2018届高考数学二轮复习疯狂专练20数学文化题集理

高考大题滚动练(二)1．(2017·江苏苏州大学指导卷)已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)求函数f (x )的定义域和最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求函数f (x )的值域． 解 (1)函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因为f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得π6<2x ＋π6<7π6， 所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )∈⎝⎛⎦⎤0，32， 即函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2的值域为⎝⎛⎦⎤0，32. 2．(2017·江苏泰州姜堰区质检)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d >0.由a 2a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， 所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1， b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …，b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1(n ≥2)，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1， 所以b n ＝3n －22n －1，n ≥2.b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．3．(2017·江苏新海中学质检)求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′， 所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1. 所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.4．在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解 方法一 将直线θ＝π3化为普通方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得 x 2＋y 2－10x ＋4＝0.联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0，消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为543，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫52，π3.方法二 联立直线与曲线的方程组⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以线段AB 中点的极坐标为⎝⎛⎭⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝⎛⎭⎫52，π3.。

河南名校 2018 届高三第二次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 若 z3 i （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）1 iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合 A x | x a ， Bx | x 2 4x 3 0，若AB B ，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． a 3B． a 3 C ． a 1 D ． a 13. 各项都是正数的等比数列a n 的公比 q1，且 a ， 1 a 3 ， a 成等差数列，则 a 4 a5 的2 2 1a 2 a 3值为（ ）A ．15B．35C ．5 1D．35 或 32 522224. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 3，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局4的概率为（ ）A ．1B．2C.2D．435355. 将曲线 C 1 : ysin( 1x6 ) 上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的24曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 : y g(x) ，则 g (x) 在，0 上的单调递增区间3是（ ）A ．[5,] B． [ ,] C. [2,0]6663x 3D ．[2,] 366. 若不等式组y 2 表示的平面区域经过所有四个象限， 则实数的取值范围是4x y2 0（ ）A．，2B．[1,2] C.2，4D．2，7.如图，“大衍数列” ： 0，2，4，8，12 来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和. 下图是求大衍数列前 n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入m 7 ，则输出的S（）A． 64B．68 C.100D．1408. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）4B．8 224 D．24A．8 C.3 39. 如图，半径为 2 的圆内有两条半圆弧，一质点M自点A开始沿弧A B COADC 匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度v g(t ) 的图像大致为（）A．B． C.D．10. 已知抛物线C : y2 2 px(0 p 4) 的焦点为F，点P为C上一动点，A(4,0) ，B( p, 2 p) ，且 PA 的最小值为15 ，则 | BF |等于（）A．11B ． 5 C. 9 D ． 42 211. 正三棱柱ABC A B C 的各条棱长均相等， D 为AA的中点.M ,N分别是线段BB和线1 1 1 1 1段 CC 上的动点（含端点），且满足 BM C N .当M , N运动时，下列结论中不正确的是（）1 1．．．A．平面DMN 平面 BCC1B1 B ．三棱锥A1 DMN 的体积为定值C. DMN可能为直角三角形 D ．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0, ]4 12. 定义在R上的函数f (x)满足f ( x 2) 1 f ( x) ，当x 0,2 时，21 2 x,0 x 1f (x) 2 ，函数 g(x) x 3 3x 2 m .若对任意 s 4, 2 ，存在1 |x 3|x 23 2 ,1t 4, 2 ，不等式 f (s) g (t ) 0 成立，则实数 m 的取值范围是（）31A．，4B．，8C. ，12D．，2第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量 m 与向量 n 互相垂直，且 m 2n 11, 2 ，若 | m| 5 ，则 | n | ．已知 a e a) 6的展开式中 x 3的系数为14. 11dx ，则二项式 (1 ．e x x15. 过双曲线 x2 y21(a 0, b 0) 的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A, B 两点，a2 b2D 为虚轴的一个端点，且ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为．16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列 1,2 进行“扩展” ，第一次得到数列1,2,2 ；第二次得到数列1,2,2,4,2 ；.设第 m 次“扩展”后得到的数列为1, x1 , x2 , , x2n 1 ,2 ，并记 a n log 2 (1 x1 x2 x t 2) ，其中 t 2n 1,n N ，则数列a n 的前 n 项和为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 如图，在锐角ABC 中，D为边 BC 的中点，且AC 3，AD 11 , O为ABC 外2接圆的圆心，且 cos BOC 1 . 3（1）求sin BAC的值；（2）求ABC的面积 .18. 某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制. 各等级划分标准： 85 分及以上，记为 A 等级；分数在70，85 内，记为 B 等级；分数在60，70 内，记为 C 等级； 60 分以下，记为 D 等级 . 同时认定等级为A,B,C 的学生成绩合格，等级为 D 的学生成绩为不合格. 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50100，内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50，60 ， 60，70 ， 70，80 ，80，90 ，90,100 分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图 1 所示），乙校的样本中等级为C,D 的所有数据的茎叶图（如图 2 所示）.（ 1）求图 1 中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（ 2）在选取的样本中，从甲、乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19. 如图，在空间几何体ABCDE 中，平面 ACD 平面 ACB ，ACD 与 ACB 都是边长为2 的等边三角形，BE 2 ，点 E 在平面ABC上的射影在ABC 的平分线上，已知BE 和平面 ACB 所成角为 60 .（ 1）求证：DE∥平面ABC；（ 2）求二面角 E BC A 的余弦值.20. 已知椭圆C : y2 x21(a b 0) 的上、下焦点分别为F1, F2，上焦点 F1到直线2b2a4x 3 y 12 0 的距离为1 3，椭圆C的离心率e.2（ 1）求椭圆C的方程；（2）椭圆E :y2 3x21 ，设过点 M (0,1) 斜率存在且不为0 的直线交椭圆E于A, B两点，a 2 16b 2试问 y 轴上是否存在点P ，使得PM ( PA PB) ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，PA PB说明理由 .21.已知函数 m( x) xln x .（ 1）设f (x) a[ m (x) 1] x 2(a 0)，若函数 f (x) 恰有一个零点，求实数 a 的取值范围；( ) [ ( ) 1] b ，对任意 x1 , x2 1 成（ 2）设[ ,e] ，有bm x x(b 0) | g ( x1 ) g (x2 ) | e 2g x e立，求实数 b 的取值范围.