈Z )时,300°＋n ·360°<错误!<330°＋n ·360°(n ∈Z ），所以错误!就是第四象限的角、所以错误!就是第一、三、四象限的角、[错因与防范］ (1)仅以180°<α〈270°表示第三象限角就是出错的主要原因、(2)分类讨论：已知角α所在的象限，要求错误!(n ∈N ＋)所在的象限,应把角α写成k ·360°＋β〈α<k ·360°＋γ（k ∈Z ）的形式，再求出k ·360°n＋错误!<错误!<k ·错误!＋错误!(k ∈Z ,n ∈N ＋)，分别取k ＝0,1,2，…,n －1，即可确定错误!所在的象限、（3)几何法(八卦图法)几何法判定错误!,错误!，…，错误!角的终边所在象限的具体步骤如下:先将直角坐标系各象限平均分成n 份，再从x 轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3,4,1，2,3,4，…,直至填充所有区域,最后由α原来就是第几象限角对应的标号所在象限，即为错误!终边所在象限、5、（1）已知α为第三象限角,则错误!所在的象限就是（ ）A 、第一或第二象限B 、第二或第三象限C 、第一或第三象限D 、第二或第四象限（2)已知θ角的终边与168°角的终边相同，则在0°~360°范围内终边与错误!角的终边相同的角就是________、解析:（1）法一：因为α为第三象限角,所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ,所以k ·180°＋90°<错误!<k ·180°＋135°，k ∈Z 、当k ＝2n (n ∈Z )时，有n ·360°＋90°<错误!〈n ·360°＋135°,n ∈Z ,此时错误!就是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z ）时,有n ·360°＋270°<错误!<n ·360°＋315°,n ∈Z ，此时错误!就是第四象限角、所以错误!就是第二或第四象限角、法二:（八卦图法)如图阴影部分(不包含边界）所示,α2所在的象限就是第二或第四象限、 (2)由已知,得θ＝k ·360°＋168°，k ∈Z ,所以错误!＝k ·120°＋56°，k ∈Z 、又因为0°≤k ·120°＋56°〈360°,满足上式的k 值为k ＝0,1,2，所以在0°～360°范围内，终边与θ3角的终边相同的角就是56°，176°,296° 答案:（1)D (2）56°,176°,296°1、下列现象不就是周期现象的就是( )A 、挂在弹簧下方做上下振动的小球B 、游乐场中摩天轮的运行C 、抛一枚骰子,向上的数字就是奇数D 、太阳的东升西落解析：选C 、A ，B ，D 所述都就是周期现象,而C 中“向上的数字就是奇数"不就是周期现象、2、下列各角中与330°角终边相同的角就是( )A 、510°B 、150°C 、－150°D 、－390°解析:选D 、所有与330°角终边相同的角可表示为α＝330°＋k ·360°,当k ＝－2时,得α＝－390°，故选D 、3、从13：00到14:00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________、 解析:经过1小时，时针顺时针转过了30°,分针顺时针转过了360°、答案：－30° －360°4、若α＝－510°,则α就是第________象限角、解析：由于α＝－510°＝－2×360°＋210°,所以α就是第三象限角、答案:三［A 、基础达标］1、下列说法正确的就是( )A 、终边相同的角都相等B 、钝角比第三象限角小C 、第一象限角都就是锐角D 、锐角都就是第一象限角解析：选D 、终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等,故A 错误;钝角并不一定比第三象限角小，如－135°就是第三象限角,显然－135°比钝角小,故B 错；锐角一定就是第一象限角,但第一象限角未必都就是锐角，故D 正确,C 错误、2、某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉,其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,那么第2 015盆花的颜色为（）A、红B、黄C、紫D、白解析:选C、因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放,所以以4为一个周期,则2 015÷4＝503……3，所以第2 015盆花为紫色、3、－495°角的终边所在的象限就是(）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限解析：选C、－495°＝－2×360°＋225°,因为225°就是第三象限角,所以－495°就是第三象限角、4、终边与坐标轴重合的角α的集合就是（)A、{α|α＝k·360°，k∈Z｝B、{α|α＝k·180°＋90°,k∈Z｝C、{α｜α＝k·180°，k∈Z}D、{α｜α＝k·90°，k∈Z}解析：选D、终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α｜α＝k·180°,k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°,k∈Z},因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z｝、5、在直角坐标系中,若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α与β的终边关于y轴对称，则α与β关系为()A、α＋β＝360°B、α＋β＝（2k－1）·180°（k∈Z）C、α＋β＝k·180°（k∈Z）D、α＋β＝k·360°(k∈Z)解析:选B、如图所示,因为α与β的终边关于y轴对称，所以α角的终边逆时针旋转（180°－2α）就与β角终边重合、所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，所以α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）·180°(k∈Z)、因为当k为整数时,2k－1与2k＋1都表示奇数,所以α＋β＝（2k－1)·180°（k∈Z)、6、今天就是星期二,从今天算起，27天后的那一天就是星期________,第50天就是星期________、解析:每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天就是星期一;50＝7×7＋1,故第50天就是星期二、答案：一二7、与2 