2019年4月2018学年浙江省学考选考第二学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高二年级高二数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}23100B x xx =+-≥，则A B = （）A.[)1,+∞ B.[]1,2 C.[)2,+∞ D.(][),52,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合{{}1A x y x x ===≥，{}23100B x x x =+-≥={|2x x ≥或}5x ≤-，所以A B = [)2,+∞，故选：C2.已知复数z 满足()1i 12i z +=-，则z 的虚部为（）A.3i 2- B.32-C.12-D.1i2-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再判断其虚部即可.【详解】因为()1i 12i z +=-，所以()()()()212i 1i 12i 1i 2i 2i 13i 1i 1i 1i 222z -----+====--++-，所以z 的虚部为32-.故选：B3.下列函数在(),0∞-上单调递增的是（）A.32y x = B.23y x = C.53y x = D.11y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数与反比例函数的定义及性质逐一判断即可.【详解】由于函数32y x =的定义域为[0,)+∞，不符合已知条件，故A 不符合题意；根据幂函数的性质得函数23y x =在(,0)-∞单调递减，故B 不符合题意；根据幂函数的性质得函数53y x =在(,0)-∞单调递增，故C 符合题意；由于11y x =-+是1y x=-向左平移1个单位得到，所以11y x =-+在(,1),(1,)-∞--+∞单调递增，故D 不符合题意，故选：C.4.如图是ABC 用斜二测画法得到的直观图A B C ''' ，2,A B A C B C ''''''===，A C x '''∥，其中D ¢是A B ''的中点，则在原图中最长的是（）A.BCB.BAC.CAD.CD【答案】B 【解析】【分析】根据数量关系画出原图，在原图中比较长度即可.【详解】因为在直观图中，2,A B A C B C ''''''===，所以222A B A C B C ''''''+=，所以90B A C '''∠= 且45B C A '''∠= ，所以B C y '''∥.作出原图，如图所示.在原图中，2,4AC BC ==，90BCA ∠=o ，所以AB ==，又因为D 为AB 中点，所以12CD AB ==所以原图中最长的是BA .故选：B.5.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin :sin :sin 2A B C =，且ABC 的最短边与最长边的长度和为6，则ABC 的面积为（）A. B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理得出:::2a b c =，再根据最短边与最长边的长度和为6求出各边长，计算面积即可．【详解】因为sin :sin :sin 2A B C =，所以由正弦定理得:::2a b c =，所以最长边为c ，最短边为a ，设,,2(0)a x b c x x ===>，则36a c x +==，解得2x =，所以2,4a b c ===，由余弦定理22241683cos 02164a cb B ac +-+-===>，故B 为锐角，所以sin 4B ===，所以11sin 24224ABC S ac B =⋅=⨯⨯⨯= 故选：D ．6.已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b =，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.()1,1D.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +=两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即1225a b ++⋅=，解得1a b ⋅=，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故选：A.7.下列各数中最大的数是（）A.122-B.64log 7C. D.sin 30︒【答案】A 【解析】【分析】首先得到121222-=>，641log 72<，1sin 302︒=，1lg112=，再比较6510与11的大小关系，即可得到122->.【详解】因为1212112222-==>，64641log 7log 82<=，1sin 302︒=，121lg11lg112==，又因为56656551010101000000⨯⎛⎫===⎪⎝⎭，511161051=，所以56551011⎛⎫>⎪⎝⎭，即651011>，所以656lg11lg105<=，61.4145≈>，所以161lg112252>⨯>，即122->故这个几个数最大的是122-.故选：A8.已知实数a，b，满足310ab+=（1b>），则131ba++的取值范围是（）A.()(),04,-∞⋃+∞ B.()4,+∞ C.(][),04,-∞+∞U D.[)4,+∞【答案】D【解析】【分析】借助已知可变形得1121311b ba b+=++-+-，借助基本不等式可求范围.【详解】根据已知310ab+=，可得13ab=-，则11121131111bb b b ba b bb+=+=+=++-+---，因为1b>，所以10b->，所以上式24≥+，当且仅当111bb=--，即2b=时等号成立，所以131ba++的取值范围是[)4,+∞.故选：D二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A.若A B>，则sin2sin2A B>B.若π6C=，2c=，则ABC外接圆的半径为2C.若2220a b c+-<，则ABC为钝角三角形D.若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，利用正弦定理判断B ，利用余弦定理判断C ，根据重心的定义判断D.【详解】对于A ：若π2A =，π4B =，满足A B >，但是sin 20A =，sin 21B =，故A 错误；对于B ：由正弦定理224πsin sin 6c R C ===，所以2R =，即ABC 外接圆的半径为2，故B 正确；对于C ：由余弦定理222cos 02a b c C ab+-=<，又()0,πC ∈，所以C 为钝角，故ABC 为钝角三角形，故C 正确；对于D ：取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故D正确；故选：BCD10.已知函数的定义域为x ∈R ，()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()2221f x x x =+-+，则下列说法正确的是（）A.当(]2,4x ∈时，()42823f x x x =+--B.当(]2,4x ∈时，()42421f x x x =+-+C.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是13,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.若()()1244g x x x=-<-，则()()f x g x =有3个互不相等的实数根【答案】AC 【解析】【分析】由已知，可得()()22f x f x =-，从而可得当(]2,4x ∈时，()f x 的解析式，即可判断A ，B 选项；由函数()y f x =在(]0,2上的图象平移变换，结合()y f x =的图象，对任意的(],x m ∞∈-，都有()23f x ≥-，可得m 的取值范围，进而判断C 选项；由()g x 在(),4∞-上的单调性，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，可得两函数交点个数，则可判断D 选项.【详解】当(]0,2x ∈时，()221252212212x f x x x x +=+-=+-++，因为(]0,2x ∈，所以(]211,5x +∈，所以2125512221222x x ++-≥-=+，当且仅当212221+=+x x ，即12x =时，等号成立，函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，即()()22f x f x =-，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-,当(]2,4x ∈时，2(0,2]x -∈，故()()()()2422222222822123f x f x x x x x =-=-+⨯-⨯=+--+-，故A 正确，B 错误；将函数()y f x =在(]0,2上的图象每次向右平移2个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在()()2,44,6 、，上的图象，同理可得函数()y f x =在(]0,2上的图象每次向左平移2个单位，再将纵坐标缩短为原来的12倍即可得函数在()()2,04,2--- 、，上的图象，作出函数()y f x =的图象，如图所示：由此可令()23f x =-，即有4228233x x +-=--，解得1213,36x x ==，又因为对任意的(],x m ∞∈-，都有()23f x ≥-，由图象可得13,6m ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故C 正确；因为()()1244g x x x=-<-，易知()g x 在(),4∞-上单调递增，且()()23133g f =-<-=，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示：由此可得两函数只有一个交点，所以()()f x g x =只有1个实数根，故D 错误.故选：AC.11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．如图在一个棱长为4的正方体中，111111B E B F B G a ===，121212A E A F A G a ===，……，()0,4a ∈，过111E FG 三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面．关于截面之间的位于正方体正中间的这个几何体，下列说法正确的是（）A.当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，边长为2B.当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，表面积是48+C.当此几何体为半正多面体时4a =-，或2a =D.当此几何体是半正多面体时，可能由正方形与正六边形围成【答案】BD 【解析】【分析】根据不同的半正多面体，a 取不同的数值，画出几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算求解即可.【详解】由题意得，11E G =，1242E F a =-，对于A ，当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，42a =-，(24a +=，(4242a ===-A 错误；对于B ，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，12420E F a =-=，所以2a =，表面积为26484⨯⨯=+，正确；对于C ，D ，当3a =时，如下图所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成，此时几何体也是半正多面体，故C 错误，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查半正多面体的几何性质.本题关键点是根据a 取不同的数值，画出对应的几何图形，并根据半正多面体的概念进行计算.非选择题部分三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知z 为复数，且1z =，则i z +的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】设i z x y =+，由复数模的计算公式可解.【详解】设i ,R z x y x y ∈=+，，由于1z =，所以221x y +=，则i z +====由于11y -≤≤2=.故答案为：213.化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.【详解】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+且3DF AF =，则可推出λμ+=___________.【答案】2021【解析】【分析】设2AB =，根据3DF AF =与120ADB ∠=︒，利用余弦定理求出22121DB =，82121AD =，设出AG =m ，DG =n ，利用勾股定理求出m 与n 的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出λ与μ的值，进而求出λμ+的值.【详解】设2AB =，DB AF x ==，则3DF x =，4AD x =，因为ABC 和DEF 是等边三角形，故120ADB ∠=︒，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，解得：2121x =，故821421AD x ==，2121DB =，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设AG =m ，DG =n ，则BG =2-m ，由勾股定理得：()2222222121221221m n m n ⎧⎛⎪+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1274321m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，1243,721D ⎛ ⎝⎭，(3C ，则123,721AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0AB =uu u r ，(3AC = ，由AD AB AC λμ=+ 得：()(123,2,01,3721λμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12273321λμμ⎧+=⎪⎪=，解得：1621421λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2021λμ+=故答案为：2021四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知a 、b为单位向量，且夹角为60︒.（1）若()()a kb a b +⊥-，求k 的值；（2）若()R c a tb t =+∈ ，求c r的最小值.【答案】（1）1（2）32【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算性质进行求解即可；（2）由模长公式、数量积公式以及二次函数的性质得出最小值.