【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第三次月考文数(原卷版)

2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学（理）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|log 1,|2,0x A x x B y y x =<==≥，则A B = （ ） A ．∅ B ．{}|1x 2x << C ．{}|1x 2x ≤< D ．{}|1x 2x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3. 已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧D ．()p q ∧4. 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ．ˆ0.7 2.05yx =+ B ．ˆ0.71y x =+ C ．ˆ0.70.35y x =+ D ．ˆ0.70.45y x =+ 5.已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值为（ ） A ．2425 B ．725 C ．725- D ．2425- 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的范围为( )A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:y x 3l =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是( )A 34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.定义{}()()max ,a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数,x y 满足2,2x y ≤≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是( )A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12. 将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆” 中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分 .13.如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________.14.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++=__________. 15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈ 是“减差数列”，则实数t 的取值范围是_________.16. 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力123,,F F F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且123F F F ==.要提起这块钢板，123,,F F F 均要大于xkg ，则x 的最小值为__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且02,60c C ==． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0.4.1（单位：米）． （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元，从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中12,AB AA ==D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分12分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=．已知点(P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由． 21.（本小题满分12分）设函数()()3211,,,032f x ax bx cx a b c R a =++∈≠的图象在点()(),x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数()()12g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①()10k -=；②对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数()()()()212ln 230f x h x x m x x x=-++>的两个极值点()1212,x x x x <恰为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设对于任意实数x ， 不等式71x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-．参考答案一、选择题二、填空题 13.512 14．122 15．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．10 三、解答题又a b ab +=，所以()2340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．10分所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解析：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则()26331155P A C ===，所以()()141155P A P A =-=-=，故所求的概率为45．．．．．．．6分 （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2,10,20a a +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分其中()()()11224422266611862,10,20151515C C C P a P a P C C C ξξξ====+=====．．．．．．．． 10分所以()186240210201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．11分 令240183a +=，得7a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为11:1:2,2,AE EA AB AA ===1AE AD ==， 所以在Rt ADE ∆中，030ADE ∠=，在1Rt DCC ∆中，0160C DC ∠=，所以0190EDC ∠=，即1DE DC ⊥． 又1BD DC D = ，所以DE ⊥平面11,BDC BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．6分（2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以11,DD AD DD BD ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分分别以1DA DB DD 、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则()()()1,0,0,,1,0,A B E m ，所以()()()(),1,0,,,0,0,DB DE m AB AE m ===-=，设平面DBE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1111100,00n DB n DE x mz ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，令11z =，得()1,0,1n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2222200,00n AB x n AE mz ⎧⎧=-+=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，取21y =，∴)2n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴011cos ,cos 602n ==，解得m =<，故存在点E，当AE =时，二面角D BE A --等于60°．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解析：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为()22,0F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴双曲线2C 的焦点为()()122,02,0F F -、． 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =， 由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =．∴2083y =⨯，∴0y =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分7=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2752a =-=，∴1a =．．．．．．．．．．．．5分∴双曲线的方程为：2213y x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）st为定值，下面给出说明： 设圆M 的方程为：()2222x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M的半径为2r ==．．．．．．．．．．．7分 故圆()22:23M x y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 依题意12l l 、的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为()1y k x -=-，即0kx y k -+-=， 设2l 的方程为()11y x k=--，即10x ky +--=， ∴点M 到直线1l 的距离为1d N到直线2l 的距离为2d =，．．．．．．．．．．9分∴直线1l 被圆M截得的弦长s ==．．．．．．．．．．．．10分 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，．．．．．．．．．．．．．11分∴s t===，故st为定值．．．．．．．．．．．．12分21．解析：（1）由已知可得()()2k x f x ax bx c '==++，∵函数()()12g x k x x =-为偶函数， ∴()()()()1122g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，∴12b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又()10k -=，∴110,22a c a c -+=+=，又因为对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立，∴21110222a x x c ⎛⎫-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， ∴10211140422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，∴14a c ==，∴()2111424k x x x =++．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）得，()321111244f x x x x =++，∴()()()()222122ln 320,22x mx h x x x mx x h x x m x x-+'=++->=+-=．．．．．．．．5分由题意得21212401m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩，又m ≥，∴()21221292x x m x x +=≥ ， 解得12102x x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()1212,x x x x <为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴()()2211112222ln 0,ln 0x x sx tx x x sx tx ϕϕ=--==--=，两式相减得，()()()11212122ln0x s x x x x t x x x --+--=， 又()12x sx t x ϕ'=--，从而()()()()12121212121212222x x x x y x x x x s x x t x x x x ϕ-⎡⎤+⎛⎫'=-=--+-=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1211122221ln ln 1x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-+．设12102x n n x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()1212211lnn 0212n x x y x x n n ϕ-+⎛⎫⎛⎫'=-=-<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭记为()M n ．．．．10分 ()()()()()()22211112011n n n M n n n n n +----'=-=<++，∴()M n 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 12ln 223M n M ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 故()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=-⎪⎝⎭的最小值为2123n -．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由2x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得()22210x y ++=，曲线1C 的普通方程为()22210x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6sin ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+即()()221310x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．．．．．．．．．． 5分（2）∵圆1C 的圆心坐标()2,0-，圆2C 的圆心坐标为()1,3， ∴1C C =<，所以两圆相交，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12CC ,∴2222d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点-7和点1的距离之和， ∴()min718x x ++-=，∴8m ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于：324x x --≤，第页 11 ∴有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 从而3x ≥或133x -≤<，∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(三）数学(文科）命题人：贺忠良洪利民黄钢审题人：高三文科数学备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)集合M＝{x｜log2（1－x）<0｝,集合N＝{x｜－1≤x≤1}，则M∩N等于(D)(A）1－1，1）(B)10，1) (C)1－1，1] (D)(0，1）(2)若复数z满足（3＋3i)z＝3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为（C）（A)错误!－错误!i （B）错误!＋错误!i (C）错误!－错误!i (D）错误!＋错误! i(3）在等差数列｛a n｝中,已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝（C）（A）12 （B)18 (C）24 (D）30（4)设a＝20。

