2019-2020学年高三数学一轮复习 第8课时 直线与平面垂直作业 苏教版.doc

"【赢在高考】高考数学一轮配套练习 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质 文 苏教版 "1.PA 垂直于正方形ABCD 所在平面,连接PB 、PC 、PD 、AC 、BD,则下列垂直关系正确的是 ( )①平面PAB ⊥平面PBC ②平面PAB ⊥平面PAD ③平面PAB ⊥平面PCD ④平面PAB ⊥平面PACA.①②B.①③C.②③D.②④答案:A解析:易证BC ⊥平面PAB,则平面PAB ⊥平面PBC;又AD ∥BC,故AD ⊥平面PAB,则平面PAD ⊥平面PAB,因此选A.2.设a 、b 、c 表示三条直线α,、β表示两个平面,则下列命题的逆命题不成立的是( )A.c α⊥,若c β⊥,则α∥βB.b c αα⊂,,若c ∥α,则b ∥cC.b β⊂,若b α⊥,则βα⊥D.b c β⊂,是a 在β内的射影,若b c ⊥,则b a ⊥答案:C解析:C 选项的逆命题为b β⊂,若βα⊥则b α⊥.因为根据平面垂直的性质定理,如果两个平面垂直,其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面,所以此逆命题不正确.故选C.3.若l 、m 、n 是互不相同的空间直线α,、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( )A.若α∥l n βαβ,⊂,⊂,则l ∥nB.若l αβα⊥,⊂,则l β⊥C.若l n m n ⊥,⊥,则l ∥mD.若l l α⊥,∥β,则αβ⊥答案:D解析:选项A 中,l 除平行n 外,还有异面的位置关系,A 不正确.选项B 中,l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种,B 不正确.选项C 中,l 与m 的位置关系还有相交和异面,C 不正确.故选D.4.已知a 、b 是两条不重合的直线α,、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若a a αβ⊥,⊥,则α∥β;②若αγβγ⊥,⊥,则α∥β;③若α∥a b βαβ,⊂,⊂,则a ∥b;④若α∥a b βαγβγ,⋂=,⋂=,则a ∥b. 其中正确命题的序号有 .答案:①④解析:垂直于同一直线的两平面平行,①正确;α与β也可能相交,②错;a 、b 也可异面,③错;由面面平行性质知,a ∥b,④正确.5.如图,已知矩形ABCD 中,AB=10,BC=6,沿矩形的对角线BD 把△ABD 折起,使A 移到1A 点,且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在边CD 上.求证:1(1)BC A D ⊥;(2)平面1A BC ⊥平面1A BD .证明:(1)∵由于1A 在平面BCD 上的射影O 在边CD 上,∴1A O ⊥平面BCD,又BC ⊂平面BCD,∴1BC A O ⊥,∵1BC CO AO CO O ⊥,⋂=,∴BC ⊥平面1ACD ,又1A D ⊂平面1ACD ,∴1BC A D ⊥.(2)∵ABCD 为矩形,∴11A B A D ⊥.由(1)知11BC A D A B BC B ⊥,⋂=,∴1A D ⊥平面1A BC ,又1A D ⊂平面1A BD .∴平面1A BC ⊥平面1A BD .题组一 线面垂直的判定与性质1.在空间四边形ABCD 中,若AB CD BC AD ⊥,⊥,则对角线AC 与BD 的位置关系为( )A.相交但不垂直B.垂直但不相交C.不相交也不垂直D.无法判断答案:B解析:如图,作AO ⊥平面BCD,由AB CD ⊥,知CD ⊥平面ABO,∴BO CD ⊥.同理DO BC ⊥.∴O 为△BCD 的垂心.∴OC BD ⊥,故BD AC ⊥. 2.若a 、b 是空间两条不同的直线α,、β是空间的两个不同的平面,则a α⊥的一个充分条件是( )A.a ∥βαβ,⊥B.a βαβ⊂,⊥C.a b b ⊥,∥αD.a βα⊥,∥β答案:D解析:只有选项D a βα,⊥,∥a βα⇒⊥. 3.如图,已知ABCD 是矩形,且PA ⊥平面ABCD,下列结论中不正确的是( )A.PB BC ⊥B.PD CD ⊥C.PB BD ⊥D.PA BD ⊥答案:C解析:由线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可知A B D .、、正确4.m 、n 是空间两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题的序号是 .①m n α⊥,∥βα,∥m n β⇒⊥;②m n α⊥,∥m βα,⊥⇒n ∥β;③m n α⊥,∥m β,∥n αβ⇒⊥;④m m α⊥,∥n α,∥own ββ⊥.答案:①④解析:①显然正确;②错误,n 还可能在β内;③错误,n 可能与β相交但不垂直;④正确.5.(2011广东惠州第二次调研4)给定空间中的直线l 及平面α,条件”直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是”直线l 与平面α垂直”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案:B题组二 平面与平面垂直的判定与性质6.在正方体ABCD —1111A B C D 中,找一个平面与平面11DA C 垂直,则该平面是 .(写出满足条件的一个平面即可)答案:平面1ABD解析:连接1AD ,在正方形11ADD A 中11AD A D ,⊥,又AB ⊥平面111ADD A A D ,⊂平面11ADD A ,∴1AB A D ⊥.又1AD AB A ⋂=,∴1A D ⊥平面1ABD ,又1A D ⊂平面11DA C ,故平面1ABD ⊥平面11DA C .7.如图,在斜三棱柱ABC —111A B C 中90BAC ,∠=circ 1BC AC ,⊥,则1C 在底面ABC 上的射影H 必在( )A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部答案:A解析:由1AC AB AC BC ⊥,⊥,得AC ⊥平面1ABC AC ,⊂平面ABC,∴平面1ABC ⊥平面1ABC C ,在面ABC 上的射影H 必在二平面交线AB 上.8.如图所示,四边形ABCD 是矩形PA ,⊥平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有 …( )A.3对B.4对C.5对D.6对答案:D解析:∵PA ⊥面ABCD,且PA ⊂面PAB PA ,⊂面PAD PA ,⊂面PAC,∴面PAB 和面PAC 和面PAD 都与面ABCD 垂直.又AD PA AD AB ⊥,⊥,∴AD ⊥面PAB.又AD ⊂面PAD,∴面PAB ⊥面PAD.同理可证面PBC ⊥面PAB,面PCD ⊥面PAD.9.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形MA ,⊥平面ABCD ,PD ∥MA,E 2G F MB PB PC AD PD MA ,==.、、分别为、、的中点且(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC;(2)求三棱锥P —MAB 与四棱锥P —ABCD 的体积之比.解:(1)证明:由已知MA ⊥平面ABCD,PD ∥MA,所以PD ⊥平面ABCD.又BC ⊂平面ABCD,所以PD BC ⊥.因为四边形ABCD 为正方形,所以BC DC ⊥.又PD DC D ⋂=,因此BC ⊥平面PDC.在△PBC 中,因为G F PB PC ,、分别为、的中点所以GF ⊥平面PDC.又GF ⊂平面EFG,所以平面EFG ⊥平面PDC.(2)因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,不妨设MA=1,则PD=AD=2, 所以—8133P ABCD ABCD V S PD =⋅=正方形.由于DA ⊥面MAB,且PD ∥MA,所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离, 三棱锥—112122323P MAB V =⨯⨯⨯⨯=,所以—P MAB V ∶—1P ABCD V =∶4.题组三 直线、平面垂直的综合问题10.在正四面体P —ABC中,D E F AB BC CA ,、、分别是、、的中点下面四个结论不成立的是（）A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC答案:C解析:如图所示,∵BC ∥DF,∴BC ∥平面PDF.∴A 正确.由图形知BC PE BC AE ⊥,⊥, ∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE,∴B 正确.∴平面ABC ⊥平面(PAE BC ⊥平面PAE).∴D 正确.11.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 . 答案:2 解析:如图,底面△BCD 为正三角形,BC=CD=DB=2.∴2AB AC AD ===,又由于AB AD ⊥且AC AD ⊥.∴AD ⊥平面ABC. ∴2311(2)32A BCD D ABC V V --==⨯=. 12.如图,棱柱ABC —111A B C 的侧面11BCC B 是菱形11B C A B ,⊥.(1)证明平面1AB C ⊥平面11A BC ;(2)设D 是11A C 上的点,且1A B ∥平面1B CD ,求1A D ∶1DC 的值. 解:(1)证明:因为侧面11BCC B 是菱形,所以11B C BC ⊥.又已知11B C A B ⊥,且11A B BC B ⋂=,所以1B C ⊥平面11A BC .又1B C ⊂平面1AB C ,所以平面1AB C ⊥平面11A BC .(2)设1BC 交1B C 于点E,连接DE,则DE 是平面11A BC 与平面1B CD 的交线. 因为1A B ∥平面1B CD ,所以1A B ∥DE. 又E 是1BC 的中点,所以D 为11A C 的中点. 即1A D ∶11DC =.。

