天津市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(含解析)

2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4 9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x ＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可推断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查同学把握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于简洁题．2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据逆否命题的等价性推断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）考点：基本不等式．专题：不等式．分析：问题转化为+a ﹣＞0在x＞0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的范围．解答：解：设x＞0，若x+＞1恒成立，则：x2﹣x+a＞0，即+a ﹣＞0，∴a ﹣＞0，解得：a ＞，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题．4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞＞a，利用a2+b 2，可得．由＞，可得=．由于﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：∵b＞a＞0，且a+b=1，∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞＞a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b 2=，又＞，∴，即=．﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=2﹣﹣=0，∴＜b．综上可得：2ab ＜＜b．故选：B．点评：本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：依据基本不等式的性质可知．≥排解A ，取，推断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排解C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排解D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A ．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b 则≥恒成立若a≥b ，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了同学对基础学问的把握．6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出不等式对应的方程的两根，并判定两根的大小，从而得出不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a ＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应依据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题．7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值范围，由于函数是分段函数，故需要在两段分别做分析争辩，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值范围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．依据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，依据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值范围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类争辩的数学思想．要求同学理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，留意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x ﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要留意等号成立，属于基础题．9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由原不等式可得，即1＜|x|≤2，由此求得x的范围．解答：解：不等式≥3，即≤0，∴，∴1＜|x|≤2，解得1＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式、确定值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|9x＜27x }={x|3＜33x}={x|2x2＜3x}={x|0＜x ＜}，N={x|log（x﹣1）＞0}={x|0＜x﹣1＜1}={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x ＜}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键．11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再依据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．解答：解：=依据y=在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，故选B．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及依据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x ＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．解答：解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x ＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的应用，留意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为[，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：依据不等式||＞a的解集为M，且2∉M，可得||≤a，由此即可求a的取值范围．解答：解：∵不等式||＞a的解集为M，且2∉M，∴||≤a，∴|a﹣|≤a∴a2﹣a+≤a2，解得：a≥，∴a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．点评：本题考查不等式的解法，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是（0，）∪（2，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x）的奇偶性及在（﹣∞，0）上的单调性可推断其在（0，+∞）上的单调性，由f（x）的性质可把f（log x2）＜f（1）转化为具体不等式，解出即可．解答：解：由于f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（log x2）＜f（1），则﹣1＜log x2＜0，或0＜log x2＜1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞）所以实数x的取值范围为（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是（0，1）．考点：确定值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，数形结合求得a的范围．解答：解：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0＜a＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查带有确定值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．17．