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C : sin2x 2 t2acos (a 0)，直线 l :4（ t 为参数）与曲线C相交于M , N两点.y t（ 1）求曲线C与直线l的普通方程；（ 2）点P( 2,4) ，若PM、MN、PN成等比数列，求实数 a 的值.23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) m | x 1| | x 1| .（ 1）当m 5时，求不等式 f ( x) 2 的解集；（ 2）若二次函数y x2 2x 3 与函数y f (x) 的图像恒有公共点，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADBAD6-10:ABCBC11、12：CA二、填空题13.5 14. -160 15. 1, 2 2 2 ,3n 1 2n 316. S n 4三、解答题17. 解：（ 1）由题设知，BOC 2 BAC，∴ cos BOC cos 2 ABC 1 2sin 2 BAC 1 ，∴ sin 2 BAC 2 ，3 3sin BAC6. 322 AD ，连接BE, CE，则四边形ABEC为平行四边形，∴（）延长 AD 至E，使 AECE AB ，在ACE 中，AE 2 AD 11， AC 3 ，ACE BAC ，cos ACEcos BAC 3，∴由余弦定理得，3AE 2AC 2 CE 2 2AC CE cos ACE ，即 (11)2 ( 3) 2 CE 2 2 3 CE (3) ，解得 CE 2，∴ AB CE 2 ，3∴S ABC1AB AC sinBAC1 2 36 2 .22318. 解析：（ 1）由题意，可知 10 x 0.012 10 0.056 10 0.018 10 0.010 10 1，∴ x0.004 . ∴甲学校的合格率为 (1 10 0.004) 100% 0.96 100% 96% ，乙学校的合格率为 (12 ) 100% 0.96 100% 96% . ∴甲、乙两校的合格率均为 96% .50（ 2）样本中甲校 C 等级的学生人数为 0.012 10 50 6 ，乙校 C 等级的学生人数为 4.∴随机抽取 3 名学生中甲校学生人数X 的可能取值为 0,1,2,3 .∴ P(X 0)C 43 1C 61C 423C 62C 411 ，C 103， P(X1)C 103， P(X 2)23010C 103P( X3) C 63 1C 103 .6∴ X 的分布列为X 01 2 3P13 1 1301026数学期望 E( x) 01 1 32 13 1 9 .30 10 2 6 519. 解析：（ 1）证明：由题意知， ABC 与 ACD 都是边长为 2 的等边三角形， 取 AC 中点 O ，连接BO ， DO，则 BOAC，DOAC. 又∵平面ACD平面ABC ，DO平面ABC ，作 EF平面 ABC ，那么 EF ∥DO，根据题意，点F落在 BO 上，∵ BE 和平面ABC 所成角为60，∴ EBF60 .∵BE2，∴ EFDO3 ，∴四边形DEFO是平行四边形，∴ DE ∥OF，∴DE平面ABC ， OF平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .（ 2）由已知， OA, OB, OD 两两互相垂直，故以 OA,OB, OD 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ，得 B(0, 3,0) ， C( 1,0,0) ， E(0, 3 1, 3) .∴ BC( 1,3,0) ， BE(0, 1, 3) ，设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ( x, y, z) . n 2 BC 0 x 3 y 0 1 ，∴取 n 2( 3, 3,1) ，∵BE，∴y3z . 令 z n 2 0又∵平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1) ，∴cos n 1,n 2n 1 n 213.1| n 1 ||n 2 | 13又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角 EBC A 的余弦值为 13 .1320. 解析：（ 1）由已知椭圆 C 方程为y 2x 21(a b 0) ，设椭圆的焦点 F 1 (0, c) ，由 F 1 到a 2b 2直线 4 x 3y 12 0 的距离为 3，得|3 c12| 3 ，又椭圆 C 的离心率 e1 ，所以 c1 ，52 a2又 a2b2c 2 ，求得 a24 ， b23 . 椭圆 C 方程为y 2x 21 .4 3（ 2）存在 x 2y 2 1 ，设直线 AB 的方程为 y kx 1(k0) ，. 理由如下： 由（ 1）得椭圆 E :416y kx 1联立x 2 y 2 ，消去 y 并整理得 (4 k 21)x 2 8kx 12 0 .164 1(8k)2 4(4k 2 1) 12 256k 248 0 . 设 A( x 1, y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 x 1 x 28k， x 1x 212.224k 14k 1假设存在点 P(0, t ) 满足条件，由于 PM( PAPB) ，所以 PM 平分APB .| PA|| PB|易知直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补，∴ k PAkPB0 .即y1t y 2 t 0，即 x 2 ( y 1 t) x 1 ( y 2 t) 0 . （* ）x 1x 2将 y 1kx 1 1， y 2 kx 2 1 代入（ *）并整理得 2kx 1x 2 (1 t)( x 1 x 2 ) 0 ，12(1t) (8k) ，整理得3k k(1t)0 ，即 k (4 t )0 ，∴ 2k 2 14k 24k1∴当 t4 时，无论 k 取何值均成立 . ∴存在点 P(0, 4) 使得 PM( PAPB ).| PA| | PB|21. 解析： m ( x) ln x 1（ 1）函数 f ( x)a ln x x 2 ( a 0) 的定义域为 (0,) ，∴ f ( x) a 2x2x 2 a .x x1①当 a0 时， f (x)，所以 f ( x) 在 (0, )上单调递增，取 x 0e a ，则11a 且 x 01f (e a )1 (e a ) 20 ，（或：因为 0 x 0时，所以ef (x 0 ) a ln x 0 x 0 2a ln x 0 a a ln1a0 . ）因为 f (1) 1 ，所以 f ( x 0 ) f (1) 0 ，此e时函数 f ( x) 有一个零点 .②当 a0 时，令 f (x)a . 当 0xa f (x)0 ，所以 f ( x) 在0 ，解得 x时，22(0,a) 上单调递减；当 xa时， f (x) 0 ，所以 f ( x) 在 (a ， ) 上单调递增 .222要使函数 f ( x) 有一个零点，则f (a) a lna a 0，即 ln( a ) 1， a 2e . 综222 2上所述，若函数f (x) 恰有一个零点，则 a 2e 或 a 0.（ 2）因为对任意 x 1 , x 2 [ 1,e] ，有 | g( x 1 )g(x 2 ) | e 2 成立，e因为 | g( x 1 )g( x 2 ) | [ g( x)] max [ g( x)] min ，所以 [ g( x)] max [ g( x)]min e 2 .所以g () b lnx x b，所以g (x)bbxb 1b(x b1).xxx当 0 x1时， g ( x) 0 ，当 x 1 时， g (x) 0 ，所以函数 g( x) 在 [ 1,1) 上单调递减，在1， e 上单调递增， [ g( x)] ming (1) 1 ，e∵ g(1)b e b与 g(e)b e b，所以 [ g(x)] max max{ g( 1), g(e)} .e g (1)e设 h(b) g( e) eb e b 2b(b 0) ，则 h (b) e be b 2 2 e b e b 2 0 ，e所以 h(b) 在0，上单调递增，故 h(b)h(0) ，所以 g( e) g(1) . 从而e[ g( x)]max g (e)b e b .所以 b eb1 e2 即 e b b e 1 0 , 设 (b) e b b e 1(b 0) ，则 (b) e b 1 .当 b 0 时， (b) 0 ，所以 (b) 在 0， 上单调递增 . 又 (1) 0 ，所以 e bb e 10 ，即 (b)(1) ，解得 b 1. 因为 b 0 ，所以 b 的取值范围为 (0,1] .22. 解析：（ 1）因为 sin 22a cos ，所以 ( sin )22a cos ，即曲线 C 的普通方程为 y22ax(a 0) ，由 l : x2 t，得直线 l 的普通方程为 y x 2 .y 4 tx22 t（ 2）直线 l 的参数方程为2 （ t 为参数），代入 y 22ax ，得到y42 t2t 2 2 2(4 a)t 8(4 a) 0 ，8a(4 a) 0 . 设点 M , N 分别对应参数 t 1 ,t 2 ，恰为上述方程的根，则有 t 1t 2 2 2(4 a) ， t 1 t 2 8(4 a) ，则 t 1 t 2 0.又 PM t 1 ，PN t2， MN t1 t 2.因为MN 2 PM PN ，所以(t1 t 2 ) 2 (t1 t2 )2 4t1 t2 t1 t2 (4 a) 2 5(4 a) 0，得a 1，或 a 4 .因为 a 0 时，所以 a 1 .5 2x( x 1)23. 解析：（ 1）当m 5 时， f ( x) 3( 1 x 1) ，由 f (x) 2 得不等式的解集为5 2 x(x 1){ x | 3 x 3 } .2 2（ 2）由二次函数y x2 2x 3 ( x 1)2 2 ，该函数在 x 1 取得最小值2，因为m 2x(x 1)f (x) m 2( 1 x 1) ，在 x 1 处取得最大值 m 2，所以要使二次函数m 2x(x 1)y x2 2x 3 与函数y f ( x) 的图像恒有公共点，只需m 2 2 ，即 m 4。

