湖北省荆州市高一数学期末复习提纲

第一章：集合、常用逻辑用语（必修1，选修1）1．集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体． ①表示： 列举法、描述法、venn 图法、区间表示法． ②分类：有限集(含空集)、无限集 ③元素：确定性、互异性、无序性④常见数集的字母表示：自然数N ，正整数+N N,*, 有理数Q ，实数集R2．集合间的关系：包含（子集）、真包含（真子集）、相等 ①证明：任意 x A ∈，都有x B ∈，则 B A ⊆②集合有 n 个元素，则子集、真子集、非空子集、非空真子集有2n、21,n-21n -，22n -个3．性质①空集是任何非空集合的真子集 ②任何集合是它本身的子集 ③空集是任何集合的子集④包含、真包含的传递性（若C A C B B A ⊂⊂⊂则,,） 4．全集、补集 补集：}{A x S x x A C S ∉∈=且|交集：{A x x B A ∈=⋂|且}B x ∈并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或|性质：A A A =⋂、A A A =⋃；φφ=⋂A 、A A =⋃φ；φ=A C A 、;();A A A C A C C B B φ==摩根律：()()();()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ⋃=⋂⋂=⋃ （交的补=补的并、并的补=补的交） 5．命题及其关系①简单命题：不含逻辑联结词或、且、非 ②复合命题：简单命题 + 逻辑联结词 ③四种命题原命题：若 p , 则 q 否命题：若p ⌝ , 则q ⌝ （注意与命题的否定区别：命题的否定是仅否定结论）逆命题：若 q , 则 p 逆否命题：若 q ⌝ q , 则p ⌝原命题⇔逆否命题， 否命题⇔逆命题④判断命题的真假可选用“直接法”和“间接法”，“间接法”包含以下途径：（1）转化为“非命题”判定；（2）转化为“逆否命题”判定；（3）从集合的角度判定；（4）从几何意义的角度“数形结合”判定．关键是“抓住关联字词”：不“或”即“且”，不“且”即“或”．（5）“或”命题的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且”命题的特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的特点是“一真一假”．6．充要条件（分清条件与结论） ① p ⇒ q , p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件② p ⇐ q , p 是 q 的必要条件； q 是 p 的充分条件③ p ⇔ q , p 是 q 的充要条件；q 是 p 的充要条件 友情提醒：学会从集合的观点理解集合A 是B 的充分（不必要）条件⇔B A ⊂（A B ） A 是B 的必要（不充分）条件⇔B A ⊃（A B ） A 是B 的充要条件⇔B A = 7．反证法①步骤 (1)反设 ；(2)归谬； (3)否定假设，从而肯定原结论 ②命题否定“ p 或 q ”否定：>p 且 > q ; “p 且 q ”否定：>p 或 > q “至少有一个”否定：一个也没有 “至多有一个”否定：至少有两个 “都是”否定：不都是（至少有一个不是） 8．存在量词与全称量词①量词：（1）全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词（2）存在量词：“有一个”“存在一个”“有些”等表示部分的量词②含有量词的命题：（1）全称命题：含有全称量词的命题．)(,x p M x ∈∀（2）存在命题：含有存在量词的命题．)(,x p M x ∈∃9．含有一个量词的命题的否定“)(,x p M x ∈∀”的否定为“)(,x p M x ⌝∈∃” “)(,x p M x ∈∃”的否定为“)(,x p M x ⌝∈∀”第二章：函数（必修1）1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射． 映射：每元有象，象唯一2．函数：设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的函数． （1）三要素：定义域、值域，对应法则（2）与x 轴垂直的直线与函数图象至多有一个公共点，而与y 轴垂直的直线与函数图象的公共点可能没有，可能任意个．（3）函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象． 3．