安徽省蚌埠市2018届高三上学期第一次教学质量检查考试数学(理)试题 Word版含解析

2018届高三数学理第一次教学质量检测试卷安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A. 5 B . . D .2.已知等差数，若，则的前7项的和是（）A. 112 B . 51 . 28 D. 183.已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（）A. B ..且D .4.若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（）A .B . . D .5.执行如图程序框图，若输入的等于10,则输出的结果是（）6.已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（）（附：若服从，则，）A. 3413 件B . 4772 件.6826 件D . 8185 件7.将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原的倍，得到的图像，则的可能取值为（）A. B . . D.8.已知数列的前项和为，若，则（）A. B . . D.9.如图，格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B . . D .10.已知直线与曲线相切（其中为自然对数的底数）, 则实数的值是（）A .B . 1 . 2 D .11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时.两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A. 320千元B . 360千元.400千元D . 440千元12.已知函数（其中为自然对数的底数），若函数有4 个零点，贝U的取值范围为（）A. B . . D.第口卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若平面向量满足，则.14.已知是常数，，且，贝U .15.抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点（第一象限内）作的垂线，垂足为.若四边形的周长为16,则点的坐标为.16.在四面体中，，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分理科.每个考生，英语、语、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科目，政治、历史、地理为社会科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目，两个科目属于自然科目.若该考生所选的社会科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科目考试的成绩获等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.19.如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.21.已知.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.23.选修4-5 :不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: AB 6-10: DDAB 11 、12：BD二、填空题13. 14. 3 15. 16.三、解答题17.解：（1）根据正弦定理，由已知得：, 即,• •• • •• • ••••，从而.• • •• • •? ・（2）由（1）和余弦定理得，即，• •即（当且仅当时等号成立）. 所以，周长的最大值为.18.（ 1 ）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率为.（2）随机变量的所有可能取值有0,1 ，2，3. 因为，?所以的分布列为所以.19.(1)证明：连结，交于点,•••为的中点，二.•••平面,平面,•••平面.•••都垂直底面,• •■• ••••为平行四边形，•••.•••平面,平面,•••平面.又•••，•••平面平面.(2)由已知，平面,是正方形.•••两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.设，则，从而，• •设平面的一个法向量为，由得.令，则，从而.•••，设与平面所成的角为，则所以，直线与平面所成角的正弦值为.20.(1)由已知可得，椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的标准方程为，焦距为，则,椭圆的标准方程为.又•••椭圆过点，•••，解得.椭圆的标准方程为.(2)由于点在椭圆夕卜，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得，.由得，从而，• •■•••点至U直线的距离，•••的面积为.令，则，• •当即时，有最大值，，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.21. (I) 的定义域为，.• •■令，贝y(1)若，即当时，对任意，恒成立，即当时，恒成立(仅在孤立点处等号成立)•••在上单调递增.(2)若，即当或时，的对称轴为.①当时，，且.如图，任意,恒成立，即任意时，恒成立，•••在上单调递增.②当时，，且.如图，记的两根为•••当时，；当时，.•••当时，，当时，.•在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.(n) 恒成立等价于,恒成立.令，则恒成立等价于，. 要满足式，即在时取得最大值.• •■由解得.当时，，•••当时，；当时，.•••当时，在上单调递增，在上单调递减，从而符合题意. 所以，. 22.（1）由得：.因为，所以， 即曲线的普通方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为 设曲线上的动点， 由动点在圆上可得：. • • 当时，， • •■ 23. （ 1）， 或或 或，所以，原不等式的解集为. （2）由条件知，不等式有解，则 由于，当且仅当，即当时等号成立，故 所以，的取值范围是.，半径为1.即可.。

蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为. 【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，. （1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. 【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值.【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值.【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围.【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。

安徽蚌埠市2018年高考数学三模试卷（理科含解析）
5 c 安徽省蚌埠市4坐标系与参数方程]
23．（1几何证明选讲]
22．如图，在△ABc和△AcD中，∠AcB=∠ADc=90°，∠BAc=∠cAD，⊙是以AB为直径的圆，Dc的延长线与AB的延长线交于点E．（Ⅰ）求证Dc是⊙的切线；
（Ⅱ）若EB=6，Ec=6 ，求Bc的长．
【分析】（Ⅰ）先得出点c在⊙上，连接c，可得∠cA=∠Ac=∠DAc，从而c∥AD，结合AD⊥Dc得出Dc⊥c，从而Dc是⊙的切线（Ⅱ）利用切割线定理求出EA=12，再证出△EcB∽△EAc，得出Ac= Bc，在RT△AcB中求解．
【解答】（Ⅰ）证明∵⊙是以AB为直径的圆，∠AcB=90°，∴点c在⊙上，连接c，可得∠cA=∠Ac=∠DAc，∴c∥AD，
又∵AD⊥Dc，∴Dc⊥c，∵c为半径，∴Dc是⊙的切线．
（Ⅱ）解∵Dc是⊙的切线，∴Ec2=EBEA，又∵EB=6，Ec=6 ，∴EA=12．
∵∠EcB=∠EAc，∠cEB=∠AEc，∴△EcB∽△EAc，∴ ，Ac= Bc，∵Ac2+Bc2=AB2=36，∴Bc=
【点评】本题考查圆的切线的证明，与圆有关的线段求解．需掌握切割线定理、弦切角定理等知识．