【小问1详解】由a 、b 为单位向量，且夹角为60︒，则1cos 602a b a b ⋅=︒=由已知()()a kb a b +⊥-，得()()22a kb a b a a b ka b kb +⋅-=-⋅+⋅-= 所以1k =【小问2详解】已知()R c a tb t =+∈，所以()22222c a tba tab t b=+=+⋅+ 221331242t t t ⎛⎫=++=++≥⎪⎝⎭c ∴的最小值为2.16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22sin A b c a =+-.（1）求角A 的大小；（2）若2cos a b B =，a =b a <，求BC 边上中线的长.【答案】（1）π3A =（2）2【解析】【分析】（1）直接用余弦定理化简，最后再用辅助角公式即可；（2）先利用正弦定理得到ABC 为直角三角行，在用勾股定理求解即可.【小问1详解】已知()22sin A b c a =+-，得222sin 2A b c a bc =+-+，由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，则sin 2cos 2A bc A bc =+由0bc ≠cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()0,πA ∈，则ππ5π666A -<-<，ππ66A ∴-=，则π3A =【小问2详解】由2cos a b B =可得sin 2sin cos A B B =，则sin sin2A B =，由b a <，所以π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π6B =，ABC 为直角三角形因为a =1b =，2c =，则BC 2=.17.已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()cos m A A =，()2sin cos n C B B =- ，且m 与n共线．（1）求角A 的值；（2）若2b =，求a c -的取值范围．【答案】（1）6A π=（2）,13⎛-- ⎝【解析】【分析】（1）由m 与n共线，得到()sin cos cos sin 2sin sin 0A B A B C A +-=，法一：利用正弦定理和余弦定理求解；法二：利用两角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理得到sin 1sin sin b A a B B ==，cos sin B c B =，从而由1cos tan sin 2B B a c B --=-=-求解.【小问1详解】解：因为m 与n共线，()sin 2sin cos A B A C B --，)sin cos cos sin sin 0A B A B C A =+-=，法一：由正弦定理得cos cos 2sin 0a B b A c A +-=，又由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2b c a A bc+-=，∴2sin 0c c A -=，则1sin 2A =，又ABC 为锐角三角形，故π6A =．法二：由两角和的正弦公式得：()sin 2sin sin sin 2sin sin 0A B C A C C A +-=-=，因为sin 0C ≠，所以1sin 2A =，又ABC 为锐角三角形，故π6A =．【小问2详解】sin 1sin sin b A a B B==，52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin B b C B B B c B B BB⎛⎫- ⎪+⎝⎭====，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5ππ062C B <=-<，解得ππ,32B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以22sin 1cos 1cos 2tan sin sin sin 22cos sin22B B B B a c B B B B B -⎫-=-=--⎪⎭而ππ,264B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan ,123B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，∴a c -的取值范围为,13⎛-- ⎝．18.已知函数()f x 在R 上有定义，且()1f x +关于()1,0-中心对称，若()e e 1axax bf x -=+．（1）求实数b 的值；（2）若存在[],x m n ∈，使()f x 的值域为e ,e am ana a ⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）03a <<-或1a =-【解析】【分析】（1）根据题意可知()f x 关于()0,0中心对称，结合奇函数的性质分析求解；（2）换元令e 0ax t =>，可得()()211f xg t t ==-+，分类讨论，结合函数单调性和最值分析求解.【小问1详解】因为()1f x +关于()1,0-中心对称，可知()f x 关于()0,0中心对称，且()f x 的定义域为R ，则()10011bf -==+，解得1b =，此时()e 1e 1ax ax f x -=+，且()()e 1e 1e 11e 0e 1e 1e 1e 1ax ax ax axax ax ax ax f x f x ------+-=+=+=++++，可知()f x 为奇函数，关于原点对称，即1b =符合题意，综上所述：1b =.【小问2详解】令e 0ax t =>，可得()()11221111t t f x g t t t t -+-====-+++，可知函数()g t 在()0,t ∈+∞单调递增，①当0a >时，e ,e amant ⎡⎤∈⎣⎦，则()e 1e 1,e 1e 1am an an an g t ⎡⎤--∈⎢++⎣⎦，可得e 1e e 1e 1e e 1am amam an anan a a ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可知e am ，e an 均为11t at t -=+的实根，即21at at t +=-有两个不相等的正根，等价于()2110at a t +-+=有两个不相等的正根，可得()20102Δ140a a aa a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=-->⎩，解得03a <<-；②当a<0时，e ,e anamt ⎡⎤∈⎣⎦，则()e 1e 1,e 1e 1an am an am g t ⎡⎤--∈⎢++⎣⎦可得e 1e e 1e 1e e 1am anam an aman a a ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即e 1e e e e 1e e e am an am an an am an ama a a a ⎧-=+⎨-=+⎩，可得()ee e e aman an am a -=-，则1a =-，可得()()ee 121mn --+=+，此方程能成立，即1a =-；③0a =，则e 1ax =，()0g t =，不合题意；综上所述：03a <<-或1a =-.19.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为R 的球体，平面ABC 与球相交，截面为圆B ，延长BO ，交球于点D ，则BO 垂直于圆B （BO 垂直于圆B 内的所有直线）.（1）若圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为10π5，求圆锥DB 的表面积和体积；（2）如图平面ABC 上方与球体之间的部分叫球冠，若45BO R =，请你利用祖暅原理求球冠的体积.【答案】（1）表面积为2910π25R +，体积为327π125R （2）314π375R 【解析】【分析】（1）利用圆心角等于弧长除以半径来计算，再结合直角三角形中的三角函数定义，即可计算得到35r R =，从而去求圆锥的高和母线长，最后利用表面积和体积公式即可求出结果；（2）利用祖暅原理，利用半球的体积与底面半径和高都等于球的半径的圆柱里面挖掉一个圆锥的体积相等，再利用球冠对应的部分体积转化到圆柱减去圆台的体积计算即可.【小问1详解】设BC r =，则22BO R r =-，由圆锥DB 的侧面展开图扇形的圆心角为105，则102ππ5rCD =，又因为10sin 10r BDC CD ∠==，则210310cos 11010BDC ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为2∠=∠BOC BDC ，所以103103sin sin 22sin cos 210105BOC BDC BDC BDC ∠=∠=∠⋅∠=⨯⨯，而sin r BOC R ∠=，所以35r R =，35Rr ∴=，则2245OB R r R =-=，即95BD R =，则22229811025255CD r BD R R =+=+所以圆锥DB 表面积：22333109910πππ55525DBS R R R R ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，圆锥DB 体积：2313927ππ355125DB V R R R ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥,取同一高度h 的截面.令球冠截面半径为1r ，面积为1S 圆锥截面半径为2r ，面积为2S ，221r R h =-，()221S R hπ=-2222πr hr h S h R R=⇒=⇒=，212πS S R +=所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等.2222323114411161114πππππππ5355553255375V R R R R R R R R R ⎛⎫⎛⎫=⨯-++=-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 1．已知空间向量a →=(−2，2，1)，b →=(1，0，m)，若a →⊥b →，则|b →|=（ ） A ．√5B ．3C ．4D ．52．若直线的倾斜角为60°，则该直线的一个方向向量是（ ） A ．(1，−√3)B ．(−√3，1)C ．(√3，1)D ．(1，√3)3．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A ．12B ．23C ．13D ．164．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ．若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 23+y 2＝1 C ．x 22+y 2＝1 D ．x 24+y 2＝15．某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为3：2，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为（ ） A ．1012小时B ．1010小时C ．1008小时D ．1006小时6．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件A ＝“第一次点数为偶数”，事件B ＝“第二次点数为3的倍数”，则（ ） A ．A 与B 是互斥事件B ．A 与B 是互为对立事件C ．P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ）D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）7．已知点M 是直线l 1：mx +ny +2n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）与l 2：nx ﹣my +4m ＝0的交点，则M 到直线l 3：√3x −y −1=0距离的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．92D ．68．已知焦点分别在x ，y 轴上的两个椭圆C 1，C 2，且椭圆C 2经过椭圆C 1的两个顶点与两个焦点，设椭圆C 1，C 2的离心率分别是e 1，e 2，则（ ）A ．e 12＜12且e 12+e 22＜1 B ．e 12＜12且e 12+e 22＞1 C ．e 22＜12且e 12+e 22＜1D ．e 22＜12且e 12+e 22＞1二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项9．某市为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100户居民用户某年的月均用水量（单位：t ），将数据按照[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（ ）A ．图中a 的值为0.10B ．月均用水量的第60百分位数为8tC ．已知全市有10万户居民用户，估计月均用水量不足3t 的用户有1万户D ．月均用水量的平均值（精确到0.1）约为6.1t10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点G 为AB 的中点，点E 在BD 上，且BE =13BD ，点F 为BC 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF ∥平面AB 1D 1B ．DG ⊥GFC ．G ，E ，F ，B 1四点共面D ．三棱锥D ﹣GEF 的体积为11811．已知点P 在曲线C ：x 2+y 2﹣2x +2y ＝0上，点Q ，A （﹣2，0），B （0，2）三点共线，则（ ） A ．当直线PQ 与曲线C 相切时，|PQ |的最小值为2√2B ．满足AP ⊥BP 的点P 有且只有1个C ．当∠P AB 最大时，|PA|=2√2D ．当∠APB 最小时，|PA|=2√512．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上的一个动点（异于A ，B 两点），且直线PF 1，PF 2的斜率均存在，则（ ）A ．当∠F 1PF 2的最大角为π2时，椭圆的离心率为√22B ．当∠F 1PF 2=π2时，△P AB 的面积为2√a 2−b2C ．直线PF 1，PF 2的斜率之积一定大于直线P A ，PB 的斜率之积D ．PF 1→⋅PF 2→＞PA →⋅PB →三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.8，则至少有一人投中的概率为 ．14．已知某组数据为4，7，8，10，11，则该组数据的方差为 ．15．设A （﹣3，0）和B （3，0），动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程为 ． 16．已知三棱锥P ﹣ABC 与Q ﹣ABC 是两个同底面的正三棱锥，且∠P AQ ＝90°，M 是BC 的中点，记异面直线PM ，QB 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，AB ＝2，AA 1＝3，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用向量a →，b →，c →表示AC 1→，并求|AC 1→| （2）求直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值． 