函数性质（1）单调性：某一个区间A ，∀x 1< x 2,21,x x ∈A①若 f (x 1) < f (x 2) , 则 f (x ) 在 A 上递增；若f (x 1) > f (x 2) , 则 f (x ) 在A 上递减 特殊地：当 f (x ) > 0 时 若1)()(21<x f x f ，则f (x ) 在A 上递增；若 1)()(21>x f x f ，则f (x )在A 递减 ②复合函数单调性：同增异减③两函数和的单调性：增 + 增=增； 减+减=减（在公共区间上）≠⊂≠⊃④最值：设函数的定义域为A如果存在)()(,00x f x f A x ≤∈有恒成立，则称)()(0x f y x f =为的最大值，记为)(0max x f y =如果存在)()(,00x f x f A x ≥∈有恒成立，则称)()(0x f y x f =为的最小值，记为)(0min x f y =（2）奇偶性：（定义域关于原点对称）奇⇔()()()000=⇒⇔=+-f x f x f 图像关于原点对称(若在0=x 处有定义)偶⇔()()()y f x f x f x =-=⇔图像关于轴对称 两函数积的奇偶性：同偶异奇（3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同．偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相反．（4）复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外” ４．对称性：①)(x f y =−−−−→关于x轴-y 代y)(x f y -=；)(x f y =−−−−→关于y轴-x 代x)(x f y -=)(x f y =−−−−−→关于原点-x 代x, -y代y)(x f y --=；0),(=y x f −−−−→关于y=x0),(=x y f )()(m y f m x x f y m x y -=+−−−→−=+=关于;)()(m y f m x x f y mx y +-=+-−−−−→−=+-=关于推广：函数)(),(x A f y x f y -==的图象关于直线2A x =对称；函数(),()y f x y m f n x ==--的图象关于(,)22n m 成中心对称．②函数()f x 满足()()f a x f b x +=-, 则函数()y f x =的图象关于2a b x +=对称．特例：函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+ , 则图象关于 x = a 对称③两个函数(),()y f a x y f b x =+=-的图象关于()()0a x b x +--=即2b ax -=对称 特例：两个函数)(),(x a f y x a f y -=+=的图象关于0=x 对称．５．周期性：对于定义域中的每一个值，都有()()f x T f x +=．若()f x 为周期函数，则()y f x = 的定义域为无限集．两次对称可得周期（类比三角函数得）： 若()y f x =的图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2T a b =-若()y f x =的图象有两个对称中心(,0),(,0)a b ，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2T a b =-若()y f x =的图象有一个对称中心(,0)a 和一条对称轴()x b a b =≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为4T a b =-特别地：若()()(0)f x a f x a +=-≠（或1()f x 、1()f x -）恒成立，则2T a =６．函数的图象变换（尤其要掌握三角函数图像的变换） ①平移：左+右—，上+下-②伸缩：注意x 的系数的变化与横坐标的变化的关系（反比）．)()(k x f y x f y k =−−−−−−−−−→−=倍横坐标伸长为原来的)()(x kf y x f y k =−−−−−−−−−→−=倍纵坐标伸长为原来的③对称：参见4.注：（1） 图象变换中，特殊点、特殊线也应作相应的变换．（2） 函数()y f x =的图象按向量(,)a h k =平移后，得函数)(h x f k y -=-的图象（3） 图象变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、“鱼钩”函数等）联系．７．指数函数与对数函数①log x x y a y a ==与互为反函数（a>0且a ≠ 1）②指数运算性质、根式转化为分数指数幂：1/mm m nnna aa-==③对数运算性质：0log ,1log 10,log 1,lg2lg51N a a a a b N a a =⇔=⇔==+=；log ln e x x =log log log ;a a a m n mn += log log log ;a a a mm n n-=log log ;m n a a n b b m =1log log ;a a M n=log ;a NaN = log log ;log c a c bb a=④比较大小：(1)利用单调性，注意与 0、1、-1 的比较．(2)b alog 的值的范围界定：当底数和真数同大于1或同小于1时，对数的值大于0；当底数和真数一个大于1，另小于1时，对数的值小于0． 