015°角的终边相同的最小正角就是________、解析:因为2 015°＝5×360°＋215°,所以215°为最小正角、答案：215°8、设集合M＝｛α｜α＝－36°＋k·90°,k∈Z｝，N＝{α|－180°〈α〈180°｝,则M∩N ＝________、解析:对于M,当k＝－1时,α＝－126°；当k＝0时,α＝－36°；当k＝1时,α＝54°;当k＝2时，α＝144°,故M∩N＝{－126°，－36°，54°,144°}、答案：｛－126°，－36°,54°,144°}9、如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合,并指出－950°12′就是否就是该集合中的角、解：阴影部分(包括边界)的角的范围就是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z,所求集合为{α｜k·360°≤α≤k·360°＋125°,k∈Z},因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不就是该集合中的角、10、已知角β的终边在直线错误!x－y＝0上，写出角β的集合S、解：如图,直线错误!x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角就是240°,所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝｛β|β＝60°＋k·360°,k∈Z｝，S2＝｛β｜β＝240°＋k·360°,k∈Z｝、所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β｜β＝60°＋k·360°,k∈Z}∪｛β|β＝60°＋180°＋k·360°,k∈Z}＝｛β｜β＝60°＋2k·180°，k∈Z｝∪{β|β＝60°＋（2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β｜β＝60°＋n·180°，n∈Z}、[B、能力提升］1、若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°,k∈Z},N＝｛x|x＝90°＋k·45°,k∈Z}，则（)A、M＝NB、N MC、M ND、M∩N＝∅解析：选C、M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝｛x|x＝（2k＋1)·45°，k∈Z},N＝｛x|x＝90°＋k·45°,k∈Z｝＝{x|x＝（k＋2）·45°,k∈Z}、因为k∈Z,所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，所以M N,故选C、2、如图所示,变量y随x的变化呈周期性变化、在区间［－1，11]上,直线y＝错误!与函数y＝f(x）的图像交点的个数为（)A、10B、12C、13D、15解析:选B、由图可知周期为2,区间［－1,11］的长度为6个周期，在每个周期内y＝错误!与y＝f（x）的交点有2个,故所求交点个数为2×6＝12、3、若角α满足180°〈α〈360°，角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边，那么角α＝________、解析:由于5α与α的始边与终边相同，所以这两角的差应就是360°的整数倍,即5α－α＝4α＝k·360°、又180°<α〈360°,令k＝3，得α＝270°、2016高中数学人教A版必修四第一章 1周期现象、 2角的概念的推广 Word练习题含答案答案：270°4、有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列、则第100个图片的颜色就是________、解析：由图可知,第5个,第10个,第15个,……第5n个均为黑色圆片、100＝5×20,因此第100个圆片为黑色、答案:黑色5、(1）已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,指出下列各角就是第几象限角,以及0°～360°范围内与其终边相同的角、a、485°;b、－35°；c、770°;d、－500°、(2)若β就是第四象限角,试确定180°－β就是第几象限角、解析:(1）a、485°＝125°＋360°,所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角就是125°，所以485°就是第二象限角、b、－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内,与－35°终边相同的角就是325°,所以－35°就是第四象限角、c、770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内,与770°终边相同的角就是50°,所以770°就是第一象限角、d、－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角就是220°,所以－500°就是第三象限角、(2）因为β就是第四象限角，所以－90°＋k·360°〈β<k·360°（k∈Z）,所以－k·360°<－β<90°－k·360°（k∈Z）,所以180°－k·360°〈180°－β〈270°－k·360°(k∈Z),所以180°－β就是第三象限角、6、(选做题）如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°、点P从点A出发,按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转、已知点P在1 s内转过的角度为θ（0°〈θ〈180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A,求角θ并判定其终边所在的象限、解:由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，则θ＝错误!,k∈Z、又180°<2θ＋45°<270°,即67、5°〈θ<112、5°，则67、5°〈错误!<112、5°,k∈Z,所以k＝3或k＝4、故θ＝错误!或θ＝错误!、易知0°〈错误!〈90°，90°<错误!<180°，故角θ的终边在第一或第二象限、。