【最新】2019年高三数学一轮复习第八章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质夯基提能A组基础题组1.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC3.(2016山东日照实验中学月考)设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.44.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )A. B.15.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有(写出全部正确命题的序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边长都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7.如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:当在BC边上存在点Q(Q不在端点B,C处),使PQ⊥QD时,a可以取.(填上一个你认为正确的数据序号即可)8.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.9.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.B组提升题组10.(2016甘肃兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,连接DC,则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)①无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;③无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.12.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.答案全解全析A组基础题组1.C ∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC,又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.2.D 易证BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.3.D ①由a⊥b,a⊥α,可得b∥α或b⊂α,又b⊄α,∴b∥α,①是正确命题;②由a∥α得在α内存在一条直线m满足m∥a,结合a⊥β,得m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β,②是正确命题;③由a⊥β,α⊥β可得出a∥α或a⊂α,故③是正确命题;④由a⊥b,a⊥α可推出b∥α或b⊂α,结合b⊥β,可得出α⊥β,故④是正确命题.4.A 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则又2×=h,所以在Rt△DB1E中由面积相等得×=x,得5.答案③因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.6.答案DM⊥PC(或连接AC,由题意知四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.。

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课时跟踪检测（三十七）直线、平面垂直的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要"）．解析:依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l ⊥β。

因此“l⊥β"是“α⊥β”成立的充分不必要条件．答案：充分不必要2．在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是________．解析：过A作AH⊥BD于H,由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC，又DA⊥平面ABC，所以BC⊥DA，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．答案：直角三角形3．已知平面α，β和直线m，给出条件:①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β。

当满足条件________时，有m⊥β.（填所选条件的序号)解析：若m⊥α，α∥β,则m⊥β.故填②④.答案：②④4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面"得出两个平面垂直．答案：垂直5．如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm,则直线AA1到平面BB1D1D的距离为________ cm。

（江苏版）2019年高考数学一轮复习 专题8.4 直线、平面平行垂直的判定及其性质（讲）其中能判定直线l ⊥平面α的有________(填序号)．【解析】只有④能满足直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，故④满足题意．3． 若PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则所形成的平面中一定互相垂直的平面有________对．【解析】如图所示，由于PD ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PDC .故一定互相垂直的平面有7对．题组二 常错题4．“直线a 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面α垂直”的____________条件．5．如图所示，O 为正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是________(填序号)．①A 1D ；②AA 1；③A 1D 1；④A 1C 1.【解析】连接B1D1，由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.6．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________________．【解析】在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．题组三常考题7．已知平面α，β交于直线l，若直线n⊥β，则n与l的位置关系为________．【解析】由平面α，β交于直线l，得到l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.8．在如图所示的四棱锥P­ ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，则DE与平面PBC的位置关系为________．【解析】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD为矩形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.又DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.9．如图，在四棱锥P­ ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC，则平面PAB与平面PAC的位置关系为________．