注意：①形如2y ax bx c =++的函数，不一定是二次函数（可称为伪二次）． ②应特别重视“二次三项式”，“二次函数”，“二次方程”，“二次曲线”间的特别联系． ③形如(0,)ax by c ad bc cx d +=≠≠+的图象是等轴双曲线，双曲线的两渐近线的方程为：,d a x y c c =-=，双曲线的中心是点(,)d a c c-．８．幂函数：形如αx y =的函数．①图像：分⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-<-=-><=⎪⎩⎪⎨⎧<=>>11100111:0ααααααααα几种情形，可结合具体函数的图像加以掌握．②根据图像研究性质（奇偶性、单调性、对称性） 若x y ==则,1α，图像是直线．若)0(1,00≠===x x y 则α，图像是除（0，1）外的直线．若,10<<α，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是上凸的． 若,1>α，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是下凹的． 若0<α，图像（1，1）．单调性：当0>α时，在第一象限内αx y =递增；当0<α时，在第一象限内αx y =递减．奇偶性：令qp=α（既约分数） 若q p ,都是奇数，则函数αx y =是奇函数；若p 是奇数，q 是偶数，则函数αx y =是非奇非偶函数； 若p 是偶数，q 是奇数，则函数αx y =是偶函数．９．函数与方程①函数的零点：一般地，方程0)(=xf的实数根又叫函数)(xfy=的零点．②零点存在定理：如果函数)(xfy=在区间],[ba上是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<∙bfaf，那么函数)(xfy=在区间),(ba内有零点，即存在),(bac∈，使得0)(=cf，这个c也就是0)(=xf的根．③二分法：对于区间],[ba上连续的，且0)()(<∙bfaf的函数)(xfy=，通过不断地把函数零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．第四章三角函数（必修4、必修5）1．角（1）分类：正角（逆时针）、零角、负角（顺时针）；象限角、象间角（终边落在坐标轴上的角）．（2）终边相同的角的集合：{|2,}k k Zββαπ=+∈α终边与β终边相同（α终边在β终边所在射线上）2()k k Zαβπ⇔=+∈α终边与β终边共线（α终边在β终边所在直线上）()k k Zαβπ⇔=+∈α终边与β终边关于x轴对称2()k k Zαβπ⇔=-+∈α终边与β终边关于y轴对称2()k k Zαπβπ⇔=-+∈α终边与β终边关于原点对称2()k k Zαπβπ⇔=++∈一般地，α终边与β终边关于θ的终边对称22()k k Zαθβπ⇔=-+∈;2α所处的象限：（3）角度制、弧度制及其关系1;180radπ︒=1801(radπ=︒57.3≈︒（4）扇形中的有关结论：||l rα=；180rnlπ=；lrS21=；2360rnSπ=2．三角函数（1）定义：若点P（x,y），以Ox为始边，OP为终边所成的角为α,|OP|=r，则ry=αsinrx=αcos，xy=αtan符号：（一正二正弦；三切四余弦）正弦：一、二象限为正；三、四象限为负．余弦：一、四象限为正；二、三象限为负．正切：一、三象限为正；二、四象限为负．注：sin15cos7575cos15tan15cot752︒=︒=︒=︒=︒=︒= tan75cot152︒=︒=︒=（2）三角函数线（有向线段的数量）a:利用三角函数线求角的取值范围；b:αααπαtan sin )2,0(<<⇒∈ M（3）基本关系平方关系：1cos sin22=+αα商数关系：αααcos sin tan =（4）诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)第一组：（函数名不变；符号看象限）ααsin )sin(-=-；ααπsin )sin(=-；ααπsin )sin(-=+；ααπsin )2sin(-=-；ααπsin )2sin(=+k ；（Z k ∈） 第二组：（函数名改变；符号看象限）ααπcos )2sin(=-； ααπcos )2sin(=+；ααπcos )23sin(-=-； ααπco s )23s i n (-=+； （5）倍角公式：αααcos sin 22sin ⋅=；ααα2tan 1tan 22tan -=；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；降次公式：22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=（6）辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a ；其中,tan b a b a ϕϕ=所在象限由的符号确定，值由确定特别地：)4sin(2cos sin πθθθ+=+ （7）三角变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，核心是角的变换．