18．（12分）已知直线l 1过点（1，1）和（﹣1，2）．（1）若直线l 2⊥l 1且在y 轴上的截距为﹣2，求直线l 2的方程；（2）若圆C 的圆心在y 轴上，半径为3，且直线l 1被圆C 截得的弦长为4，求圆C 的方程． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ＝2，CP =DP =√2，M 为AB 的中点．（1）求证：CP ⊥平面PDM ；（2）求平面PDM 与平面P AB 的夹角的余弦值．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4有两个不同的交点D ，E ． （1）求r 的取值范围；（2）过直线DE 上的一点P （在线段DE 外的部分上），分别作圆O 与圆C 的一条切线，切点分别为A ，B ，问是否存在常数λ，使得|P A |＝λ|PB |恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点（2，1），焦距为2√6，A ，B 是椭圆C 上不在坐标轴上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，设点P （0，2），直线P A 交椭圆于另一点M ，直线PB 交椭圆于另一点N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记直线AB 与MN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，BC ＝2，侧面BB 1C 1C 是正方形，二面角A ﹣BC ﹣B 1的大小是2π3．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）若点D 是线段AB 1上的一个动点，求直线BD 与平面ACC 1A 1所成角的最大值．2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 1．已知空间向量a →=(−2，2，1)，b →=(1，0，m)，若a →⊥b →，则|b →|=（ ） A ．√5B ．3C ．4D ．5解：空间向量a →=(−2，2，1)，b →=(1，0，m)，a →⊥b →， 则﹣2+0+m ＝0，解得m ＝2，故b →=(1，0，2)，|b →|=√1+0+22=√5． 故选：A ．2．若直线的倾斜角为60°，则该直线的一个方向向量是（ ） A ．(1，−√3)B ．(−√3，1)C ．(√3，1)D ．(1，√3)解：直线的倾斜角为60°，则k =tan60°=√3=√31，故该直线的一个方向向量是（1，√3）． 故选：D ．3．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A ．12B ．23C ．13D ．16解：设甲中奖为A 事件，乙中奖为B 事件，则P （B ）＝P （B |A ）P （A ）+P （B |A ）P （A ）=12×23+22×13=23． 故选：B ． 4．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ．若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为（ ） A ．x 24+y 23=1 B ．x 23+y 2＝1 C ．x 22+y 2＝1 D ．x 24+y 2＝1解：∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2， ∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1， ∴b =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选：A ．5．某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为3：2，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为（ ） A ．1012小时B ．1010小时C ．1008小时D ．1006小时解：由题意可知，该产品的平均寿命为23+2×1020+33+2×1000=1008．故选：C ．6．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件A ＝“第一次点数为偶数”，事件B ＝“第二次点数为3的倍数”，则（ ） A ．A 与B 是互斥事件B ．A 与B 是互为对立事件C ．P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ）D ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）解：依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有6×6＝36件，事件A 的基本事件有3×6＝18 件，事件B 的基本事件有6×2＝12件，事件A ∩B 的基本事件有3×2＝6件，事件A ∪B 的基本事件有3×6+3×2＝24件，所以 P(A)=1836=12，P(B)=1236=13，P(A ∩B)=618=16，P(A ∪B)=2436=23， 故P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ），P （A ∪B ）≠P （A ）+P （B ）， 所以A 与B 不是互斥事件，更不是对立事件， 故ABD 错误，C 正确． 故选：C ．7．已知点M 是直线l 1：mx +ny +2n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）与l 2：nx ﹣my +4m ＝0的交点，则M 到直线l 3：√3x −y −1=0距离的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．92D ．6解：因为l 1：mx +ny +2n =0(m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0)与l 2：nx ﹣my +4m ＝0， 所以l 1：mx +n （y +2）＝0与l 2：nx ﹣m （y ﹣4）＝0， 可得l 1，l 2必过点分别为A （0，﹣2），B （0，4）， 由mn +（﹣m ）n ＝0可知l 1，l 2垂直，垂足为M ，则MA ⊥MB ，可得M 在以AB 为直径的圆上，由A （0，﹣2），B （0，4）可知圆心C （0，1），半径r ＝|4﹣（﹣2）|＝3， 则圆心到l 3：√3x −y −1=0的距离d =3+1=1，所以M 到直线l 3：√3x −y −1=0距离的最大值为d +r ＝1+3＝4． 故选：B ．8．已知焦点分别在x ，y 轴上的两个椭圆C 1，C 2，且椭圆C 2经过椭圆C 1的两个顶点与两个焦点，设椭圆C 1，C 2的离心率分别是e 1，e 2，则（ ）A ．e 12＜12且e 12+e 22＜1 B ．e 12＜12且e 12+e 22＞1 C ．e 22＜12且e 12+e 22＜1D ．e 22＜12且e 12+e 22＞1解：因为焦点分别在x ，y 轴上的两个椭圆C 1，C 2，不妨设椭圆C 1对应的参数为a 1，b 1，c 1，椭圆C 2对应的参数为a 2，b 2，c 2， 因为椭圆C 2经过椭圆C 1的两个顶点与两个焦点， 所以a 2＝b 1，b 2＝c 1，此时e 12=1−b 12a 12，e 22=1−b 22a 22=1−c 12b 12=2−a 12b 12， 因为a 2＞b 2， 即b 1＞c 1，所以b 12＞c 12=a 12−b 12， 可得2b 12＞a 12，此时12＜b 12a 12＜1，1＜a 12b 12＜2，解得0＜1−b 12a 12＜12，0＜2−a 12b 12＜1， 即0＜e 12＜12，0＜e 22＜1，不妨令t =b 12a 12∈(12，1)，此时e12+e22=3−(b12a12+a12b12)=3−(t+1t)，易知函数y=t+1t在(12，1)上单调递减，所以e12+e22=3−(t+1t)∈(12，1)．故选：A．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项9．某市为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100户居民用户某年的月均用水量（单位：t），将数据按照[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（）A．图中a的值为0.10B．月均用水量的第60百分位数为8tC．已知全市有10万户居民用户，估计月均用水量不足3t的用户有1万户D．月均用水量的平均值（精确到0.1）约为6.1t解：对于A，因为（0.05×2+0.075×2+a+0.15）×2＝1，即a＝0.10，故A正确；对于B，[1，7）对应的频率为（0.05+0.075+0.1）×2＝0.45，[1，9）对应的频率为0.45+0.15×2＝0.75，所以第60百分位数在[7，9）内，不妨设为x，则0.45+（x﹣7）×0.15＝0.6，解得x＝8，故B正确；对于C，因为100户中月均用水量不足3t的用户频率为0.05×2＝0.1，所以估计10万户中有1万户，故C正确；对于D，月均用水量的平均值为（0.05×2+0.075×4+0.10×6+0.15×8+0.075×10+0.05×12）×2＝7.1，故D错误．故选：ABC．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G为AB的中点，点E在BD上，且BE=13BD，点F为BC1的中点，则下列结论正确的是（）A ．EF ∥平面AB 1D 1B ．DG ⊥GFC ．G ，E ，F ，B 1四点共面D ．三棱锥D ﹣GEF 的体积为118解：依题意，建立空间直角坐标系，如图，则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， D 1（0，0，1），G(1，12，0)，F(12，1，12)，因为BE =13BD ，所以DE →=23DB →=23(1，1，0)=(23，23，0)，即E(23，23，0)，对于A ，EF →=(−16，13，12)，AB 1→=(0，1，1)，AD 1→=(−1，0，1)，设平面AB 1D 1的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AB 1→=b +c =0m →⋅AD 1→=−a +c =0，取c ＝1，则a ＝1，b ＝﹣1，故m →=(1，−1，1)， 所以EF →⋅m →=−16×1+13×(−1)+12×1=0，又EF ⊄平面AB 1D 1，所以EF ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，DG →=(1，12，0)，GF →=(−12，12，12)，所以DG →⋅GF →=1×(−12)+12×12+0≠0， 所以DG ⊥GF 不成立，故B 错误；对于C ，GC →=(−1，12，0)，EC →=(−23，13，0)，则EC →=23GC →， 所以G ，E ，C 三点共线，又易知B 1，F ，C 三点也共线， 所以G ，E ，F ，B 1四点共面，故C 正确；对于D ，因为S △DGE =23S △DGB =23×12S △ABD =23×12×12×1×1=16， 又F 为BC 1的中点，所以F 到底面ABCD 的距离为12，所以三棱锥D ﹣GEF 的体积为V =13×16×12=136，故D 错误．故选：AC．11．已知点P在曲线C：x2+y2﹣2x+2y＝0上，点Q，A（﹣2，0），B（0，2）三点共线，则（）A．当直线PQ与曲线C相切时，|PQ|的最小值为2√2B．满足AP⊥BP的点P有且只有1个C．当∠P AB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最小时，|PA|=2√5解：如图，由C：x2+y2﹣2x+2y＝0可得圆心为（1，﹣1），半径为√2，当直线PQ与曲线C相切时，|PQ|最小即切线长最小，直线AB方程x﹣y+2＝0，圆心到直线的距离d=|1+1+2|√2=2√2，所以|PQ|minn=√d2−r2=√6，故A错误；以AB为直径的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝2，与圆C外切，如图，所以满足AP ⊥BP 的点P 有且只有1个，故B 正确； 当∠P AB 最大时，直线P A 与圆C 相切，且P 为切点，如图，因为|AC|=√10，所以|PA|=√|AC|2−r 2=2√2，故C 正确； 当∠APB 最小时，△P AB 的外接圆与圆C 内切，如图，此时，P 为切点，所以PC ⊥AB 且PC 平分AB ，故可得P （2，﹣2），故|P A |＝2√5，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上的一个动点（异于A ，B 两点），且直线PF 1，PF 2的斜率均存在，则（ ） A ．当∠F 1PF 2的最大角为π2时，椭圆的离心率为√22B ．当∠F 1PF 2=π2时，△P AB 的面积为2√a 2−b2C ．直线PF 1，PF 2的斜率之积一定大于直线P A ，PB 的斜率之积D ．PF 1→⋅PF 2→＞PA →⋅PB →解：对于选项A ：当∠F 1PF 2取最大时，顶点P 为上下顶点， 此时e =c a =cos π4=√22，故选项A 正确； 对于选项B ，当∠F 1PF 2=π2时，因为|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得2|PF 1|⋅|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−|PF 1|2+|PF 2|2=4b 2， 则△F 1PF 2的面积S ′=12|PF 1|⋅|PF 2|=b 2， 因为S △F 1PF 2=12|F 1F 2|⋅|y P |=c|y P |，所以|y P |=b2c，此时△P AB 的面积为S =12×2a ⋅|y P |=ab2√a 2−b，故选项B 正确；对于选项C ：不妨设P （m ，n ），因为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0）， 所以k PF 1⋅k PF 2=n m+c ⋅n m−c =n 2m 2−c 2，k PA ⋅k PB =n m+a ⋅n m−a =n 2m 2−a2，则k PF 1⋅k PF 2−k PA ⋅k PB =n 2m 2−c 2−n 2m 2−a 2=n 2(c 2−a 2)(m 2−c 2)(m 2−a 2)， 因为m 2＜a ，c 2＜a 2，无法确定m 2与c 2的大小关系，所以不能得到直线PF 1，PF 2的斜率之积一定大于直线P A ，PB 的斜率之积，故选项C 错误； 对于选项D ：易知PF 1→=(−c −m ，−n)，PF 2→=(c −m ，−n)，PA →=(−a −m ，−n)，PB →=(a −m ，−n)，所以PF 1→⋅PF 2→=m 2+n 2−c 2，PA →⋅PB →=m 2+n 2−a 2， 因为c 2＜a 2，所以PF 1→⋅PF 2→＞PA →⋅PB →，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.8，则至少有一人投中的概率为0.92．解：因为甲、乙两人进行投篮练习，两人之间互不影响，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.8，所以至少有一人投中的概率为P＝1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.8）＝0.92．