1．[2017·庄河高级中学]已知集合{}1,0,1,2M =-，，则MN =（ ） A ．{}1,1- B ．{}0,1 C．{}1,1,3,5-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【解析】由题意可得：{}0,1,4N =，则{}0,1MN =．本题选择B 选项．2．[2017·庄河高级中学]，则复数1z -的模为（ ）A B ．4C D ．2【答案】A【解析】，13i z ∴-=-+，题选择A 选项．3．[2017·庄河高级中学]已知平面向量a ，b 且1a =，12b =，则2a b -=（ ）A ．1B C ．2 D ．32【答案】A【解析】根据条件：1111224a b ⋅=⨯⨯=，∴()22211244144144a b a a b b -=-⋅+=-⨯+⨯=，∴21a b -=，故选A ．4．[2017·庄河高级中学]双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的渐近线为：y bx =±，则：C 选项． 5．[2017·庄河高级中学]在等比数列{}n a 中，已知32a =，35726a a a ++=，则7a =（ ）A ．12B ．18C ．24D ．36【答案】B【解析】由题意可得：()243126a q q ++=，整理可得：()()22340q q -+=，结合等比数列的通项公式可得：42732318a a q =⨯=⨯=．本题选择B 选项．6．[2017·庄河高级中学]执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a =（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：3m =，4n =，0i =；执行第一次循环：11i i =+=，7a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环； 执行第二次循环：12i i =+=，10a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环； 执行第三次循环：13i i =+=，13a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环； 执行第四次循环：14i i =+=，16a mi n =+=，此时满足判断条件，跳出循环，输出16a =．本题选D ．7．[2017·庄河高级中学]已知α为第二象限角，则tan α的值为（ ）A B C D ．3-【答案】C【解析】C 选项．8．[2017·庄河高级中学]设实数x ，y 满足约束条件()20200x y x y y m m +--->⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数2z x y=-的最大值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()2,0处取得最大值：2202z =-⨯=．本题选择D 选项．9．[2017·庄河高级中学]某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（ ）A ．18B ．1C ．2D 【答案】B【解析】，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x ，222x -=，解得12x =，故21x =，故新工件的体积为1．10．[2017·庄河高级中学]对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．10C ．4D ．16【答案】C【解析】对x ∈R 恒成立可得：解得：()244k k ω=+∈Z ，令0k =可得：min 4ω=．本题选C ．11．[2017·庄河高级中学]已知函数()2222,2log ,2x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤，若0x ∃∈R ，使得()2054f x m m -≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）ABC．D【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =，则要考查的不等式转化为：2154m m -≤，解得：，即实数m 的取值范围为B 选项．12．[2017·庄河高级中学]设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，，若y 轴上存在点()0,2A ，使得0AM AF =⋅，则p 的值为（ ）A ．2或8B ．2C ．8D ．4或8【答案】A【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点()0,2，设(),M x y，由抛物线性质因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，，据此可知该圆与y 轴相切于点()0,2，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，代入抛物线方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．本题选择A 选项．13．[2017·庄河高级中学]设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则．【解析】由题意：，则：14．[2017·庄河高级中学]在ABC △中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，2a b =，60C =︒，则=B ______．【解析】，解得：223c b =，据此有：15．[2017·庄河高级中学]若直线1ax by +=（a ，b 都是正实数）与圆224x y +=相交于A ，B 两点，当OA OB ⊥（O是坐标点）时，ab 的最大值为__________．【解析】时等号成立，即ab 的最大值为16．[2017·庄河高级中学]已知1x =是函数则实数k 的取值范围是__________． 【答案】()0,e【解析】由题意可得：()()()()()1e 11e x x f x x k x x k '=---=--，满足题意时有：ln 1k <，求解不等式可得实数k 的取值范围是()0,e ．。

12＋4分项练15 算法与复数1．(2017·全国Ⅱ)3＋i1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 2．(2017届福建省厦门外国语学校适应性考试)复数z ＝2i 1＋i＋i 5的共轭复数为( ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．i －1 D ．1－i答案 A解析 根据题意化简得z ＝1＋2i ，z ＝1－2i ，故选A.3．(2017届安徽省蚌埠市质检)复数(a －i)(1－i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析 由题意可得(a －i)(1－i)＝a －i －a i ＋i 2＝(a －1)－(a ＋1)i ，结合题意可知，a －1＝－a －1 ，解得a ＝0. 故选B.4．(2017·福建省泉州市质检)已知复数z ＝a ＋i(a ∈R )．若|z |<2，则z ＋i 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为|z |＝a 2＋1<2，所以a 2<1， 而z ＋i 2＝a －1＋i 中，a －1<0，b ＝1>0，所以z ＋i 2在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.5．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1等于()A.15＋25iB.25＋15i C ．－25－15iD ．－15－25i答案 D解析 由题图得z 1＝－2－i ，z 2＝i ， 所以z 2z 1＝i －2－i ＝－i (2－i )(2＋i )(2－i )＝－15－25i ，故选D.6．(2017·河北省衡水中学模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于()A ．－23tanπ9－21B.tan 25π9－3tanπ9－22C ．－23tanπ9－22D.tan 25π9－3tanπ9－21答案 A 解析 由题可知S ＝tan4π9tan 3π9＋tan 5π9tan 4π9＋tan 6π9tan 5π9＋…＋tan 24π9tan 23π9， 即S ＝tan 4π9－tan 3π9tan π9－1＋tan 5π9－tan4π9tanπ9－1＋tan 6π9－tan 5π9tan π9－1＋…＋tan 24π9－tan23π9tanπ9－1＝－23tan π9－21，即得S ＝－23tanπ9－21.7．(2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2答案 D解析 因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以▭内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1 000”．故选D.8．(2017·泉州质检)执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数f (x )(x ∈R )的表述，正确的是( )A ．f (x )是奇函数，且为减函数B ．f (x )是偶函数，且为增函数C ．f (x )不是奇函数，也不为减函数D ．f (x )不是偶函数，也不为增函数 答案 D解析 因为输出i ＝0，根据框图，应该有a －b ≠0，a －b ≤0，即f (m )≠f (－m )，f (m )≤f (－m )，又m >－m ，所以函数不是偶函数，也不是增函数，故选D.9．(2017届湖南省长沙市一中模拟)如图，若N ＝10，则输出的S 值等于( )A.109B.910C.1011D.1211答案 C解析 阅读流程图可得，该流程图计算的数值为S ＝0＋11×2＋12×3＋…＋＋110×11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C.10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出v 的值为( )A ．16B ．18C ．48D ．143答案 C解析 初始值n ＝3，x ＝3，程序运行过程如下：v ＝1，i ＝2，满足条件i ≥0，执行循环体，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1；满足条件i≥0，执行循环体，v＝5×3＋1＝16，i＝0；满足条件i≥0，执行循环体，v＝16×3＋0＝48，i＝－1，不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48，故选C.11．(2017届辽宁省锦州市质检)执行如图所示的程序框图，则输出i的值为( )A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009答案 D解析n＝1，r＝0，s＝1，r＋s＝1，i＝1,1<2 017；n＝2，r＝－1，s＝0，r＋s≠1；n＝3，r＝0，s＝－1，r＋s≠1；n＝4，r＝1，s＝0，r＋s＝1，i＝2,4<2 017，上述循环为一个周期，且i表示r＋s＝1出现的次数，一个周期出现2次．当n＝2 017时结束循环，2 017＝504×4＋1，所以i＝504×2＋1＝1 009.故选D.12．(2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学二模)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3,2，则输出的n等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 a ＝3，b ＝2，a ＝3＋32＝92，b ＝4，92≥4，所以n ＝2，进入循环a ＝92＋94＝274，b ＝8，274≤8，所以输出n ＝2，故选A.13．(2017届上海市宝山区二模)已知复数z 满足2i·z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 答案 1解析 由题意得z ＝1＋i 2i ＝22－22i ，所以|z |＝1.14．