角的变换主要是：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差的变换．如()();2()();2;()()2222αβαββαααββαββααβαβαβαβ++=+-=-+=++-+=⨯=--- 常值变换主要是“1”的变换：22221sin cos sec tan tan sin042x x x x cos ππ=+=-==== 等三角式的变换主要有：三角函数名互化，次数的升降，运算结构的转化 注意正余弦“三姐妹”sin cos ,sin cos x x x x ±的内在关系（常和三角换元联系：如令21cos sin ,cos sin 2-=∙=+t t αααα则）（8）正、余弦函数的图象和性质：（图象、定义域、值域、奇偶性、单调区间 及单调性、最小正周期、对称中心、对称轴等等．）正弦函数：对称中心：)0,(πk ，对称轴：)(2z k k x ∈+=ππ余弦函数：对称中心：)0,2(ππ+k ，对称轴：)(z k k x ∈=π正切函数：对称中心：(,0)2k π∈（k Z）①注意：绝对值对三角函数周期的影响．一般来说，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定．如2sin ,sin y x y x ==的周期是π，但sin cos y x x =+的周期是2π， tan y x =的周期不变．2sin ,sin ,y x y x y ===②三角函数图象的作法：五点法、三角函数法，变换法． （9）图象变换平移变换：①x 轴方向上的平移：左加右减．②y 轴方向上的平移：上加下减伸缩变换：①x 轴方向上的伸缩（周期变换）．②y 轴方向上的伸缩（振幅变换）．对称变换：①复制（保留原有部分）②翻折（不保留原有部分） 须掌握三种图像变换与对应的函数解析式的变化关系． （10）常见方法：切化弦法；“1”的恒等变形；齐次式的处理方法；“变角”，“变名”，“变形”在求值，化简，证明中的应用，等等． ３．解三角形①三角形中的结论：内角和定理：A+B+C=π正、余弦定理：2222sin sin sin cos 2a b c R A B Cb c a A bc ⎫===⎪⎪⎬+-⎪=⎪⎭等⇒边角转换 勾股定理：（余弦定理特例）222222sin sin sin 90a b c A B C C +=⇔+=⇔∠=︒类似地：22222290;90C c a b C c a b ∠>︒⇔>+∠<︒⇔<+面积公式：1111sin sin sin 2222Sab C ac B bc C ====⨯⨯底高 有关边的不等式：a b c a c b b c a +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩②三角形中常见诱导公式有：sin()sin cos()cos tan()tan A B C A B C A B C +=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩s i n c o s 22cos sin 22tan cot 22A BC A B C A B C +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩s i n 2()s i n 2c o s 2()c o s 2t a n 2()t a n 2AB C AB C A B C +=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩③解三角形：可能有两解、一解、无解．（1） 知三边：（2） 已知两边一角：⎧⎨⎩两边及夹角两边及一边对角， （3） 已知一边、两角：第五章：平面向量（必修4）1．向量① 有大小、有方向，用有向线段表示；区别向量与起点无关，有向线段与起点有关． ②分类：平行向量（共线向量），相等向量，零向量（与任一向量平行） 2．向量加法（减法）① 三角形法则 ②平行四边形法则注意：掌握单位向量（与AB 共线的单位向量是AB AB ±，特别地：()AB AC AB AC +⊥ ()AB AC AB AC- ）、平行向量、相等向量、相反向量．向量的平行无传递性（因为有零向量），向量相等有传递性． 3．a b-≤a b a b ±≤+当,a b 同向或有为0 时，右边等号成立；当,a b 反向或有0 时，左边等号成立；,a b不共线，两边等号不成立．4．实数与向量积（仍为向量）①a a λλ=②0,a λλ>与同向;<0,与a 反向 5．向量共线充要条件：①b 与非零向量a 共线,b a λλ⇔= 有且只有一实数使得②a b ⋅共线⇔不全为0的实数m ,n ，使0ma nb +=6．