若正数x，y 满足+=2，则xy 的最小值是6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b ）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依据一元一次不等式的解求出a=3b＜0，利用消参法转化为含有参数b 的一元二次不等式，进行求解即可．解答：解：∵（a+b）x+（2a﹣3b）＜0，∴（a+b）x＜3b﹣2a，∵不等式的解为x＞﹣，∴a+b＜0，且=﹣，解得a=3b＜0，则不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．等价为bx2+（4b﹣2）x+（3b﹣2）＞0．即x2+（4﹣）x+（3﹣）＜0．即（x+1）（x+3﹣）＜0．∵﹣3+≤﹣1．∴不等式的解为﹣3+＜x＜﹣1．即不等式的解集为（﹣3+，﹣1）．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查同学的运算和推理力量．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a ≤．…（10分）综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类争辩的数学思想，属于中档题．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类争辩：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．点评：本题主要是应用分类争辩思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对争辩对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当争辩的对象不止一种时，应分层次进行，以避开混乱．依据确定值的意义推断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数争辩函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类争辩，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有微小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，明显A≠∅下面分三种状况争辩：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类争辩．。

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=3．二项式22)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．3604．过点P 的直线l与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A．2B．2C．2+或2- D．215．设10(){2,0xx f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．326．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．48．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A． B ．0C ．0或32-D ．32-9．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．312．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

天津市南开中学2019届高三理数模拟试卷一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）设集合 A ={x||x −2|<2} ， B ={x|x 2−3x +2<0} .则 A ∩C R B = （ ）A ．(0,1]∪[2,4)B ．(1,2)C ．∅D ．(−∞,0)∪(4,+∞)2．（2分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的 S 的值为 1 ，则输出 S 的值为（ ）A ．16B ．19C ．115D ．3．（2分）设变量 x,y 满足约束条件 {x +3y −3≥0,2x −y −3≤0,x −y +1≥0, 则 x +y 的最大值为（ ）A ．9B ．157C ．1D ．7154．（2分）已知 a,b ∈R ，则“ ab =0 ”是“函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2分）已知函数 f(x)=2sin(ωx +φ) (ω>0,0<φ<π2) 的部分图象如图所示，这个图象经过点 A(0,1) 和点 B(8π9,−2) ，则如下区间是 f(x) 的单调递增区间的是（ ）A ．(−π9,5π9)B ．(2π9,8π9)C ．(π3,5π3)D ．(8π9,14π9)6．（2分）已知函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调，且函数 y =f(x −1) 的图象关于 x =1 对称，若数列 {a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 f(a 50)=f(a 51) ，则 {a n } 的前 100 项的和为（ ） A ．−200B ．−100C ．0D ．507．（2分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1、F 2 ，焦距为 2c(c >0) ，抛物线 y 2=2cx 准线交双曲线左支交于 A,B 两点，且 ∠AOB =120° ，其中 O 为原点，则双曲线的离心率 e 为（ ） A ．2B ．1+√2C ．1+√3D ．1+√58．（2分）已知函数 f(x)={x 2+2x,x ≤0,2x−4x ,x >0. 若函数 F(x)=|f(x)|−|kx −1| 有且只有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A ．[−12,0)∪(0,12]∪{916}B ．(0,12]∪[916,+∞)C ．(0,12]∪{916} D ．{−12,12,916} 二、填空题 (共5题；共5分)9．（1分）若 z 是复数， z =1−2i1+i，则 z ⋅z̅= ． 10．（1分）在 (√x 3−2x )4的展开式中，常数项是 ．11．（1分）已知正四面体 ABCD 的棱长为 3 ，点 B 1 和 C 1 分别在棱 AB 和 AC 上，且 AB 1=1 ， AC 1=2 ，则四面体 AB 1C 1D 的体积为 ．12．（1分）已知曲线 C 1 参数方程为 {x =4+5t,y =5+5t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ ，若 C 1 与 C 2 的两个交点为 A,B ，则线段 AB 的长为 ．13．（1分）已知a,b>0，且a+b=1，则ab+2ab的最小值为．三、解答题 (共5题；共25分)14．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asinA+csinC−√2asinC= bsinB.(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若−3+2y=0y=32.15．（5分）立德中学和树人中学各派一名学生组成一个联队参加一项智力竞赛，这个智力竞赛一共两轮，在每一轮中，两名同学各回答一次题目，已知，立德中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是34，树人中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是23；每轮中，两位同学答对与否互不影响，各论结果亦互不影响，求：（Ⅰ）两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多1个的概率；（Ⅱ）两轮比赛后，记X为这两名同学一共答对的题目数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥DC，AD=AB=2√3，CB=CD=2，PC⊥平面ABCD，PC=4，点N在线段PA上，且AN=3NP．（Ⅰ）求证：DN⊥AC；（Ⅱ）求二面角C−DN−A的正弦值；（Ⅲ）在线段BP上是否存在点T，使得CT∥平面PAD，若存在，求出线段BT的长，若不存在，说明理由．17．（5分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，离心率为√22，ΔABF的面积为√2+1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M,N为y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D 两点．