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2 解析 ∵a ∈R ， ∴a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i5＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.15．(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)如图所示程序框图，则输出的k的值是________．答案 3解析由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当S＝1，k＝1时，S＝1＋12＝2<10，k＝1＋1＝2；当S＝2，k ＝2时，S＝2＋22＝6<10，k＝1＋2＝3；当S＝6，k＝3时，S＝6＋32＝15>10，此时运算程序结束，输出k＝3. 16．(2017·孝义质检)现有若干(大于20)件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品．如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中m表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是________．答案14,19解析因为上述程序框图的功能是将20件药材中的优质品的个数统计出来．按照规定每件中药材重量不小于15克为优质品，因此m＞14.样本容量是20，因此n＞19.因此应该填写的数字依次是14,19.。

寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语(注意解题的速度)一、选择题1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．(2017·沈阳一检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可．3．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 4．若集合M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0，N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )A ．M ⊆{x |x ≥1}B ．M ⊆{x |x >－2}C ．M ∩N ＝{0}D ．M ∪N ＝N解析：选C ∵M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0＝{x |－2≤x <1}，N 为自然数集，∴M ⊆{x |x ≥1}错误，M ⊆{x |x >－2}错误，M ∩N ＝{0}正确，M ∪N ＝N 错误．5．(2018届高三·洛阳五校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 由Venn 图知阴影部分表示的集合为(∁R A )∩B ，依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，故(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.7．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,4} B ．{－2，－1,0} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}解析：选D ∵A ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．8．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 9．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”为真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．故正确的命题有2个．10．下列说法中正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D 当f (0)＝0时，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 因为x ∈S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，故x 的取值有四种情况．若x ＝A 0，根据定义得，(x ⊕x )⊕A 2＝A 0⊕A 2＝A 2，不符合题意，同理可以验证x ＝A 1，x ＝A 2，x ＝A 3三种情况，其中x ＝A 1，x ＝A 3符合题意，故选C.12．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选D P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3.二、填空题13．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝________. 解析：因为A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2,3)，所以A ∪∁R B ＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.答案：2 315．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16＝{x |22≤2x －2≤24}＝{x |4≤x ≤6}＝[4,6]，∵A ⊆B ，∴a ≤4，b ≥6，∴a －b ≤4－6＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]16．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤2x }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4x }，给出以下命题：①A ∩B ＝A ，②A ∪B ＝B ，③A ∩(∁U B )＝∅，④B ∩(∁U A )＝U ，其中正确命题的序号是________．解析：集合A 表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B 表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A ⊆B ，利用Venn 图可知，①②③正确，④错误．答案：①②③寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a－2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a . 若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x－12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e)D ．(0， e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a < e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln 1＋x 1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x 1－x ＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选 C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选 C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1， 由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④寒假作业(三) 基本初等函数、函数与方程(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f (x )是幂函数，且满足f 9f 3＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.12 B.14 C ．2D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，由f 9f 3＝9α3α＝3α＝2，得α＝log 32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 32＝14. 2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 由题意知，f (0)＝c ＞0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)＞0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p ＜x 2， 故p ＋1＞0，f (p ＋1)＞0.3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可知函数g (x )与h (x )在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选C ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715>1，c ＝log 279<log 21＝0，∴c <b <a .5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4]D ．[4,5]解析：选B ∵函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，∴函数f (x )的零点位于区间[2,3]内．6.(2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x －b )的图象大致是( )解析：选B 法一：结合二次函数的图象可知，a >1，－1<b <0，所以函数g (x )＝log a (x －b )单调递增，排除C ，D ；把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |个单位，得到函数g (x )＝log a (x －b )的图象，排除A ，选B.法二：结合二次函数的图象可知，a >1，－1<b <0，所以a >1,0<－b <1，在g (x )＝log a (x －b )中，取x ＝0，得g (0)＝log a (－b )<0，只有选项B 符合，故选B.7.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，gx ，x ＜0.若f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＋21－x －1，1－x ≤0，|lg 1－x |－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg 1－x |－1，x <1.