平面向量基本定理：①同一平面内的两个不共线的向量12,,e e平面内的所有向量a ，有且只有一对实数2,,λλ1使得1122a e e λλ=+ ．②12,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底．7．平面向量坐标运算：①点11(,),M x y 点22(,),N x y 则2121(,)MN x x y y =--②若1122(,),(,)a x y b x y ==()()12121,a b x x y y ±=±±()()122,a x x λλλ=（3）0//1221=-⇔y x y x （借助2121y yx x =记） ()121240a b x x y y ⊥⇔+= ()5a =8．平面向量的数量积（此为数）①cos ,(0)a b a b θθπ⋅=≤≤=1212x x y y +②cos b b a θ为在方向上的投影③0a b a b ⊥⇔⋅=④不超过2个向量的运算与数的运算基本一致． ⑤22a a =⑥与向量a 同向的单位向量可表示为||a a注意：,a b <> 为锐角0,,ab a b ⇔>且不同向，即0>∙是,a b <> 为锐角的必要不充分条件．,a b <> 为钝角0,,ab a b ⇔<且不反向，即0<∙是,a b <> 为钝角的必要不充分条件．9．点的坐标平移公式： 点P （x ,y ）(,)a h k =−−−−→按平移点'P )','(y x 其中','(')x x h y y k a PP =+=+=()(,)a h k y f x ==−−−−→按平移()y k f x h -=-，特别提醒：向量平移后坐标不变．10．平面向量与其他知识的综合（比较） （1） 与平几：a) P 为AB 的中点)(21+=⇔在□ABCD ABCD ⇔=-+⇔0))((为菱形在□ABCD 中，ABCD ⇔⇔=⋅0为矩形．在四边形ABCD 中，ABCD AB DA DA CD CD BC BC AB ⇔⋅=⋅=⋅=⋅为矩形．b)13PG =+⇔（PA+PB PC ）G 为△ABC 的重心．特别地； 0OA OB OC O ++=⇔ 为△ABC 的重心．三角形重心公式：G （123123,33x x x y y y ++++）． O OA OC OC OB OB OA ⇒⋅=⋅=⋅为△ABC 的垂心．⋅λ过△ABC 的内心．* ABCS∆=（2） 与代数a) 实数的积 数量积 结合律：(ab)c=a(bc) )()(c b a c b a ⋅≠⋅消去律：ab=ac(a ≠0)c b =⇒ (0)a b a c a ⋅=⋅≠⇒ b c =ab=0⇒a=0或b=0 0a b ⋅=⇒ 0,a =或=222)(b a ab = 222)(⋅≤⋅ b)代数不等式：2222212121212211,(),,(y x y x y y x x y x b y x a ++≤+−→−≤==（3）与解几：点向式方程：若L 过点),(00y x ，且方向向量为（u,v ）,则L 的方程为： u y y v x x )()(00-=-第三章 数列（必修5）１．数列（1）按一定顺序排列的数（2）通项公式：第n 项n a 与项数n 之间的关系．但不是所有数列都有通项公式，若有通项公式也不一定唯一，即可有多个通项公式．（3）分类：按项数有限无限分：有穷数列、无穷数列．按项的值的变化：递增数列、递减数列、摆动数列．（4）递推公式：已知前一项或几项，任一项n a 与它前一项1n a -（或前几项）间的关系．（5）通项与前n 项和间的关系： 11(1)(2)nn n S n aS S n -=⎧=⎨-≥⎩（必要时请分类讨论） 2．等差数列 （1）通项公式：1(1),(*)na a n d n N =+-∈(),(,*)n m a a n m d n m N =+-∈，n ma a d n m-=-（2）判断等差数列的方法：①利用定义：对任意1*,;n nn N a a d +∈-=或任意*,n N ∈且2n ≥，1,n n a a d --=②利用通项公式：（与一次函数有关） ③ 中项法211-++=n n n a a a ．（3）等差中项：2A a b =+⇔A 是,a b 的等差中项⇔,,a A b 三数成等差．（4）前n 项和公式： ①公式：2)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+= ②n S 是关于n 的二次表达式（不含常数项）． （5）性质： ①若公差d≠0，,,,*m n s t N ∈则m n s t m n s t a a a a +=+⇔+=+②若,,*m k n N ∈，则,,m k n 成等差⇔,,m k n a a a 成等差．推广为：一个等差数列中每隔k 项仍成等差．③等差数列中每相邻k 项之和仍成等差，且公差为2k d.④{}n a 为等差数列，则{}na C是公比为d C 的等比数列．