任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。

§3 弧度制 3．1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练知识点一 弧度制与角度制1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径长D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12 ；(4)－11π5.知识点二 用弧度制表示角3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为( )A ．－3π－π6B ．－4π＋150°C ．－3π－30° D．－4π＋5π64．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.知识点三 扇形的弧长与面积的计算5．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为165°，则扇形的弧长为( )A ．10π cm B．11π cm C ．55π6 cm D ．28π3cm6．某扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是( ) A ．6π B ．3π C．12π D ．9π 7．已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求该弧所在的弓形的面积． (2)若扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？关键能力综合练一、选择题1．(易错题)亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．π3B ．－π3C ．5π3D ．－5π32．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4 －8π B．74 π－8πC ．π4 －10π D．74π－10π3．若α＝－2π3＋k π，k ∈Z ，则α终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限4．若扇形的周长是16，圆心角是360π度，则扇形的面积是( )A ．16B ．32C ．8D ．64 5．下列结论错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8radB ．－10π3rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6radD ．π12rad 化成度是15° 二、填空题6．已知α＝1 690°，把α写成2k π＋β(其中k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式为________________，θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝________．7．(探究题)已知2k π＋2π3 <α<2k π＋5π6 (k ∈Z )，则α2为第________象限角．8．折扇(如图1)是我国传统文化的延续，已有四千年左右的历史．图2为其结构简化图，在扇面ABCD 中，延长DA ，CB 交于点O ，已知OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则该扇面ABCD 的面积为________ cm 2.三、解答题9．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5 rad ，β2＝－π3rad.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边分别相同的所有角．学科素养升级练1.(多选题)已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则( )A ．该扇形的弧长为π2B ．该扇形的弧长为π4C ．该扇形的面积为5π2D ．该扇形的面积为5π42．(学科素养——数学运算)在一块顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中的扇形面积的大小．§3 弧度制 3．1 弧度概念3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练1．答案：D解析：由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，而长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，选项D 的说法错误，很明显选项A 、B 、C 的说法正确．故选D.2．解析：(1)20°＝20×π180 ＝π9 .(2)－15°＝－15×π180 ＝－π12；(3)7π12 ＝7π12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝105°；(4)－11π5 ＝－11π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－396°.3．答案：D解析：－570°＝－2×360°＋150°，而150°＝150×π180 ＝5π6，所以－570°可化为－4π＋5π6.故选D.4．解析：(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴角－1 500°与角5π3终边相同，是第四象限角．(2)23π6 ＝2π＋11π6 ，∴角23π6 与角11π6终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴角－4与角2π－4终边相同，是第二象限角． 5．答案：C解析：∵165°＝π180 ×165＝11π12 ，∴扇形的弧长l ＝11π12 ×10＝55π6(cm).故选C.6．答案：A解析：60°＝60×π180 ＝π3 rad ，扇形面积S ＝12 ×π3×62＝6π.故选A.7．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S .∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴S ＝12 ×π3 ×102－34 ×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253 cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，则l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R (0<R <10).∴扇形的面积S ＝12 lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ，∴当R ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时，l ＝10 cm ，α＝l R＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形的面积最大．关键能力综合练1．答案：B解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－16 ×2π＝－13π.故选B.2．答案：D解析：∵－1 485°＝－5×360°＋315°，2π rad＝360°，315°＝74π rad.∴－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.故选D.3．答案：B解析：∵－2π3 角的终边在第三象限，则反向延长其终边在第一象限，故α＝－2π3＋k π，k ∈Z 在一、三象限．故选B.4．答案：A解析：因为360π度等于2弧度，所以扇形的弧长l ＝2r ，因为扇形的周长是16，所以l ＋2r ＝16，所以r ＝4，l ＝8.因此扇形的面积是12 lr ＝12×8×4＝16.故选A.5．答案：C解析：对于A ，67°30′＝67.5×π180 ＝3π8 ，结论正确；对于B ，－10π3＝(－10π3 )×180°π ＝－600°，结论正确；对于C ，－150°＝－150×π180 ＝－5π6，结论错误；对于D ，π12 ＝π12 ×180°π＝15°，结论正确．故选C.6．答案：4×2π＋25π18 －47π18解析：α＝1 690°＝1 440°＋250°＝8π＋25π18，所以α＝4×2π＋25π18.依题意，有θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )，由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2k π＋25π18 <－2π.又k ∈Z ，所以k ＝－2，所以θ＝－47π18.7．答案：一或三解析：由已知，得k π＋π3 <α2 <k π＋5π12 (k ∈Z )，当k 为偶数时，α2 为第一象限角，当k 为奇数时，α2 为第三象限角，故α2为第一或三象限角．8．答案：800解析：因为OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则弧AB 的长度为20 cm ，则该扇面ABCD 的面积为S ＝S 扇形OCD －S 扇形OAB ＝12 ×60×30－12 ×10×20＝800 cm 2.9．解析：(1)α1＝－570°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－570×π180 rad ＝－19π6 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×2π＋5π6 rad ，α2＝750°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫750×π180 rad ＝25π6 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π＋π6 rad ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5 rad ＝3π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°<β<0°的元素是108°－2×360°＝－612°，108°－1×360°＝－252°，∴在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°和－252°.β2＝－π3rad ＝－π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }．T 中适合－720°<β<0°的元素是－60°－1×360°＝－420°， ∴在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－420°.学科素养升级练1．答案：AD解析：由题意得该扇形的弧长为π10 ×5＝π2 ，面积为12 ×π2 ×5＝5π4，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选AD.2．解析：(1)∵△OAB 是顶角为2π3、腰长为2的等腰三角形，∴∠A ＝∠B ＝π6，OM ＝ON ＝1.方案一中扇形的周长L 1＝2＋2＋2×π6 ＝4＋π3 ，方案二中扇形的周长L 2＝1＋1＋1×2π3 ＝2＋2π3，∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋π3 )－(2＋2π3 )|＝2－π3.(2)方案一中扇形的面积S 1＝12 ×π6 ×22＝π3 ，方案二中扇形的面积S 2＝12 ×2π3 ×12＝π3，∴S 1＝S 2，即两种方案中扇形的面积相等．。