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．（2018蚌埠三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线c的极坐标方程是ρ= ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点（﹣1，0），直线l与曲线c交于A、B两点．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程与曲线c的普通方程；
（Ⅱ）求线段A、B长度之积AB的值．
【分析】（Ⅰ）先求出直线l的普通方程，再求出直线l的极坐。

2017-2018学年 数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知{}{}31,3,9,27,81,|log ,A B y y x x A ===∈，则A B = （ ） A ．{}1,3 B ．{}3,27,81 C ．{}1,3,9 D ．{}9,272.数列{}n a 是等比数列，2104a a = ，且2100a a +>，则6a =（ ） A ．1 B ．2 C ．1± D ．2±3. 0000cos10cos 20cos80sin 20-= （ ）A ．12B ．0cos10 CD ．0sin10-4.已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ）A ．1e 在2e 方向上的投影为cos θB ．2212e e = C ．()()1212e e e e +⊥- D ．121e e =5.“11x>”是“11x e -<”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若87135a a =，则1513SS =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.函数()2af x x x=+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ） A ．B ．C ．D ．8.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin A C B +=，则ABC ∆中最大角的度数等于（ ）A ．90°B ．75°C ．135°D ．105°9.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概率，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面，书的第6卷19题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量成等差数列），则其余两节的容量共多少升（ ） A ．15166 B ．3122 C ．15266 D ．322210.已知()12,0,M x N x A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象上，12x x -的最小值3π，则ω=（ ）A ．2B ．43 C ．1 D ．1311.设{},min ,,y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，若定义域为R 的函数()(),f x g x 满足()()221xf xg x x +=+，则()(){}min ,f x g x 的最大值为（ ）A ．14 B C ．12D12.如图，四边形ABCD 中，0135,120BAD ADC ∠=∠=，0045,60,BCD ABC BC ∠=∠==，则线段AC 长度的取值范围是（ ）A ．B ．32⎡⎢⎣C ．D ．32⎛ ⎝二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()11sin x x dx -+=⎰___________．14.如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则3λμ-=__________．15.对于任意实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，如[]0,21-=-，[]1.721=，已知()*,3n n n a n N S ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦为数列{}n a 的前项和，则2017S =___________．16.当()0,x ∈+∞时，不等式()221ln 0c x cx x cx -++≥恒成立，则实数c 的取值范围是_____________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数()f x =A ，集合{}22|290B x x mx m =-+-≤．（1）若[]2,3A B = ，求实数m 的值；（2）若()12,R x A x C B ∀∈∃∈，使21x x =，求实数m 的取值范围． 18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足112,23n n a a a n +=+=+． （1）求234,,a a a ； （2）求n a 的表达式．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,B,C A 的对边分别为,,a b c ，若()3cos 26cos cos B C B C --=． （1）求cos A 的值；（2）若a ABC =∆,b c 边长． 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21n n a S n N =-∈． （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若()21n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n T ． 21.（本小题满分12分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距32海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时8海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D 岛24海里处，不让其进入D 岛24海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．（参考数据：0sin 36520.6,sin 53080.8''≈≈） 22.（本小题满分12分）已知函数()22cos f x x ax b x =++函数在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线为34y π=． （1）求函数,a b 的值，并求出()f x 在[]0,π上的单调区间； （2）若()()12f x f x =，且120x x π<<<，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭．参考答案一、选择题二、填空题13. 1 14. 0 15. 677712 16. {}1,e e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解析：（1）{}{}|13,,|m 3x m 3,x R,m R A x x x R B x =-≤≤∈=-≤≤+∈∈， 因为[]2,3A B = ，所以5m =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分下面用数学归纳法证明：①12a =，猜想成立； ②假设()*n k k N =∈时，1k a k =+，则()()12312311k k a a k k k k +=-++=-+++=++，即1n k =+时猜想成立，综合①②，由数学归纳法原理知：()*1n a n n N =+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分方法二：由123n n a a n ++=+得：()()()()1121120nn n a n a n a +-+=--+==--=⎡⎤⎣⎦ ，所以：()*1n a n n N =+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．12分方法三：由123n n a a n ++=+得：2125n n a a n +++=+，两式作差得：22n n a a +-=， 于是135,,,a a a 是首项12a =，公差为2的等差数列，那么()*212k a k k N -=∈， 且246,,,a a a 是首项23a =，公差为2的等差数列，那么()*221k a k k N =+∈， 综上可知：()*1n a n n N =+∈．．．．．．．．．．．．．