【知识清单】考点1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥al ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α考点2 平面与平面垂直的判定与性质1平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MN AB βAB ⊥MN⇒AB⊥α考点3 线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点深度剖析】近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系．【重点难点突破】考点1 直线与平面垂直的判定与性质【1-1】设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件【答案】充分不必要【解析】当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．.【1-2】(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号为________．【答案】(1)(3)(4)【1-3】设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)【解析】逐一判断．若①②③成立，则m 与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确． 【思想方法】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【温馨提醒】证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键． 考点2 平面与平面垂直的判定与性质【2-1】(2014·合肥模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α其中正确的命题是________(填写序号)． 【答案】①③【解析】对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．【2-2】如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．【答案】①②④【解析】①AE ⊂平面PAC ，BC ⊥AC ，BC ⊥PA ⇒AE ⊥BC ，故①正确，②AE ⊥PB ，AF ⊥PB ⇒EF ⊥PB ，故②正确，③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．【2-3】(2013·重庆高考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P ­BDF 的体积．所以V P ­BDF ＝V P ­BCD －V F ­BCD ＝2－14＝74.【思想方法】判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a α⇒α⊥β)．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【温馨提醒】空间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系是整个立体几何的基础，也是立体几何的重点，是考查空间想象能力的“主战场”，所以空间直线、平面的位置关系，特别是线面、面面的平行与垂直关系的判定与证明，成为立体几何复习的重点内容之一，每年的高考数学试题对立体几何的考查，一方面以选择题、填空题的形式直接考查线线、线面、面面的位置关系，另一方面以多面体、棱柱、棱锥为载体，判断与证明几何体内线面的平行与垂直关系． 考点3 线面、面面垂直的综合应用【3-1】如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是__________(填序号)①平面ABC ⊥平面ABD ②平面ABD ⊥平面BCD③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE 【答案】③【3-2】【2013年海安模拟】如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)． 【答案】①④【解析】由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面PAD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．【3-3】【2014年江苏】如图，在三棱锥P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知PA AC ⊥，6PA =，8,5BC DF ==求证：（Ⅰ）直线//PA 平面DEF（Ⅱ）平面BDE ⊥平面ABC【思想方法】1. 垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．【温馨提醒】解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【易错试题常警惕】1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。

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核心考点·精准研析考点一垂直关系的基本问题1.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则错误的命题为( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD.①AC⊥BD;②平面ABC⊥平面ABD;③平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.04.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是世纪金榜导学号( )A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°【解析】1.选B.由平面与平面垂直的判定定理知:若m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.2.选D.①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α可以相交或平行.3.选C.因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,所以BD⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC,故①正确.因为BD⊥AC,BD ⊥BC,AC∩BC=C,所以BD⊥平面ABC,又因为BD⊂平面ABD,所以平面ABD ⊥平面ABC,故②正确.因为AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,故③正确.4.选D.若PB⊥AD,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB,矛盾,所以A错误.过点A 作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中,设AB=1,则PA=2,PB=, AM=,BM=,又因为AC=,所以PC=,所以cos∠PBC =-,所以CM=,所以在三角形AMC中,cos∠AMC=-,所以AM与MC不垂直,所以B错误.因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°.所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【秒杀绝招】排除法解T2,选D.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,故①正确,排除A,B,C,选D.考点二空间角及其应用【典例】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为________.2.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题1 要求二面角,想到先作出二面角的平面角,进而设法求解.(1)要证△PBC是直角三角形,想到证两条边垂直;(2)要求线2面角,想到找到或作出角,再求解.【解析】1.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=,则C1O=2,所以sin∠C1OC==,所以∠C1OC=30°.答案:30°2.(1)因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BC ⊥AC.因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PBC是直角三角形.