角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一 角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。

1。

1 周期现象1。

2 角的概念的推广典题精讲例1走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性摆动，那么,手臂的周期摆动满足什么规律呢?思路分析：由于每隔一定时间，手臂来回摆动，此现象是周期现象.答案：如图1-（1，2）—1,以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置,设θ=∠PON为摆动的幅角,而y为P点离开直线ON的水平距离,r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ。

图1-(1，2）-1绿色通道:如果一个现象每隔相同的一段,总是来回重复出现，那么这个现象是周期现象，就可以用周期函数来刻画。

变式训练“春去春又回”是周期现象吗？若是，请说出其周期。

思路分析：每隔一年,春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象。

设春天是否到来为变量y，时间为t，则y是t的周期函数，一年是一个周期，也是最小正周期。

答案:“春去春又回”是周期现象，周期为一年.例2在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角。

（1)908°28′；（2）—734°。

思路分析:将题中角化成α+k·360°（k∈Z），α∈［0°,360°)的形式即可.解:（1）908°28′=188°28′+2×360°,则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限角.（2)—734°=346°—3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角,从而—734°也是第四象限角。

绿色通道:一般地，化角β为α+k·360°（k∈Z）时，可由β除以360°来确定k及α的值，对不合要求的α可以通过修正k来进一步求解.变式训练在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S。

角的概念的推广，弧度制，任意角的三角函数[本周教学重点]理解角的定义，掌握正角、负角、零角以及象限角、终边相同角的概念，会写出各个象限角及终边相同角的集合的表达式。

理解弧度制的定义，正确进行角度制与弧度制之间的换算，清楚用弧度制度量角，使角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系。

熟记任意角的六个三角函数值的定义，会确定三角函数的定义域，掌握各象限角的三角函数值的符号结论，能正确作出已知角的正弦线，余弦线，正切线。

1. 角的概念的推广①角的定义：一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角。

射线的端点叫角的顶点，旋转开始时的射线叫角的始边，旋转结束时的射线叫角的终边。

②正角，负角，零角正角：射线按逆时针方向旋转所成的角叫正角。

负角：射线按顺时针方向旋转所成的角叫负角。

零角：射线不作任何方向的旋转，称它形成一个零角。

③象限角：让角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限的角。

第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合轴上角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，终边在坐标轴上的角叫轴上角。

轴上角的集合象限角与轴上角是对角的集合的一种划分{角}={象限角}∪{轴上角}④终边相同的角的集合2. 弧度制①定义：弧长等于半径长时弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

②弧度与角度的互化360°=2弧度，180°=弧度，③弧度制下弧长公式与扇形面积公式设圆半径长为r，弧所对圆心角(或扇形)弧度数为，弧长为，扇形面积为S，则3. 任意角三角函数①定义：设是一个任意角，P是终边上除顶点外任意一点，其坐标为(x，y)，它与原点间距离为比值比值比值比值比值比值②三角函数定义域正弦函数定义域为R余弦函数定义域为R正切函数③三角函数值的符号④单位圆中三角函数线角终边依次在四个象限内时有向线段MP，OM，AT依次叫角的正弦线，余弦线，正切线即[本周教学例题]例1.判断下列各命题的真假(1)第一象限角是锐角，第二象限角是钝角；(2)小于90°的角是锐角，大于90°的角是钝角；(3)第二象限的角大于第一象限的角；(4)大于0°且小于180°的角是第一象限或第二象限的角。

高一数学角的概念的推广试题1.如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（）。

A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴分针拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=【考点】本题主要考查弧度制，集合的关系。

点评：分针转过的角是负角，但这里是将分针拨慢。

2.用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为。

【答案】【解析】终边落在X轴上的角集为{α|α=k•180°，K∈Z}；终边落在Y轴上的角集为{α|α=k•180°+90°，K∈Z}；即{α|α=2k•90°，K∈Z}，{α|α=（2k+1）·90°，K∈Z}，所以可化简为{α|α=n•90°，n∈Z}，即。