3，b＝0。

32，c＝log x错误!(x>1)，则a,b,c的大小关系是（B）（A）a<b〈c(B)b〈a〈c(C）c<b〈a（D)b<c<a（5)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A）（A)错误!(B)错误!（C）错误!(D)错误!(6)右图是函数y＝A sin(ωx＋φ）错误!在区间错误!上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(D）(A)向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变（B）向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标不变(C）向左平移错误!个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（D）向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标不变(7)已知函数f(x)＝错误!是R上的增函数，则a的取值范围是（C)（A)－3≤a〈0 （B)a≤－2 （C）－3≤a≤－2 (D)a〈0（8）过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则|AF｜|BF｜的值等于（C）(A）5 （B）4 (C)3 （D）2(9)函数f（x）＝错误!cos x的图象的大致形状是（B)【解析】由题意得,f(x）＝错误!cos x＝错误!·cos x，所以f（－x）＝错误!·cos(－x）＝错误!·cos x＝－f（x），所以函数f错误!为奇函数，图象关于原点对称,排除选项A，C；令x＝1,则f错误!＝错误!cos 1＝错误!cos 1〈0，故选B.（10)执行如图所示的程序框图，输入p＝10，则输出的A为(C)（A)－12 （B)10 (C)16 (D)32【解析】第1次执行循环体：S＝S－2n＋10＝0－2＋10＝8>A＝0，是，A＝S＝8，n＝1≥p＝10，否，n＝2n＝2；第2次执行循环体：S＝S－2n＋10＝8－4＋10＝14〉A＝8，是，A＝S＝14，n＝2≥p＝10，否，n＝2n＝4；第3次执行循环体：S＝S－2n＋10＝14－8＋10＝16〉A＝14，是，A＝S＝16,n＝4≥p＝10,否, n＝2n＝8；第4次执行循环体：S＝S－2n＋10＝16－16＋10＝10〉A＝16，否，n＝8≥p＝10，否，n＝2n＝16;第5次执行循环体：S＝S－2n＋10＝10－32＋10＝－12>A＝16,否，n＝16≥p＝10,是，输出A＝16，故选C。

