最新椭圆常用结论及其推导过程资料

高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。

二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=三、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 五、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

椭圆方程的变形及相关公式推导引言椭圆方程是数学中常见的一类方程，具有广泛的应用背景。

本文将介绍椭圆方程的变形及相关公式推导，以加深对椭圆方程的理解和应用。

椭圆方程的一般形式椭圆方程的一般形式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b为正实数，并且a>b。

当a=b时，该方程描述的是一个圆。

椭圆的变形由于椭圆方程是一个二次方程，我们可以对其进行不同形式的变形，以适应不同问题的求解。

下面介绍几种常见的椭圆变形形式：一般椭圆方程(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1这种形式下，椭圆的中心坐标为 (h, k)，a表示水平方向的半长轴，b表示竖直方向的半短轴。

离心率-焦点表示在椭圆方程中，离心率（eccentricity）e是一个重要的参数，表示椭圆形状的程度。

离心率的计算公式如下：e = sqrt(1 - (b/a)^2)同时，椭圆还有两个焦点，记为 F1 和 F2，它们与椭圆的关系为：c = sqrt(a^2 - b^2)其中，c表示焦距。

参数方程表示除了上面的直角坐标系表示外，椭圆方程还可以使用参数方程表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)参数t的范围为0到2π。

相关公式推导推导椭圆方程的过程涉及到一些数学方法和技巧，这里提供一些常用的推导公式：周长公式椭圆的周长计算公式为：L = 4a * E(e)其中，E(e)表示椭圆的第一类椭圆积分。

面积公式椭圆的面积计算公式为：A = πab其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

焦半径公式椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数，称为焦半径。

焦半径计算公式如下：r = 2a * cos(t) + c其中，t表示参数方程中的参数，c表示焦距。

结论本文介绍了椭圆方程的变形形式及相关公式推导，通过深入了解椭圆的特性和性质，可以更好地理解和应用椭圆方程。

同时，掌握椭圆方程的变形形式和相关公式，可以为解决实际问题提供更多的可能性和灵活性。

2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

专题：椭圆几何相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)1. 引言本文将讨论椭圆几何相关的二级结论及推导。

椭圆几何是一门重要的数学分支，应用广泛。

通过深入理解和推导椭圆几何的二级结论，我们可以更好地应用于实际问题中。

2. 二级结论及推导2.1 椭圆的焦点性质椭圆是一个非常特殊的形状，它具有一些独特的性质。

其中一个重要的性质是焦点性质。

2.1.1 定义椭圆的焦点是指椭圆内部到两个焦点的距离之和是一个常数。

符号表示为 $2a$，即 $PF_1+PF_2=2a$。

2.1.2 推导我们可以通过推导来证明椭圆的焦点性质。

首先，考虑椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

假设椭圆上任意一点为 $P(x,y)$，焦点为 $F_1(c,0)$ 和 $F_2(-c,0)$。

根据距离公式可得：$PF_1=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 和$PF_2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$。

将以上约束条件带入焦点性质的定义中可得：$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$。

经过一系列推导和化简，可得最终结果：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即为椭圆的标准方程。

2.2 椭圆的弦长公式椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段。

弦的长度也有一个重要的公式。

2.2.1 定义椭圆的弦长是连接椭圆上两点的线段的长度。

2.2.2 推导我们可以通过推导来求解椭圆的弦长公式。

假设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，连接两点的线段为弦，而弦的端点分别为 $A(x_1,y_1)$ 和$B(x_2,y_2)$。

根据距离公式可得：$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

再根据椭圆的标准方程可得：$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ 和$\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$。

椭圆的结论十三个及证明椭圆是平面解析几何中的一类特殊曲线，由两个焦点F1和F2及到它们的距离之和等于常数2a的点动轨迹构成。

本文将介绍椭圆的定义、性质以及它们的证明。

##一、椭圆的定义椭圆的定义如下：设平面上给定两个不重合的点F1和F2，对于平面上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，那么点P的轨迹就是一个椭圆。

