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《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。
比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。
经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。
例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。
2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。
例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
分母有理化
目录
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
数学术语
什么是分母有理化
分母有理化的分类
拓展
有理化因式
有理化因式举例
展开
编辑本段数学术语
什么是分母有理化
分母有理化(fēn mǔ yǒu lǐ huà)
又称"有理化分母".通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算.在根式运算及把一个根式化成最简分式时,都要将分母有理化.最快最常见的是分母带根号的.
分母有理化的分类
如果是一个单项式,如,2/√2
则将分子分母同时乘以√2,分母变为2，分子变为2√2，分数值为√2.
如果是一个多项式,如,2/（√2-1）
则分子分母同时乘以√2+1
使用平方差公式,分母变为1，分子变为2√2+2，分数值为2√2+2.
此方法可应用到根式大小比较中去
编辑本段拓展
有理化因式
例如：
将分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
有理化因式举例
如√a的有理化因式是正负√a，√a+√b的有理化因式是
√a-√b或√b-√a.。
1.2分母有理化与分⼦有理化
当⽆理根式出现在分式中时，根据解题的要求或实际变形的需要，常对分式进⾏有理化处理．分式的有理化有分母有理化和分⼦有理化两种，前者是初中⽣所熟知的，具体操作如下：分母和分⼦都乘以分母的有理化因式，从⽽化去分母中的根号（但分⼦中含根号）．这⾥提及分母有理化完全是复习与过渡，到必修1“指数与指数幂的运算”⼀节，我们还会遇到⼀些分母有理化的题⽬．
⽽初中⽣对分⼦有理化却⼗分陌⽣，初中数学⾥似乎从未碰到过．其实，它的操作与分母有理化类似：分母和分⼦都乘以分⼦的有理化因式，从⽽化去分⼦中的根号（但分母中含根号）．分⼦有理化在⾼中数学教材中多次出现并有重要应⽤，⼤致有以下⼏处：
（1）证明某些函数的单调性；
（2）求某些函数的值域；
（3）证明某些函数的奇偶性；
（4）判断某些数列的单调性；
（5）⽐较⼤⼩与不等式证明；
（6）椭圆和双曲线标准⽅程的推导；
（7）⽤定义法求某些函数的导数．。