(2)如图,过A作AH⊥PC于H,连接BH.因为BC⊥平面PAC,AH⊂平面PAC,所以BC⊥AH,又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以AH⊥平面PBC,所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角,因为PA⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角,因为tan ∠PCA ==,又PA=2,所以AC=,所以在Rt△PAC中,AH==,所以在Rt△ABH中,sin∠ABH===,即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.1.求直线与平面所成的角的一般步骤(1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;(2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法,也可以通过垂面法进行,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) A. B. C.D.【解析】选D.如图,连接BD交AC于O,连接D1O,由于BB1∥DD1,所以DD1与平面ACD1所成的角就是BB 1与平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即为所求的角.设正方体的棱长为1,则DD 1=1,DO=,D1O=,所以cos∠DD1O===.所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.考点三直线、平面垂直,面面垂直的判定与性质命题精考什么:(1)考查证明线线垂直、线面垂直、面面垂直.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.怎么考:考查在柱、锥、台体中证明线面的垂直关系.解读新趋势:以柱、锥、台体为载体,与平行、距离、空间角结合命题.学霸好方法1.(1)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.2.(1)判定面面垂直的方法:①定义法:证明两平面形成的二面角是直角.②判定定理法:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.交汇问题: 解决距离、空间角交汇时,常需要先证明线面垂直.直线、平面垂直的判定与性质【典例】如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.求证:PA⊥CD.【证明】因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由AC=BC得∠ABC=30°,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos 30°=3,所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以PD⊥CD,由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB,又因为PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.面面垂直的判定与性质【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.世纪金榜导学号(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,则BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QE⊥AC,垂足为E,则QE∥CD且QE=DC=1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为V Q-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin 45°=1.1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=a,BC= a.求证:平面PAB⊥平面PAC.【证明】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又AB=AC=a,BC=a,所以∠BAC=90°,所以平面PAB⊥平面PAC.2.如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC.(2)求几何体C-ADEB的体积.【解析】(1)如图,取BC的中点M,AB的中点N,连接GM,FN,MN.因为G,F分别是EC,BD的中点,所以GM∥BE,且GM=BE,NF∥DA,且NF=DA.又四边形ABED为正方形,所以BE∥AD,BE=AD,所以GM∥NF且GM=NF.所以四边形MNFG为平行四边形.所以GF∥MN,又MN⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,所以GF∥平面ABC.(2)连接CN,因为AC=BC,所以CN⊥AB,又平面ABED⊥平面ABC,CN⊂平面ABC,所以CN⊥平面ABED.易知△ABC是等腰直角三角形,所以CN=AB=,因为C-ABED是四棱锥,所以V C-ABED=S四边形ABED·CN=×1×=.1.如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC 的中点.(1)求证:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.【证明】(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,因为N是PC的中点,E为PD的中点,所以NE∥CD,且NE=CD,而AM∥CD,且AM=AB=CD,所以NE AM,所以四边形AMNE为平行四边形,所以MN∥AE.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为ABCD为矩形,所以AD⊥CD.而AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥AE.又AE∥MN,所以MN⊥CD.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,又∠PDA=45°,所以△PAD为等腰直角三角形.又E为PD的中点,所以AE⊥PD,又由(1)知CD⊥AE,PD∩CD=D,CD,PD⊂平面PDC,所以AE⊥平面PCD.又AE∥MN,所以MN⊥平面PCD.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,A1A=AC=BC=1,A1B=.(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.【证明】(1)因为∠A1AC=60°,A1A=AC=1,所以△A1AC为等边三角形,所以A1C=1.因为BC=1,A1B=,所以A1C2+BC2=A1B2.所以∠A1CB=90°,即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1,所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O,连接OD.因为ACC1A1为平行四边形,所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点,所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第三节直线、平面垂直的判定与性质课时作业练1.(2018苏州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是.(填序号)(1)PA⊥BC;(2)BC⊥平面PAC;(3)AC⊥PB;(4)PC⊥BC.答案(1)(2)(4)解析由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC,故(1)正确;由BC⊥PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故(2)、(4)正确;无法判断AC⊥PB,故(3)不正确.2.(2018南京高三模拟)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有以下四个命题:①若l⊥α,l⊥β,则α∥β;②若l⊥α,α⊥β,则l∥β;③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.其中真命题为(填所有真命题的序号).答案①③解析若l⊥α,l⊥β,则α∥β,①正确;若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,②错误;若l∥α,l⊥β,则α⊥β,③正确;若l∥α,α⊥β,则l与β的位置关系不确定,可能平行、相交或l⊂β,④错误.