易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点，当x <1时，函数有两个零点，所以函数g (x )的零点共有3个．9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，g (a )＝f (a )－f (a ＋1)，则g (a )的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,2)D ．(－∞，2)解析：选A ∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，∴a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a .∵a <－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)解析：选A ∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．11．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．－4解析：选B ∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )， ∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，又由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.12．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：选D 函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.13．(2017·陕西质检)已知函数y ＝4a x －9－1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n＝________.解析：依题意知，当x －9＝0，即x ＝9时，y ＝4－1＝3，故定点为A (9,3)，所以m ＝9，n ＝3，故log m n ＝log 93＝12.答案：1214．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同一平面直角坐标系内，画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y ＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)15．对于实数a 和b ，定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b ＋1，a ≥b ba ＋1，a <b，则ln e 2*⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝________.解析：∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋1，a ≥b ，b a ＋1，a <b ，ln e 2＝2<⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝3，∴ln e 2]19－12＝3×(2＋1)＝9.答案：916．(2018届高三·河北衡水中学月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋|f 1x －f 2x |2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1－g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 1x －f 2x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x 2＋f 2x －f 1x2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≥f 2x ，f 2x ，f 1x ＜f 2x ，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：5二、能力拔高练1．若函数y ＝a －a x(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3. 2．已知函数f (x )＝4x－m ·2x＋1只有一个零点，则m ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选C 依题意，方程4x－m ·2x＋1＝0只有一个实数根，设t ＝2x(t >0)，则t 2－mt ＋1＝0，由Δ＝m 2－4＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，t ＝1，即2x ＝1，则x ＝0；当m ＝－2时，t ＝－1，即2x＝－1(舍去)．故函数只有一个零点时，m ＝2.3．(2017·云南一检)已知a ，b ，c ，d 都是常数，且a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选 D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.4．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (2)<g (3)<g (π)C ．g (π)<g (2)<g (3)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选B 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22⇒a ＝12.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且f (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选B.5．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为M ，N ，且M N .若对任意的x ∈M ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )是f (x )的“拓展函数”．已知f (x )＝13log 2x ，若g (x )是f (x )的“拓展函数”，且g (x )为偶函数，则符合条件的函数g (x )的一个解析式是________．解析：由题意可知， 当x >0时，g (x )＝13log 2x ，又函数g (x )是偶函数，故当x <0时，g (x )＝13log 2(－x )，所以g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)．答案：g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)(其他符合条件的函数也可以)6．(2017·云南玉溪统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．答案：[－1,2)寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt 0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10π rad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B ⎠⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1.6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3解析：选A21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43.8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e 4解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝ex ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t4x －t4ln t 4＋t2＋1，所以由题意，得－t4ln t 4＋t2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f′(1)<f′(2)<f (2)－f (1)B ．f′(2)<f (2)－f (1)<f′(1)C ．f′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f′(1)<f (2)－f (1)<f′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上 解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)， 则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32， 解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋32 16．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， ∴k ＝－4e x＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π寒假作业(五) 导数的应用(注意命题点的区分度)一、选择题1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e解析：选C f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0 解析：选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0， 得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又当x <－1时f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， 当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3．(2017·长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 4．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：选D f ′(x )＝3x 2－3a ，因为x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2－12.由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x＝－3，则结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0) .6．