2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学（理）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|log 1,|2,0x A x x B y y x =<==≥，则AB =（ ）A ．∅B ．{}|1x 2x <<C ．{}|1x 2x ≤<D ．{}|1x 2x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3. 已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧D ．()p q ∧4. 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ．ˆ0.7 2.05yx =+ B ．ˆ0.71y x =+ C ．ˆ0.70.35y x =+ D ．ˆ0.70.45y x =+ 5.已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值为（ ） A ．2425 B ．725 C ．725- D ．2425- 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的范围为( )A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:y x 3l =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是( )A 34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.定义{}()()max ,a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数,x y 满足2,2x y ≤≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是( )A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12. 将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆” 中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分 .13.如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________.14.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++=__________. 15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈是“减差数列”，则实数t 的取值范围是_________. 16. 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为106kg ，在它的顶点处分别受力123,,F F F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且123F F F ==.要提起这块钢板，123,,F F F 均要大于xkg ，则x 的最小值为__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且02,60c C ==． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0.4.1（单位：米）． （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元，从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中12,3AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分12分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=．已知点(3P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由． 21.（本小题满分12分）设函数()()3211,,,032f x ax bx cx a b c R a =++∈≠的图象在点()(),x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数()()12g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①()10k -=；②对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数()()()()212ln 230f x h x x m x x x=-++>的两个极值点()1212,x x x x <恰为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设对于任意实数x ， 不等式71x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-．参考答案一、选择题二、填空题 13.512 14．122 15．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．10 三、解答题又a b ab +=，所以()2340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．10分所以113sin 4322ABC S ab C ∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解析：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则()26331155P A C ===，所以()()141155P A P A =-=-=，故所求的概率为45．．．．．．．6分 （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2,10,20a a +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分其中()()()11224422266611862,10,20151515C C C P a P a P C C C ξξξ====+=====．．．．．．．． 10分所以()186240210201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．11分 令240183a +=，得7a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为11:1:2,2,3AE EA AB AA ===，所以3,13AE AD ==， 所以在Rt ADE ∆中，030ADE ∠=，在1Rt DCC ∆中，0160C DC ∠=，所以0190EDC ∠=，即1DE DC ⊥． 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面11,BDC BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．6分（2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以11,DD AD DD BD ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分分别以1DA DB DD 、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则()()()1,0,0,3,0,1,0,A B E m ，所以()()()()0,3,0,1,0,,1,3,0,0,0,DB DE m AB AE m ===-=， 设平面DBE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111030,00n DB n DE x mz ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，令11z =，得()1,0,1n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则22222030,00n AB x n AE mz ⎧⎧=-+=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，取21y =，∴)23,1,0n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴0122131cos ,cos 60221m n n m -===+，解得23m =<，故存在点E ，当2AE =时，二面角D BE A --等于60°．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解析：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为()22,0F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴双曲线2C 的焦点为()()122,02,0F F -、． 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =， 由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =．∴2083y =⨯，∴0y =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分17AF ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2752a =-=，∴1a =．．．．．．．．．．．．5分∴双曲线的方程为：2213y x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）st为定值，下面给出说明： 设圆M 的方程为：()2222x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M的半径为2r ==．．．．．．．．．．．7分 故圆()22:23M x y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 依题意12l l 、的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为()1y k x -=-，即0kx y k-+-=， 设2l 的方程为()11y x k=--，即10x ky +--=， ∴点M 到直线1l 的距离为1d N到直线2l 的距离为2d =，．．．．．．．．．．9分∴直线1l 被圆M截得的弦长s ==．．．．．．．．．．．．10分 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，．．．．．．．．．．．．．11分∴s t===，故st为定值．．．．．．．．．．．．12分21．解析：（1）由已知可得()()2k x f x ax bx c '==++，∵函数()()12g x k x x =-为偶函数， ∴()()()()1122g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，∴12b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又()10k -=，∴110,22a c a c -+=+=，又因为对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立，∴21110222a x x c ⎛⎫-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， ∴10211140422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，∴14a c ==，∴()2111424k x x x =++．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）得，()321111244f x x x x =++，∴()()()()222122ln 320,22x mx h x x x mx x h x x m x x-+'=++->=+-=．．．．．．．．5分由题意得21212401m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩，又m ≥，∴()21221292x x m x x +=≥，解得12102x x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()1212,x x x x <为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴()()2211112222ln 0,ln 0x x sx tx x x sx tx ϕϕ=--==--=，两式相减得，()()()11212122ln0x s x x x x t x x x --+--=， 又()12x sx t x ϕ'=--，从而()()()()12121212121212222x x x x y x x x x s x x t x x x x ϕ-⎡⎤+⎛⎫'=-=--+-=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1211122221ln ln 1x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-+．设12102x n n x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()1212211lnn 0212n x x y x x n n ϕ-+⎛⎫⎛⎫'=-=-<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭记为()M n ．．．．10分 ()()()()()()22211112011n n n M n n n n n +----'=-=<++，∴()M n 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 12ln 223M n M ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 故()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=-⎪⎝⎭的最小值为2123n -．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由2x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得()22210x y ++=，曲线1C 的普通方程为()22210x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6sin ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+即()()221310x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．．．．．．．．．． 5分（2）∵圆1C 的圆心坐标()2,0-，圆2C 的圆心坐标为()1,3， ∴12C C ==<，所以两圆相交，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C,∴2222d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点-7和点1的距离之和， ∴()min718x x ++-=，∴8m ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于：324x x --≤，第页 11 ∴有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 从而3x ≥或133x -≤<，∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(五)数学(文科)湖南师大附中高三数学备课组命题人：湖南师大附中高三数学备课组审题人：(考试范围：高中文科数学全部内容)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量l20分钟。