故真命题为①③.3.(2018江苏海安高级中学高三检测)设α和β为两个不重合的平面,给出下列命题,其中正确命题的序号是.(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.答案(1)(2)解析由面面平行的判定定理可知(1)正确;由线面平行的判定定理可知(2)正确;由面面垂直的判定定理可知(3)不正确;若l与α内两条平行直线垂直,不能推出l⊥α,故(4)错误.4.已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则以下命题正确的是.(填序号)(1)垂直于平面β的平面一定平行于平面α;(2)垂直于直线l的直线一定垂直于平面α;(3)垂直于平面β的直线一定垂直于直线l;(4)垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直.答案(3)(4)解析垂直于平面β的平面可能与平面α平行或相交,故(1)不正确;若垂直于直线l的直线在平面β内,则一定垂直于平面α,否则不一定,故(2)不正确;垂直于平面β的直线一定垂直于直线l,故(3)正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直,故(4)正确.5.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线是;与AP垂直的直线是.答案AB,BC,AC;AB解析∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB.6.(2018徐州铜山高三模拟)已知平面α,β,直线m,n,给出下列命题:①若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β;②若α∥β,m∥α,n∥β,则m∥n;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;④若α⊥β,,m⊥α,n⊥β,则m⊥n.其中是真命题的是.(填写所有真命题的序号)答案③④解析若m∥α,n∥β,m⊥n,则α,β的位置关系不确定,可能平行或相交,①错误;若α∥β,m∥α,n∥β,则m,n的位置关系不确定,平行、相交、异面都有可能,②错误;若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β,③正确;若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n,④正确.故其中是真命题的是③④.7.α,β是两个平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是.答案①③解析由题意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面,对于①,因为AC⊥β,EF⊂β,所以AC⊥EF,又因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,因为AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABDC,所以EF⊥平面ABDC,又因为BD⊂平面ABDC,所以BD⊥EF,故①正确.对于②,由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥平面ABDC,则有EF⊥AC成立,而AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②错误.对于③,由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC,由①可知③正确.对于④,参照②的分析过程可知④错误.8.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是A 1B 1的中点,F 是BB 1上的动点,AB 1,DF 交于点E,要使AB 1⊥平面C 1DF,则线段B 1F 的长为 .答案 12解析 设B 1F=x,因为AB 1⊥平面C 1DF,DF ⊂平面C 1DF,所以AB 1⊥DF,由已知可得A 1B 1=√2,设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h,则DE=12h. 又2×√2=√22+(√2)2h,所以h=2√33,DE=√33. 在Rt△DB 1E 中,B 1E=√(√22)2-(√33)2=√66. 由面积相等得√66×√x 2+(√22)2=√22x,解得x=12.9.(2018南京师大附中高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,点E 在棱PC 上(异于点P,C),平面ABE 与棱PD 交于点F.(1)求证:AB∥EF;(2)若AF⊥EF,求证:平面PAD⊥平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD 是矩形, 所以AB∥CD.又AB ⊄平面PDC,CD ⊂平面PDC, 所以AB∥平面PDC,又因为AB ⊂平面ABE, 平面ABE∩平面PDC=EF,所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD 是矩形,所以AB⊥AD.因为AF⊥EF,(1)中已证AB∥EF,所以AB⊥AF,由题意可知,点F异于点P,D,所以AF∩AD=A,又AF,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.10.(2018扬州高三考前调研)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面PAC,AB⊥BP,M,N分别为PA,AB的中点.(1)求证:PB∥平面CMN;(2)若AC=PC,求证:AB⊥平面CMN.证明(1)在平面PAB中,M,N分别为PA,AB的中点,所以MN∥PB.又PB⊄平面CMN,MN⊂平面CMN,所以PB∥平面CMN.(2)在平面PAB中,AB⊥BP,MN∥PB,所以AB⊥MN,在平面PAC中,AC=PC,M为PA的中点,所以CM⊥PA,因为平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,CM⊂平面PAC,所以CM⊥平面PAB,因为AB⊂平面PAB,所以CM⊥AB,又CM∩MN=M,CM⊂平面CMN,MN⊂平面CMN,所以AB⊥平面CMN.11.(2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知平面BB1C1C⊥平面ABC,AB=AC,D是BC的中点,且B1D⊥BC1.求证:(1)A1C∥平面B1AD;(2)BC1⊥平面B1AD.证明(1)连接BA1,交AB1于点O,连接OD,由棱柱知侧面AA1B1B为平行四边形,∴O为BA1的中点,又D是BC的中点,∴OD∥A1C.∵A1C⊄平面B1AD,OD⊂平面B1AD,∴A1C∥平面B1AD.(2)∵D是BC的中点,AB=AC,∴AD⊥BC.∵平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥平面BB1C1 C.∵BC1⊂平面BB1C1C,∴AD⊥BC1.又BC1⊥B1D,且AD∩B1D=D,∴BC1⊥平面B1AD.12.(2018徐州高三考前模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中.(1)若AD⊥平面PAB,PB⊥PD,求证:平面PBD⊥平面PAD;(2)若AD∥BC,AD=2BC,E为PA的中点,求证:BE∥平面PCD.证明(1)因为AD⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB,又因为PB⊥PD,且AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,所以PB⊥平面PAD,又因为PB⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAD.(2)取PD的中点F,连接EF,因为E,F 分别是PA,PD 的中点,所以EF∥AD,且AD=2EF,又因为AD∥BC,AD=2BC,所以EF∥BC 且EF=BC,所以四边形EFCB 是平行四边形, 所以BE∥CF,又CF ⊂平面PCD,BE ⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.基础滚动练(滚动循环 夯实基础)1.已知函数f(2x-1)=4x 2,则f(3)= . 答案 16解析 当2x-1=3,即x=2时,有f(3)=4×22=16.2.设l,m 为直线,α,β为平面,且l ⊂α,m ⊂β,则“l∩m=∅”是“α∥β”的 条件. 答案 必要不充分解析 若l ⊂α,m ⊂β,l∩m=∅,则α,β可能平行或相交,反之,若l ⊂α,m ⊂β,且α∥β,则必有l∩m=∅,所以“l∩m=∅”是“α∥β”的必要不充分条件. 