(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选D 由f ′(x )的图象知，f ′(x )的图象有三个零点，故f (x )在这三个零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C ，故选D.7．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 D ．不确定解析：选C 因为f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.因为f ′(x )＝－sin x ＋1≥0恒成立， 所以f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 8．(2018届高三·黄冈调研)定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f 2f 1<16 B ．4<f 2f 1<8C ．3<f 2f 1<4 D ．2<f 2f 1<3 解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 2′＝f ′x ·x 2－2xf x x 4＝xf ′x －2f x x 3>0， ∴y ＝f xx 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f 222>f 112，即f 2f 1>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 3′＝f ′x ·x 3－3x 2f x x 6＝xf ′x －3f x x 4<0， ∴y ＝f xx 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f 223<f 113，即f 2f 1<8.综上，4<f 2f 1<8. 9．(2017·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π3，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )， ∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0， ∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.10．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数。

第二部分 板块（一）系统思想方法——融会贯通(一)小题小做 巧妙选择高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础．一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明．一、直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式得出a 2，b 2的关系求解．依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx－ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. [答案] A[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}， 则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.二、数形结合法根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．[典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][技法演示]作出函数图象，数形结合求解．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.[答案] D[应用体验]3．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A ．4．(2014·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.三、验证法将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c[技法演示] 法一：(特殊值验证法)根据a ，b ，c 满足的条件，取特殊值求解． ∵a >b >1,0<c <1，∴不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12，对于A,412＝2,212＝2，2>2，∴选项A 不正确．对于B,4×212＝42，2×412＝4,42>4，∴选项B 不正确．对于C,4×log 212＝－4,2×log 412＝－1，－4<－1，∴选项C 正确．对于D ，log 412＝－12，log 212＝－1，－12>－1，∴选项D 不正确． 故选C ．法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a >b >1,0<c <1时，a c >b c，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a >b >1,0<c <1，即－1<c －1<0时，a c －1<bc －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0， ∴a lg b >blg a.又∵0<c <1，∴lg c <0.∴a lg c lgb <b lg clg a，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确． 同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． [答案] C[应用体验]5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13解析：选C 法一：(特殊值验证法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C ．法二：(直接法)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝－43＋a ＋53≥0，g－＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C ． 四、排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x 1－cos x的部分图象大致为( )[技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C ．[答案] C[应用体验]6．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ．故选D.7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.五、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[技法演示] 由三视图还原为直观图后计算求解．由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．[答案] A[应用体验]8．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.六、极端值法选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3[技法演示] 根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积．由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.[答案] B[应用体验]9.如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1解析：选B 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC ­AA 1B ＝VA 1­ABC ＝VABC ­A 1B 1C 13.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1(或1∶2)．七、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π[技法演示] 由题意，知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. [答案] B[应用体验]10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53解析：选D 因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝43.因为e ＝c a >b a ，所以e >43.故选D.(二)快稳细活 填空稳夺绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、构造法、分析法等．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则．填空题解答“五字诀” 快——运算要快，力戒小题大做 细——审题要细，不能粗心大意稳——变形要稳，不可操之过急 活——解题要活，不要生搬硬套 全——答案要全，避免残缺不齐 一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[技法演示] 先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值．因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113[应用体验]1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.答案：12．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：5 二、特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．[典例] (2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ，又2|AB |＝3|BC |，∴设|AB |＝6，|BC |＝4，则|AF 1|＝3，|F 1F 2|＝4， ∴|AF 2|＝5.由双曲线的定义可知，a ＝1，c ＝2，∴e ＝c a＝2.故填2. 法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a ，b ，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2C ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2[应用体验]3．