满分l50分。

得分：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。

已知全集U=R，集合A一．B一则A B．(x|x>O}C．D．2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为____A．50 B 60C．70 D．803．已知命题P：使命题q：都有给出下列结论：①命题“”是真命题，②命题“”是假命题，③命题“”是真命题，④命题“”是假命题．其中正确的个数是A．1个 B．2个C 3个 D．4个4．已知若o<以<6<1，则下列各式中正确的是A．B．C．D．5．已知平面区域，若在区域固上随机投一点A，则点A落在区域M的概率为A．B．C．D．6．已知一1，点C在内，且A．18．2 C．3 D．47．如图，在正三棱柱ABC—AlB。

Cl中，点M为侧棱AA。

上一动点，已知ABCM面积的最大值是2，二面角M—BC—A的最大值是则该三棱柱的体积等于A．C．B．D．8．若关于2的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是A． B C． D选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．不等式的解集是___．10．若函数的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确到0．1)为___ ．11．已知定义在R上的函数满足，则F(3)= ____ 。

12．的值等于___13．执行如图所示的程序框图，若输入的p 一4，则输出的S =___， 14．已知抛物线上一点M(1，m)(m >O)到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于——．15．定义运算符号 这个符号表示若干个数相乘，．例如：可将其中口，为数列中的第i 项(1) (2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．16．(本小题满分12分)某校从参加高一年级期末考 试的学生中抽出60名学生， 按其成绩(不小于40不大于 100的整数)依次分为第一小 组，第二小组，…，第六小组， 成绩分别为[40，50)，[50， 60)，…，[90，i00]．画出(如 右)部分频率分布直方图．(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率(60分及以 上为及格)和平均分．17．(本小题满分l2分)已知向量(1)求函数的表达式，并指出的单调递减区问(2)在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为以，a,b，C，bc=8，求ABC的面积S18．(本小题满分l2分) 在三棱锥S —ABC中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC 平面ABC ，SA=SC=19．(本小题满分13分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点A(一2，0)，离心率F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点(不同于点A)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当时，求直线PQ 的方程；(3)判断APQ 能否成为等边三角形，并说明理由．20．(本小题满分13分) 已知函数(1)若，曲线秆]在原点处的切线重合，求实数b 的值．(2)若a=0，在上恒成立，求b 的取值范围．(3)求证：21．(本小题满分13分) 设z 轴、Y 轴正方向上的单位向量分别是I,j ，坐标平面上点A n 、B n分别满足下列两个条件：(1)求的坐标；(2)若四边形的面积是的表达式；(3)对于(2)中的 a n ，是否存在最小的自然数M ，对一切都有M 成立?若存在，求M ；若不存在，说明理由．炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(五)数学(文科)参考答案一、选择题题号 l 2 3 4 5 6 78 答案BCBCDCAD(2)求二面角N —CM —B 的正切值．,M ．N 分别为AB 、SB 的中点．(1)证明：ACSB ；。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1M x x =<，{}2,x N y y x M ==∈，则集合()R C M N I 等于（ ） A.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦UB.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.[)1,+∞2.已知复数()41biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列说法中正确的是（ ）A.若分类变量X 和Y 的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小B.对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做函数关系C.相关系数2r 越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D.若分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4.下图是2016年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字.这些数据的中位数是 ，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是（ ） A.86.5，86.7B.88；86.7C.88；86.8D.86.5；86.85.在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）A.因为函数()sin y x x R =∈的值域为[]1,1-，21x R -∈，所以()()sin 21y x x R =-∈的值域也为[]1,1-B.昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C.在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距离地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论7.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ）A.310B.10 C.5 D.5 8.已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（ ） A.4B.4-C.6D.6-9.若实数数列：1－，1a ，2a ，3a ，81-成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ） A.13或10 B 砑10或22C.22D.1010.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E ，F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为（ ）A.12πB.24πC.36πD.48π11.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A.0B.1C.94D.312.已知,a b 是实数，1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点，设()()()h x f f x c =-，其中()2,2c ∈-，函数()y h x =的零点个数为（ ） A.8B.11C.10D.9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．14.已知ABC △的外接圆的半径为8，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC △的面积为 ． 15.已知O 为三角形ABC 的外心，2AB a =，2AC a=，120BAC ∠=︒，若AO xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则36x y +的最小值为 ．16.设函数3,ln ,x x x e y a x x e 2⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在等比数列{}n a 中，已知418a a =，且1a ，21a +，3a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}4n a -的前n 项和n S . 18.已知二次函数()242f x ax bx =-+.（1）任取()(){},,460,0,0a b a b a b a b ∈+-≤>>，记“关于x 的方程()0f x =有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率.19.如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且DG BRGH RH=，将AED △，CFD △，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示.（1）求证：GR ⊥平面PEF ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P DEF -的内切球的半径.20.如图，设双曲线()22122:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点，已知1C 的离心率为23，且ABF △的面积31S =-.（1）求双曲线1C 的方程；（2）设抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与2C 相切于点P ，与2C 的准线相交于点Q ，试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由.21.