（ⅰ）求 △MFN 的面积最小值； （ⅱ）证明： E,O,D 三点共线．18．（5分）已知数列 {a n } 是等差数列， {b n } 是等比数列，且 a 3=a 1+a 2 ， b 4=b 2⋅b 3 ，a 8=b 4 ， b 5=a 16 ，数列 {c n } 满足 c n ={b 2m−1,n =3m −2,b 2m ,n =3m −1,a m ,n =3m, 其中 m ∈N ∗ ．（Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （Ⅱ）求 ∑c k c k+13nk=1答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】因为|x−2|<2⇒0<x<4，x2−3x+2<0⇒1<x<2，所以A={x|0<x<4} ， B={x|1<x<2}，因此C R B ={x|x≤1,或x≥2}，所以A∩C R B=(0,1]∪[2,4)，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合A,B，先求出C R B,最后求出A∩C R B. 2．【答案】B【解析】【解答】初始条件S=1,i=2，进入循环体，S=13,i<5，所以有i=3，再进入循环体，S=16,i<5，所以有i=5，再进入循环体，S=19,i=5，所以退出循环体，输出此时S的值，故答案为：B.【分析】先执行循环体再判断，直至i≥5时，退出循环体，输出S.3．【答案】A【解析】【解答】设x+y=z，在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示：当直线 y =−x +z 经过点C 时， z 有最大值，即C 点的坐标是解方程组 {2x −y −3=0,x −y +1=0. 的解，它的解为 {x =4,y =5. ，所以z 的最大值为4+5=9， 故答案为：A.【分析】设 x +y =z ，在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线 y =−x ，直至在可行解域内，找到使得 y =−x +z 在纵轴上的截距最大时，直线 y =−x +z 经过的点，计算求出 z 的最大值.4．【答案】B【解析】【解答】由 ab =0 ⇒a,b 中至少有一个为零；由函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数，⇒f(−x)=−f(x)⇒−x|−x +a|+b =−x|x +a|−b ⇒x|x −a|−b =x|x +a|+b ⇒a =b =0 ，显然由 a,b 中至少有一个为零，不一定能推出 a =b =0 ，但由 a =b =0 ，一定能推出 ab =0 ，故“ ab =0 ”是“函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数”的必要不充分条件， 故答案为：B.【分析】先判断 ab =0 和函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性.5．【答案】D【解析】【解答】因为函数图象经过点 A(0,1) ，所以 sinφ=12,0<φ<π2⇒φ=π6， 又因为函数图象经过点 B(8π9,−2) ，2sin(89πω+π6)=−2⇒89πω+π6=2kπ+32π(k ∈Z)⇒ω=94k +32(k ∈Z) ，当 k =0 时， ω=32 ， f(x)=2sin(32x +π6) ，当 2kπ−π2≤32x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z) 时，函数单调递增，即 43kπ−4π9≤x ≤43kπ+2π9(k ∈Z) ，当 k =1 时， 8π9≤x ≤14π9 ，故答案为：D.【分析】由函数图象经过点 A(0,1) 和点 B(8π9,−2) ，可以求出 ω,φ ，最后求出 f(x) 的单调递增区间，结合选项选出正确答案.6．【答案】C【解析】【解答】因为函数 y =f(x −1) 的图象关于 x =1 对称，所以函数 f(x) 关于 x =0 对称，又因为函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调，所以 f(x) 在 (−∞,0) 上也单调，由 f(a 50)=f(a 51) ，可以得到 a 50+a 51=0 ， S 100=100⋅(a 1+a 100)2=100⋅(a 50+a 51)2=0 ，故答案为：C.【分析】由函数 y =f(x −1) 的图象关于 x =1 对称，可知函数 f(x) 关于 x =0 对称，函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调，所以 f(x) 在 (−∞,0) 上也单调，由 f(a 50)=f(a 51) ，可以得到 a 50+a 51=0 ，进而可以求出 {a n } 的前 100 项的和.7．【答案】C【解析】【解答】设抛物线 y 2=2cx 准线与横轴的交点为 M ,∴M 的坐标为 (−c2,0) ，设 A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: ∠MOA =60° ，tan∠MOA =AM OM ⇒AM =√32c ，∴A 的坐标为 (−c 2,√32c) ，焦距为 2c ，∴设 a =1,b 2=c 2−a 2=c 2−1 ，又 e =ca =c ，把 A 的坐标代入双曲线方程中，得(−c 2)2a 2−(√32c)2b2=1⇒e 4−8e 2+4=0⇒e 2=4+2√3⇒e =√3+1 ，故答案为：C.【分析】设抛物线 y 2=2cx 准线与横轴的交点为 M , A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: ∠MOA =60° ,这样可以求出 A 的坐标,代入双曲线方程中,得到关于 e 的方程,解方程得到双曲线的离心率 e 的值.8．【答案】D【解析】【解答】 F(x)=|f(x)|−|kx −1|=0⇒|f(x)|=|kx −1| ，在直角坐标系内，画出函数y =|f(x)| 的图象，从左到右平移 y =|kx −1| 的图象，找到有三个交点时的位置，求出 k 的取值范围.⑴当 y =|kx −1| 过 (−2,0) 时，有三个交点，如下图：故 k =−12，⑵当y=|kx−1|图象的右部分，与y=2x−4x ,x>2相切时，即kx−1=2x−4x⇒kx2−3x+4=0，根的判别式为零，即9−16k=0⇒k=916；⑶当y=|kx−1|过(2,0)时，如下图：k=12，综上所述：实数 k 的取值范围是 {−12,12,916} ，故本题选D.【分析】 F(x)=|f(x)|−|kx −1|=0⇒|f(x)|=|kx −1| ，画出函数 y =|f(x)| 的图象，结合 y =|kx −1| 的图象，找到有三个交点时的位置，求出 k 的取值范围.9．【答案】52【解析】【解答】 z =1−2i 1+i =(1−2i)⋅(1−i)(1+i)⋅(1−i)=−1−3i 2⇒z̅=−1+3i 2∴z ⋅z̅=−1−3i 2⋅−1+3i 2=52 【分析】根据复数除法运算的法则，化简复数，求出它的共轭复数，然后利用复数的乘法运算法则，计算出 z ⋅z̅ 的值.10．【答案】−8【解析】【解答】因为 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式为： T r+1=C 4r (√x 3)4−r⋅(−2x )r =C 4r ⋅(−2)r⋅x 4−4r3 ， 所以令4−4r 3=0⇒r =1 ，常数项为 C 41⋅(−2)1=−8 . 【分析】写出 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式，让 x 的指数为零，求出常数项.11．【答案】√22【解析】【解答】过 D 作 DO ⊥ 面 ABC , ABCD 是正四面体，所以 O 是正三角形 ABC 的中心，在正三角形 ABC 中，由正弦定理可求出 AO =√3 ，根据勾股定理可得: DO =√DA 2−AO 2=√6 ,V D−AB 1C 1=13⋅DO ⋅S ΔAB 1C 1=13×√6×12⋅AB 1⋅AC 1⋅sin∠BAC =√22 .【分析】求出正四面体的高，然后利用棱锥的体积公式求出四面体 AB 1C 1D 的体积.12．【答案】2【解析】【解答】曲线 C 1 参数方程为 {x =4+5t,y =5+5t ,所以普通方程为： x −y +1=0 ，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ ，化为直角坐标方程为： x 2+(y −1)2=1 ，圆心坐标为 (0,1) ，显然圆心 (0,1) ，在直线 x −y +1=0 上，故 AB 的长为2.【分析】把曲线 C 1 参数方程和曲线 C 2 的极坐标方程都化为普通方程，可以知道曲线 C 1 是一条直线，曲线 C 2 是圆，进一步可以发现圆心在直线上，所以线段 AB 的长就是直径的长.13．