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：(特殊值法)由题意知a 1，a 3，a 5成等差数列，a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5成等比数列，所以观察可设a 1＝5，a 3＝3，a 5＝1，所以q ＝1.故填1.法二：(直接法)因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：1 三、数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．[典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.[技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再结合图象求|CD |.由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1. 由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. [答案] 4[应用体验]4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：45．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.答案：(－1,3) 四、等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[技法演示] 利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. [答案] 64[应用体验]6．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 7．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)． ∴yx的最大值为3. 答案：3 五、构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题． [典例] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[技法演示] 先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解． ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. [答案] 1 121[应用体验]8．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12.答案：12六、分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[技法演示] 先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.[答案] 1和3[应用体验]9．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A[考前热身训练] “12＋4”小题提速练共3套“12＋4”小题提速练(一) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,3) B ．{1,3} C ．(5,7)D ．{5,7}解析：选B 因为集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{1,3}．2．已知z ＝1－3i3＋i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析：选D ∵z ＝1－3i3＋i ＝－－＋－＝－10i 10＝－i ，∴z 的共轭复数z －＝i ，其虚部为1.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，若f (0)＝2，则a ＋f (－2)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，由f (0)＝2，可得log 2(0＋a )＝2，∴a ＝4. ∴a ＋f (－2)＝4－105＝2.4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )A ．100B ．200C ．400D ．450解析：选C 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr 216πr2＝400.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ． 5C ． 3D ． 2解析：选A 由题可知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，与圆相切，∴圆心(3，1)到渐近线的距离为|3b －a |a 2＋b 2＝1或|3b ＋a |a 2＋b2＝1，又a >0，b ＞0，解得3a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，即c ＝2a ，∴e ＝ca＝2.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( )A ．－3B ．－12C ．13D ．2解析：选A 模拟程序框图的运算结果如下： 开始S ＝2，i ＝1.第一次循环，S ＝－3，i ＝2；第二次循环，S ＝－12，i ＝3；第三次循环，S ＝13，i ＝4；第四次循环，S ＝2，i ＝5；第五次循环，S ＝－3，i ＝6；……，可知S 的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出循环的i 值2 018＝504×4＋2，∴输出的S ＝－3.7．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→的值为( )A ．3B ．－3C ．－92D ．92解析：选 D 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝92，∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→＝9－92＝92.8．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0D ．5解析：选C 由a 24＋a 25＝a 26＋a 27，可得(a 26－a 24)＋(a 27－a 25)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0，∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0， ∴S 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝0.9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：选B ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1cos x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A ，C ；又由当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )<0，函数图象位于第四象限，可排除D ，故选B.10．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF ―→＝3FB ―→，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．12C ．32D ． 3解析：选D 作出抛物线的准线l ：x ＝－1， 设A ，B 在l 上的投影分别是C ，D ，连接AC ，BD ，过B 作BE ⊥AC 于E ，如图所示．∵AF ―→＝3FB ―→，∴设|AF |＝3m ， |BF |＝m ，则|AB |＝4m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝|AF |＝3m ，|BD |＝|BF |＝m ，则|AE |＝2m .因此在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝2m 4m ＝12，得∠BAE ＝60°.所以直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，故直线AB 的斜率为k ＝tan 60°＝ 3. 11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A ．4πB ．28π3C ．44π3D ．20π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r ，所以r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32＋12＝73，则球面的表面积为4πr 2＝4π×73＝28π3. 12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当 xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3解析：选B ∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数，∴xy z＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ×4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫xy z max ＝1，此时x ＝2y ，则z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2， ∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，满足题意． ∴2x ＋1y －2z的最大值为1.二、填空题13．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则a 6＝________.解析：∵a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，a 1q ＋a 1q 3＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝2，∴a 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝116.答案：11614．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫332＝13. 答案：1315．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－ab x ＋z b ，∵a ＞0，b ＞0，∴直线y ＝－a b x ＋z b的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，平移直线y ＝－ab x ＋z b ，由图象可知当y ＝－a b x ＋z b经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即A (4,6)．