已知()x f x e =，()22g x x x a =-++，a R ∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =的单调性；（2）记()()(),0,0f x x xg x x ϕ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，设()()11,A x x ϕ，()()22,B x x ϕ为函数()x ϕ图象上的两点，且12x x <.（i ）当0x >时，若()x ϕ在A ，B 处的切线相互垂直，求证：211x x -≥； （ii ）若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围.22.已知直线l 的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上. （1）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值. 23.设()11f x x x =-++. （1）求()2f x x ≤+的解集； (2)若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）数学（文科）参考答案一、选择题1-5:ABDCC 6-10:CBBDA 11、12：BD二、填空题13.1和 15.6+10,1e ⎛⎤ ⎥+⎝⎦三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则34118a a q a =⋅=，∴2q =， 又123,1,a a a +成等差数列，即()21321a a a +=+，∴12a =， ∴2n n a =.（2）当1n =时，1420a -=-<，∴12S =， 当2n ≥时，40n a -≥，∴()()()2224422241n n n S a a n =+-++-=+++--…… ()()12124124212n n n n +-=--=-+-，又当1n =时，上式也满足. ∴当*n N ∈时，1242n n S n +=-+.18.解：（1）因为a 有3种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3515⨯=个， 因为函数()f x 的图象关于直线2b x a=对称，若事件A 发生，则0a >且21ba ≤，数对(),a b 的取值为()1,1-，()2,1-，()2,1，()3,1-，()3,1共5种. 所以()51153P A ==. （2）集合(){},460,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt AOB △，如图，其中点()6,0A ，30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AOB △的面积为1396222⨯⨯=，若事件B 发生，则()10f <，即420a b -+<. 所以事件B 对应的平面区域为BCD △. 由460420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为()2,1D .又10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，则BCD △的面积为13121222⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以()29BCD AOB S P B S ==△△.19.解：（1）在正方形ABCD 中，A ∠，B ∠，C ∠为直角， ∴在三棱锥P DEF -中，PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直， ∴PD ⊥平面PEF ， ∵DG BR GH RH =，即DG PRGH RH=，∴在PDH △中，RG PD ∥， ∴GR ⊥平面PEF .（2）正方形ABCD 边长为4，由题意，2PE PF ==，4PD =，EF =DF =，∴2PEF S =△，4DPF DPE S S ==△△，162DEF S =⨯=△.设三棱锥P DEF -内切球半径为r ，则三棱锥的体积()11224263P DEF PEF DPF DEF V S S S r -=⨯⨯⨯=++⋅△△△，∴12r =，即三棱锥P DEF -的内切球的半径为12. 20.解：（1）由已知c a =2a =，则2243a c =，即()22243a a b =+，得a =，2cb =， 又()112c a b -=()22bb =1b =. 从而a 2c =，所以双曲线1C 的方程为2213y x -=.（2）由题设，抛物线2C 的方程为28x y =，准线方程为2y =-，由218y x =，得1'4y x =，设点2001,8P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为()20001184y x x x x -=-，即2001148y x x x =-，联立2y =-，得20016,22x Q x ⎛⎫--⎪⎝⎭， 假设存在定点()0,M m 满足题设条件，则0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r对任意点P 恒成立，因为2001,8MP x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，20016,22x MQ m x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭u u u ur ，则()22001612028x m x m -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即()2022808m x m m -++-=对任意实数0x 恒成立， 所以()20280m m m -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即2m =，故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点()0,2M .21.解：（1）()()22x h x e x x a =-++，则()()2'2x h x e x a ⎡⎤=--+⎣⎦，当20a +≤即2a ≤-时，()'0h x ≤，()h x 在R 上单调递减，当20a +>时即2a >-时，()()(2'2x x h x e x a e x x ⎡⎤=--+=-⎣⎦，此时()h x在(,-∞和)+∞上都是单调递减的，在(上是单调递增的；（2）（i ）()'22g x x =-+，据题意有()()1222221x x -+-+=-，又120x x <<， 则1220x -+>且2220x -+<，()()1222221x x ⇒-+-=， 法1：()()21121222212x x x x -=-++-≥=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()()1222221x x -+=-=即112x =，232x =时取等号. 法2：()211141x x =+-，()1211110111141x x x x x <-<⇒-=-+≥=-， 当且仅当()111111412x x x -=⇒=-时取等号.（ii ）要在点A B ，处的切线重合，首先需要在点A B ，处的切线的斜率相等，而0x <时，()()()''0,1x x f x e ϕ==∈，则必有1201x x <<<，即()11,x A x e ，()2222,2B x x x a -++，A 处的切线方程是：()()1111111x x x x y e e x x y e e x -=-⇒=+-B 处的切线方程是：()()()22222222y x x a x x x --++=-+-， 即()22222y x x x a =-+++， 据题意则()()1111212122244481x x x x e x a e e x e x x a⎧=-+⎪⇒+=-+-⎨-=+⎪⎩，()1,0x ∈-∞， 设()()48x x p x e e x =-+-，0x <，()()'222x x p x e e x =-+-， 设()22x q x e x =+-，()0'20x x q x e <⇒=+>在(),0-∞上恒成立， 则()q x 在(),0-∞上单调递增()()010q x q ⇒<=-<，则()()'2220x x p x e e x =-+->，()p x ⇒在(),0-∞上单调递增， 则()()07p x p <=，再设()48x r x e x =+-，0x <，()'40x r x e =+>，()r x ⇒在(),0-∞上单调递增，()()070r x r ⇒<=-<，则()()480x x p x e e x =-+->在(),0-∞恒成立， 即当(),0x ∈-∞时，()p x 的值域是()0,7， 故()3440,714a a +∈⇒-<<，即为所求. 22.解：（1）易知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，则m =-将直线l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ⋅==.（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C上的动点(),2sin P θθ，则以P为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16. 23.解：（1）由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩，解得02x ≤≤， ∴()2f x x ≤+的解集为{}02x x ≤≤. （2）121111112123a a aa a a a+--=+--≤++-=， 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号，由不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥，解得：32x ≤-或32x ≥，故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .。