⑤一般地，三数（奇数个数）成等差的设法：,,a d a a d -+，其公差为d ；四数（偶数个数）成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++，其公差为2d ． ⑥,()0;pq p q a q a p p q a +==≠⇒=,()();p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+⑦首项为正的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有的非负项之和． 首项为负的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有的非正项之和． ⑧项数为2n 的等差数列，S S nd -=偶奇，项数为2n+1的等差数列，1n S S a +-=奇偶（数列中项）．3．等比数列 （1）通项公式：11(*),n na a q n N -=∈(,*),n m n m a a q m n N -=∈等比数列中，公比不能为0，各项均不能为0；奇（偶）数项一定同号． （2）判断等比数列的方法： ①定义法：任意1*,/0;n n n N a a q +∈=≠或任意*,n N ∈且2n ≥，1/0,n n a a q -=≠②中项法：011≠=+-n n na a a ③利用通项公式：（与指数函数有关） （3）等比中项：,,a G b 成等比⇔20,G ab =≠（只有两个同号的数才有等比中项，而且有两个）（4）前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n（5）性质： ①若公比1q≠±，,,,*m n s t N ∈则m n s t m n s t a a a a +=+⇔=②若,,*m k n N ∈，则,,m k n 成等差⇔,,m k n a a a 成等比．推广为：一个等比数列中每隔k 项仍成等比．③等比数列中每相邻k 项之和仍成等比（0ks ≠），且公比为kq . ④{}n a 为各项均为正数的等比数列，则{log }a n a 为公差{log }a q 的等比数列．⑤三数（奇数个数）成等比的设法：,,aa aq q，其公比为q ；四数（偶数个数）成等比的设法：33,,,a aaq aq q q，其公比为2q ．（注意此种设法应确认公比为正） ⑥m n m nm n n m S S q S S q S +=+=+⑦“首大于1”的正项递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有的大于或等于1的项之积； “首小于1”的正项递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有的小于或等于1的项之积． ⑧项数为2n 的等比数列，/;S S q =偶奇，项数为2n+1的等比数列，1S a qS =+偶奇4．如果两等差数列有公共项，则由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且公差是原两等差数列公差的最小公倍数．如果一等差数列和一等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”研究，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些是公共项． 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.nm a b =也有少数问题研究n n a b =，即要求项、项数相同． 5．数列的求和方法： （1）公式法：求和公式；（2）反（倒）序求和法—如和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，常考虑该法．这也是等差数列和公式的推导方法．（3）错位相减法——等比或混合数列．适用于数列的通项是由一个等差数列的通项和一个等比数列的通项相乘构成．（4）裂项法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后有关联，则常用裂项求和．常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④1(2)n n n a S S n -=-≥（以下为理科内容）⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++⑥ 1111m m m m m m n n n n n nC C C C C C --+++=⇒=- ⑦222111*********(),12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++--⑧<<（5）分组（并项）求和：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，在运用公式法求和． （6）累加、累乘法：n a =（n a -1n a -）+（1n a --2n a -）+ +（2a -1a ）+1a ；121121n n n n n a a a a a a a a ---=6．