备战2020 高考 数学 第一轮复习配套课时作业 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 新人教B版

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－34. 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. [答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12(2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. [提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：45 3.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. [答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2， ∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－12 8．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1. 答案：－111．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________.解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125.答案：117125 3．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . [微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ). 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修4P127T2改编)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 解析 ∵α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 答案 C3.(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案34.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89B.79C.－79D.－89解析 因为sin α＝13，cos 2α＝1－2sin 2α， 所以cos 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－29＝79.答案 B5.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P (sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32解析 由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° ＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝12. 答案 A6.(2018·全国Ⅱ卷)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15， 解得tan α＝32. 答案32考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝（2cos2α2＋2sinα2cosα2）·（cosα2－sinα2）4cos2α2＝cosα2（cos2α2－sin2α2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝cosα2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cosα2>0，所以原式＝cos α.答案(1)sin(α＋γ)(2)cos α规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝()A.sin(α＋2β)B.sin αC.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：2cos4α－2cos2α＋122tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.(2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α.答案 (1)D (2)12cos 2α 考点二 三角函数式的求值多维探究角度1 给角(值)求值 【例2－1】 (1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.解析cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin （10°＋30°）2·sin 40°＝ 2.答案2(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值.解 ①因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. ②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.角度2 给值求角【例2－2】 (1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4. 答案 (1)π3 (2)－3π4规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.【训练2】 (1)(2019·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A.1B.2C.－1D.－2(2)已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. (3)若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3·sin 2θ，则sin 2θ＝( ) A.13 B.23 C.－23 D.－13解析 (1)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°·2sin （20°－30°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.(2)∵α为锐角，且cos α＝17， ∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.∴β＝π3.(3)由题意知2（cos 2θ－sin 2θ）cos θ－sin θ＝3sin 2θ，∴2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，则4(1＋sin 2θ)＝3sin 22θ， 因此sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍). 答案 (1)C (2)π3 (3)C考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值.解 (1)f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 因为图象关于直线x ＝π对称， 所以2πω－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令k ＝1时，ω＝56符合要求，所以函数f (x )的最小正周期为2π2×56＝6π5.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＋λ＝0，则λ＝－ 2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤35π，知－π6≤53x －π6≤56π，∴当53x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值－1－ 2. 当53x －π6＝π2，即x ＝25π时，f (x )取最大值2－ 2.规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立.[思维升华]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. [易错防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－15C.15D.45解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 答案 D2.(2019·广东省际名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝( ) A.2325 B.－2325 C.725 D.－725解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－725. 答案 D 3.sin 10°1－3tan 10°＝( ) A.14 B.12C.32D.1 解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14. 