12分 19.解析：（1）由()3cos 26cos cos B C B C --=，得()3cos cos sin sin 2B C B C -=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分即()2cos 3B C +=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 在ABC ∆内，()2cos cos 3A B C =-+=，．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵20,cos 3A A π<<=，∴sin A =，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴()()()22521cos 20b c bc A b c =+-+=+-，∴5b c +=．．．．．．．．．．．．．10分由56b c bc +=⎧⎨=⎩，得23b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解析：（1）当1n =时，1112121a S a =-=-，解得11a =；．．．．．．．．．．．．．．．1分 当2n ≥时，1121,21n n n n a S a S --=-=-，两式相减得12n n n a a a --=，．．．．．．．．．．．．．．．．3分化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为1，公比为-1的等比数列．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）可得()111n n a -=⨯-，所以()()1211n n b n -=+- ，下提供三种求和方法供参考：．．．．．．．6分【错位相减法】()()()()()121315171211n n T n -=-+-+-+++- ，()()()()()()1213151211211n nn T n n --=-+-++--++- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分两式相减得()()()()()12123212121211n nn T n -=+-+-++--+- ．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ()()()()1113221111n n n -⎡⎤---⎣⎦=+⨯-+--- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ()()12212n n -=+-+ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以数列{}n b 的前n 项和()()1111n n T n -=+-+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【并项求和法】当n 为偶数时，()12,22n n n nb b T n -+=-=⨯-=-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()111232n n n T T b n n n ++=-=-+--+=+⎡⎤⎣⎦；．．．．．．．．．．．．11分 综上，数列{}n b 的前n 项和,2,n n n T n n -⎧=⎨+⎩为偶数为奇数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【裂项相消法】 因为()()()()()11211111n n nn b n n n --=+-=--+- ．．．．．．．．．．．．．．9分 所以()()()()()()()0112111212131111n nn T n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+---++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()01111111n nn n =--+-=--+ ，所以数列{}n b 的前n 项和()()1111n n T n -=+-+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解析：（1）依题意，在ABD ∆中，045DAB ∠=，由余弦定理得(2222022cos 4532232800DB AD AB AD AB =+-=+-⨯= ，∴DB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分即此时该外国船只与D岛的距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）过点B 作BC AD ⊥于点C ，在Rt ABC ∆中，AC BC ==CD AD AC =-=，．．．．．．．．．．6分 以D 为圆心，24为半径的圆交BC 于点E ，连结,AE DE ， 在Rt DEC ∆中，CE ==，∴BE =．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又AE ==，∴03sin 36525CE EAC EAC AE '∠==⇒∠≈．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 外国船只到达点E的时间8BE t ==（小时） ∴海监船的速度40AEv t≥=（海里/小时）．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故海监船的航向为北偏东0009036525308''-=，速度的最小值为40海里/小时．．．．．．．．．．12分22.解析：（1）由题意：()22sin f x ax b x '=+-，所以02324f f πππ⎧⎛⎫'= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得11a b π⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故()()2122cos ,2sin f x x x x f x x x ππ'=-+=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当02x π<<时，()f x '为减函数，且()()0,0,2f f x f x π⎛⎫''=>⎪⎝⎭为增函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 当2x ππ<<时，()2cos f x x π''=--为增函数，且()220,102f f ππππ⎛⎫''''=-<=-> ⎪⎝⎭，故存在唯一m 使()0f m =，所以()f x '在,2m π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在(),m π上为增函数， 又因为()0,02f f ππ⎛⎫''==⎪⎝⎭，所以2x ππ<<时，()()0,f x f x '<为减函数，．．．．．．．．．．．．5分 综上可知：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为增函数； ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由()()12f x f x =，得221211222cos 2cos x x x x x x ππ-+=-+，所以()()()1212121212cos cos 0x x x x x x x x π--+-+-=，两边同除以12x x -，得()121212cosx cos 120x x x x x π--++=-，令1202x x x +=，则12120122sinsin 22220x x x xx x x π+---+=-， 所以1200122sin sin2220x x x x x x π---=-，得1200122sin sin 222x xx x x x π--=-．．．．．．8分 因为()22sin xf x x π'=--，所以()1200000122sin sin222sin sin x x x x f x x x x x π-'=--=--12012sin 2sin 12x x x x x -⎛⎫ ⎪=- ⎪- ⎪⎝⎭ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 令()()21sin ,0,,2x x x x x h x x π-=∈=，则()x cos sin x x h x x -'=， 当02x π<<时，()()0,h x h x '<为减函数，当2x ππ<<时，()()0,h x h x '<为减函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以()01h →，（也可以利用斜率），所以()1212sin21,102x x h x x x -<-<-， 又()00,x π∈，所以0sin 0x >，故()00f x '<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