故答案为：0.92．14．已知某组数据为4，7，8，10，11，则该组数据的方差为6．解：依题意，x=4+7+8+10+115=8，所以s2=15×[（4﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝6．故答案为：6．15．设A（﹣3，0）和B（3，0），动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程为（x﹣5）2+y2＝16．解：A（﹣3，0），B（3，0），设M（x，y），由|MA|＝2|MB|，得√(x+3)2+y2=2√(x−3)2+y2，可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，即x2﹣10x+y2+9＝0故动点M的轨迹方程为（x﹣5）2+y2＝16．故答案为：（x﹣5）2+y2＝16．16．已知三棱锥P﹣ABC与Q﹣ABC是两个同底面的正三棱锥，且∠P AQ＝90°，M是BC的中点，记异面直线PM，QB所成的角为θ，则cosθ的最大值为12．解：设AB＝BC＝AC＝6，△ABC的外心为O，连接PQ，AM，则P，O，Q三点共线，A，O，M三点共线，且AM⊥BC，PQ⊥BC，PQ⊥AM，过点O作ON∥BC，交AC于点N，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则A(2√3，0，0 ），B （−√3，﹣3，0），C(−√3，3，0)，M(−√3，0，0)， 设P （0，0，b ）（b ＞0），Q （0，0，﹣c ）（c ＞0），则PM →=(−√3，0，−b)，BQ →=（√3，3，﹣c ），PA →=（2√3，0，﹣b ），QA →=（2√3，0，c ）， 由P A ⊥QA ，得PA →⋅QA →=12−bc =0，解得bc ＝12，即b =12c ， 又PM →⋅BQ →=bc −3=9，|PM →|=√3+b 2，|BQ →|=√12+c 2，则cosθ=|cos ＜PM →，BQ →＞|=|PM →⋅BQ →|PM||BQ →|=√3+b 2⋅√12+c 2=√3+12c 2⋅√12+c 2=√180+3c 2+12c 2，又√180+3c 2+123c 2≥√180+2√3c 2⋅123c 2=18，当且仅当3c 2=123c2，即c =2√6时等号成立， 所以√180+3c 2+123c2的最小值为18，所以√180+3c 2+123c2的最大值为12，即当b =√6，c =2√6时，cos θ取到最大值12．故答案为：12．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，AB ＝2，AA 1＝3，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用向量a →，b →，c →表示AC 1→，并求|AC 1→| （2）求直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值．解：（1）如图，AC 1→=a →+b →+c →，所以|AC 1→|＝|a →+b →+c →|=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅c →+2b →⋅c →=√29，（2）因为A 1B →=a →−c →，所以|A 1B →|＝|a →−c →|=√a →2+c →2−2a →⋅c →=√7，所以AC 1→•A 1B →=（a →+b →+c →）•（a →−c →）=a →2−b →•c →−c →2＝4﹣2×3×12−9＝﹣8， 设直线AC 1与A 1B 所成角为θ， 所以cos θ＝|AC 1→⋅A 1B→|AC 1→|⋅|A 1B →|||√29⋅√7|8√203203， 所以直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为8√203203．18．（12分）已知直线l1过点（1，1）和（﹣1，2）．（1）若直线l2⊥l1且在y轴上的截距为﹣2，求直线l2的方程；（2）若圆C的圆心在y轴上，半径为3，且直线l1被圆C截得的弦长为4，求圆C的方程．解：（1）直线l1过点（1，1）和（﹣1，2）．可知直线l1的斜率为：2−1−1−1=−12．直线l1的方程：x+2y﹣3＝0，直线l2⊥l1且在y轴上的截距为﹣2，直线l2的斜率为：2，所以直线方程为：y＝2x﹣2；（2）圆C的圆心在y轴上，设为（0，b），半径为3，且直线l1被圆C截得的弦长为4，直线l1的方程：x+2y﹣3＝0，可得，22＝32−(|2b−3|√1+4)2，即4＝9−(2+b√4+1)2，解得b＝4或b＝﹣1，所以圆C的方程：x2+（y﹣4）2＝9或x2+（y+1）2＝9．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，平面PCD⊥平面ABCD，CD＝2，CP=DP=√2，M为AB的中点．（1）求证：CP⊥平面PDM；（2）求平面PDM与平面P AB的夹角的余弦值．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，AD＝2，DM=√3，∵M为AB的中点，∴DM⊥AB，又∵AB∥DC，∴DM⊥DC，又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，DM⊂平面ABCD，∴DM⊥平面PCD，CP⊂平面PCD，∴DM⊥CP，∵CD =2，CP =DP =√2， ∴CD 2＝CP 2+DP 2，∴CP ⊥DP ， ∵DP ∩DM ＝D ，DP ，DM ⊂平面PDM ， ∴CP ⊥平面PDM ；（2）解：取CD 的中点E ，则由CP =DP =√2，所以PE ⊥DC ，DE ＝EC ＝EP ＝1，由（1）同理可证PE ⊥平面ABCD ，如图，以D 为原点，DM 为x 轴，DC 为y 轴，过D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则M(√3，0，0)，P （0，1，1），B(√3，1，0)，C （0，2，0）， CP →=(0，−1，1)，MB →=（0，1，0），PB →=(√3，0，−1)， 由CP ⊥平面PDM ，得平面PDM 的法向量CP →=(0，−1，1)， 设平面P AB 的法向量m →=（a ，b ，c ）， 则有{m →⋅MB →=b =0m →⋅PB →=√3a −c =0， 令a ＝1，可得b ＝0，c =√3，则m →=(1，0，√3)， 则|cos ＜m →，CP →＞|=|m →⋅CP →||m →||CP →|=√32×√2=√64，所以平面PDM 与平面P AB 的夹角的余弦值为√64． 20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4有两个不同的交点D ，E ． （1）求r 的取值范围；（2）过直线DE 上的一点P （在线段DE 外的部分上），分别作圆O 与圆C 的一条切线，切点分别为A ，B ，问是否存在常数λ，使得|P A |＝λ|PB |恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：因为圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4有两个不同的交点， 所以两圆相交，所以|r ﹣2|＜OC |＜r +2，且|OC |=√42+22=2√5， 即{|r −2|＜2√5r +2＞2√5，解得2√5−2＜r ＜2√5+2，所以r 的取值范围是（2√5−2，2√5+2）．（2）圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4相减得： 8x ﹣16+4y ﹣4＝r 2﹣4，化简得直线DE 的方程为：y ＝﹣2x +4−r 24， 设点P （m ，n ），因为P A 与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切， 所以在直角三角形P AO 中，|P A |2＝|PO |2﹣r 2，又点P 在直线DE 上，即n ＝﹣2m +4−r 24，所以|P A |2＝m 2+（﹣2m +4−r 24）﹣r 2＝5m 2+mr 2+16﹣16m ﹣3r 2+r 416， 同理可得，|PB |2＝|PC |2﹣4＝（m ﹣4）2+（n ﹣2）2﹣4＝（m ﹣4）2+（﹣2m +4−r 24−2）2﹣4＝5m 2+mr 2+16﹣16m ﹣3r 2+r 416，所以|P A |2＝|PB |2，即|P A |＝|PB |， 故存在常数λ＝1，使得|P A |＝λ|PB |恒成立 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点（2，1），焦距为2√6，A ，B 是椭圆C 上不在坐标轴上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，设点P （0，2），直线P A 交椭圆于另一点M ，直线PB 交椭圆于另一点N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记直线AB与MN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．解：（1）因为焦距为2√6，所以2c=2√6c=√6，因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（2，1），所以22a2+12b2=1，又因为a2＝b2+c2，联立可得a=2√2b=√2，所以椭圆C的标准方程为x28+y22=1．（2）证明：因为A，B是椭圆C上不在坐标轴上的两点，且A，B关于坐标原点对称，设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），且不在坐标轴上，所以−2√2＜x0＜2√2，−√2＜y0＜√2，设直线P A：y＝k P A x+2，与椭圆的另一个交点M（x1，y1），联立椭圆与直线方程可得{x28+y22=1y=k PA x+2，消去y，得(4k PA2+1)x2+16k pA x+8=0，Δ=(16k P4)2−32(4k PA2+1)＞0，所以k PA2＞14，因为k PA=y0−2 x0，由韦达定理可得x0x1=84k PA2+1=84⋅(y0−2x0)2+1=8x02x02+4(y0−2)2，所以x1=8x0x02+4(y0−2)2，代入直线方程可得，y1=k P4x1+2=y0−2x0⋅8x0x02+4(y0−2)2+2=8(y0−2)+2x02+8(y0−2)2x02+4(y0−2)2，同理，设直线PB：y＝k PB x+2，与椭圆的另一个交点N（x2，y2），联立椭圆与直线方程可得{x28+y22=1y=k PB x+2，消去y，得(4k PB2+1)x2+16k PB x+8=0，Δ=(16k PB)2−32(4k PB2+1)＞0，所以k PB2＞14，因为k PB=−y0−2−x0=y0+2x0，由韦达定理可得−x0x2=84k PB2+1=84(y0+2x0)2+1=8x02+4(y0+2)2，所以x2=−8x0x02+4(y0+2)2，代入直线方程可得y2=k PB x2+2=y0+2x0⋅−8x0x02+4(y0+2)2+2=−8(y0+2)+2x02+8(y0+2)2x02+4(y0+2)2，因为直线AB与MN的斜率分别为k1，k2，所以k1=y0x0，k 2=y 2−y1x 2−x 1=−8(y 0+2)+2x 02+8(y 0+2)2x 02+4(y 0+2)2−8(y 0−2)+2x 02+8(y 0−2)2x 02+4(y 0−2)2−8x 0x 02+4(y 0+2)2−8x 0x 02+4(y 0−2)2， 化简可得k 2=y 0x 0⋅x 02+4y 02−16x 02+4y 02+16， 所以k 1k 2=x 02+4y 02+16x 02+4y 02−16，代入x 02=8−4y 02， 化简可得k 1k 2=x 02+4y 02+16x 02+4y 02−16=8−4y 02+4y 02+168−4y 02+4y 02−16=24−8=−3．故得证．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，BC ＝2，侧面BB 1C 1C 是正方形，二面角A ﹣BC ﹣B 1的大小是2π3．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）若点D 是线段AB 1上的一个动点，求直线BD 与平面ACC 1A 1所成角的最大值．解：（1）如图，取BC 和B 1C 1的中点M 和M 1，连接MM 1，AM ，取AM 的中点N ，连接A 1N ，因为AB ＝AC ，所以AM ⊥BC ，因为侧面BB 1C 1C 是正方形， 所以BB 1∥MM 1，BB 1⊥BC ，所以MM 1⊥BC ，因为平面ABC ∩平面BCB 1C 1＝BC ，所以∠AMM 1为二面角A ﹣BC ﹣B 1的平面角， 因为二面角A ﹣BC ﹣B 1的大小是2π3，所以∠AMM 1=2π3， 因为AA 1∥BB 1∥MM 1，且AA 1＝BB 1＝MM 1＝2， 所以四边形AMM 1A 1为平行四边形，所以∠A 1AM =π3，因为AB =AC =√5，BC ＝2，所以AM ＝2，所以△AMM 1为等边三角形， 所以A 1N ⊥AM ，且A 1N =√3，因为AM ⊥BC ，MM 1⊥BC ，且AM ⊂平面AMM 1A 1，MM 1⊂平面AMM 1A 1，且两直线相交， 所以BC ⊥平面AMM 1A 1，又A 1N ⊂平面AMM 1A 1，所以BC ⊥A 1N ，因为A 1N ⊥AM ，BC ⊥A 1N ，AM ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且两直线相交， 所以A 1N ⊥平面ABC ，所以V ABC−A 1B 1C 1=12BC •AM •A 1N =12×2×2×√3=2√3． （2）取A 1M 1中点N 1，连接MN 1，所以MN 1∥A 1N ，分别以MA 1→，MB →，MN 1→为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题可得A （2，0，0），A 1(1，0，√3)，C （0，﹣1，0），B （0，1，0），B 1(−1，1，√3)， 所以，AC →=(−2，−1，0)，AB 1→=(−3，1，√3)，AB →=(−2，1，0)， 设平面ACC 1A 1的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{AA 1→⋅n →=−x +√3z =0AC →⋅n →=−2x −y =0，令x =√3，则y =−2√3，z ＝1，所以n →=(√3，−2√3，1)，因为点D 在线段AB 1上，则设AD →=λAB 1→=(−3λ，λ，√3λ)(0≤λ≤1)， 所以BD →=AD →−AB →=(−3λ，λ，√3λ)−(−2，1，0)=(2−3λ，λ−1，√3λ)， 设直线BD 与平面ACC 1A 1所成角为α，第21页（共21页） 则sinα=|cos ＜n →，BD →＞|=|n →⋅BD →||n →||BD →|=√3(2−3λ)−2√3(λ−1)+√3λ√3+12+1√(2−3λ)+(λ−1)+3λ =√3|1−λ|√13λ−14λ+5=√3√4(1−λ)2−121−λ+13， 所以当11−λ=32，即λ=13时，√3√4(1−λ)2−121−λ+13有最大值√32， 所以sin α≤√32，所以直线BD 与平面ACC 1A 1所成角的最大值为π3．。