【答案】334【解析】【解答】因为 a,b >0 ，且 a +b =1 ，所以 0<ab ≤(a+b 2)2=14 ，当且仅当 a =b =12 时，取等号，设 ab =t(0<t ≤14) ，所以设 f(t)=t +2t (0<t ≤14) ， f ′(t)=1−2t2 ，显然当0<t ≤14 时， f ′(t)<0 ，所以 f(t) 在 0<t ≤14 上，是单调递减函数， 所以 f(t)min =f(14)=334.【分析】由 a +b =1 ， a,b >0 ，可以求出 ab 的取值范围，可以构造函数求出 ab +2ab的最小值.14．【答案】解：(I)由正弦定理得 a 2+c 2−√2ac =b 2由余弦定理得 b 2=a 2+c 2−2accosB .故 cosB =√22，因此 B =45∘（II ） sinA =sin(30∘+45∘)=sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘=√2+√64故 a =b ×sinA sinB =√2+√6√2=1+√3 c =b ×sinC sinB =2×sin60∘sin45∘=√6【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sin A 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c ．15．【答案】解：（Ⅰ）设事件 A 为立德中学的学生答对一道，树人中学的学生一道也没答对,设事件B 为立德中学的学生答对二道，树人中学的学生答对一道，设事件C 为两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 1 个,所以 P(A)=C 21(34)⋅(14)⋅C 22(13)2=124,P(B)=C 22(34)2⋅C 21(23)(13)=14 ,因此 P(C)=P(A)+P(B)=724; （Ⅱ）由题意可知: X =0,1,2,3,4P(X =0)=C 22(14)2⋅C 22(13)2=1144, P(X =1)=C 22(14)2⋅C 21(23)(13)+C 21(34)(14)⋅C 22(13)2=572,P(X =2)=C 22(34)2⋅C 22(13)2+C 22(14)2⋅C 22(23)2+C 21(14)(34)⋅C 21(23)(13)=37144,P(X =3)=C 22(34)2⋅C 21(23)(13)+C 21(34)(14)⋅C 22(23)2=512 ,P(X =4)=C 22(34)2⋅C 22(23)2=14 ,随机变量 X 的分布列为下表：所以 EX =0×1144+1×572+2×37144+3×512+4×14=176. 【解析】【分析】（Ⅰ）立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 1 个，有二种情况：一种情况是，立德中学的学生答对一道，树人中学的学生一道也没答对；另一种情况是，立德中学的学生答对二道，树人中学的学生答对一道，求出这两个事件的概率，最后利用和事件的概率公式求出本问题；（Ⅱ）由题意可知: X =0,1,2,3,4 ,求出相应概率，列出分布列，计算出数学期望.16．【答案】解：（Ⅰ）在四边形 ABCD 中， AD ⊥DC ， AD =AB =2√3 ， CB =CD =2 ，根据勾股定理，可求出 AC =4 ,利用勾股定理的逆定理可知： AB ⊥BC ，以 B 为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，如图所示：所以 A(0,2√3,0),B(0,0,0),C(2,0，0),D(3,√3,0),P(2,0,4) ，因为 AN =3NP ，所以 AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因此可求出 N 坐标为 (32,√32,3) , 因为 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−√32,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√3,0)DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,所以 DN ⊥AC ; （Ⅱ）设平面 ADN 的法向量为 m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) , AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,0) , {m ⇀⋅AD ⇀=0,m ⇀⋅DN ⇀=0.⇒{3x 1−√3y 1=0,−32x 1−√32y 1+3z 1=0⇒m ⇀=(1,√3,1) ， 设平面 CDN 的法向量为 n ⃗ =(x 2,y 2,z 2),CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0) , ∴{n ⇀⋅CD⇀=0,n ⇀⋅DN ⇀=0.⇒{x 2−√3y 2=0,−32x 2−√32y 2+3z 2=0⇒n ⇀=(3,√3,2) ， 设 m⃗⃗⃗ ,n ⃗ 的夹角为 θ ， ∴|cosθ|=m ⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |m⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=25√5⇒sinθ=√55 ；（Ⅲ）设存在线段 BP 上存在点 T ，使得 CT ∥平面PAD ，BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBP⃗⃗⃗⃗⃗ ,(0≤μ≤1),T(x,y,z)⇒T(2μ,0,4μ) ,设平面 PAD 的法向量为 a ⃗ =(x 3,y 3,z 3) , AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√3,4) , CT⃗⃗⃗⃗⃗ =(2μ−2,0,4μ) ∴{a ⇀⋅AD ⇀=0,a ⇀⋅AP ⇀=0.⇒{−3x 3+√3y 3=0,2x 3−2√3y 3+4z 3=0⇒a ⇀=(1,√3,1) , 因为 CT ∥平面PAD ,所以 CT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a ⃗ =0⇒2μ−2+4μ=0⇒μ=13,∴T(23,0,43)∵BT =√(23)2+(43)2=23√5 【解析】【分析】（Ⅰ）在四边形 ABCD 中,可以证明出 AB ⊥BC ，以 B 为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，利用 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，可以证明出 DN ⊥AC ；（Ⅱ）求出平面 ADN 的法向量、平面 CDN 的法向量，利用空间向量的数量积求出向量夹角的余弦值的绝对值，利用同角三角函数关系式，求出二面角 C −DN −A 的正弦值；（Ⅲ）设存在线段 BP 上存在点 T ，使得 CT ∥平面PAD ，设 T 的坐标，求出平面 PAD 的法向量，利用 CT⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面 PAD 的法向量垂直，可以求出 T 的坐标，进而求出线段 BT 的长.17．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知： A(−a,0),B(0,b),F(c,0) ，离心率为 √22 ⇒c a =√22⇒a =√2c ，因为 ΔABF 的面积为 √2+1 ，所以 12(a +c)b =√2+1 ⇒bc =2 ⇒b =2c而 a 2=b 2+c 2 ，所以 2c 2=4c 2+c 2⇒c =√2 ，因此 a =2,b =√2 ，椭圆 C 的方程为 x 24+y 22=1 ；（Ⅱ）设 M(0,m),N(0,n) ， (m >n)MF ⊥NF ⇒MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒(√2,−m)⋅(√2,−n)=0⇒mn =−2 ,所以 m >0 . （ⅰ）设 △MFN 的面积为 S ， mn =−2⇒n =−2m(m >0) ， S =12×√2(m −n)⇒S =√22(m +2m )≥√22×2√m ⋅2m=2 ，当且仅当 m =√2 时，取等号，所以 △MFN 的面积最小值为2；（ⅱ） A(−2,0),M(0,m),N(0,n) ,直线 AM 的方程为： y =m2x +m 与椭圆的方程联立得 {x 24+y 22=1y =m2x +m⇒(2+m 2)x 2+4m 2x +4m 2−8=0 ，设 E(x 1,y 1), 所以有 −2x 1=4m 2−82+m 2⇒x 1=−2m 2−42+m 2， y 1=4m 2+m 2 ， 设 D(x 2,y 2) ,同理求出 x 2=−2n 2−42+n 2,y 2=4n 2+n 2，所以 k OE =2m 2−m 2,k OD =2n 2−n 2 ， mn =−2⇒m =−2n ， k OE =2m 2−m 2=2−2n 2−(−2n )2=2n 2−n2, 所以 k OE =k OD ，直线 OE,OD 过同一点，斜率相等，所以 E,O,D 三点共线．