湖南师大附中2017届高三月考试卷(四)数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数4－2i（1＋i ）2＝(D)(A)1－2i (B)1＋2i (C)－1＋2i (D)－1－2i(2)执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b|＝1，则a 与b 夹角为(C) (A)π3 (B)π2 (C)2π3 (D)3π4(4)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数y ＝a x，y ＝x b，y ＝log c x 的图象如图所示，则(C) (A)a >b >c (B)a >c >b (C)c >a >b (D)c >b >a(6)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是(D)(A) π (B) 4π3(C) 3π (D) 4π(7)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1方程x 2－b n x ＋2n＝0的两根，则b 10等于(D) (A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线C 的离心率为(D)(A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2(10)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 例如[3.27]＝3，[0.6]＝0.那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0，圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则a 的取值范围是(C)(A)[－18，6] (B)[6－52，6＋52] (C)[－16，4] (D)[－6－52，－6＋52](12)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0，1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 5的展开式中，x 的一次项系数为__－80__．(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堢瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为__3__． 【解析】由题意，圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺，高11尺，体积为2 112(立方)尺，设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝48πr 2×11＝2 112，解得π＝3, r ＝8，故答案为：3.(15)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －1）≥0，0≤x ≤1 ，则2x ＋y 的取值范围是__[0，3]__．(16)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为__π4__．【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2 ，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω，0， 设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2. 所以该点在△ABC 内的概率P ＝S △ABC S ＝π22＝π4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数f(x)＝2sin (x －A)cos x ＋sin (B ＋C)(x∈R )，f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称．(Ⅰ)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求f (x )的值域；(Ⅱ)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，所以－32 ＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.即f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1；(Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如表)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.(Ⅰ)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝6018＋y 3＋x ＋9＋15＝23， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6.∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示．(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取10人， 则其中“网购达人”有10×25＝4人，“非网购达人”有10×35＝6人．故ξ的可能取值为0，1，2，3；P (ξ＝0)＝C 40C 63C 103＝16，P (ξ＝1)＝C 41C 62C 103＝12，P (ξ＝2)＝C 42C 61C 103＝310，P (ξ＝3)＝C 43C 60C 103＝130.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(19)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为BC ，DA 的中点．将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得∠DFA ＝60°. 设G 为AF 的中点．(Ⅰ)求证：DG ⊥EF ；(Ⅱ)求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；(Ⅲ)设P ，Q 分别为线段DG ，CF 上一点，且PQ ∥平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值．【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ⊥FD ，EF ⊥FA ，将正方形ABCD 沿着线段EF 折起后，仍有EF ⊥FD ，EF ⊥FA ，而FD ∩FA ＝F ，所以EF ⊥平面DFA .又因为DG平面DFA ，所以DG ⊥EF .(Ⅱ)因为∠DFA ＝60°，DF ＝FA ，所以△DFA 为等边三角形，又AG ＝GF ，故DG ⊥FA . 由(Ⅰ)，DG ⊥EF ，又EF ∩FA ＝F ，所以DG ⊥平面ABEF .设BE 的中点为H ，连接GH ，则GA ，GH ，GD 两两垂直，故以GA ，GH ，GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系如图，则G (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，4，0)，C (0，4，3)，F (－1，0，0), 所以GA →＝(1，0，0)，BC →＝(－1，0，3)，BF →＝(－2，－4，0)． 设平面BCF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z ),由m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x －4y ＝0，令z ＝2，得m ＝(23，－3，2)． 