答案 A4.(2019·信阳一模)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于( )A.5B.92C.52D.2 解析 由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2＝52sin(x ＋φ)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43， 又因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为92.答案 B5.(2019·济南模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.34解析 ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4<0， 且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝45. 答案 B二、填空题 6.(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 答案 75 7.化简：2sin （π－α）＋sin 2α2cos 2α2＝________. 解析 2sin （π－α）＋sin 2α2cos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α1＋cos α ＝2sin α（1＋cos α）1＋cos α＝2sin α.答案 2sin α8.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010.答案 31010三、解答题9.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， 得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. 10.已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值. 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π(k ∈Z )，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16(k ∈Z ).∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16(k ∈Z ).(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·江西八所重点中学联考)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110B.－1110C.1D.－1解析 ∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1. 答案 D12.(一题多解)(2019·河北百校联盟联考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A.43 B.－43 C.－34 D.34解析 法一 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35， ∴sin θ＋cos θ＝325，①∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，②由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210，∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43. 法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35， 又2k π－π2<θ<2k π(k ∈Z )， ∴2k π－π4<θ＋π4<2k π＋π4(k ∈Z )，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43. 答案 B13.(一题多解)设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________. 解析 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255.由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2，得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.答案 5π414.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π).(1)求a ，θ的值；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＋25cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＝0，求cos α－sin α的值. 解 (1)因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)是奇函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2cos ()－x ＋θ， 化简、整理得，cos x cos θ＝0，则有cos θ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2 x 2. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－12sin 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＋25cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α， 因为cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝85cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0或cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58. 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0⇒α＝3π4，所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2；由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58，3π4<α＋π4<5π4， 得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522⇒cos α－sin α＝－52. 综上，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52.。

第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) G a - B):cos( a-B )=⑵G “+直):cos( a+ B )=⑶S( a+B):si n( a+ B )=⑷S a - B) :si n( a-B )=T( a+B):ta n( a+ B )=⑹T:tan( a-B )=_( a - B)2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S?a:sin2 a = ______________ ;(2) C2 a:cos2 a= ______ = ______ = ________ ;(3) T2a:tan2 a = __________ .3. 函数f ( a) =a cos a +b sin a (a, b 为常数), 可以化为,其中0可由a,b的值唯一确定1.（教材改编）下列各式的值为的是（）.A. B. 1 -2sin 275C. D. sin15 ° cos152.已知sin a = ,则cos( n -2 a )等于3. (cos15 ° - cos75°)(sin75 ° +sin15 °)等于( ).4. （课本精选）化简：sin200 ° cos140°-cos160° sin40 °= ______5. （教材改编题）tan20 ° +tan40 ° +tan20 ° tan40 ° = .♦一个源头公式cos( a -卩)是所有公式的源头，其他公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出♦两个技巧(1)折角、拼角技巧：2 a = a +3)+( a -卩)；a= a +卩)-卩；(2)化简技巧：切化弦、“1 ”的代换等.公式有正用、逆用、变形用•如:♦三种应用公式有正用、逆用、变形用•如:考向一三角函数的化简例1化简:⑴⑵【审题视点】(1)分子展开消去1,目标把COS a约去化为整式(2)中分母切化弦，分子配方降幕，进行约分.【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看“角”：通过分析角之间的差异与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”：尽可能统一函数名，如弦切互化；三看“结构特征”：分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“分式通分，根式的被开方数升幕去根号”等•1. 