【解析】【分析】（Ⅰ）根据离心率可以得到等式，由 ΔABF 的面积为 √2+1 ，又得到一个等式，结合 a 2=b 2+c 2 ，可以求出 a,b 的值，这样就求出椭圆方程；（Ⅱ）（ⅰ）设出 M,N 两点坐标，根据 MF ⊥NF ，可以得到 M,N 两点坐标之间的关系，求出 △MFN 的面积的表达式，利用基本不等式求出 △MFN 的面积最小值；（ⅱ）直线 AM 的方程与椭圆方程联立，求出 E 点坐标，同理求出 D 的坐标，求出直线 OE,OD 的斜率，根据 M,N 两点坐标之间的关系，可以证明出直线 OE,OD 的斜率相等，又过同一点，这样就可以证明 E,O,D 三点共线．18．【答案】解：（Ⅰ）设数列 {a n } 的公差为 d ，数列 {b n } 公比为 q ，a 3=a 1+a 2⇒a 1+2d =a 1+a 1+d ⇒a 1=d ，b 4=b 2⋅b 3⇒b 1q 3=b 1q ⋅b 1q 2⇒b 1=1 ， a 8=b 4⇒a 1+7d =q 3⇒8d =q 3 ， b 5=a 16⇒q 4=a 1+15d ⇒q 4=16d 所以 q =2,d =1 ，因此 a n =n,b n =2n−1 ；（Ⅱ） ∑c k c k+13nk=1=c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c 3n c 3n+1 ，⇒∑c k c k+13n k=1=(c 1c 2+c 4c 5+⋯+c 3n−2c 3n−1)+(c 2c 3+c 5c 6+⋯+c 3n−1c 3n )+(c 3c 4+c 6c 7+⋯+c 3n c 3n+1) ，⇒∑c k c k+13nk=1=(2+25+⋯+24n−3)+(2×1+23×2+⋯+n ⋅22n−1)+(1×22+2×24+⋯+n⋅22n )2+25+⋯+24n−3=2[1−(24)]n1−24=24n+1−215， S =2×1+23×2+⋯+n ⋅22n−1(1),4S =23×1+25×2+⋯+n ⋅22n+1(2),(2)−(1)⇒ −3S =2+23+⋯+22n−1−n ⋅22n+1⇒−3S =2[1−(22)n]1−22−n ⋅22n+1⇒S =(13n −19)⋅22n+1+29 ，S ′=1×22+2×24+⋯+n ⋅22n (3),4S ′=1×24+2×24+⋯+n ⋅22n+2(4),(4)−(3) 得 −3S ′=22+24+⋯+22n −n ⋅22n+2⇒−3S ′=22[1−(22)n]1−22−n ⋅22n+2 ⇒S ′=(n 3−19)22n+2+49，所以 ∑c k c k+13nk=1=24n+1−215+(13n −19)⋅22n+1+29+(n 3−19)22n+2+49=24n+115+(n −13)22n+1+815【解析】【分析】（Ⅰ）设出数列 {a n } ， {b n } 的公差和公比，利用已知给的式子，可以求出数列{a n } 的首项、公差和数列 {b n } 的首项及公比；（Ⅱ） ∑c k c k+13nk=1=c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c 3n c 3n+1 ， ⇒∑c k c k+13n k=1=(c 1c 2+c 4c 5+⋯+c 3n−2c 3n−1)+(c 2c 3+c 5c 6+⋯+c 3n−1c 3n )+(c 3c 4+c 6c 7+⋯+c 3n c 3n+1) ， ⇒∑c k c k+13n k=1=(2+25+⋯+24n−3)+(2×1+23×2+⋯+n ⋅22n−1)+(1×22+2×24+⋯+n ⋅22n ) ，分别求和，最后求出 ∑c k c k+13nk=1 .。

2025届天津市南开区南开中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．72．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．4711B ．4712C ．4713D ．47153．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 4．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]5．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B ．33a b >C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382439．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．510．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S10等于（）A. 55B. 60C. 65D. 703. 在直角坐标系中，点P(m, n)关于直线y=x的对称点为Q，若P在直线y=2x+1上，则m+n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 点5. 若函数y=Asin(ωx+φ)的图象在x=π/4时取得最小值，则A、ω、φ的取值分别为（）A. A>0, ω>0, φ>π/2B. A>0, ω>0, φ<π/2C. A<0, ω>0, φ>π/2D. A<0, ω>0, φ<π/26. 已知函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，则f(x)的定义域为（）A. (-∞, 1)B. (-∞, 1)∪(1, +∞)C. (-∞, 1)∪(1, +∞)D. (-∞, +∞)7. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 128. 若函数y=x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递增，则x的取值范围为（）A. (0, 2)B. [0, 2]C. (0, +∞)D. [0, +∞)9. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=2，S5=62，则q的值为（）A. 2B. 1/2C. 1/4D. 410. 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k^2 + b^2等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数f(x) = log2(3x - 2)的定义域为______。

一、单选题1. 某几何体的三视图为三个直角边为1的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．2. 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．3.已知集合，，则等于．A．B．C．D．4. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（）A ．三棱锥的体积大小与点的位置有关B．与平面相交C ．平面平面D．5. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．6. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情发生后，党中央、国务院高度重视，及时做出防控部署，坚决打赢这场疫情战役，下面是武汉某医院2月6号到15号每天新接收的发热病人数的统计图，下列叙述错误的是（ ）天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题A．从8号到10号，每天新接收的发热病人数逐渐增加B．这10天中每天新接收的发热病人数的平均数是49.3C．从这10天中随机选一天，这一天新接收的发热病人数小于35的概率是D．这10天中每天新接收的发热病人数的中位数是457. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．8. 设，，则（）A．B．C．D．9. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（）A．是最小正周期为的偶函数B．是最小正周期为的奇函数C ．)在上单调递减D．在上的最大值为10. 已知正实数，，满足，，，则，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．11. 设函数的零点，函数的零点，其中，，若过点作圆的切线，则的方程为（）A．B．C．D．，12. 图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（）A．B．C．D．13.设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（）A．B ．在上单调递增二、多选题C．的图象关于点对称D ．把函数向右平移个单位得到的解析式是14.设复数，则（ ）A．