3.已知α∈(0,π),sin α+cos α=713,则tan α= . 答案 -125解析 因为α∈(0,π),所以sin α>0,联立sin α+cos α=713与sin 2α+cos 2α=1得sin α=1213,cos α=-513,则tan α=sinαcosα=-125.4.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量c 与向量ka+b 共线,则实数k= . 答案 -1解析 因为ka+b=(k-2,3k+1),所以由(ka+b)∥c 得3(3k+1)=2(k-2),解得k=-1. 5.函数y=2sin (2x -π6)的图象中,离坐标原点最近的一条对称轴的方程为 . 答案 x=-π6解析 由2x-π6=π2+kπ,k∈Z,得x=π3+k π2,k∈Z,当k=-1时,该对称轴离坐标原点最近,此时对称轴方程为x=-π6.6.已知函数f(x)=x|x 2-a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-1,5)解析 存在x∈[1,2],使得f(x)<2,即{x 2-a <2x ,x 2-a >-2x在x∈[1,2]上有解,则{a >(x 2-2x )min,a <(x 2+2x )max,令g(x)=x 2-2x ,则g'(x)=2x+2x 2>0,x∈[1,2],所以g(x)在[1,2]上递增,所以当x=1时,(x 2-2x )min=-1,令h(x)=x2+2x ,则h'(x)=2x-2x 2=2(x 3-1)x 2≥0,x∈[1,2],所以h(x)在[1,2]上递增,所以当x=2时,(x 2+2x )max=5,故a∈(-1,5).7.(2018江苏扬州中学高三开学考)已知有穷数列{a n },{b n }对任意的正整数n 都有a 1b n +a 2b n-1+ a 3b n-2+…+a n-1b 2+a n b 1=2n+1-n-2成立.(1)若{a n }是等差数列,且首项和公差相等,求证:{b n }是等比数列; (2)若{a n }是等差数列,且{b n }是等比数列,求证:a n b n =n·2n-1. 证明 (1)依题意得a n =na 1,且a 1b 1=1, 因为a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-2+…+a n-1b 2+a n b 1=2n+1-n-2,①所以a 1b n-1+a 2b n-2+a 3b n-3+…+a n-2b 2+a n-1b 1=2n -(n-1)-2(n≥2),② ①-②得,a 1(b n +b n-1+b n-2+…+b 2+b 1)=2n -1(n≥2),③ 所以a 1(b n-1+b n-2+…+b 2+b 1)=2n-1-1(n≥3),④③-④得,a1bn=2n-1(n≥3),即bn=2n-1a1(n≥3,n∈N*),①中,令n=2,得a1b2+a2b1=4,即a1b2+2a1b1=4,所以b2=2a1,所以bn=2n-1a1,n∈N*,从而b n+1b n =2,即证{bn}是等比数列.(2)因为{bn}是等比数列,不妨设公比为q,由(1)中的①-②×q得,an b1=(2n+1-n-2)-q[2n-(n-1)-2](n≥2),即an =2-qb1·2n+q-1b1·n-2-qb1(n≥2),因为{an }是等差数列,所以q=2,此时an=1b1·n(n≥2),且对n=1也适合,所以a n bn=1b1·n·2n-1a1=n·2n-1.。

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理的两条相交直线都垂直，2.(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理5.(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【常考题型剖析】题型一：与线、面垂直相关命题的判定例1.（浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（ ） A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例2.（2023·全国·高三专题练习）设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α例3.（江苏·高考真题）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）例4.(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【方法技巧】判定定理与性质定理的合理转化是证明垂直关系的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正、余弦定理及勾股定理的应用． 题型二：直线与平面垂直的判定与性质例5.（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B例6.【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ． B ．C ．D ．【总结提升】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 题型三：平面与平面垂直的判定与性质例8. （2022·江西·高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB CD ==，BD =，BC AD == ）A ．2B ．3C ．4D ．5例9.（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．例10. （2020·全国·高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【总结提升】1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．2.垂直关系的转化：3.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 4．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 题型四：平行和垂直的综合问题例11.（2018·江苏·高考真题）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥． 求证：（1）11//AB A B C 平面； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．例12.（2019·北京·高考真题（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面P AB ⊥平面P AE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面P AE ？说明理由.例13．（2020·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，12AA =.(1)求证：1//B C 平面1A BM ； (2)求证：1AC ⊥平面1A BM ；(3)在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AAC C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.例14.（2018·全国·高考真题（文））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BP DQ DA==，求三棱锥Q ABP-的体积．【规律方法】1.对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题．2．解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．3.探索性问题(1)处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．(2)利用向量法，设出点的坐标，结论变条件，求出点的坐标，并指明点的位置．专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理的两条相交直线都垂直，2.(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理5.(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【常考题型剖析】题型一：与线、面垂直相关命题的判定例1.（浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.