2018年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的A,B,C,D,的四个选项中只有一项是符合题目要求的1. 已知全集U =R ，集合A ={x|lgx ≤0}，B ={x||x +1|>1}，则(∁U A)∩B =( ) A.(−2, 1)B.(−∞, −2]∪(1, +∞)C.[−2, 1)D.(−∞, −2)∪(1, +∞) 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】根据对数函数和绝对值的性质，求出集合A 和B ，求出C U A ，再根据交集的定义进行求解； 【解答】由lgx ≤0，得{x >0x ≤1 ，即0<x ≤1，故A ={x|0<x ≤1}， 所以C U A ={x|x ≤0或x >1}；由|x +1|>1，得x +1<−1或x +1>1，解得x <−2，或x >0，所以B ={x|x <−2或x >0}， 所以(C U A)∩B ={x|x <−2或x >1}，2. 已知复数z =−3+4i 2−i，则z ⋅z =( )A.−5B.5C.−√5D.√5【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】 复数z =−3+4i 2−i=(−3+4i)(2+i)(2−i)(2+i)=−10+5i 5=−2+i ，z =−2−i ．则z ⋅z =(−2+i)(−2−i)=(−2)2+12=(5)3. 命题“∃x 0∈R ，e x 0>2x 03”的否命题是（ ） A.∃x 0∉R ，e x 0>2x 03 B.∃x 0∈R ，e x 0≤2x 03 C.∀x ∉R ，e x >2x 3 D.∀x ∈R ，e x ≤2x 3 【答案】D【考点】命题的否定 【解析】根据特称命题的否命题是全称命题，写出对应的命题即可． 【解答】解：特称命题“∃x 0∈R ，e x 0>2x 03”的否命题是全称命题“∀x ∈R ，e x ≤2x 3”．故选D .4. 已知随机变量X 服从正态分布N(1, σ2)，若P(X ≤2)=0.72，则P(X ≤0)=( ) A.0.22 B.0.28 C.0.36 D.0.64 【答案】 B【考点】正态分布的密度曲线 【解析】随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，得到曲线关于x =1对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果． 【解答】随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)， ∴ 曲线关于x =1对称，∴ P(x ≤0)=P(x ≥2)=1−P(x ≤2)=0.285. 已知a →=(2, 1)，b →=(−1, 1)，则a →在b →方向上的投影为（ ） A.−√22B.√22C.−√55D.√55【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据条件即可求出a →⋅b →及|b →|的值，而a →在b →方向上的投影计算公式为a →⋅b →|b →|，从而求出该投影的值． 【解答】a →⋅b →=−2+1=−1，|b →|=√2； ∴ a →在b →方向上的投影为：a →⋅b →|b →|=√2=−√22．6. 根据如下样本数据：得到回归方程y ∧=−0.7x +8.2，则（ ） A.a =5B.变量x 与y 线性正相关C.当x =11时，可以确定y =0.5D.变量x 与y 之间是函数关系 【答案】 A【考点】求解线性回归方程 【解析】计算x 、y ，代入回归方程求得a 的值． 【解答】计算x =14×(3+5+7+9)=6，y =14×(6+a +3+2)=11+a 4，回归方程y ∧=−0.7x +8.2， 则11+a 4=−0.7×6+8.2，解得a =(5)7. 若正数x ，y 满足约束条件2<x +2y <4，则y+1x+1的取值范围是（ ） A.(15, 3) B.(13, 2)C.(15, 2)D.(13, 3)【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，再由y+1x+1的几何意义，即可行域内的动点与点P(−1, −1)连线的斜率求解． 【解答】由约束条件{x +2y >2x +2y <4x >0y >0 作出可行域如图，y+1x+1的几何意义为可行域内的动点与点P(−1, −1)连线的斜率．∵ k PA =15，k PB =(3) ∴ y+1x+1的取值范围是(15, 3)，8. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ） A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 【答案】 D【考点】计数原理的应用 【解析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案 【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有A 43=24(种)，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有C 31⋅C 42⋅A 22=36(种)， 根据分类计数原理，共有24+36=60（种）， 故选D .9. 如图，网络纸的小正方形的边长是1，粗线为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.23πB.πC.2πD.4π【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】根据三视图可得该几何体时一个圆柱的一半，根据圆柱的体积公式计算即可， 【解答】根据三视图可得该几何体时一个圆柱的一半，该圆柱的底面半径为1，高为2， 其体积V =12×π×12×2=π，10. 点A是椭圆x24+y23=1与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的交点，若点A的横坐标为1，则双曲线的离心率等于（）A.4 3B.32C.√132D.53【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】将x=1代入椭圆方程求得A点坐标，代入双曲线的渐近线方程，求得ba =32，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案．【解答】当x=1时，代入椭圆方程：x24+y23=1，解得：y=±32，假设A在第一象限，则A(1, 32)，双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程y=±bax，则A在直线y=bax，则ba=32，双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√132，∴双曲线的离心率为√132，11. 正实数x，y满足x lgy y lgx=100，则xy的取值范围是（）A.[1100, 100]B.(0, 1100]∪[100, +∞)C.(0, 110]∪[10, +∞)D.[110, 10]【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】正实数x，y满足x lgy y lgx=100，两边取对数可得：lgxlgy=(1)则1≤(lgx+lgy2)2，即可可得lg(xy)≥2或lg(xy)≤−2，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】正实数x，y满足x lgy y lgx=100，两边取对数可得：2lgxlgy=2，化为：lgxlgy=(1)则1=lgxlgy≤(lgx+lgy2)2，∴lg(xy)≥2或lg(xy)≤−2，解得xy ≥100，0<xy ≤1100．∴ xy 的取值范围是(0,1100brack ∪[100, +∞)．故选：B ．12. 圆C 的方程为：(x +a)2+(y −a)2=1，点A(0, 3)，O 为坐标原点，若C 上存在点P ，使得|PA|=2|PO|，则a 的取值范围是（ ） A.(−1−√172, −1)∪(0, −1+√172)B.