【考点】本题主要考查弧度制，轴线（象限界）角的概念及表示。

点评：注意讨论终边在坐标轴上的各种情况，并注意化简。

3.若，则是第象限角。

【答案】一、三．【解析】因为，所以k=2n时，，是第一象限角；当k=2n+1时，，是第三象限角，故答案为是第一、三象限角。

【考点】本题主要考查弧度制，象限角的概念及表示。

点评：注意讨论k的取值。

4.若，则的范围是。

【答案】【解析】因为，所以，，故。

【考点】本题主要考查弧度制，不等式的性质。

点评：易错题，注意本题限定了。

5.一个半径为R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为。

【答案】【解析】利用弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。

计算弧长与半径之比得。

【考点】本题主要考查弧度制。

点评：扇形中弧长、半径、弦长等关系相互表示，联系密切，应熟练掌握。

弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。

6.把化成的形式是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】除以360，商为负整数且比被除数是正角是绝对值大1，商为k，余数为，故选D。

【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。

“角的概念的推广”典型例题分析例1在～间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它是哪个象限的角。

（1）（2）（3）解：（1）∵∴的角与的角的终边相同，它是第一象限的角。

（2）∵∴的角与的角的终边相同，它是第四象限的角。

（3）∵，∴的角与的角终边相同，它是第二象限的角。

例2 写出与下列各角终边相同的角的集合T，并把T中在～间的角写出来：（1）；（2）－；（3）解：（1）T中在～间的角是：，（2）T在～间的角是：（3）T在～间的角是：，，例3写出终边落在直线上的角的集合。

分析指导从～间满足条件的角入手。

解:在～间，满足条件的角是和，所以，终边落在上的角的集合为说明本题易错解为这是思维不周密的具体表现。

例4如果角与角具有同一条终边，角与角具有同一条终边，那么与间的关系是（）A．B．C．D．分析指导利用终边相同角的表示，分别建立与，与的关系式，由此寻找与间的关系，对照选择。

解:依题意，（），（），那么∵、是整数，也是整数，用表示，∴故选D。

说明此题易错选B。

误认为，，故例5（1）设是第二象限角，那么是第几象限角？（2）设是第一象限角，那么是第几象限角？解：（1）∵是第二象限角，∴，∴当是偶数（例如）时，是第一象限角；当是奇数（例如，1，－1）时，是第三象限角。

见图1中的阴影部分。

（2）∵是第一象限角，∴，∴当时，，当时，，当时，。

上述三种情况见图2中的阴影部分，分别在第一、第二、第三象限。

不难得知，对于任何整数，也在上述三个象限中。

点拨：请同学们思考：图1与图2中，与所在象限有何特点？你是否可以找出某种规律来。

“弧度制”典型例题分析例1若是第四象限角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角分析指导从象限角的表示入手。

解:若是第四象限角，则，于是，从而有，所以，在第三象限，故选C。

说明考虑到选择题的特点，可赋特值检验，如取，则在第三象限。

例2若集合，，求分析指导从集合交集的定义出发，可得关于的不等式，由，确定的整数解，从而确定交集的元素即可．解:由交集定义，知，即，∴由，知当时，故说明要逐步习惯在弧度制下进行运算。

课时作业周期现象角的概念的推广基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．观察“…”，寻找规律，则第个字母是( )．．．．解析：周期是＝×，所以第个字母是.答案：．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转°所形成的角是( )．°．－°．°．－°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转°所形成的角是－°，故选.答案：．若角的顶点在原点，角的始边与轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )．个．个．个．个解析：°角是轴线角而不是象限角，①不正确；②显然正确；终边相同的角有无限多个，并且相差°的整数倍，所以③正确；－°角是第四象限角，故④正确．答案：．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )．°－α．°＋α．°－α．°＋α解析：∵°<α<°，∴°<°－α<°，故选.答案：．若角α与角β的终边关于轴对称，则必有( )．α＋β＝°．α＋β＝·°＋°(∈)．α＋β＝·°(∈)．α＋β＝(＋)°(∈)解析：α与β的终边关于轴对称，则α与°－β终边相同，故α＝°－β＋°·，即α＋β＝(＋)·°，∈.答案：二、填空题(每小题分，共分)．若角α的终边与°角的终边关于直线＝对称，且°<α<°，则角α的值为．解析：如图，设°角的终边为射线，射线关于直线＝对称的射线为，则以射线为终边的一个角为－°，所以以射线为终边的角的集合为{αα＝·°－°，∈}．又°<α<°，令＝，得α＝°.答案：°．已知角α与α的终边相同，且α∈[°，°)，则角α＝.解析：由条件知，α＝α＋·°，所以α＝·°(∈)，因为α∈[°，°)，所以α＝°.答案：．如图，终边在阴影部分内的角的集合为．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α°＋·°≤α≤°＋·°，∈}．答案：{α°＋·°≤α≤°＋·°，∈}三、解答题(每小题分，共分)．判断下列现象是否为周期现象．()钟表的秒针的运动；()地球的自转；()物理学中的单摆运动；()连续地抛掷一枚硬币，面值朝上记为，面值朝下记为和的出现．解析：()钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每一分钟总是重复前一分钟的动作，因此它是周期现象．()地球的自转为每小时转一圈，并且每小时总是重复前一个小时的动作，因此地球的自转是周期现象．()物理学中单摆的运动，完成一个来回之后，以后的运动都是有规律地重复这一动作，因此它是周期现象．()在抛掷硬币的过程中，和的出现虽然可能重复，但没有规律(数学中称之为随机现象)，因此它不是周期现象．．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：()终边落在射线上；()终边落在直线上；。