几种常见数列的前n 项和： （1）(1)1232n n n +++++=（2）2135(21)n n ++++-=（3）2135(21)(1)n n +++++=+第六章 不等式（必修５）1．不等式性质：①(a b b a >⇔<对称性) ②c a c b b a >⇒>>,(传递性)③()a b a c b c >⇔+>+加法单调性,(a b c d a c b d >>⇒+>+同向不等式相加)④,0(),0a b c ac bc a b c ac bc>>⇒>><⇒<乘法单调性⑤0,0(a b c d ac bd >>>>⇒>同向相乘) ⑥0(n n a b a b >>⇒>乘方原理)01)a b n N n >>⇒>∈>⎡⎤⎣⎦且开方原理⑦倒数法则：110a b ab a b>⎫⇒<⎬>⎭*⑧（理科）a b a b a b-≤+≤+左边等号成立条件： 0a b ab >≤且 右边的等号成立的条件：0ab ≤ 2．证明不等式的依据：①0a ba b ->⇔>； 0a b a b -<⇔<②不等式性质（以上7条） ③重要不等式 ()20a a R ≥∈ ；()222,a b ab a b R +≥∈ ；2()()222a b a b +≥+； ac bc ab c b a ++≥++222．（幂平均）（算术平均）（几何平均）（调和平均）*（理科）(,0)nn n k k k n k a b a b a b a b --+≥+≥(纯的大于或等于杂的)；22222()()()ab c d ac bd ++≥+（柯西不等式）3．极值定理：⇒和定积最大；积定和最小． 注意“一正二定三相等”的条件．0,0)2a ba b +≥>>22()(0,0)112a b aba b a b a b+≥≥>>++4．证明不等式的方法①比较法： 作差、作商（同正或同负）②分析法：(1)欲证……，即证……(2)证明b b b b a a ,,21⇐⇐⇐成立a ∴成立.③综合法：应用基本不等式、不等式的性质；函数性质法（单调性等）；放缩法 5．不等式的解法：（注：不等式的解集最后务必用集合的形式表示） ①2120(0),ax bx c a x x ++>><两根{}21x x x x x ⇔><或两根之外{}2120(0)|ax bx c a x x x x ++<>⇔<<两根之间②序轴标根（x 的系数为正）③含绝对值(1)分段讨论 (2)平方 (3)公式 ④简单的指数、对数不等式(1)利用单调性 (2)注意对数的真数大于0 ⑤()[]()min f x a a f x >⇔<恒成立()()max f x a a f x >⇔<⎡⎤⎣⎦有解注：设],[),(];,[),(n m x x g y b a x x f y ∈=∈=，对于 ],[];,[n m x b a x ∈∃∈∀，使得 )()(x g x f =⇔ 值域的值域)()(x g x f ⊂． 6．一元二次不等式的解集： ①a x 2 + bx + c > 0 , ( a> 0)12()()0a x x x x ⇔-->（其中 x 1、x 2 为对应方程的根，x 1 < x 2 ）△>0时；解集}{21|x x x x x ><或 △=0时；解集}{|,2b x x x R a ≠-∈且△<0时；解集R② a x 2 + b x+ c< 0 , ( a > 0 )⇔a (x － x 1 )( x － x 2 ) < 0 △>0时，解集｛x| x 1 < x < x 2｝ △≤0时，解集：φ③ a < 0 时转化为正的；分式转化为整式*7．（理科）绝对值不等式的解集（去绝对值的方法：平方、分类讨论） ① | x |<a, (a>0)⇔x ∈（－a , a ）② | x |>a, (a >0)⇔x ∈（－∞,－a ）⋃(a , +∞) ③ a<| x |<b ,(0<a<b )⇔x ∈（ a , b )⋃(－b , －a ) ④ | x |< a , ( a < 0 ) ⇔x ∈φ ⑤ | x | > a, ( a <0 ) ⇔x R ∈12()()...()0(0)n x x x x x x ---><第九章：立体几何初步（必修2）一．空间几何体： 1．棱柱、棱锥、棱台由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫棱柱．当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫棱锥．底面水平放置的棱锥（圆锥）被平行于底面的平面的所截，底面与截面之间的几何体叫做棱台（圆台）． ① 棱柱性质：（1）侧棱都相等、侧面是平行四边形 （2）底面、平行于底面的截面是全等多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 ② 长方体对角线性质：（1）对角线长的平方等于长、宽、高的平方和：l2()a b c ++的联系）*（2）对角线与三条棱（长、宽、高）分别成,,αβγ角，则222cos cos cos 1αβγ++=（线线角） *（3）对角线与同一顶点出发的三个面分别成,,αβγ角，则2cos cos cos 222=++γβα（线面角）注：了解割补法（三棱柱补成四棱柱）、了解几种特殊的四棱柱的关系：直四棱柱、平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体． ③正棱锥性质：（特征三角形）（1）各侧棱相等，侧面是等腰三角形；（2）高、斜高、斜高在底面射影（内切圆半径）构成直角三角形； 高、侧棱、侧棱在底面射影（外接圆半径）构成直角三角形； 底面边长一半、侧棱在底面射影、斜高在底面射影构成直角三角形． 