B ．4C．D ．215.设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．16.如图，在三棱柱中，底面ABC ，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）A ．1:2B ．4:5C ．4:9D ．5:717. 已知向量，则（ ）A．B．C．D．18.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A ．是直角三角形B ．异面直线与所成的角为C ．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D ．平面平面19. 已知，，且，则下列判断正确的是（ ）A．的最小值为12B．的最小值为C ．若不等式恒成立，则D．的最大值为820.设函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象可由的图象伸缩平移变换得到B ．直线为函数的图象的对称轴C．函数的图象的对称中心是，三、填空题D．函数的单调递增区间是，21. 已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）A．B．C．D．22. 已知函数的定义域为R ，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（ ）A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．23. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义.温州某高中随机调查了该校某两个班（A 班，B 班）4月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按，，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）A．B ．A 班该月平均每天产生的饮料瓶比B 班更多C ．若A 班和B 班4月产生饮料瓶数的第75百分位数分别是和，则D ．已知该校共有学生2000人，则约有400人4月份产生饮料瓶数在之间24.已知函数，则（ ）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D ．是以为周期的函数25. 2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D 的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.26. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为________________．27. 把正整数按如下规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，构成数列，则__________．28.记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为__________．29. 已知，为单位向量，，且，则________．四、解答题五、解答题30. 直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______．31. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．32. 设表示不超过的最大整数，如，，则________．33.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求34. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.35.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.36.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．37. （1）求值：；（2）已知，求的值.38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3.(1)求的值；(2)已知抽取的名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.40. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如(1)将的解析式写成分段函数的形式;(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;(3)根据图象写出函数的值域.41. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且.（1）在∠BDC的角平分线上，是否存在一点O，使得AO∥平面EFC？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD⊥平面ADC，BD⊥DC，，求二面角F-EC-D的正切值.42. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点．（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求点到该平面的距离．43. 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量，得到数据（单位均为）作为样本如下表所示.20212223242526272829脚掌长(x)六、解答题身高(y )141146154160169176181188197203（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．(参考数据：，，，)44. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：摸底成绩50354055806065359050期末成绩53515668877146317968并计算得：（1）画出散点图；（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．(附：)45. 如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O ，．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F ，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．46. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.47. 如图，在五面体中，已知平面，，为正三角形，且．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．48. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点为线段上一点.(1)求证：平面；(2)若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.49. 如图，在长方体中，，，点是线段中点．(1)求证：；(2)求点到平面的距离．50. 如图，在四棱锥中，，平面平面，设平面与平面的交线为.七、解答题(1)证明：平面平面；(2)已知.若直线与直线所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.51. 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200(1)求这2000个产品的平均利润是多少；(2)该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82852. 为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望.附表：P （K 2≥k 0）0.500.400.250.1500.1000.050k 00.4550.7801.3232.0722.7063.84153. 根据中国造纸协会统计数据显示，2014年以来，我国纸及纸板生产量整体呈现震荡上行趋势，增速保持在低位运行.如图是2014~2020年八、解答题中国纸及纸板生产量统计图.(1)试计算2014~2020年中国纸及纸板生产量的平均值、中位数与极差（平均值结果保留两位小数）；(2)2018年，行业景气度下滑，中国纸及纸板生产量小幅下滑，试计算2014~2017年、2018~2020年两个时间段中国纸及纸板生产量的平均值的大小，并比较这两个时间段中国纸及纸板生产量的方差的大小.54. 8年来，某地第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图表如下图所示，根据该图提供的信息解决下列问题.