此时z ＝4a ＋6b ＝10，即2a ＋3b －5＝0，即点(a ，b )在直线2x ＋3y －5＝0上，因为a 2＋b 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d ＝|－5|22＋32＝513，故a 2＋b 2的最小值为d 2＝2513.答案：251316．已知函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为________． 解析：函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R)有三个零点，即y ＝|x e x|与y ＝m 的图象有三个交点．令g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(1＋x )e x ，当x ＜－1时，g ′(x )＜0，当x ＞－1时，g ′(x )＞0，故g (x )＝x e x在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g (－1)＝－1e ，又由x ＜0时，g (x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，故函数y ＝|x e x|的图象如图所示：由图象可知y ＝m 与函数y ＝|x e x|的图象有三个交点时，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e“12＋4”小题提速练(二) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．(2017·西安模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C 化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．2．(2017·福州模拟)已知复数z ＝2＋i ，则zz＝( )A ．35－45iB ．－35＋45iC ．53－43i D ．－53＋43i解析：选A 因为z ＝2＋i ，所以zz ＝2－i2＋i＝－25＝35－45i. 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选C 因为a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b .4.(2018届高三·长沙一中月考)如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( )A.B.C. D.解析：选A 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A.5．(2017·合肥模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C ．132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝x ＋2y ＝132.6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73.7．(2017·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝AC ＝3，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( )A ．16916πB ．8πC ．28916πD ．2516π解析：选C 如图所示，当点D 位于球的正顶部时四面体的体积最大，设球的半径为R ，则四面体的高为h ＝R ＋R 2－1，四面体的体积为V ＝13×12×(3)2×sin 60°×(R ＋R 2－1)＝34×(R ＋R 2－1)＝3，解得R ＝178， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1782＝289π16，故选C ． 9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋－32＝2.当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C ．10．(2017·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q ―→＝2 QP ―→.若F 1P ―→·F 2Q ―→＝0，则e 2＝( )A ．2－1B ．2－ 2C ．2－ 3D ．5－2解析：选C 由题意可知，在Rt △PF 1F 2中，F 2Q ⊥PF 1，所以|F 1Q |·|F 1P |＝|F 1F 2|2，又|F 1Q |＝23|F 1P |，所以有23|F 1P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即|F 1P |＝6c ，进而得出|PF 2|＝2C ．又由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝6c ＋2c ＝2a ，解得e ＝ca＝26＋2＝6－22，所以e 2＝2－ 3. 11．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.12．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．二、填空题13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→＝________.解析：由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD―→＝3a ×a ×cos π6＝32a 2.答案：32a 214．已知函数f (x )＝cos πx6，集合M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则f (m )·f (n )＝0的概率为________．解析：已知函数f (x )＝cos πx6，集合M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则m ＝3,9时，f (m )＝cos πm6＝0，满足f (m )·f (n )＝0的个数为m ＝3时有8个，n ＝9时有8个，n ＝3时有8个，n ＝9时有8个，重复2个，共有30个．从A 中任取两个不同的元素m ，n ，则f (m )·f (n )的值有72个，所以从M 中任取两个不同的元素m ，n ，使f (m )·f (n )＝0的概率为P ＝3072＝512.答案：51215．(2017·洛阳模拟)为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H 0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K 2≈3.918.经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”； ②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视； ③这套眼保健操预防近视的有效率为95%； ④这套眼保健操预防近视的有效率为5%. 其中所有正确结论的序号是________．解析：根据查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．答案：①16．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在表面积为289π16的球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥P ­ABC 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r＝32sin 60°＝1，球心到截面ABC 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于h ＋R ＝178＋158＝4，因此三棱锥P ­ABC 体积的最大值为13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3432×4＝ 3. 答案： 3“12＋4”小题提速练(三) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．已知集合M ＝{x |16－x 2≥0}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}解析：选C 由M 中16－x 2≥0，即(x －4)(x ＋4)≤0，解得－4≤x ≤4，所以M ＝{x |－4≤x ≤4}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}＝[1，＋∞)，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．2．若复数z 满足z (4－i)＝5＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋iD ．－1－i解析：选A 由z (4－i)＝5＋3i ， 得z ＝5＋3i 4－i＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ， 则复数z 的共轭复数为 1－i. 3．由变量x 与y 的一组数据：得到的线性回归方程为y ＝2x ＋45，则y ＝( ) A ．135 B ．90 C ．67D ．63解析：选D 根据表中数据得x －＝15×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程y ^＝2x ＋45过点(x －，y －)，则y －＝2×9＋45＝63.4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：选B 由程序框图知：第一个判断框是比较a ，b 大小，a 的值是a ，b 之间的较小数；第二个判断框是比较a ，c 大小，输出的a 是a ，c 之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a ，b ，c 三个数中的最小数．故选B.5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经过下列平移，可以得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象的是( )A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：选B 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴若f (x )为[0,1]上的增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，又∵f (x )是定义在R 上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期，。