【详解】对于A ，设平面α∩平面β=直线a , 设直线b α⊂，且b //a , 则显然直线b ⊄平面β，根据线面平行的判定定理可得直线b //β， 故A 正确；对于B ，如果α内存在直线与β平行，则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β， 与已知矛盾，故B 正确；对于C ，设平面α平面a =，平面β平面γb =, 在γ内作直线,m a n b ⊥⊥，由面面垂直的性质定理可得,m n αβ⊥⊥， 又∵直线,l l αβ⊂⊂,∴,m l n l ⊥⊥, 又∵α∩β＝l ，∴,m n 为相交直线， 又∵⊂m,n 平面γ，∴l ⊥平面γ， 故C 正确；平面α⊥平面β，设平面α∩平面βa =， 在平面α内与a 平行的直线都不与平面β垂直， 故 D 项错误． 故选:D.例2.（2023·全国·高三专题练习）设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α 【答案】C 【解析】【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质、面面垂直的判定等判断各选项的正误.【详解】A ：由αβ⊥，αγ⊥，则//βγ或,βγ相交，错误；B ：由αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或,m β相交，错误；C ：由//m β，则存在直线l β⊂且//l m ，而m α⊥则l α⊥，根据面面垂直的判定易知αβ⊥，正确；D ：由//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，错误.故选：C例3.（江苏·高考真题）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】【详解】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．直线与平面垂直必须直线与平面内两条相交直线垂直，所以（3）（4）都不正确. 例4.(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .【答案】②③⇒①或①③⇒②【解析】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，由①l ⊥m 与②m ∥α，不能推出③l ⊥α，因为l 可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l ⊥m 与③l ⊥α能推出②m ∥α；由②m ∥α与③l ⊥α可以推出①l ⊥m .故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.【方法技巧】 判定定理与性质定理的合理转化是证明垂直关系的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正、余弦定理及勾股定理的应用．题型二：直线与平面垂直的判定与性质例5.（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【答案】A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.例6.【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】 设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC ∠（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，在直角三角形OPC ，OC 1CP =，故tanPOC ∠==， 故MN OP ⊥不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ⊥，PQ MN ⊥，由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ，而OQ ⊂平面ANDT ，故SN OQ ⊥，而SN MN N =，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，OQ MN ⊥，而OQ PQ Q =，所以MN ⊥平面OPQ ，而PO ⊂平面OPQ ，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ⊥，故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO ∠或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故122PQ AC ==，22123OQ AO AQ =+=+=，PO 222QO PQ OP <+，故QPO ∠不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.例7.（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ， CD 平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥PD PE ==∵，2PC =．sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=， PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =，PO ∴==【总结提升】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．题型三：平面与平面垂直的判定与性质例8. （2022·江西·高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB CD ==，BD =，BC AD == ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】分别证明出平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ACD ⊥平面ABD ，即可得到答案.【详解】因为1AB =，BD =AD =所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥.又AB CD ⊥，BD CD D ⋂=，BD ⊂平面BCD ,CD ⊂平面BCD .所以AB ⊥平面BCD .又AB 平面ABC ，AB 平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .因为1CD =，BD =，BC =所以222CD BD BC +=，所以CD BD ⊥.又CD AB ⊥，BD AB B ⋂=，BD ⊥平面ABD ，AB ⊥平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，综上可知有3对.故选:B.例9.（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥，又PB AM ⊥，PB PD P =，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥平面PBD ，所以AM BD ⊥，从而~DAB ABM ，设BM x =，2AD x =，则BM AB AB AD =，即221x =，解得x =AD = 因为PD ⊥底面ABCD ，故四棱锥P ABCD -的体积为(1113V =⨯⨯． 例10. （2020·全国·高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V -.【详解】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BB MN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图//AO 平面11EB C FAO ⊂平面1A AMN ，平面1A AMN ⋂平面11EB C F NP =//AO NP ∴又//NO AP∴6AO NP ==O 为111A B C △的中心.∴1111sin 606sin 6033ON AC =︒=⨯⨯︒=故：ON AP ==3AM AP ==平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN∴MH ⊥平面11EB C F 又在等边ABC 中EF AP BC AM=即2AP BC EF AM ⋅=== 由（1）知，四边形11EB C F 为梯形∴四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP ++=⋅⨯=四边形 111113B EBC F EB C F V S h -∴=⋅四边形，h 为M 到PN 的距离sin 603MH =︒=， ∴1243243V =⨯⨯=. 【总结提升】1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．2.垂直关系的转化：3.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．4．