绝密★考试结束前2018学年第二学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高一年级地理学科 试题命题：温州翔宇中学考生须知：1．本卷共8 页,满分100分，考试时间90分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

一．单项选择题（本大题共35小题，每小题2分，共70分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 2019年1月，科学家发现一颗距离地球6光年，围绕巴纳德星运行的“超级地球”行星。

其公转周期为233天，地表温度约-150°C 。

但其地热活动却比较强，可能存在简单生命。

完成1、2题。

1.“超级地球”位于（ ）A.地月系B.太阳系C.银河系D.河外星系2.巴纳德星属于（ ） A.卫星 B.行星C.恒星D.星云2018年美国太空总署多次观测到太阳表面“无黑子”现象（又称白太阳），科学界担忧太阳表面活动正进入“极小期”，这将导致地球的“小冰河期”提前到2019年年底前来临。

完成3、4题。

3.黑子发生在太阳的（ ）A.光球层B.色球层C.日冕层D.太阳内部4.下列太阳活动对地球的影响正确的是（ ）A.黑子导致指南针不能正确指示方向B.耀斑会导致无线电短波通信中断C.日珥导致高纬度地区产生极光现象D.太阳风导致地球上气候发生变化据中国地震台网测定，3月14日5时7分在距台东县约6公里海域发生了4.3级地震，震源深度15千米，震中位于23.04°N ，121.42°E 。

读图，完成5、6题。

第5，6题图 、7.构成花岗岩的矿物有（）①石英②云母③长石④方解石A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④8.卸甲岩属于碱性流纹岩，经岩浆和花岗岩的联合作用而形成，其解理面呈斑状，加上常年受雨水冲刷和风化剥落的影响，外表极似盔甲上的鳞片，故而得名。

2018年学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高二年级地理学科试题考生须知：1．本卷共8 页满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。