(1)在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；(2)由统计图表可看出，从第5年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第10年的第三产业生产总值.（参考公式：，）55. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.56. 在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.57.设函数，.（1）若，，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.①求，的值；②求实数的取值范围，使得对恒成立.58. 已知函数(1)当时，①求曲线的单调区间和极值；②求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．59. 已知椭圆：上的点到左焦点的最大距离是，且点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，是椭圆上的两点，且，求面积的取值范围．60. 如图，平面平面ABC，，，D分别为PA的中点，，．(1)设平面平面，若直线，证明：O为AC中点；(2)在（1）的条件下，求点P到平面BOD的距离．61. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.62. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．(1)证明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．。

天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，，则( )A. B.C.D.2.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.3.已知a ，，则“”是“函数是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏5.设，，，则 ( )A. B.C.D.6.若向量，满足：，，则在上的投影向量为( )A.B.C.D.7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为( )A. B. C. D.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是( )A. B. C. D.9.直线l：与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：的交点为C，D，给出下面三个结论：，；，；，其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则__________.11.某次体检，7位同学的身高单位：米分别为，，，，，，，则这组数据的第75百分位数是__________米12.的展开式的常数项为_______用数字作答13.海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为__________平方厘米．14.已知，函数若对任意恒成立，则a 的取值范围是__________.15.某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛.已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为__________.记所选3人中高一年级学生的人数为X，则随机变量X的数学期望__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

2019年天津市南开中学高三模拟考试数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别求出不等式和的解集，求得集合，再求出集合的交集即可.详解：，，则，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，注意正确求解对应的不等式，属于基础题目.2. 若实数满足不等式组，则的最小值为（）A. 2B. 3C.D. 14【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，则在点处取到最小值，，所以最小值为2，故选A.3. 执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么判断框中填入的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先从框图中观察各变量和各语句的作用，再根据流程图，可得到该程序所要解决的问题，逐步执行，求出满足条件的，并确定循环的条件，据此即可得到答案.详解：根据题中所给的框图，执行过程中会出现：，；，；，；观察选项，没有合适的条件，继续执行；根据上边的规律可以得到，再执行三次，得到，从而可以从选项中选出合适，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对执行框中的内容认真分析，虚拟执行，判断条件，得到结果.4. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.详解：因为，，，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.5. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：设出等比数列的公比为，利用等比数列的性质，根据已知等式求出的值，进而求出的值，表示出与，即可求出结果.详解：设等比数列的公比为，所以，所以，解得，，，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.6.中，“”是“为直角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：利用正弦定理以及二倍角公式，化简已知表达式，然后确定三角形的形状，即可推出两者的关系，得到选项.详解：由正弦定理可知，化为，所以，因为是三角形内角，所以或，即或，即或，所以中，“”是“为直角三角形”的必要不充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分条件和必要条件的判断，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，三角形形状的判断问题，在解题的过程中，需要对题的条件认真分析，理解透彻，从而求得最后的结果.7. 过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结，则，在直角三角形中，，连结为线段的中点，为坐标原点，，故选A．考点：1、双曲线和圆的标准方程；2、双曲线的定义和简单几何性质．【思路点睛】本题主要通过双曲线和圆的标准方程考查双曲线的定义和几何性质，属于难题．本题的难点在于怎样巧妙将双曲线的定义运用于解题过程，在解题过程中一定要注意两点：一是圆的半径正是双曲线的实半轴，从而利用切线性质得出；二是利用中位线得出后再巧妙地利用双曲线的定义得到．8. 设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由及的奇偶性求得，进而可把表示出来，分离出参数后，求函数的最值，问题即可解决.详解：由，即，得，又分别为偶函数、奇函数，所以，联立两个式子，可以解得，，即，即，即，因为存在实数，当时，不等式成立，，所以，所以的最小值为，故选A.点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，涉及到的知识点有奇偶函数的定义、函数解析式的求解、分离参数，恒成立问题向最值靠拢，利用函数的单调性得到最值，从而求得结果.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为__________．【答案】2.【解析】分析：根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数.详解：根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是，所以不小于40岁的人的频数是；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在年龄段抽取的人数为，故答案为2.10. 已知，则的展开式中常数项为__________．【答案】.【解析】n＝，二项式的展开式的通项为，令＝0，则r＝3，展开式中常数项为(－2)3＝－8×4＝－32.故答案为：-32.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为__________.【答案】.