1. 主要内容：角的概念的推广，弧度制2. 知识点：①角的定义：初中：是从一点出发的两条射线形成的几何图形。

现在：角是一条射线绕其端点旋转而成的。

规定按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，称它形成的角叫做零角。

②象限角：在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴非负半轴重合，这时角的终边（端点除外）在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，则认为此角不在任何象限。

③终边在x轴非负半轴上角的集合是{α|α=k·360°，k∈Z}，终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，终边在第一象限的角的集合是：④若α是锐角，则角α终边在第一象限，角180°－α终边在第二象限，角180°＋α终边在第三象限，角360°－α终边在第四象限。

⑤弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

（其中α为圆心角的弧度数）【典型例题】例1. 写出与－1840°终边相同的角的集合M（2）把－1840°的角写成k·360°+α（0°≤α<360°）的形式。

（3）若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α解：小结：在0°到360°角范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行，因为任意一个角α均可写成k·360°+α1（0°≤α1＜360°）形式，所以与α终边相同的角的集合也可写成{β|β=k·360°+α1，k∈Z}，如本题M={β|β=k·360°+320°，k∈Z}，由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k=－1和0即可。

卜人入州八九几市潮王学校高二数学三角函数角的概念的推广和弧度制知识精讲苏一.本周教学内容：三角函数——角的概念的推广和弧度制 二.本周教学目的：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进展弧度与角度的换算。

三.本周知识要点：1.角α和β终边一样：)Z k (360k ∈︒⨯+=αβ2.几种终边在特殊位置时对应角的集合为：3.角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒1弧度︒≈︒=3.57180π4.弧长公式：r l ||α=〔α是圆心角的弧度数〕5.扇形面积公式：2||2121r r l S α== 例1.角︒=45α；〔1〕在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有一样终边的角β；〔2〕集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k ,451802k x |x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k ,451804k x |x N那么两集合的关系是什么？分析：〔1〕从终边一样的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有一样终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；〔2〕可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。

解：〔1〕所有与角α有一样终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒， 那么令︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得︒-≤︒⨯≤︒-45360765k 解得36045360765-≤≤-k 从而2-=k 或者1-=k 代回︒-=675β或者︒-=315β〔2〕因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或者四个象限平分线上的角的集合，从而：N M ⊂例2.假设角α是第二象限角，那么 〔1〕角2α是哪个象限角？ 〔2〕角α2是哪个象限角？分析：︒+︒⨯<<︒+︒⨯180********k k α〔Z k ∈〕解：〔1〕因为角α是第二象限角，所以︒+︒⨯<<︒+︒⨯180********k k α 那么)(90180245180Z k k k ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α当k 是偶数时，设)(2Z n nk ∈=，那么)(90360245360Z n n n ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α可知2α在第一象限； 当k 是奇数时，设)(12Z n n k ∈+=， 那么)(2703602225360Z n n n ∈︒+︒⨯<<︒+︒⨯α可知2α在第三象限； 综上所述，角α是第二象限角，那么2α是第一象限角或者第三象限角； 〔2〕因为︒+︒⨯<<︒+︒⨯360360221803602k k α可知角α2的终边应在第三象限或者第四象限或者y 轴的负半轴上； 例3.以下各个角：πα7111-=，πα65112=，93=α，︒-=8554α； 〔1〕其中是第三象限的角是〔2〕将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？分析：〔1〕先将角对应化为πβk 2+或者︒⨯+︒360k y )(Z k ∈的形式后，再根据终边一样来判断角所在象限；〔2〕根据换算公式解第二问；解：〔1〕7327111πππα+-=-=，它是第一象限角； 67846504765112πππππα+=+==，它是第三象限角； ππα2)29(93+-==，它是第二象限角，︒⨯-=︒-=36038554α︒+225，它也是第三象限角；答案为：2α和4α 〔2〕︒-≈︒⨯-=-=86.2821807117111πα例4.一个半径为r 的扇形，假设它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长为θr ， 所以扇形的周长是θr r +2依题意知：r r r πθ=+2，解得rad 2-=πθ 转化为角度制为rad 2-=πθππ︒⨯-=180)2('1965︒≈它的面积为：22)2(2121r r S -==πθ 例5.α是第三象限角，那么3α是第几象限角 分析：由α是第三象限角，可得到角α的范围，进而可得到3α的取值范围，再根据范围确定其象限即可。