2．圆柱、圆锥、圆台和球将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．半圆绕着它的直径旋转一周而形成的几何体叫做球体（简称球），半圆旋转形成的曲面叫球面． *3．中心投影与平行投影：三视图是观察者从不同的位置观察同一个几何体画出的空间几何体的图形，具体包括主视图、左视图和俯视图．注意把握“长对正、高平齐、宽相等”． 球的三视图是圆；长方体的三视图是矩形．平行投影的投影线互相平行，平行投影包括斜投影和正投影．中心投影的投影线相交于一点（消点）． 4．斜二侧画法： （1）斜：45或135（2）平行关系：与x 、y 轴的平行性不变．（3）长度关系：平行于y 轴的线段长度变为原来一半，平行与x 轴的线段长度不变． 设一多边形的面积和直观图的面积分别为',s s ，则s s 42'=． 二．点、线、面之间的位置关系 1．平面的基本性质：A L ∈⎫、BA A A LB L αβα∈⎫⎪∈⇒∈⎬⎪⋂=⎭（1）公理1：（2）公理2：（3）公理3：不共线三点确定一平面推论1：直线和直线外一点确定一平面; 推论2：两相交直线确定一平面;推论3：两平行直线确定一平面. （4）公理4：a ∥b, b ∥c ⇒a ∥c（5）空间等角定理：////OA GEOB GF AOB EGFOA GE OB GF ⎫⎪⎪⇒∠=∠⎬⎪⎪⎭、方向相同、方向相同 推论：2．线线关系：相交、平行、异面；线面关系： 在平面内、相交、平行；面面关系：平行、相交． 八个基本定理： （1）线面平行判定定理：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ （2）线面平行性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭（3）线面垂直判定定理,L m L n L m n m n o αα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⋂=⎭（4） 线面垂直性质定理： //a a b b αβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭注：线面垂直的定义：a ab b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭（5）面面平行判定：//////,a b a b o a b αααββ⎫⎪⎪⇒⎬=⎪⎪⊂⎭ （6） 面面平行的性质：////a b αβαγβγ⎫⎪⇒⎬⎪⎭引理：////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭0,//,//a b m n s a m b n ⋂=⋂=⎫⇒⎬⎭所成锐角（直角）相等（7）面面垂直判定： AB AB ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ （8）面面垂直性质:AB CD AB CD αβααβ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭β⊥⇒AB*3．线线角、线面角、二面角两条异面直线所成的角：亦称平移角，范围:︒≤<︒900θ 直线与平面所成的的角：范围： 090θ≤≤．斜线与平面所成的的角（090θ<<）：是斜线和平面内的直线所成角中最小的角.二面角的平面角θ：范围：0180θ≤≤ *4．点面距、线面距、面面距求线面距离：可转化为点面距离(求点面距时,注意变换点的位置：平行变换、对称变换)三．空间几何体的表面积、体积①棱柱侧面积求法：先求各侧面的面积、再求和．rl S π2=⇒圆柱侧 ②棱柱体积： V S h =⋅底 h r V 2π=⇒圆柱侧．③rl S cl S π=⇒=圆锥侧正棱锥侧21；⇒=h V 底锥体S 31h V 2r 31π=圆锥体 ④l r r S l c c S ）（）（圆台侧正棱台侧''21+=⇒+=π ⇒++=h S S V ）（台体'SS'31）（圆锥22''31r rr r V ++=π ⑤343V R π球= （体积）；24S R π=球（表面积）⑥球与正方体： 球内切于正方体，则;2R a =球与正方体的各棱相切，则R a 22=； 正方体内接于球，则R a 23=．球性质：（1）球心与截面圆心连线垂直于截面；（2）球心到截面距离 d ，球半径R ，截面半径r，则r =立体几何：（1）最基本思想：转化思想,将空间问题转化为平面问题（2）核心：线面垂直。