【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，分析得到其为一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以其体积为圆柱和圆锥的体积之和，结合图中所给的数据，利用体积公式求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，可以得到几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，利用相关数据可知圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故答案是.点睛：该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在求解的时候将其分割，计算即可.12. 已知抛物线的参数方程为(为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，点的横坐标为3，则__________．【答案】2.详解：抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，消去参数可得，化简可得，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是轴的抛物线，故焦点，准线的方程为，则由抛物线的定义可得，再由，可得为等边三角形，设点的坐标为，则点，把点的坐标代入抛物线的方程可得，即，再由，可得，即，解得或（舍去），故答案是2.点睛：该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的定义，有关三角形的边的关系，对应的等量关系式的建立，最后求得结果.13. 平行四边形中，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为__________．【答案】2.【解析】分析：根据，利用，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出的最大值.详解：因为，所以，又，即，所以，当且仅当，即时，取得最大值2，故答案是2.点睛：该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用.14. 用五种不同的颜色给三棱柱六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有__________种.(用数字作答）【答案】1920.【解析】分析：分两步来进行，先涂，再涂，然后分若5种颜色都用上、若5种颜色只用4种、若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，再相加，即可得结果.详解：分两步来进行，先涂，再涂.第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；综上可得，不同涂色方案共有种，故答案是1920.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有分步计数乘法原理和分类计数加法原理，要认真分析题的条件，列式求得结果.解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数的图象经过点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；的单调递增区间为.(2).【解析】分析：（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；（2）由，可得，可得的取值范围是，根据不等式恒成立，即，从而求得结果.详解：（1）因为经过点，所以，，因为的单调递增区间为所以所以所以的单调递增区间为.（2）由（1）知，因为，所以，当，即时，，因为恒成立即，所以所.点睛：该题考查的是有关三角函数的恒等变换以及恒成立问题，涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等，在解题的过程中，注意正确使用公式，再者就是将恒成立问题转化为最值来处理即可.16. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1).(2)分布列见解析；.【解析】分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ,(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率为；(2)的所有可能取值为0, 2, 4，由于与互斥，与互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望.详解：（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ,这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率.（2）的所有可能取值为0, 2, 4.由于与互斥，与互斥，所以，，所以的分布列是所以随机变量的数学期望.点睛：该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列及其期望，在解题的过程中，需要认真审题，正确使用公式计算结果.17. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析.(2).(3)；证明见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 已知数列是首项的等差数列，设.（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)证明见解析.(2) .(3)11.【解析】分析：(1)运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；(2)利用裂项相消法求和即可；(3)根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值，再由恒成立思想可得的范围，进而得到最大值.详解：（1）由及，得，所以.因为，所以，即.则，所以数列是首项，公比的等比数列.（2）由（1），得，所以（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立.设，则.所以，故的最小值是/.由，得整数可取最大值为11.点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解.19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.【答案】(1).(2) ①证明见解析，；②.【解析】试题分析：（1）首先由题意得到，即.将代入可得，由，可得.得解.（2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即.得到.由，作出结论.（ⅱ）直线BD的方程，从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解.试题解析：（1）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（2）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（ⅱ）直线BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.视频20. 已知，其中常数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求证：；（3）求证：.【答案】(1)有极小值，没有极大值.(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】试题分析：先写出函数的定义域，（1）由，求出的导数，再求出的单调性，即可求得极值；（2）先证明：当恒成立时，有成立，若，则显然成立；若，运用参数分离，构造新函数通过求导数及单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当当时，恒成立，可设设，求出导数，单调区间及最大值，运用不等式的性质，即可得证.试题解析：函数的定义域为，（1）当时，，，而在上单调递增，又，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值.（2）先证明：当恒成立时，有成立.若，则显然成立；若，由得，令，则，令，由得在上单调递增，又∵，所以在上为负，在上为正，∴ 在上递减，在上递增∴，从而.因而函数若有两个零点，则，所以，由得，则，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增∴，则∴由得，则∴，综上得.（3）由（2）知当时，恒成立，所以，即，设，则，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以的最大值为，即，因而，所以，即点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。