智才艺州攀枝花市创界学校高一数学角的概念推广与弧度制北师大【本讲教育信息】一、教学内容：角的概念推广与弧度制二、学习目的1、理解周期现象与周期性的概念；2、理解任意角的概念与弧度制，能进展弧度与角度的互化三、知识要点1、周期现象——依次不断地重复出现的现象叫做周期现象。

2、周期函数——假设存在不为0的实数T，使得对定义域内的任意x，函数y=f〔x〕都满足：f〔x+T〕=f〔x〕，我们就把这种函数称为周期函数，T称为这个函数的周期。

一般地，假设T是函数的周期，那么kT也是其周期，其中k≠0，k∈Z3、角的概念推广——正角、负角与零度角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，不作任何旋转的角为零度角，又称零角。

4、终边一样的角——在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，同一位置的终边可以视作以不同的方式旋转而得到，从而这些角终边一样。

与角α终边一样的角β可以表示为：β=α+k·360°，k∈Z5、象限角——在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

假设α为第I象限角，那么：α∈〔k·360°，90°+k·360°〕，k∈Z；假设α为第II象限角，那么：α∈〔90°+k·360°，180°+k·360°〕，k∈Z；假设α为第III象限角，那么：α∈〔180°+k·360°，270°+k·360°〕，k∈Z；假设α为第IV象限角，那么：α∈〔－90°+k·360°，k·360°〕，k∈Z.6、象限界角——在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在坐标轴上的时候称为象限界角〔不属于象限角〕。

(一)角的概念的推广与弧度制A 组1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)．答案：(－12，32)2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角． 答案：三4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3}5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________． 解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－43 3.答案：－43或－4336．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．解：因为sin α＝24y ＝y(－3)2＋y 2，所以y 2＝5，当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153. B 组1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝22；当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝22.答案：222．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋α·R ＝612R 2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或43．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．解析：S ＝12|α|r 2＝12×23π×100＝1003π(cm 2)．答案：1003π cm 24．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第________象限．解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |，∴sin α－cos α＝y r －x r ＝－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±157．(2010年北京东城区质检)若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 38．(2010年深圳调研)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π49．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ，∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，∴r ＝－1＋k 2x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k 1＋k 2，又sin α＝25.∴－k 1＋k 2＝25，∴k ＝－2.答案：－210．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝103π(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm 2)．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α.∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4，当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝82＋2＝2 (cm)，∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值．解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t＝－45，所以2sin α＋cos α＝65－45＝25.(2)设P (a ，3a )(a ≠0)是角β终边y ＝3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－2a ，此时sin β＝3a －2a＝－32；若a ＞0，则β是第一象限角，r ＝2a ，此时sin β＝3a 2a ＝32. (二)正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A 组1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________.解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－432．(2009年高考北京卷)若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35.答案：－353．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：354．(2010年合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝______.解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95.答案：955．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 36．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值．解：由题意，得2sin αcos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713，④③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513.B 组1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：952．(2010年南京调研)cos 10π3＝________.解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－123．(2010年西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos 2α的值等于________．解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32. 答案：－324．(2010年南昌质检)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝_________________.解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165.答案：1655．(2010年苏州调研)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝___________________.解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－126．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π47．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案：－138．(2008年高考浙江卷改编)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.答案：29．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为________．解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－1210．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值．解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34. 11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角．解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.12．已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)．(1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)的值．解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，m min ＝－2.此时α－π3＝32π，即α＝116π.(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0.∴tan α＝－33.∴cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝12.。