(−1−√172, −1+√172)C.[−1−√172, −1]∪[0, −1+√172]D.[−1−√172, −1+√172]【答案】C【考点】直线与圆的位置关系 【解析】设出点C ，P 的坐标，利用|PA|=|2PO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论． 【解答】设点P(x, y)，因为|PA|=2|PO|，∴ (y −3)2+x 2=4(x 2+y 2)， 化简得整理得：x 2+(y +1)2=4，所以点P 既在以D(0, −1)为圆心，2为半径的圆上． 又点P(x, y)在圆C 上，即圆C 与圆D 有公共点P ， C(−a, a)，半径r =1， 则若两圆相交，则满足2−1≤|CD|≤2+1，即1≤√(−a −0)2+(a +1)2≤3， 即1≤2a 2+2a +1≤9，得{2a 2+2a +1≥12a 2+2a +1≤9 得{a 2+a ≥0a 2+a −4≤0， 即{a ≥0或a ≤−1−1−√172≤a ≤−1+√172得0≤a ≤−1+√172或−1−√172≤a ≤−1，综上实数a 的取值范围是[−1−√172, −1]∪[0, −1+√172]，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）曲线y =e x +cosx 在(0, 2)处的切线方程为________． 【答案】 x −y +2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，切线切线的斜率，从而求出切线方程即可．【解答】y′=e x−sinx，y′|x=0=1，故切线方程是：y−2=x，即x−y+2=0，二项式(2x−1x)6的展开式中常数项为________（用数字表示）．【答案】−160【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项式展开式的通项公式T r+1，令x的指数等于0，求出常数项．【解答】解：∵二项式的展开式的通项公式是：T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅26−r⋅C6r⋅x6−2r，令6−2r=0，解得r=3，∴常数项为T3+1=(−1)3⋅26−3⋅C63=−8×20=−160.故答案为：−160.函数f(x)=sin(2x+φ)−2cos(2x+φ)(0≤φ≤π2)的图象关于x=π4对称，则sinφ=________【答案】2√55【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用辅助角公式化积，结合f(x)的图象关于x=π4对称，可得2×π4+φ+θ=π2+kπ，k∈Z，得到φ=kπ−θ，然后对k分类求解．【解答】∵f(x)=sin(2x+φ)−2cos(2x+φ)=√5sin(2x+φ−θ)，(sinθ=2√55, cosθ=√55)．且f(x)的图象关于x=π4对称，∴2×π4+φ+θ=π2+kπ，k∈Z．则φ=kπ−θ，∴ sinφ=sin(kπ−θ)． 当k 为偶数时，sinφ=−sinθ=−2√55（舍）； 当k 为奇数时，sinφ=sinθ=2√55．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在球O 的表面上，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AA 1的中点，则平面EFG 与平面BC 1D 截球O 所得圆的面积之比为________． 【答案】 58【考点】 球的体积和表面积 【解析】设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则球半径R =√4+4+42=√3，球心O 到平面EFG的距离为√3−√33=2√33，球心O 到平面BC 1D 的距离为√32，由此能求出平面EFG 与平面BC 1D 截球O 所得圆的面积之比． 【解答】解：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在球O 的表面上， ∴ 球心O 是对角线AC 1的中点，∴ 球半径R =√4+4+42=√3，∵ 点A 到平面EFG 的距离为√33，∴ 球心O 到平面EFG 的距离为√3−√33=2√33， 球心O 到平面BC 1D 的距离为√32，∴ 平面EFG 与平面BC 1D 截球O 所得圆的面积之比：π×(√(√3)2−(2√33)2)2−(√3)=58．故答案为：58.三、解答题（共5小题，满分60分）解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤数列{a n }是以2为公差的等差数列，且a 2，a 4，a 8为等比数列． (Ⅰ)数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项之和． 【答案】(Ⅰ)数列{a n }是等差数列，a 2，a 4，a 8为等比数列．即a 42=a 2a 8，公差d =2，∴ (a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)， 解得：a 1=2， ∴ a n =2n ．(Ⅱ)由b n=a2n，可得{b n}的通项为．b n=2⋅2n．那么b n+1=2⋅2n+1．∴b n+1=2=q．b n∴数列{b n}为等比数列，首项为4，公比为(2)=2n+2−4．数列{b n}的前n项之和S n=4(1−2n)1−2【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)数列{a n}是等差数列，a2，a4，a8为等比数列建立关系即可求解数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)由b n=a2n，可得{b n}的通项．可知{b n}是等比数列，即可求解数列{b n}的前n项的和．【解答】(Ⅰ)数列{a n}是等差数列，a2，a4，a8为等比数列．即a42=a2a8，公差d=2，∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，解得：a1=2，∴a n=2n．(Ⅱ)由b n=a2n，可得{b n}的通项为．b n=2⋅2n．那么b n+1=2⋅2n+1．∴b n+1=2=q．b n∴数列{b n}为等比数列，首项为4，公比为(2)=2n+2−4．数列{b n}的前n项之和S n=4(1−2n)1−2如图1，四边形ABCD中，AB=AD=DC=2，BC=2√2，∠ABC=45∘，M为AD的中点，Q为AB的中点，沿AC把△ADC折起使点D到点P（如图2），若平面PAC⊥平面PAB．(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角M−QC−A的正切值．【答案】证明：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2×AB×BC×cos45∘=√4+8−2×2×2√2×√2=2，2∴△ABC为直角三角形，△ACD是等边三角形，且AB⊥AC，CM⊥AP，∵ 面PAC ⊥面PAB ，且交线为AP ，∴ CM ⊥面PAB ，∴ CM ⊥AB ，从而AB ⊥面APC ， ∵ AB ⊂面ABC ，∴ 平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)过M 作MH ⊥AC ，垂足为H ，过H 作HE ⊥CQ ，垂足为E ， 连结ME ，则∠MEH 是二面角M −QC −A 的平面角， 在△AMC 及△CQH 中，由面积得MH =√32，HE =3√510， ∴ tan∠MEH =MH HE=√153．∴ 二面角M −QC −A 的正切值为√153．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)由余弦定理得AC =2，从而△ABC 为直角三角形，△ACD 是等边三角形，且AB ⊥AC ，CM ⊥AP ，进而CM ⊥面PAB ，CM ⊥AB ，从而AB ⊥面APC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)过M 作MH ⊥AC ，垂足为H ，过H 作HE ⊥CQ ，垂足为E ，连结ME ，则∠MEH 是二面角M −QC −A 的平面角，由此能求出二面角M −QC −A 的正切值． 【解答】证明：(Ⅰ)在△ABC 中，由余弦定理得：AC =√AB 2+BC 2−2×AB ×BC ×cos45∘=√4+8−2×2×2√2×√22=2，∴ △ABC 为直角三角形，△ACD 是等边三角形，且AB ⊥AC ，CM ⊥AP ， ∵ 面PAC ⊥面PAB ，且交线为AP ，∴ CM ⊥面PAB ，∴ CM ⊥AB ，从而AB ⊥面APC ， ∵ AB ⊂面ABC ，∴ 平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)过M 作MH ⊥AC ，垂足为H ，过H 作HE ⊥CQ ，垂足为E ， 连结ME ，则∠MEH 是二面角M −QC −A 的平面角， 在△AMC 及△CQH 中，由面积得MH =√32，HE =3√510， ∴ tan∠MEH =MH HE=√153．