我们可以通过以下步骤来证明这一定义。

##二、椭圆的证明### 1.步骤1：点P在椭圆上对于任意一点P在椭圆上，我们有以下等式成立：PF1 + PF2 = 2a由于F1和F2是椭圆的两个焦点，所以对于任意时刻，PF1 + PF2的距离是恒定的，等于椭圆的主轴长2a。

所以点P在椭圆上。

### 2.步骤2：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的指标。

我们可以用离心率e来表示，它的计算公式如下：e = PF1 / a其中，a是椭圆的主轴长。

### 3.步骤3：椭圆的焦点与准线根据椭圆的定义，我们可以得到以下结论：-椭圆的焦点F1和F2在椭圆的主轴上，且在椭圆的中垂线上；-椭圆的准线是与椭圆的对称轴相交于焦点的直线。

### 4.步骤4：椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以根据椭圆的定义推导而得。

设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆的顶点为A(a,0)和B(-a,0)，那么椭圆的标准方程为：(x - c)² / a² + y² / b² = 1其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距，b是通过离心率计算得到的次长轴。

### 5.步骤5：椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过椭圆的标准方程得到。

设角度θ是椭圆的主轴与x轴的夹角，那么椭圆的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，0 ≤ θ ≤ 2π。

### 6.步骤6：椭圆的半焦距和焦长度椭圆的半焦距c是焦点到中心点的距离的一半，可以用以下公式表示：c = √(a² - b²)椭圆的焦长度是焦点到准线的距离，可以用以下公式表示：d = 2 * c### 7.步骤7：椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得到：S = π * a * b其中，a是椭圆的半长轴，b是通过离心率计算得到的次长轴。

【知识清单】一、简单性质二、椭圆的定义第一定义|P F1|+|P F2|=,b2+c2=a2;第二定义椭圆上一点到(c,0)与x=a2c的距离之比为;第三定义k P A1·k P A2=;第三定义推广只要A1A2为椭圆上关于原点对称的两点,P为椭圆上任意一点,均满足k P A1·k P A2=−b2a2.三、高频结论中点弦已知直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,点M为AB中点,则有k OM·k AB=.四、焦点三角形的相关结论1.△P F1F2的周长为;2.△P F1F2的面积为(其中θ=∠F1P F2).3.当P为短轴端点时,∠F1P F2最大(等面积法证明).推广:顶角三角形对于三角形P AB,AB为椭圆长轴(或短轴)的两个顶点,点P为椭圆上任意一点,当P位于短轴顶点时,θ最大(其中θ=∠AP B).5.已知不经过椭圆右焦点F2的动直线y=kx+t与椭圆C交于A,B两点,则△ABF2的周长最大值为.五、焦半径的相关结论(焦点在x轴)1.焦半径|P F1|=,|P F2|=(用点P(x0,y0)坐标表示).2.焦半径|P F|=(用点P F的倾斜角θ表示,注意分为较长与较短的两类).3.椭圆上一点到焦点的距离最大为,最短为.4.焦点弦长公式|AB|=.5.过焦点的弦中,弦最长为,最短为;6.已知经过椭圆焦点F的直线l与椭圆交于A,B,则|AF|与|BF|满足的关系为.7.焦点弦定比分点：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为α(α=π2),且# »AF=λ# »F B,则椭圆的离心率满足,(第二定义证明).(注意:λ是F分AB的系数,表达式要写成# »AF=λ# »F B,左右两边都有F,不能没有F).第1页共2页【知识清单】一、简单性质二、椭圆的定义第一定义|P F1|+|P F2|=2a,b2+c2=a2;第二定义椭圆上一点到(c,0)与x=a2c的距离之比为e;第三定义k P A1·k P A2=−b2a2;第三定义推广只要A1A2为椭圆上关于原点对称的两点,P为椭圆上任意一点,均满足k P A1·k P A2=−b2a2.三、高频结论中点弦已知直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,点M为AB中点,则有k OM·k AB=−b2a2.四、焦点三角形的相关结论1.△P F1F2的周长为2a+2c;2.△P F1F2的面积为S△P F1F2=b2tanθ2(其中θ=∠F1P F2).3.当P为短轴端点时,∠F1P F2最大(等面积法证明).推广:顶角三角形对于三角形P AB,AB为椭圆长轴(或短轴)的两个顶点,点P为椭圆上任意一点,当P位于短轴顶点时,θ最大(其中θ=∠AP B).5.已知不经过椭圆右焦点F2的动直线y=kx+t与椭圆C交于A,B两点,则△ABF2的周长最大值为4a.五、焦半径的相关结论(焦点在x轴)1.焦半径|P F1|=a+ex0,|P F2|=a−ex0(用点P(x0,y0)坐标表示).2.焦半径|P F|=b2a(1+e cosθ)或b2a(1−e cosθ)(用点P F的倾斜角θ表示,注意分为较长与较短的两类).3.椭圆上一点到焦点的距离最大为a+c,最短为a−c.4.焦点弦长公式|AB|=2ep1−e2cos2θ=2b2a(1−e2cos2θ)=2ab2a2−c2cos2θ.5.过焦点的弦中,弦最长为2a,最短为2b2a;6.已知经过椭圆焦点F的直线l与椭圆交于A,B,则|AF|与|BF|满足的关系为1|AF|+1|BF|=2ab2.7.焦点弦定比分点：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为α(α=π2),且# »AF=λ# »F B,则椭圆的离心率满足|e cosα|=λ−1λ+1,(第二定义证明).(注意:λ是F分AB的系数,表达式要写成# »AF=λ# »F B,左右两边都有F,不能没有F).第2页共2页。