第Ⅰ卷选择题一、选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错题均不得分）2018年1月20日，一艘满载着货物的集装箱游轮从上海出发沿图中航线驶向鹿特丹，读图回答1、2题鹿特丹上海M图11．途中依次经过哪些海峡A．台湾海峡、马六甲海峡、霍尔木兹海峡、英吉利海峡B．台湾海峡、马六甲海峡、直布罗陀海峡、英吉利海峡C．白令海峡、台湾海峡、霍尔木兹海峡、英吉利海峡D．白令海峡、马六甲海峡、直布罗陀海峡、英吉利海峡2．经过图中M海域时A．顺风顺水B．顺风逆水C．逆风逆水D．逆风顺水一架飞机从甲地（123°E，45°N )出发，沿最短航程经过10小时飞行，最终到达乙地（57°W，75°N），据此回答3、4题。

3．该飞机的飞行速度大约为千米/小时A．600 B．660 C．1200 D．13204．乙地位于北京的A．东南方向B．东北方向C．西南方向D．西北方向2018年8月发射的帕克探测器据称是人类有史以来距离太阳最近的太空探测器，据此回答5、6题。

5．该探测器最先抵达的太阳外部圈层及其太阳活动是A ．日冕层 太阳风B ．色球层 耀斑C ．光球层 黑子D ．电离层 磁暴 6．该季节，发生的地理现象正确的是 A ．长江中下游一带出现伏旱现象 B ．北印度洋海区海水呈逆时针方向流动 C ．地中海气候区炎热干燥 D ．大陆等温线向南突出 图2为中亚局部地区轮廓图，读图回答7、8题。

7．有关图示区域自然地理环境，描述正确的 A ．地处板块交界处，多火山地震 B ．水汽主要来自印度洋 C ．乙湖泊盐度北部比南部更高 D ．地势总体东南向西北倾斜 8．图示甲区域种植棉花的主导自然区位因素 A ．热量 B ．光照 C ．水源 D ．土壤2018天猫6.18大庆，某品牌泰国天然乳胶枕预售火爆。

mg −μ12mg +μ12考生须知：1．本卷共6页满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题Ⅰ（本题共10小题，每题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．如图所示，一个小球在光滑水平面上以6m/s 的速度向左垂直撞到墙上，碰撞后小球以大小为3m/s 速度向右运动。

则碰撞前后小球速度变化量△v 的大小和方向分别为 A ．3m/s ，向左 B ．3m/s ，向右 C ．9m/s ，向左D．9m/s ，向右2．如图所示，“神州”系列航天飞船返回舱返回地面的示意图，其过程可简化为：打开降落伞一段时间后，整个装置沿竖直方向匀速下降，为确保安全着陆，需点燃返回舱的缓冲火箭，在火箭喷气过程中返回舱沿竖直方向做减速直线运动。

则 A ．火箭开始喷气瞬间返回舱获得向下的加速度 B ．火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力不变 C ．返回舱在喷气过程中处于超重状态D ．返回舱在喷气过程中（返回舱质量的变化可忽略）机械能在增加3．如图所示，有一箱装得很满的水果，在水平外力F 作用下在水平面上先向右做匀加速直线运动，水果箱与水平地面间的动摩擦因数为μ，不计其他外力及空气阻力，在撤去F 后的瞬间，中间一质量为m 的水果A 受到其他水果对它的作用力大小应是 A ． B ．μmg C ．mgD ．4．如图所示，小蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，若在小蜡块从A 点开始匀速上升的同时，玻璃管水平向右做匀减速直线运动，则小蜡块的实际运动轨迹可能是图中的 A ．直线P B ．曲线Q C ．曲线R D ．曲线Q 、R 都有可能FQA RP 绝密★考试结束前2019学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高二年级物理学科 试题5．2019年6月25日02时09分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第46颗北斗导航卫星。