∴ 二面角M −QC −A 的正切值为√153．某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅱ)假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率；(Ⅲ)从选考方案确定的8名男生随机选出2名，设随机变量ξ={1,2名男生选考方案相同2,2名男生选考方案不同求ξ的分布列及数学期望Eξ． 【答案】(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x ， 则x =420×8+108+6+10+6×6+48+10=420×35×59=140（人）， 所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人； (Ⅱ)该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为 P =C 21∗C 31C 101∗C 81=340；(Ⅲ)由题意知ξ的所有可能取值为1，2， P(ξ=1)=C 42+C 22C 82=6+128=14，P(ξ=2)=C 41∗C21+C41∗C11+C41∗C11+C21∗C11+C21∗C11+C11∗C1182=8+4+4+2+2+128=34；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为E(ξ)=1×14+2×34=74．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)利用分层抽样原理求得对应的学生人数；(Ⅱ)根据相互独立事件的概率公式计算所求的概率值；(Ⅲ)由题意知随机变量ξ的可能取值，计算对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．【解答】(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，则x=420×8+108+6+10+6×6+48+10=420×35×59=140（人），所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人；(Ⅱ)该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为P=C21∗C31C101∗C81=340；(Ⅲ)由题意知ξ的所有可能取值为1，2，P(ξ=1)=C42+C22C82=6+128=14，P(ξ=2)=C41∗C21+C41∗C11+C41∗C11+C21∗C11+C21∗C11+C11∗C11C82=8+4+4+2+2+128=34；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为E(ξ)=1×14+2×34=74．已在F为抛物线C:x2=4y的焦点A(x1, y1)，B(x2, y2)为抛物线上两点，分别过A，B 作抛物线的切线交于点P．(Ⅰ)若直线PA交y轴于点Q，证明：|FQ|=y1+1；(Ⅱ)设PA，PB分别交x轴于M，N两点，同△PMN的外接圆是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．【答案】(I)由x2=4y得：y=x24，故而y′=x2，∴直线PA的方程为：y−y1=x12(x−x1)，令x=0得y=y1−x122=y1−2y1=−y1，即Q(0, −y1)，又F(0, 1)，y1>0，∴|FQ|=y1+(1)(II)由(I)知：PA方程为y−y1=x12(x−x1)，令y=0可得x=2y1x1=x12，即M(x12, 0)，∴K MF=1−x12=−2x1．∴k PA⋅k MF=−1，∴MF⊥PA，同理可得NF⊥PB，∴P，F，M，N四点共圆，∴△PMN的外接圆过定点F(0, 1)．【考点】抛物线的求解【解析】(I)利用导数的几何意义求出PA方程，得出Q点坐标，从而得出结论；(II)求出M，N的坐标，得出PA⊥MF，PB⊥NF，于是P，F，M，N四点共圆，从而得出F为所求定点．【解答】(I)由x2=4y得：y=x24，故而y′=x2，∴直线PA的方程为：y−y1=x12(x−x1)，令x=0得y=y1−x122=y1−2y1=−y1，即Q(0, −y1)，又F(0, 1)，y1>0，∴|FQ|=y1+(1)(II)由(I)知：PA方程为y−y1=x12(x−x1)，令y=0可得x=2y1x1=x12，即M(x12, 0)，∴K MF=1−x12=−2x1．∴k PA⋅k MF=−1，∴MF⊥PA，同理可得NF⊥PB，∴P，F，M，N四点共圆，∴△PMN的外接圆过定点F(0, 1)．已知函数f(x)=lnxx．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)记函数g(x)=(x +1)f(x +1)．若∀x ∈(0, 1],g(x)≥xax+1恒成立，求正实数a 的最小值． 【答案】 (Ⅰ)依题意f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)>0，得0<x <e ， 令f′(x)<0，得x >e ，∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为(e, +∞)； (Ⅱ)令H(x)=g(x)−x ax+1=ln(x +1)−xax+1，x ∈(0, 1]， ∴ H′(x)=1x+1−1(ax+1)2=x[a 2x+(2a−1)brack (x+1)(ax+1)2，①若a ≥12，则a 2x +(2a −1)≥0，H′(x)≥0，∴ H(x)在(0, 1]上单调递增，∴ H(x)≥H(0)=0，结论成立， ②√2−1<a <12，则H′(x)=0⇒x =1−2a a 2=(1a )2−2(1a )∈(0, 1)，∴ x ∈(0, 1−2a a 2)，H′(x)<0，∴ H(x)在(0, 1−2aa 2)上单调递减，∴ H(1−2aa2)<H(0)=0，不合题意，③若0<a <√2−1，则H(1)=ln2−1a+1≤ln2−√22<0，不合题意，综上所述，a 的最小值为12．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)根据导数和函数的单调性关系即可求出，(Ⅱ)令H(x)=g(x)−xax+1=ln(x +1)−xax+1，x ∈(0, 1]，求导，分类讨论，判断函数的单调性，即可求出a 的取值范围． 【解答】 (Ⅰ)依题意f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)>0，得0<x <e ， 令f′(x)<0，得x >e ，∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为(e, +∞)； (Ⅱ)令H(x)=g(x)−x ax+1=ln(x +1)−xax+1，x ∈(0, 1]， ∴ H′(x)=1x+1−1(ax+1)2=x[a 2x+(2a−1)brack (x+1)(ax+1)2，①若a ≥12，则a 2x +(2a −1)≥0，H′(x)≥0，∴ H(x)在(0, 1]上单调递增，∴ H(x)≥H(0)=0，结论成立， ②√2−1<a <12，则H′(x)=0⇒x =1−2a a 2=(1a )2−2(1a )∈(0, 1)，∴ x ∈(0, 1−2a a 2)，H′(x)<0，∴ H(x)在(0, 1−2aa 2)上单调递减，∴ H(1−2aa2)<H(0)=0，不合题意，③若0<a <√2−1，则H(1)=ln2−1a+1≤ln2−√22<0，不合题意，综上所述，a 的最小值为12． [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−12ty =3√3+√32t （t 为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ射线，OM:θ=π3(ρ≥0)与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ．(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程； (Ⅱ)求线段PQ 的长度． 