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．题型四：平行和垂直的综合问题例11.（2018·江苏·高考真题）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥．求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB 1A 1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，例12.（2019·北京·高考真题（文））如图，在四棱锥P ABCDE为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A =,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A =所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .（Ⅲ）存在点F 为PB 中点时，满足//CF 平面PAE ；理由如下:分别取,PB PA 的中点,F G ，连接,,CF FG EG ,在三角形PAB 中，//FG AB 且12FG AB =； 在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，所以//CE AB 且12CE AB =，所以//CE FG 且CE FG =，即四边形CEGF 为平行四边形，所以//CF EG ;又CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以//CF 平面PAE .例13．（2020·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA(1)求证：1//B C 平面1A BM ；(2)求证：1AC ⊥平面1A BM ；(3)在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AAC C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，112BN BB =. 【解析】【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA ∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.(1)连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .(2)因为1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥.因为1AA AC A =，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ， 所以BM ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥.因为2AC =，所以1AM =.又1AA =在1Rt ACC 和1Rt A AM中，11tan tan AC C AMA ∠=∠ 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，所以11A M AC ⊥，又1BMA M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM .(3)当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AAC C . 证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，又N 为1BB 的中点， 所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，故//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN ⊥平面11ACC A ，又DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .例14.（2018·全国·高考真题（文））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，且ACAD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ． （2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32．又23BP DQ DA ==，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =13DC ． 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥Q ABP -的体积为111131332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=． 【规律方法】1.对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题．2．解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．3.探索性问题(1)处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n 等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．(2)利用向量法，设出点的坐标，结论变条件，求出点的坐标，并指明点的位置．。

北京市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷直线、平面垂直的判定与性质一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.(·南昌模拟)设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a ⊂α，b ⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对2.已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直3.(·山东高考)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π64.(·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.325.【“联测促改”（一）数学（理）】设a ,b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若a ∥α，α⊥β，则a ∥βB. 若a ∥b ，a ⊥β，则b ⊥βC. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bD. 若a ⊥b ，a ∥α，则b ⊥α6.【深圳调研】如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE7.【温州市高三第一次适应性测试】m 是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A ．若m ∥α，α∥β，则m ∥βB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β8.【“六市六校”联盟高考模拟考试】空间中，设m 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若βα//，α//m ，则β//m B .若βα//，α⊥m ，则β⊥mC.若βα⊥，α//m ，则β⊥mD.若βα⊥，α⊥m ，则β//m9.【第一学期温州市十校联合体期末联考】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列四个命题中假命题．．．的是( ) A.若,//,ααn m ⊥则n m ⊥ B.若,,,//α⊥m n m 则α⊥nC.若,,//βαα⊥l 则β⊥lD.若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m10.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β；② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥.A.0B.1 C.2 D.311.已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直12.如图，在斜三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC ，则C1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。