化简: .考向二三角函数的求值例2 （2013 •福建龙岩质检）计算sin68 ° sin67 ° -sin23 ° cos68°的值为（）.审题视点】给角求值: 非特殊角化为特殊角【方法总结】 (1)给角求值的关键是正确地选用公式 ，以便把非特殊角的三角函数相消 ，从而化为特殊角的三角函数•(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式 值代入，从而达到解题的目的•.一般可以适当变换已，便于将已知式求得的函考向三三角函数的给值求角例3 (2014 •广东)已知函数,且(1)求A的值;(2) 若审题视点】本题考查三角函数图象的性质【方法总结】1. 三角函数的给值求角问题的一般思路(1) 求出该角的某一三角函数值;(2) 确定角的范围;(3) 根据角的范围写出角.2. 三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时, 尽量选择在该角所在范围内是单调的函数可以, 这样, 由三角函数值才唯一确定角(1)若角的范围是⑵若角的范围是(0, n ),选余弦较好(3)若角的范围为典例 （2014 •山东）在△ ABC 中,角 AB, C 所对的边分别为a , b , c.已知a=3.,选正、余弦皆可,则选正弦.⑴求b的值；⑵求厶ABC的面积.1. ____________________________________________________________________ (2014 •全国新课标II)函数f(x)=si n( x+0 )-2sin 0 cos x的最大值为_________________________ .2. (2014 •湖南)如图所示，在平面四边形ABCD中，DA丄AB, DE=, EC=EA=2, /ADC=■ NBECU3泪 sinN C E s q f w -(2)泪 O T m l -3・(2014 • HBf )口再®^f (x u (a+2cos x)cos(2 x +6 )R ^®^(1)求a, e的值;(2) 若的值.参考答案与解析1. (1) cos a cos 卩+sin a sin 卩(2) cos a cos 卩-sin a sin 卩(3) sin a cos 卩+ cos a sin 卩(4) sin a cos 3 - cos a sin 卩1-2sin 2a2cos2a - 1 2. (1) 2sin a cos a 2 . 2 cos a -sin a1. D2. B3. C4.5.【例2】B 解析:sin68 ° sin67 ° - sin23 ° cos68°=sin68 ° cos23° - cos68° sin23=sin(68 ° - 23°)=sin45 °, 故选B.1.1 解析：f(x)=sin( x+0 )-2sin 0cos x=sin x cos 0+ cos x sin 0 -2sin 0 cos x=sin x cos 0 - cos x sin 0 =sin( x- 0 ),其最大值为1.2.设/ CED a.(1)在厶CD冲,由余弦定理，得E C=C D+D E-2CD・ DE- cos / EDC于是由题设，知7=C D+1+CD即cD+CD6=0,解得CD：2(CD=3舍去).。

第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:-,cos2α=.sin2α=3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.题组一常识题1.[教材改编] sin 75°的值为.2.[教材改编]已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是.3.[教材改编] cos 65°cos115°-cos 25°sin115°=.4.[教材改编]已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是.6.化简:sin x-cos x=.7.计算:-°=.8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为.探究点一两角和与差的三角函数公式例1 (1)[2018·湘潭模拟]若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin 2αcos β=()A.B.C.D.(2)[2018·晋城一模]已知cos=cos α,tan β=,则tan(α+β)=.[总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.变式题(1)[2018·佛山质检]已知cos α=,α∈,则cos-=()A.-B.C.D.(2)[2018·唐山三模]已知tanα+=1,则tanα-=()A.2-B.2+C.-2-D.-2+探究点二两角和与差公式的逆用与变形例2 (1)[2018·烟台一模]已知cos-=,则cos x+cos-=()A.-1B.1C.D.(2)已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)=.[总结反思]常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2)a sin α+b cos α=sin(α+φ)tan φ=.变式题(1)[2018·河南中原名校联考]cos 375°+sin 375°的值为()A.B.C.-D.-(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)=.探究点三角的变换问题例3 (1)已知α∈-,cos-sin α=,则sinα+的值是()A.-B.-C.D.-(2)[2018·莆田二模]已知sin α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β=()A.B.C.D.[总结反思]常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+-,+α=--α等.变式题(1)[2018·榆林模拟]若0<α<,-<β<0,cos=,cos-=,则cos=() A.B.-C.D.-(2)已知<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α=()A.B.-C.D.-第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.【课前双基巩固】知识聚焦(1)sin αcos β±cos αsin β(2)cos αcos β∓sin αsin β(3)对点演练1.[解析]sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos30°+cos 45°sin30°=×+×=.2.-[解析]∵cos α=-,α∈,∴sin α=,∴sin=sin αcos+cosαsin=×+-×=-.3.-1[解析]原式=cos 65°cos115°-sin 65°sin115°=cos(65°+115°)=cos 180°=-1.4.7[解析] tan(α-β)=-=7.=,所以tan α=-,又α∈,π,所以5.-[解析]因为tan+α=tan+α=,所以-=-.cos α=--6.sin-[解析]sin x-cos x=cos sin x-sin cos x=sin-.=tan(45°-15°)=tan 30°=.7.[解析]-°°=°-°°°8.2[解析]因为α+β=,所以tan(α+β)=-1,即-=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tan α,再根据两角和的正切公式求解.(1)B(2)-[解析](1)由sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=①,sin 2αcos β+cos 2αsin β=②,由①+②得2sin 2αcos β=,所以sin 2αcos β=.故选B.(2)∵cos=cos α-sin α=cos α,∴-sin α=α,故tan α=-∴tan(α+β)=-=-=-=-.变式题(1)D(2)D[解析](1)∵cos α=,α∈,∴sin α=-=-=,∴cos-=cos αcos+sin αsin=×+×=.故选D.(2)由题意知,tan-=tan-=-==-2+.故选D.例2[思路点拨](1)首先利用两角差的余弦公式展开cos-,整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将两个条件等式分别平方相加即可.(1)B(2)-[解析](1)由题可知,cos x+cos-=cos x+cos x cos+sin x sin=cos x+sinx==cos-=×=1.故选B.(2)∵sin α+cos β=,sin β-cos α=,∴(sin α+cos β)2=,(sin β-cos α)2=,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=②,由①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcosα+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcosα)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,则sin(α-β)=-.