设直线GA 与平面BCF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈m ，GA →〉|＝|m ·GA →||m ||GA →|＝25719.即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为25719.(Ⅲ)由题意，可设P (0，0，k )(0≤k ≤3)，FQ →＝λFC →(0≤λ≤1)， 由FC →＝(1，4，3)，得FQ →＝(λ，4λ，3λ)，所以Q (λ－1，4λ，3λ)，PQ →＝(λ－1，4λ，3λ－k )． 由(Ⅱ)，得GD →＝(0，0，3)为平面ABEF 的法向量． 因为PQ ∥平面ABEF ，所以PQ →·GD →＝0，即3λ－k ＝0. 所以|PQ →|＝（λ－1）2＋（4λ）2＋（3λ－k ）2＝（λ－1）2＋（4λ）2＝17λ2－2λ＋1，又因为17λ2－2λ＋1＝17⎝⎛⎭⎪⎫λ－1172＋1617，所以当λ＝117时，|PQ →|min ＝41717. 所以当λ＝117，k ＝317时，线段PQ 长度有最小值41717.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ， BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M 、N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．【解析】(Ⅰ)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为 x 24＋y 23＝1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 点在椭圆上，∴y 02＝34(4－x 02)． ①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 0x 0＋2. 从而BM →＝(x 0－2，y 0), BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2.∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 02x 0＋2＝2x 0＋2(x 02－4＋3y 02)． ②将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0)．∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．方法2：由(Ⅰ)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2－14|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222－14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝(x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 2 ③ 直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)， 而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④ 又点M 在椭圆上，则x 124＋y 123＝1，即y 12＝34(4－x 12) ⑤ 于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ |2－14|MN |2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内． (21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e ax－x .(Ⅰ)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(Ⅱ)若a ＝1，k 为整数，且存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0，求k 的最小值． 【解析】(Ⅰ) 若a ≤0，则对一切x >0，f (x )＝e ax－x <1，这与题设矛盾， 故a >0.而f ′(x )＝a e ax－1，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ln 1a.当x <1a ln 1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1a ln 1a时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝1a ln 1a时，f (x )取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a.于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0<t <1时，g ′(t )>0，g (t )单调递增；当t >1时，g ′(t )<0，g (t )单调递减. 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当1a＝1即a ＝1时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{1}.(Ⅱ)a ＝1时，f ′(x )＝e x－1, 所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1,故当x >0时， (x －k )f ′(x )＋x ＋1<0等价于k >x ＋1e x －1＋x ， ②令h (x )＝x ＋1e x －1＋x (x >0)，则h ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x－x －2）（e x －1）2， 令φ(x )＝e x－x －2(x >0)，则φ′(x )＝e x－1 >0，φ(x )在(0, ＋∞)上单调递增，而φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，亦即h ′(x )在(0, ＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为α，则α∈(1，2)，e α＝α＋2，当x ∈(0，α)时， h ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时， h ′(x )>0，所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (α) ，而h (α)＝α＋1e α－1＋α＝α＋1∈(2，3)， 而由②知，存在x 0>0，使(x 0－k )f ′(x 0)＋x 0＋1<0等价于k >h (α)，所以整数k 的最小值为3. 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α ，消去参数α得x 2＋(y －4)2＝16, 即C 2的普通方程为x 2＋(y －4)2＝16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(23)(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝m －|x －2|，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }，又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a ＋12b ＋13c＝1，a ，b ，c ∈R ＋， 方法1：由基本不等式得： a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ≥3＋2＋2＋2＝9.方法2：由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