【答案】(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−12ty =3√3+√32t （t 为参数）， 转化为直角坐标方程为：√3x +y −3√3=0，转化为极坐标方程为：√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0．(Ⅱ)圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ射线，OM:θ=π3(ρ≥0)与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ．则：{ρ=2cosθθ=π3，解得：ρ1=(1){√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0θ=π3，解得：ρ2=(3) 故：|PQ|=|ρ1−ρ2|=3−1=(2) 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转换． (Ⅱ)利用所建立的方程组求出结果． 【解答】(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−12ty =3√3+√32t （t 为参数）， 转化为直角坐标方程为：√3x +y −3√3=0，转化为极坐标方程为：√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0．(Ⅱ)圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ射线，OM:θ=π3(ρ≥0)与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ．则：{ρ=2cosθθ=π3，解得：ρ1=(1){√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0θ=π3，解得：ρ2=(3) 故：|PQ|=|ρ1−ρ2|=3−1=(2) [选修4-5：不等式选讲]设f(x)=|2x −a|+|x −a|．(Ⅰ)若a =1，解关于x 的不等式f(x)>2； (Ⅱ)求证：f(t)+f(−1t )≥6．【答案】(Ⅰ)若a =1，关于x 的不等式f(x)>2即为 |2x −1|+|x −1|>2，当x ≥1时，2x −1+x −1>2，解得x >43； 当x ≤12时，1−2x +1−x >2，解得x <0； 当12<x <1时，2x −1+1−x >2，解得x ∈⌀． 综上可得f(x)>2的解集为{x|x <0或x >43}；(Ⅱ)证明：f(t)+f(−1t )=|2t −a|+|t −a|+|−2t −a|+|−1t −a| ≥|2t −a +2t +a|+|t −a +1t +a|=3|t +1t |=3(|t|+1|t|)≥3×2=6当且仅当t =±1时，取得最小值(6)【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)根据绝对值不等式的性质求出g(x)的最小值即可． 【解答】(Ⅰ)若a =1，关于x 的不等式f(x)>2即为 |2x −1|+|x −1|>2，当x ≥1时，2x −1+x −1>2，解得x >43；当x ≤12时，1−2x +1−x >2，解得x <0； 当12<x <1时，2x −1+1−x >2，解得x ∈⌀． 综上可得f(x)>2的解集为{x|x <0或x >43}；(Ⅱ)证明：f(t)+f(−1t )=|2t −a|+|t −a|+|−2t −a|+|−1t −a| ≥|2t −a +2t +a|+|t −a +1t +a|=3|t +1t |=3(|t|+1|t|)≥3×2=6当且仅当t =±1时，取得最小值(6)。

安徽六校2018届高三数学上学期第一次联考试题（理科含答案）安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是（）A．B．C．D．2.集合，则（）A．B．C．D．3.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间内的频率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.64.已知等比数列满足，则的值为（）A．1B．2C.D．5.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．1B．C.3D．76.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A．B．C.D．7.的展开式中，的系数为（）A．154B．42C.D．1268.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．B．C.D．9.关于函数，下列叙述有误的是（）A．其图象关于对称直线对称B．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到C.其值域是D．其图象关于点对称10.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（）A．5400种B．3000种C.150种D．1500种11.如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴，轴的非负半轴上滑动，为中点，则的最大值为（）A．B．C.D．12.已知函数，则函数(为自然对数的底数）的零点个数是（）A．3B．4C.6D．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题，都有，则为．14.如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为．15.已知三棱锥，为边三角形，为直角三角形，，平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积为．16.已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.的内角的对边分别为.（1）若，求面积的最大值；（2）若，求的值.18.已知正项数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值.19.如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角大小的余弦值.20.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.21.已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.22.已知函数.（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 试卷答案一、选择题1-5:BACAA6-10:DBCDD11、12：BC二、填空题13.，使得14.15.16.三、解答题17.解：（1)由余弦定理得，即，所以，因为，所以，即(当且仅当时，等号成立），所以，故面积的最大值为.(2)由正弦定理得，，所以，所以,又因为，所以，所以，故为锐角，所以，所以.18.解：（1)当时，即,解得,①②①-②：，所以，即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首相，1为公差的等差数列，所以.(2)因为，所以，所以，所以.19.解：（1)如图取的中点，连接，依题，所以四边形是平行四边形，所以.因为是中点，所以，故，所以为等边三角形，所以，因为，所以所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平面.(2)由（1)知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以，所以.设平面的法向量，则，令，则，所以.同理可得平面的法向量，所以，所以二面角大小的余弦值为.20.解：（1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：解得，又因为，所以.(2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，由题意知服从二项分布，，所以随机变量的分布列为.21.解：（1)依题，所以(为定值)，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以，因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，所以，(当且仅当时，不等式取等号），所以，即，由①②可知，.22.解：（1)易知函数的定义域为，，设，则，当时，，当时，，所以，故，所以在上单调递增(2)依题在上恒成立，设，则在上恒成立，，欲使在上恒成立，则，得，反之，当时，，设，则设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，故，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，综上所述，在上恒成立，所以的取值范围是.。

蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为. 【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，. （1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. 【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值.【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值.【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围.【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。

蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）A2）A．1 B．2 C3（）A4）A．-3 B．0 C．-4 D．1 5）A ．B ．C ．D ．6． ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7）A8表述正确的是（ ）A ．在定义域内为增函数 C ．周期函数 D ．在定义域内为减函数9．在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（ ）A ．43π+B ．π11 ）AC12）A 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1314.的值为 ．15．将2本相同的语文书和2本相同数学书随机排成一排，则相同科目的书不相邻的概率为 ．16的周长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1（218．.（1（2.19．某图书公司有一款图书的历史收益率（收益率=利润÷每本收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（用区间中点值代替每一组的数值）（2）根据经验，若每本图书的收入在20（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5并求出该最大收益.20．（1（2.21．（1（2-2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程数）.（1（223．选修4-5：不等式选讲（1（2.全优试卷蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题1-5:ADCAD 6-10:BCCAA 11、12：CB二、填空题13．3三、解答题17．解：（1. （2）由（118．解：（1（219．解：（1）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55取值的估计概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05平均收益率为（2360.20．解：（1（2此时直线与椭圆相切，不符合题意．-1．21．解：（1（222．解：（1（223．解：（1（2。

注意事项：1.本试卷分为第I卷(选择題)和第II卷(非选择题)两部分。

满分为100分，考试时间100分钟。

2.考生务必在答题卡的指定位置涂黑书写,写在试卷上的答案无效。

可能用到的相对原子质量: H:1 C:12 N:14 0:16 Na:23 Mg:24 Al:27 S:32 Cl:35.5 Ni:59 Fe:56 Cu:64 La:139第I卷(选择题共45分)一、选择题(本题包含15小题，每小题3分，共45分，每小题只有一个选项符合题意)1.以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨的《中国诗词大会》不仅弘扬了中国传统文化，还蕴含着许多化学知识，下列诗词分析不正确的是A.诗句“只要功夫深，铁杵磨成针”，该过程只涉及物理变化B.杜牧诗句“烟笼寒水月笼沙，夜泊秦淮近酒家”，此处的“烟”指固体C.王安石诗句“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏”，爆竹的燃放涉及氧化还原反应D.曹植诗句“煮豆燃豆萁，豆在釜中泣”，这里的能量变化主要是化学能转化为热能2.下列说法正确的是A.1个乙烷分子中存在8对共用电子对B.NaOH和Na2O2中均含共价键和离子键C.62g Na2O晶体中所含阴、阳离子个数均为4NAD.PCl3和BCl3分子中所有原子的最外层都达到8电子稳定结构3.向含有Fe3+、Fe2+的混合溶液中滴加稀碱溶液，得到一种黑色分散系，经查阅资料后得知，该分散系中分散质粒子是直径介于1～100nm之间的金属氧化物，下列有关说法中正确的是A.该分散系可产生丁达尔现象B.可用过滤的方法將分散剂与分散质分离开C.发生的反应方程式为Fe2++H2O=FeO+H2↑D.通直流电时，阴极附近黑色变深，说明该分散系带正电4.M、N、Q、P为四种短周期元素，已知M、Q同主族，N、P同周期；M的气态氢化物比Q 的稳定；N的阳离子比P的阳离子氧化性强；N的阳离子比Q的阴离子少一个电子层。

下列表示中,正确的是A.原子序数:M>N>Q>PB.非金属性强弱:Q>MC.原子半径:P>N>Q>MD.简单离子半径:P>N>Q>M5.下列有关有机物知识说法正确的是A.裂化、裂解均属于化学变化，二者目的不同B.新型材料聚酯纤维、光导纤维都属于有机高分子材料C.在人体内酶的作用下，纤维素可以发生水解反应生成葡萄糖D.分子式为C4H8Cl2的有机物共有(不含立体异构)8种同分异构体6.酸性KMnO4溶液和CuS混合时，发生的反应如下:MnO4-+CuS+H+→Cu2++SO2↑+Mn2++H2O下列有关该反应的说法中正确的是A.被氧化的元素是Cu和SB.Mn2+的还原性强于CuS的还原性C.氧化剂与还原剂的物质的量之比为6:5D.若生成2.24 L(标况下)SO2，转移电子的物质的量是0.8mol7.下列有关电化学知识的说法不正确的是A.精炼铜时，可用阳极泥提取贵金属B.电冶铝工业中用石墨作电极，用冰晶石作助熔剂C.当镀锡铁制品的镀层破损时，镀层仍能对铁制品起保护作用D.在海轮外壳连接锌块保护外壳不受腐蚀是采用了牺牲阳极的阴极保护法8.将43.8g Al、Cu组成的合金溶于足量的NaOH溶液中，产生6.72L气体(标准状况)。

蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）A2）A．3 B．5 C3）A．-3 B．0 C．-4 D．14．）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5）A．4 B．5 C．6 D．76）A7 ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．568．在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（ ）A ．43π+B ．π10．）A11）A12.）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1314．.的值为．15点的纵坐标为．16三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1（2.18．（1（260.19．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生（110（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？20．（1（2.21．. （1（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程数）.（1（223．选修4-5：不等式选讲（1（2.蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题1-5:ADABB 6-10:ABAAC 11、12：BD二、填空题13三、解答题17．解：（1（218．解：（1（2令1AP AB AD ===60°，所以，90°．19．解：（1）由题意知：（2②结论：需要进一步调试．0.0026 生产线异常，需要进一步调试．20．解：（1（2此时直线与椭圆相切，不符合题意．-1．21．解：（1（过程略）（2（△）22．解：（1（223．解：（1（2。