变式题(1)A(2)4[解析](1)cos 375°+sin 375°=cos 15°+sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=.故选A.(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan25°)+tan 20°tan25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.例3[思路点拨](1)对条件整理可得cos=,又α+=-,利用两角差的正弦公式求解;(2)根据角的变换得β=α+(β-α),利用已知条件先求出sin β的值,再求角β.(1)B(2)C[解析](1)由cos-sin α=,得cos αcos-sin αsin-sin α=,即cos α-sin α=,∴cos α-sin α=,即cos=.∵α∈-,∴α+∈,∴sin=-=,∴sin=sin-=sin-cos=×-=-,故选B.(2)因为sin α=,sin(β-α)=-,且α,β均为锐角,所以cos α=,cos(β-α)=,所以sinβ=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=×+×-==,所以β=.故选C.变式题(1)A(2)B[解析](1)由题可知,0<+α<,<-<,所以sin=,sin-=,所以cos=cos--=cos cos-+sin sin-=×+×=.故选A.(2)因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<,由cos(α-β)=,得sin(α-β)=,由sin(α+β)=-,得cos(α+β)=-,则sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×-+×-=-,故选B.【备选理由】例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值.例1[配合例1使用][2018·南充模拟]若tan α=3tan β,则α-β的最大值为.[答案][解析]∵tan α=3tan β,∴tan β>0,∴tan(α-β)=-==.∵tan β>0,∴+3tan β≥2·=2,∴tan(α-β)≤,当且仅当3tan2β=1,即tan β=时取等号,此时β=,tan α=3tan β,即tan α=,α=.又0<β<α<,∴0<α-β<,∴0<tan(α-β)≤,又y=tan x在上单调递增,∴当tan(α-β)取得最大值时,α-β的值最大,∴当α=,β=时,α-β的值最大,∴α-β的最大值为-=.例2[配合例3使用][2018·安徽皖江八校联考]°-°°的值为.[答案] 1[解析]°-°=°-°-°=°°-°=1.例3[配合例3使用][2018·安阳模拟]已知m=-,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m= ()A.B.C.D.2[解析] D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+β+γ)+(α+γ-β)]=3sin[(α+β+γ)-(α+γ-β)],∴sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)+cos(α+β+γ)sin(α+γ-β)=3sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)-3cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),∴-2sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),即--=-=2,∴m=2.故选D.。

第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础巩固1.计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°=sin(43°-13°)=sin 30°=.2.若sin α=,α∈,则cos的值为( )A.-B.-C.-D.【答案】B【解析】∵sin α=,α∈,∴cos α=-.∴cos=coscos α+sinsin α=-.3.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵α,β均为锐角,∴-<α-β<,从而cos(α-β)==.又∵sin α=,∴cos α==.∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=.∵0<β<,∴β=.4.已知tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个根且0<α<,π<β<,则α+β的值为( )A. B.C. D.kπ+(k∈Z)【答案】C【解析】由题意,知tan α+tan β=,tan α·tan β=,tan(α+β)==1,又∵0<α<,π<β<,∴π<α+β<2π.故α+β=.5.(1+tan 17°)(1+tan 18°)(1+tan 27°)(1+tan 28°)的值是( )A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】由(1+tan 17°)(1+tan 28°)=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°=1+tan 45°(1-tan 17°tan 28°)+tan 17°tan28°=2.同理(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2.故原式=4.6.函数y=12sin+5sin的最大值是( )A.6+B.17C.13D.12【答案】C【解析】y=12sin+5cos=12sin+5cos=13sin.故y max=13.7.已知cos+sin α=,则sin的值是( )A.-B.C.-D.【答案】C【解析】∵cos+sin α=,∴cos α+sin α=.∴=.∴sin=.∴sin=.∵si n=sin=-sin,∴sin=-.故选C.8.(2012·山东烟台月考)定义运算=ad-bc,若cos α=,=,0<β<α<,则β等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】依题设得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.∵0<β<α<,∴cos(α-β)=.又∵cos α=,∴sin α=,sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,∴β=.故选D.9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β= .【答案】0【解析】cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加,得2cos αcos β=0,∴cos αcos β=0.10.已知函数y=acos x+b的最大值是1,最小值是-7,则函数y=acos x+bsin x的值域为.【答案】[-5,5]【解析】当a>0时,y max=a+b,y min=-a+b,即解得故y=4cos x-3sin x的最大值为=5,最小值为-5,即值域为[-5,5].当a<0时,y max=-a+b,y min=a+b,即解得故y=-4cos x-3sin x的最大值为=5,最小值为-5,即值域为[-5,5].11.已知α为锐角,且sin2α-sin αcos α-2cos2α=0.(1)求tan α的值;(2)求sin的值.【解】(1)已知α为锐角,所以cos α≠0.又由sin2α-sin αcos α-2cos2α=0得tan2α-tan α-2=0,解得tan α=2,或tan α=-1.由α为锐角,得tan α=2.(2)∵tan α=2,且α为锐角,∴cos α=,sin α=.故sin=sin α-cos α=-=.12.(2013届·湖南衡阳月考)函数f(x)=cos+sin,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=,α∈,求tan的值.【解】(1)f(x)=cos+sin=sin+cos=sin.故f(x)的最小正周期T==4π.(2)由f(α)=,得sin+cos=,两边平方得1+sin α=,即sin α=.又∵α∈,∴cos α===.∴tan α==.∴tan===7.拓展延伸13.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为,.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.【解】(1)由已知条件及三角函数的定义可知cos α=,cos β=,因α,β为锐角,从而sin α==.同理可得sin β=.因此tan α=7,tan β=.所以tan(α+β)===-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.又0<α<,0<β<,故0<α+2β<,从而由tan(α+2β)=-1,得α+2β=.。

2020年高考数学（文）一轮复习讲练测 专题4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。