2020届湖南师范大学附属中学2017级高三上学期第三次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2340A x x x =--≤,{}3B x x =<,则A B =( ) A. [)1,3-B. (],4-∞C. []1,4-D. (),3-∞【答案】B【解析】 解一元二次不等式求出集合A,再利用集合的并运算即可求解. 【详解】由{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤,{}3B x x =<, 所以{}(]4,4A B x x ⋃=≤=-∞,故选：B2.已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】 3ie 表示的复数为：cos3sin3i +,根据3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出结论. 【详解】由题意可得3i e cos3sin3i =+,3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos30,sin 30∴<>, 因此在复平面中位于第二象限.故选：B3.已知函数()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()4f f =( ) A. 3B. 4C. 5D. 14【答案】A【解析】 首先将4代入对应解析式求出()41f =,再求()1f 即可.【详解】由()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩, 所以()1243log 4321f =+=-=,则()()()3141213f f f -==-=. 故选：A4.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A . 0 B. 12D. 1【答案】B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B5.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )。

湖南师大附中2017届高三月考试卷（四）物 理命题人：王海波 审题人：周曼时量：90分钟 满分：110分第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12小题，每小题4分，共48分。

其中第1—8小题为单选题，第9—12小题为多选题。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

结果填涂在答题卡上。

）1．关于物理学的研究方法，下列说法中正确的是（ ）A ．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一段近似看成匀速直线运动，然后把各小段的位移相加，这里运用了等效替代法B ．当△t →0时，t v ∆∆称做物体在时刻t 的瞬时速度，应用了比值定义物理量的方法 C ．用tv ∆∆来描述速度变化快慢，采用了比值定义法 D ．伽利略利用斜面实验研究自由落体运动时，采用的是微小放大的思想方法【答案】C2.每种原子都有自己的特征谱线，所以运用光谱分析可以鉴别物质和进行深入研究。

氢原子光谱中巴耳末系的谱线波长公式为：122111()2E hc n λ=-，n = 3、4、5…，E 1为氢原子基态能量，h 为普朗克常量，c 为光在真空中的传播速度。

锂离子Li + 的光谱中某个线系的波长可归纳成一个公式：/122111()6E hc m λ=- ，m = 9、12、15…，/1E 为锂离子Li +基态能量，经研究发现这个线系光谱与氢原子巴耳末系光谱完全相同。

由此可以推算出锂离子Li +基态能量与氢原子基态能量的比值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C3.表面光滑、半径为R 的半球固定在水平地面上，球心O 的正上方'O 处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。

两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为1 2.4L R =和2 2.5L R =，则这两个小球的质量之比为12m m ，小球与半球之间的压力之比为12N N ，则以下说法正确的是A ．122425m m =B ．122524m m = C ．121N N = D ．122425N N = 【答案】B4.如图所示，水平传送带AB 距离地面的高度为h ，以恒定速率v 0顺时针运行。