2018-2019学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在空间直角坐标系中，已知A(1,0，−3)，B(4,−2,1)，则|AB|=()A. √15B. √29C. √34D. √149【答案】B【解析】解：空间直角坐标系中，A(1,0，−3)，B(4,−2,1)，则|AB|=√(4−1)2+(−2−0)2+(1+3)2=√29．故选：B．利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．2.与直线y=12x+1垂直，且过(2,0)点的直线方程是()A. y=−2x+4B. y=12x−1 C. y=−2x−4 D. y=12x−4【答案】A【解析】解：由题意，设直线方程为y=−2x+b，代入(2,0)，可得b=4，∴所求直线方程为y=−2x+4．故选：A．由题意，设直线方程为y=−2x+b，代入(2,0)，可得b，即可求出直线方程．本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．3.《莱因德纸草书》(RℎindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的三分之一是较小的两份之和，问最大一份为()A. 30B. 20C. 15D. 10【答案】A【解析】解：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，设等差数列中的这五项从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，∵较大的三份之和的三分之一是较小的两份之和，∴13(a3+a4+a5)=a1+a2，且a1+a2+a3+a4+a5=100，解得a1=10，d=5，∴a5=10+4×5=30．故选：A．设等差数列中的这五项从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，由较大的三份之和的三分之一是较小的两份之和，利用等差数列的通项公式和前n项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的最大项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.若实数x，y满足{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0，则目标函数z=x+2y的最大值为()A. 18B. 17C. 16D. 15【答案】C【解析】解：由题意，实数x，y满足{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=−12x+12z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由{x−y+2=03x−y−6=0得到A(4,6)，所以z的最大值为4+2×6=16；故选：C．首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．5.在△ABC中，a=2，b=√2，B=π6，则A=()A. π4B. π3C. 3π4D. π4或3π4【答案】D【解析】解：在△ABC中，∵a=2，b=√2，B=π6，∴由正弦定理可得：sinA=a⋅sinBb=2×12√2=√22，∵A∈(π6,π)，∴A=π4或3π4．故选：D．由已知及正弦定理可求sinA=a⋅sinBb的值，由题意可得范围A∈(π6,π)，进而可求A的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.若a>0，b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b的最小值为()A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】解：由a>0，b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则lg(ab)=lg(a+b)，即有ab=a+b，即1a+1b=1，则a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√b a⋅ab=4，当且仅当a =b =2时，取得等号． 则a +b 的最小值为4． 故选：C ．运用对数的运算性质，可得ab =a +b ，即1a +1b =1，则a +b =(a +b)(1a +1b )，展开运用基本不等式即可求得最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查对数的运算性质，属于基础题．7. 在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =2BC ，E 是CD 上一点，若AE ⊥平面PBD ，则CEED 的值为( )A. 32B. 52C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AE ，当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD∽△DAE ， 则ABAD =ADDE ，∵AB =2BC ，∴DE =14AB =14CD ， ∴CEED =3． 故选：C ．推导出PD ⊥AE ，当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD∽△DAE ，由此能求出CEED 的值．本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．8. 光线沿着直线y =−3x +b 射到直线x +y =0上，经反射后沿着直线y =ax +2射出，则有( )A. a =13，b =6B. a =−13，b =−6C. a =3，b =−16D. a =−3，b =16【答案】B【解析】解：在直线y =−3x +b 上任意取一点A(1,b −3)，则点A 关于直线x +y =0的对称点B(−b +3,−1)在直线y =ax +2上， 故有−1=a(−b +3)+2，即−1=−ab +3a +2，∴ab =3a +3， 结合所给的选项， 故选：B ．在直线y =−3x +b 上任意取一点A(1,b −3)，则根据点A 关于直线x +y =0的对称点B(−b +3,−1)在直线y =ax +2上，结合选项可得a 、b 的值．本题主要考查一条直线关于另一条直线对称的性质，反射定理，属于基础题．9. 如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +4y 的最小值为( )A. 32B. 2C. 52D. 92【答案】D【解析】解：设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m +n =1，λ+μ=1．∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =2， ∴1x +4y =12(1x +4y )(x +y)=12(5+y x +4x y )≥12(5+2√y x ⋅4x y )=92则1x +4y 的最小值为92．故选：D ．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，由B ，D ，E ，C 共线可得x +y =2， 可得1x+4y=12(1x+4y)(x +y)=12(5+y x+4x y)≥12(5+2√y x⋅4xy )=92本题考查了向量的向量的线性运算，均值不等式，属于中档题．10. 如图，△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，则点P 在平面α内的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 一条直线C. 一条直线D. 两条直线【答案】A【解析】解：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P(x,y)，A(−3,0)，B(3,0)，∵AD ⊥α，BC ⊥α，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ， ∴Rt △APD∽Rt △CPB ， ∴APBP =√(x+3)2+y 2√(x−3)2+y2=AD BC =48=12， 即(x −3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2]， 整理得：(x +5)2+y 2=16， 故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ．以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出点A ，B 的坐标，根据条件得出Rt △APD∽Rt △CPB ，进而得出APBP =ADBC =48=12，设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式，即可得到结论．本题以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力，是一道不错的综合题，考查了转化能力，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 如图，正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm ，原图形的面积是______cm 2． 【答案】8 2√2【解析】解：把直观图还原成原来的图形，如图所示；则原图形OABC是平行四边形，且OA=1，OB=2√2，∴AB=3，∴原图形的周长是2×(1+3)=8cm，原图形的面积是1×2√2=2√2cm2．故答案为：8，2√2．把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的周长和面积．本题考查了斜二测画法应用问题，是基础题．12.已知正方体棱长为2，与该正方体所有的棱都相切的球的表面积是______，该正方体的外接球的体积是______．【答案】8π4√3π【解析】解：∵正方体棱长为2，∴与该正方体所有的棱都相切的球的半径为2√22=√2，则与该正方体所有的棱都相切的球的表面积是4π×(√2)2=8π；由正方体的八个顶点都在球面上，∴正方体的外接球的半径为r=12√22+22+22=√3．∴该正方体的外接球的体积是43π×(√3)3=4√3π．故答案为：8π；4√3π．分别由已知求出与正方体所有的棱都相切的球的半径与正方体的外接球的半径，代入球的表面积公式与体积公式求解．本题考查多面体外接球与内切球的表面积与体积，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．13.一个棱锥的三视图如图，最长侧棱(单位：cm)是______cm，体积是______cm3．【答案】√144【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥S−ABC，且侧面SAC⊥底面ABC；又SD⊥AC于D，∴SD⊥底面ABC；又BE⊥AC与E，∴AB=BC=√22+32=√13；SC=√4+1=√5，SA=√22+32=√13；AC=4，BD=√32+12=√10，∴SB=√22+(√10)2=√14；∴最长的侧棱长是SB，为√14cm．几何体的统计为：13×12×4×3×2=4(cm3)故答案为：√14；4．根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，结合图形，求出各条棱长，即可得出最长的侧棱长是多少.然后求解体积即可．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原出几何体的结构特征，是基础题目．14.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A+√3sin2A=2，b=1，S△ABC=√32，则A=______，b+csinB+sinC=______．【答案】π32【解析】解：∵2cos2A+√3sin2A=2，可得：cos2A+√3sin2A=1，∴sin(2A+π6)=12，∵0<A<π，可得：2A+π6∈(π6,7π6)，∴2A+π6=5π6，可得：A=π3．∵b=1，S△ABC=√32=12bcsinA=12×1×c×√32，∴c=2，∴由余弦定理可得：a=√b2+c2−2bccosA=√12+22−2×1×2×12=√3，∴b+csinB+sinC=asinA=√3√32=2．故答案为：π3，2．由已知利用三角函数恒等变换的应用可得sin(2A+π6)=12，可求范围：2A+π6∈(π6,7π6)，利用正弦函数的图象和性质可求A的值，利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求a的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，比例的性质及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；③若m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；④若α⊥β，α⊥γ，则γ//β．其中正确的序号是______．【答案】①②【解析】解：对于①，若l⊥α，m⊥l，m⊥β，由空间线面垂直的性质定理和面面垂直的定义知α⊥β，故①正确；对于②，若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥n ，由三垂线定理可得m ⊥l ，故②对； 对于③，若m 是平面α的一条斜线，A ∉α，l 为过A 的一条动直线， 若m 是平面α的一条斜线，l ⊥α，则l 和m 不可能垂直，故③错误；对于④，若α⊥β，α⊥γ，则γ//β或γ、β相交，如墙角的三个面的关系，故④错误． 故答案为：①②．利用空间线面关系定理分别对四个命题分析选择.①由线面垂直和面面垂直的判断和性质知识可知正确；②由三垂线定理可证；③④可举反例说明错．本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．16. 已知点A(2,3)到直线ax +(a −1)y +3=0的距离不小于3，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(−∞,−3]∪[37,+∞) 【解析】解：由题意可得：|2a+3(a−1)+3|√a 2+(a−1)2≥3，化为：7a 2+18a −9≥0， 解得a ≤−3或a ≥37．故答案为：(−∞,−3]∪[37,+∞)． 由题意可得：|2a+3(a−1)+3|√a 2+(a−1)2≥3，解出即可得出．本题考查了不等式的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. 已知函数f(x)=x 2+e x −12(x >0)与g(x)=x 2+ln(x +a)的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是______． 【答案】(√e,+∞)【解析】解：若函数f(x)=x 2+e x −12(x >0)与g(x)=x 2+ln(x +a)图象上存在关于y 轴对称的点， 则等价于方程f(x)=g(−x)，在x >0时有解． 方程即x 2+e x −12=x 2+ln(−x +a)， 即方程e x −12−ln(−x +a)=0在(0,a)上有解． 令m(x)=e x −12−ln(−x +a)，则m(x)=e x −12−ln(−x +a)在其定义域上是增函数， 且x →a 时，m(x)→+∞，当x →0时，m(x)→12−lna ，∴12−lna <0，∴lna >12，∴a >√e ， 综上所述，a ∈(√e,+∞)． 故答案为：(√e,+∞)．由题意可得，存在x >0使f(x)−g(−x)=0，即e x −12−ln(−x +a)=0在(0,+∞)上有解，从而化为函数m(x)=e x −12−ln(−x +a)在(0,+∞)上有零点，利用函数零点的判定定理，从而求解．本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知向量a ⃗ =(sinθ,√3)与b ⃗ =(1,−cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2).(Ⅰ)求sinθ和cosθ的值；(Ⅱ)求函数f(x)=sin(2x +θ)的最小正周期和单调区间．【答案】解：(Ⅰ)∵向量a ⃗ =(sinθ,√3)与b ⃗ =(1,−cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2). ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sinθ−√3cosθ=0，求得tanθ=√3，∴θ=π3， ∴sinθ=sin π3=√32，cosθ=cos π3=12．(Ⅱ)∵函数f(x)=sin(2x +θ)=sin(2x +π3)，∴它的最小正周期为2π2=π．令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，求得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，可得函数的增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k ∈Z ． 令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，求得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，可得函数的减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k ∈Z ． 【解析】(Ⅰ)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出tanθ的值，可得θ的值，进而得到sinθ和cosθ的值；(Ⅱ)利用正弦函数的周期性和单调性，求得f(x)=sin(2x +θ)的最小正周期和单调区间．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．19. 已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =√2，AF =1，M 是线段EF 的中点． (Ⅰ)求证：AM//平面BDE ； (Ⅱ)求证：AM ⊥平面BDF ；(Ⅲ)求直线BE 与平面ACEF 所成角的正弦值． 【答案】证明：(Ⅰ)设AC ∩BD =O ，连结OE ， ∵ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点， ∴ACEF 是矩形，M 线段EF 中点， ∴EM−//AO ，----------(2分)∴EMAO 是平行四边形， ∴EO//AM ，-----------(3分)∵AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BCE ， ∴AM//平面BDE.----------------(5分)(Ⅱ)连接OF ，∵M ，O 分别是EF 、AC 中点， ∴MO//AF ，且MO =AF ，∵AF =AO =1，∴四边形AFMO 是正方形，∴AM ⊥OF ，-----------(7分) ∵正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，并交于AC ， BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，又∵AM ⊂平面ACEF ，∴AM ⊥BD ，------------(9分) 又∵BD ⊂平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，OF ∩BD =O ， ∴AM ⊥平面BDF.------------------(10分)解：(Ⅲ)∵BD⊥平面ACEF，O为垂心，E是BE与平面ACEF的斜足∴EO是BE在平面ACEF的射影∠OEB是BE与平面ACEF所成的角，--------------(12分)∵EO=√2，AF=1，∴BE=√3，--------------(14分)∴sin∠OEB=√33.----------------(15分)【解析】(Ⅰ)设AC∩BD=O，连结OE，推导出EMAO是平行四边形，EO//AM，由此能证明AM//平面BDE．(Ⅱ)连接OF，推导出四边形AFMO是正方形，AM⊥OF，BD⊥AC，从而AM⊥BD，由此能证明AM⊥平面BDF．(Ⅲ)BD⊥平面ACEF，EO是BE在平面ACEF的射影，从而∠OEB是BE与平面ACEF所成的角，由此能求出直线BE与平面ACEF所成角的正弦值．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知圆C：x2+y2−4x+3=0，(Ⅰ)求过点M(3,2)的圆的切线方程；(Ⅱ)直线l过点N(32,12)且被圆C截得的弦长为m，求m的范围；(Ⅲ)已知圆M的圆心在x轴上，与圆C相交所得的弦长为√3，且与x2+y2=16相内切，求圆M的标准方程．【答案】解：(Ⅰ)圆C：x2+y2−4x+3=0，即(x−2)2+y2=1，表示以(2,0)为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y−2=k(x−3)，即kx−y−3k+2=0，∴圆心到切线的距离等于半径，即√k2+1=1，解得k=34，此时，切线为3x−4y−1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x−4y−1=0；(Ⅱ)当直线l⊥CN时，弦长m最短，此时直线的方程为x−y−1=0．∴m=2√1−12=√2．当直线l经过圆心时，弦长最长为2．∴m的范围是[√2,2]；(Ⅲ)设圆M：(x−a)2+y2=r2，与圆C相交A，B两点，|AB|=√3．∴(32,±√32)或(52,±√32)在圆上．∵圆M内切于x2+y2=16，∴圆M经过点(4,0)或(−4,0)．若圆M经过(32,±√32)和(4,0)，则圆M的标准方程为(x−135)2+y2=4925；若圆M经过(52,±√32)和(4,0)，则圆M的标准方程为(x−3)2+y2=1；若圆M经过(32,±√32)和(−4,0)，则圆M的标准方程为(x+1311)2+y2=(3111)2；若圆M经过(52,±√32)和(−4,0)，则圆M的标准方程为(x+913)2+y2=(4313)2．【解析】(Ⅰ)化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径.当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y−2=k(x−3)，由圆心到切线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；(Ⅱ)当直线l⊥CN时，弦长m最短，求出直线方程，利用垂径定理求弦长，当直线l经过圆心时，弦长最长为直径，则m的范围可求；(Ⅲ)设圆M：(x−a)2+y2=r2，与圆C相交A，B两点，由|AB|=√3可得(32,±√32)或(52,±√32)在圆上，再由圆M内切于x2+y2=16，可知圆M经过点(4,0)或(−4,0)然后分类求解圆M的标准方程．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．21.已知数列{a n}满足：a n+1=a n2+2a n，a1=1(n∈N+).(Ⅰ)证明：数列{ln(a n+1)}是等比数列；(Ⅱ)设b n=1a n+1a n+2，S n为数列{b n}前n项的和，求证：S n<2．【答案】证明：(1)由题意得，数列{a n}满足：a n+1=a n2+2a n，a1=1(n∈N+).则：a n+1+1=(a n+1)2，所以：ln(a n+1+1)=2ln(a n+1)，所以：数列{ln(a n+1)}是以ln(a1+1)=ln2为首项.2为公比的等比数列．(2)由(1)得，ln(a n+1)=2n−1ln2，则：a n+1=22n−1，即：a n=22n−1−1，∵a n+1=a n2+2a n，∴a n+1=a n(a n+2)，则1a n+1=1a n(a n+2)=12(1a n−1a n+2)，∴1a n+2=1a n−2a n+1，∴b n=1a n+1a n+2=2a n−2a n+1，∴S n=b1+b2+⋯+b n=(2a1−2a2)+(2a2−2a3)+⋯+(2a n−1−2a n)=2a1−2a n=2−222n−1−1<2，即S n<2成立．【解析】(1)直接利用关系式的恒等变换，数列的递推关系式求出数列为等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步利用关系式的恒等变换，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(−12+x)=f(−12−x)．(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；(Ⅱ)令g(x)=|f(x)|−|λx−1|(λ>0)，研究函数g(x)在区间(−1,1)上的零点个数．【答案】解：(Ⅰ)∵f(0)=0，∴c=0，∵对于任意x∈R都有f(−12+x)=f(−12−x)，∴函数f(x)的对称轴为x =−12，即−b 2a =−12，得a =b ，又f(x)≥x ，即ax 2+(b −1)x ≥0对于任意x ∈R 都成立， ∴a >0，且△=(b −1)2≤0． ∵(b −1)2≥0，∴b =1，a =1． ∴f(x)=x 2+x ；(Ⅱ)方法一：g(x)=|f(x)|−|λx −1|有零点个数，即|f(x)|=|λx −1|的交点个数． 当x ∈(−1,0)，f(x)<0，所以|f(x)|=−x 2−x ∈(0,14]， 而|λx −1|∈[1,1+λ]，因而在这个范围上λ任取何值均无交点； 当x ∈[0,1]时，f(x)>0，可得g(x)=f(x)−|λx −1|={x 2+(1−λ)x +1,x ≥1λx 2+(1+λ)x −1,x <1λ， ①当x ≥1λ时，函数g(x)=x 2+(1−λ)x +1的对称轴为x =λ−12，若λ−12≤1λ，即0<λ≤2，函数g(x)在(1λ,+∞)上递增，函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，又g(0)=−1<0，g(1)=2−|λ−1|>0， 故函数g(x)在区间(0,1)上只有一个零点； ②λ−12>1λ，即λ>2时，函数g(x)在(λ−12,+∞)递增，在(1λ,λ−12)递减，由1λ<12<1，而g(0)=−1<0，g(1λ)=1λ2+1λ>0，g(1)=2−|λ−1|，若2<λ≤3，由于1λ<λ−12≤1，且g(λ−12)=−(λ−1)24+1≥0，此时，函数g(x)在(0,1)上只有一个零点； 若λ>3时，由于λ−12>1且g(1)=2−|λ−1|<0，函数g(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点；综上所述，当0<λ≤3时，函数g(x)在区间(−1,1)上只有一个零点； 当λ>3时，函数g(x)在区间(−1,1)上有两个不同的零点． 方法二：数形结合思想(1)λ>0，1λ>0，如上图，在(−1,0)上没有公共点(2)当0<1λ<1时，必定有一个交点，是否有第二个点要看λx −1在x =1处在f(x)图象的上方还是下方， 如下图，若λ−1>2即λ>3，有两个交点； 若λ−1≤2即λ≤3，有一个交点；所以，当λ∈(0,3]，函数g(x)在区间(−1,1)上只有一个零点； 当λ∈(3,+∞)，函数g(x)在区间(−1,1)上有两个零点．【解析】(Ⅰ)求出c =0，函数对于任意x ∈R 都有f(−12+x)=f(−12−x)，可得函数f(x)的对称轴从而可得a =b ，结合f(x)≥x ，即ax 2+(b −1)x ≥0对于任意x ∈R 都成立，可转化为二次函数的图象可得a >0，且△=(b −1)2≤0，即可得到所求解析式；(Ⅱ)方法一、求出g(x)的解析式，通过讨论λ的范围，结合二次函数的性质判断即可；方法二、运用数形结合思想，由(1)λ>0，1λ>0，如图1，在(−1,0)上没有公共点(2)当0<1λ<1时，必定有一个交点，讨论当0<λ≤3，λ>3，画出图象即可得到所求零点个数．本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用.属于综合性较强的试题．。