《三角函数》专题1-1 角的概念的推广（5套，4页，含答案）知识点：图示典型例题：1.—225°是第象限角？（③）2.与30°终边相同的角是：( ④) A－30°B210°C390°D－360°3.在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为⑤．4.不相等的角的终边位置（⑥）A.一定不相同B.一定相同C.可能相同D.以上都不对5.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（⑦）A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A≠⊂C D．A＝B＝C随堂练习：1.－1120°角所在象限是（⑧）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.与－1050°终边相同的最小正角是⑨.3.写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合____________．（⑩）4.以下列四个命题：①大于90°的角是钝角；②第二象限的角一定是钝角；③第二象限的角必定大于第一象限的角；④负角也可能是第一象限角．其中不正确．．．命题的个数有（11）A．1个B．2个C．3个D．4个《三角函数》专题1-2 角的概念的推广1.与1991°终边相同的最小正角是__，绝对值最小的是，它们是第_ 12象限角．2.下列角中终边与330°相同的角是（13）A．30°B．－30°C．630°D．－630°3.若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝____14____.4.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B＝( 15)A. {锐角}B.{小于90°的角}C. {第一象限角}D.以上都不对5.若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____16____．1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．17(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.2.求θ，使θ与－900°角的终边相同，且θ∈[－180°，1260°]．（18）3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(19)A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D4.将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为____20____．《三角函数》专题1-4 角的概念的推广1.下列各组角中，终边相同的角是（21）A．280°与580° B．－125°与485° C．－360°与0°D．12°与364°2.已知角α终边上有一点P(0，b)（b＜0），则α是（22）A．第三象限角B．第四象限角C．第三或第四象限角D．以上都不对3.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的－360°到360°之间的角．234.下列四个命题中正确的是（24）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角5.钟表经过4小时，时针转了度，分针转了25度．1.与－1778°角的终边相同且绝对值最小的角是26．2.给出下列四个命题，其中正确的命题有(27)①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个3.在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是___28_____．4.设E＝｛小于900的角｝，F＝｛锐角｝，G＝｛第一象限的角｝，M＝｛小于900但不小于00的角｝，则有（29）A．F⊆G⊆E B.F⊆E⊆G C.M⊆(E∩G) D.(E∩G)∩M＝F5.时钟走过3小时20分，则分针所转过的角度为________，时针所转过的角度为____30___．① 答案：(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转② 答案：第几象限角③ 答案：2；④ 答案：C ；⑤ 答案：120°与300°；⑥ 答案：C ；⑦ 答案：B ；⑧ 答案：D ；⑨ 答案：30°；⑩ 答案：{}0000708,348,12,372--；11答案：C ；12 答案：191°，－169°，三；13 答案：B ；14 答案：－110°或250°；解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°＜θ＜360°， ∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.15 答案：D ；16 答案 －960°； 解析 ∵2小时40分＝223小时， ∴－360°×223＝－960°.17 答案：解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．18 答案：{}o o o o o 1260,900,540,180,180-；19 答案：D ；[锐角θ满足0°＜θ＜90°；而B 中θ＜90°，可以为负角；C 中θ满足k ·360°＜θ＜k ·360°＋90°，k ∈Z ；D 中满足0°＜θ＜90°，故A ＝D .]20 [答案] －60°；21答案：C ；22 答案：D ；23 答案：240°，60°，－120°，－300°；24 答案：B ；25 答案：－120°，－1440°；26 答案：22°；27 [答案] D ；[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.28答案{－620°，－260°，100°，460°}；解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}令k＝－2，－1，0，1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.29答案：D；--；30答案：1200,100。

必修四第一章三角函数1.1任意角与弧度制一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α∠可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

4、常用的角的集合表示方法<1>、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Zkk∈个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}ZkkS∈⋅+==,360|αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意：1、Z∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

<2>、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,180|ββ终边在y轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,90180|ββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,90|ββ<3>、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,45180|ββ终边在xy-=轴上的角的集合：{}Zkk∈-⨯=,45180|ββ<4>、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360k若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度与弧度制 <1>、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

角的概念的推广1．已知A ＝{小于90°的角｝，B ＝{第一象限的角｝，则A ∩B 等于（ )A ．｛锐角}B ．{小于90°的角}C ．｛第一象限的角｝D ．以上都不正确2．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在（ )A ．x 轴的非负半轴上B ．y 轴的非负半轴上C ．x 轴的非正半轴上D ．y 轴的非正半轴上3．集合A ＝｛α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z ｝，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B 等于（ )A ．{－36°，54°｝B ．{－126°，144°｝C ．{－126°,－36°，54°，144°｝D ．｛－126°，54°｝4．已知角α与－60°角的终边相同,则2α是( ） A ．第一或第三象限的角B ．第二或第三象限的角C ．第一或第四象限的角D ．第二或第四象限的角5．终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合为__________．6．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是__________．7．角α和β的终边关于直线y ＝－x 对称,且α＝30°,则β＝__________。

8．已知角β的终边落在经过点－1)和原点的直线上，写出角β的集合A ，并把A 中满足不等式－360°＜β＜360°的元素写出来．参考答案1．解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角指锐角及其他终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是由锐角和终边落在第一象限的负角组成．答案：D2．解析：∵角α，β的终边相同,∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z 。

∴α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°,k ∈Z ，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上．答案：A3．解析:根据集合B 的范围，确定集合A 中的k 的值．k ＝－1，0，1，2时，求得相应α的值为－126°，－36°,54°，144°。

任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。