椭圆常结论及其结论(完全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边.根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== 同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+12222=+by ax 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长2221212121211(1)()41AB x x x x x x y y ⎡⎤=+-=++-=+-⎣⎦2k k k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：x O F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

椭圆二级结论大全（附证明）椭圆是数学中一个基础的几何概念，其形状特殊，且具有独特的性质。

本文将介绍椭圆的二级结论，涵盖椭圆的面积公式、焦点、短半轴和长半轴的关系、离心率、切线、法线等内容，并附上相关证明。

一、面积公式椭圆的面积公式为：$S = \pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的长半轴和短半轴。

证明：考虑通过在椭圆上取微小的弧长元素 $ds$，并连接该弧长元素两端的切线，将椭圆分成许多微小的扇形。

可以证明，每个扇形的面积可以表示为 $dS =\frac{1}{2}rds$，其中 $r$ 为扇形的半径。

因此，椭圆的面积可以表示为：$$S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}r^2 d\theta$$其中 $\theta$ 为角度，$r$ 可以表示为 $r = \sqrt{a^2\cos^2\theta +b^2\sin^2\theta}$，则将其代入上式中并对 $\theta$ 进行积分得到：因此，得到椭圆的面积公式。

二、焦点椭圆的焦点是椭圆上到定点距离的和保持不变的点。

对于任意椭圆而言，它都有两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$。

同时，还有一个关于焦点的性质：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长半轴长度。

证明：设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，某一点 $P$ 到焦点 $F_1$ 和$F_2$ 的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$。

则根据椭圆的定义，$d_1 + d_2$ 为常量，即$d_1 + d_2 = 2a$。

又根据椭圆上点到中心的距离与长半轴和短半轴的关系可得到 $d_1^2 = a^2 - b^2$ 和 $d_2^2 = a^2 - b^2$，将 $d_1 + d_2 = 2a$ 代入得到：$$\sqrt{a^2 - b^2} + \sqrt{a^2 - b^2} = 2a$$化简可得 $a^2 = b^2 + (\frac{1}{2}d)^2$，其中 $d$ 为焦距，即两个焦点之间的距离。

椭圆：1、（第一）定义：12122PF PFa F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x ya ba b+=>>；:a长半轴；b：短半轴；:c半焦距 .椭圆中a，b，c的关系：222a b c=+；椭圆的离心率(0,1)cea=∈ .3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。

4、中点弦结论（点差法）： 椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y yP ++， 则22MNOPn kk m⋅=- .5、焦点三角形面积： 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F S b θ∆=⋅ . 该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。

6、直线与椭圆位置关系： 联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n +=≠，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式： (0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上， 则：122112OAB S x y x y ∆=-.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。