浙江省“七彩阳光”新高考联盟2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，集合，，根据集合的交集的运算，得．故选：C．2.下列四个选项中与函数相等的是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，对于A中，函数，其定义域是R，但与的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B中，函数，定义域是，所以的定义域不同，所以不是同一函数；对于C中，函数，定义域为，与的定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数，定义域是R，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：D．3.二次函数在上的最小值为A. 0B.C.D.【答案】C【解析】由题意，可知二次函数图象开口向上，且关于直线为对称，故在上，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，故选：C．4.已知，若，则实数t的取值集合是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，函数，且，当时，，解得，或，当时，，解得，所以实数t的取值集合是故选：D．5.既是奇函数又在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数的性质可知，对于A中，函数为偶函数，不符合条件；对于B中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数为奇函数，但在上单调递减，上单调递增，不符合题意；对于D中，函数，满足，则函数是奇函数，且在上单调递增，符合题意，故选：D．6.已知，若且，则下列说法正确的是A. B.C. D. ab与1的大小不确定【答案】B【解析】由题意，可得函数，画出的图象，如图所示，因为且，所以，所以，，．故选：B．7.已知，，则下列说法正确的是A. 时，恒有B. 与函数图象仅有唯一交点C. 时，图象在图象下方D. 存在使得【答案】C【解析】由题意，当时，，所以A不正确；当，时，，所以B不正确；令，由，可得，解得，所以当时，图象总在图象下方，所以C正确；当时，总有，不存在使得，所以D不正确，故选：C．8.记，，，，则a，b，c，的大小关系为A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，可知，，所以，又由，，所以．则．故选：A．9.函数，定义域为，有以下命题：若，，则是D上的偶函数；若，则一定不是奇函数；若，则是D上的递增函数；若对任意，，，都有，则是D上的递增函数；其中正确的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】由题意，可知函数，定义域为关于原点对称，对于中，若，，但不一定恒成立，则不一定是D 上的偶函数，故错误；对于中，若，则f有可能恒成立，此时可能是奇函数，故错误；对于中，若，但，且时，不一定恒成立，则不一定是D上的递增函数，故错误；对于中，若对任意，，，都有，则时，一定恒成立，是D上的递增函数，故正确；故选：B．10.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，，记，则下列说法正确的是A. 为R上的减函数B. 为偶函数C. 的值域为D. 方程有无数个解【答案】D【解析】由题意，函数的定义，可得满足：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；作出函数的图象，如图所示，可得不是偶函数，也不是R上的减函数；的值域不为，应为整数集；方程的解集为，方程有无数个解，所以A，B，C均错，D正确．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.若，则______；若，则______．【答案】(1). 14 (2).【解析】由题意，知，则，又由，所以，则，，所以．故答案为：14，.12.设函数，则函数的定义域为______；值域为______．【答案】(1). (2).【解析】由题意，函数有意义，满足，因为恒成立，所以函数的定义域为R；当时，；当时，；当时，．的值域为．故答案为：R；．13.已知函数的对称中心为，则______；______．【答案】(1). 1 (2). 6【解析】由题意，函数，将反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移a个单位，可得函数的图象，所以结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为，又因为的对称中心为，所以，故答案为：1，6.14.已知函数为R上的增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，函数为R上的增函数，根据分段函数的单调性，可得：，解得．故答案为：．15.若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，实数x，y满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．16.已知t为实数，使得函数在区间上有最大值5，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，令，若，即时，函数，在区间上有最大值为，满足条件．若，即时，由，解得，．①时，即，，则在区间上有最大值为，不满足条件，舍去．②若时，即，时，，时，，函数的最大值为：，因此，又，解得．综上可得：实数t的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17.设集合，．当时，求，；记，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．解：由集合，．当时，，，，.，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而，故实数a的取值集合为.18.已知函数，．试判断函数与的奇偶性；若，求函数的最小值．解：由题意，函数，，可得定义域为R，，，所以函数为奇函数，为偶函数；(2)，当时上式取得等号，则函数的最小值为1．19.设．解不等式；若函数在上为减函数，求实数a的取值范围．解：根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为，则，若，则，即有，解可得：，即不等式的解集为；根据题意，函数，；令，则，则，在上为减函数，而也为减函数，则函数在上为减函数，若函数在上为减函数，则必有，即的取值范围为．20.已知．若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；求函数在上的值域．解：由题意，不等式恒成立，即恒成立，，时，；时不等式可变为恒成立，所以，故实数a的取值范围为；由函数为上的偶函数，当时，，，当时，，当时，，当时，，，当时，。