知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α考点一 三角函数式的化简求值【典例1】（江西省临川第一中学2019届模拟）2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________ 。

课时作业(二十二)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.1318 B ．1322 C.322D ．16答案：C解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.故应选C.2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19 D ．79答案：A解析：sin 2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.故应选A.3．设f (sin α·cos α)＝sin 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值为( ) A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案：D解析：令sin α·cos α＝15，则sin 2α＝2sin αcos α＝25，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝25. 故应选D.4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－＋cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝3－cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.5．(2015·淄博质检)已知sin θ＋cos θ＝22(0＜θ＜π)，则cos 2θ的值为( ) A ．±32B ．－32C ．32 D ．－12答案：B解析：又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∵0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，θ＋π4＝5π6⇒θ＝7π12⇒2θ＝7π6，所以cos 2θ＝cos 7π6＝－32，故应选B.6．对于集合{}a 1，a 2，…，a n 和常数a 0，定义：ω＝ sin2a 1－a 0＋sin 2a 2－a 0＋…＋sin 2a n －a 0n为集合{}a 1，a 2，…，a n 相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12 B ．13C.14 D ．与a o 有关的一个值答案：A解析：集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差” ω＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝322a 0＋cos 2a 03＝12. 故应选A. 二、填空题7．(2015·云南昆明一模)若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.答案：12解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.8．(2015·唐山模拟)已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值是________．答案：24解析：由3sin β＝sin(2α＋β)，得 3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α， ∴tan β＝tan(α＋β－α)＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝tan α1＋2tan 2α＝11tan α＋2tan α.由题意知，tan α>0， ∴1tan α＋2tan α≥22，且仅当1tan α＝2tan α，即tan α＝22时等号成立， ∴tan β的最大值为122＝24.9．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.答案：3＋8215解析：依题设及三角的函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.10．若tan θ＝12，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝________.答案：7210解析：tan θ＝sin θcos θ＝12，即cos θ＝2sin θ，而cos 2θ＋sin 2θ＝1，且cos θ>0，sin θ>0， 计算可得cos θ＝255，sin θ＝55，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝35，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝7210. 三、解答题11．(2014·广东)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22θ＋cos θ＋22θ－sin θ＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.12．如图所示，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP ⊥OQ ，求α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β.解：(1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cosαα＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP ⊥OQ ，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2.∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos β－sin β＝45×45－35×3545－35＝72515＝75.13．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。

课时作业(二十一) 第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切时间 / 45分钟 分值 / 100分 基础热身1.sin 15°cos 45°-sin 75°sin 45°的值为 ( ) A .12 B .-12 C .√32 D .-√322.在△ABC 中,cos A cos B>sin A sin B ,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .等边三角形3.已知tan (x +π4)=-3(0<x <π2),则tan x-π4的值是 ( )A .34 B .-13 C .13 D .124.已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,则cos α为( ) A .3√1010B .-3√1010C .4√3-310D .3-4√3105.[2018·邯郸一模] 若sin(α+β)=3sin(π-α+β),α,β∈(0,π2),则tan xtan x = . 能力提升6.[2018·黄冈中学月考] 已知α,β∈(-π2,π2),tan α,tan β是方程x 2+12x+10=0的两根,则tan(α+β)= ( ) A .43 B .-2或12C .12D .-27.[2018·辽宁重点高中协作校三模] 已知α∈(0,π2),sin α=√1717,则tan (x -π4)= ( ) A .35 B .-35 C .73 D .-738.[2018·沧州质检] 已知cos α+2cos β=√2,sin α=2sin β-√3,则sin 2(α+β)=( )A .12B .14C .0D .19.[2018·江西师大附中月考] 已知sin (x -π4)=35,α∈(π2,5π4),则sin α= ( )A .7√210B .-√210C .±√210D .-√210或7√21010.[2019·浏阳六校联考] 在△ABC 中,若sin B sin C=cos 2x2,则下面等式一定成立的为( )A .B=CB .A=C C .A=BD .A=B=C11.[2018·齐鲁名校调研] 已知α,β均为锐角,cos(α+β)=-513,sin (x +π3)=35,则cos (x +π6)= ( ) A .3365B .6365C .-3365D .-636512.[2018·江西八校联考] 已知sin (π6-x )=cos π6+α,则tan α= .13.[2018·琼海模拟] 已知α∈(0,π),且cos α=35,则tan (x -π4)= .14.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于原点对称,若sinα=√33,则cos(α+β)= .15.(10分)[2018·东北师大附中月考] 已知tan α+π4=2,α∈(0,π2).(1)求tan α的值;。